Dokumen ini membahas tentang persamaan diferensial parsial dan aplikasinya dalam fisika, termasuk contoh penyelesaian turunan parsial serta konsep-proses dalam termodinamika dan gelombang. Terdapat penjelasan tentang metode diferensial total, aturan rantai, dan hubungan Maxwell dalam konteks termodinamika. Sebagai tambahan, pengantar mengenai kalkulus dan perhitungan volume pada fenomena fisik juga disampaikan.

1. TUGAS FISIKA MATEMATIKA I
“DIFFERENSIAL PARSIAL”
Kelompok 5 :
1. Budhi Novyannisari (1101135004)
2. Hoerudin (1101135008)
3. Siti Fahada (1101135020)
4. Tashwirul Fanny (1101135029)
PENDIDIKAN FISIKA – 3A
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR.
HAMKA
2013

2. DIFERENSIAL PARSIAL
Persamaan Diferensial Parsial adalah suatu persamaan yang melibatkan
fungsi dua peubah atau lebih dan turunan atau diferensialnya. Persamaan
diferensial parsial dijumpai dalam kaitan dengan berbagai masalah fisik dan
geometris. Bila fungsi yang terlibat tergantung pada dua atau lebih peubah bebas.
Tidak berlebihan jika dikatakan bahwa hanya sistem fisik yang paling sederhana
yang dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial biasa mekanika fluida dan
mekanika padat, transfer panas, teori elektromagnetik dan berbagai bidang fisika
lainnya penuh dengan masalah-masalah yang harus dimodelkan dengan
persamaan differensial parsial.
Umumnya, jika
misalkan hanya
dengan
adalah fungsi dua variable
saja yang berubah-ubah sedangkan
dan
, andaikan kita
dibuat tetap, katakan
konstanta. Baru sesudah itulah kita sebenarnya meninjau fungsi
variable tunggal , yaitu
jika
kita menamakannya turunan
menyatakannya dengan
1.
mempunyai turunan di , maka
parsial dari
terhadap
di
dan
. Jadi
dengan
Menurut definisi turunan, kita mempunyai
Sehingga persamaan nomor 1 menjadi
Dengan cara serupa, turunan parsial dari
dengan
, diperoleh dengan membuat
turunan biasa di
Jika
terhadap
di
tetap
dan mencari
dari fungsi
adalah fungsi dua variable, turunan parsialnya adalah fungsi
didefinisikan oleh
dinyatakan
dan
yang

3. Contoh 1.
Tentukan turunan parsial terhada x dan turunan parsial terhadap y fungsi yang
dirumuskan dengan f(x,y)= x2y + 5x +4. Selanjutnya tentukan turunan parsial f
terhadap x dan turunan parsial f terhadap y di titik (2,3)
Penyelesaian
Sehingga turunan parsial f terhadap x di titik (2,3) adalah
dan turunan f terhadap y dititik (2,3) adalah
Untuk memudahkan menentukan turunan parsial dari fungsi dua variabel f(x,y)
maka dapat dilakukan hal berikut. Apabila fungsi f diturunkan terhadap variabel x

4. maka y diperlakukan seperti konstanta dan apabila f diturunkan terhadap variabel
y maka x diperlakukan seperti konstanta.
Contoh 2.
Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y fungsi yang
dirumuskan dengan f (x,y) = 3x4y2 + xy2 +4y
Penyelesaian :
A. Notasi Diferensial Parsial
Jika
kita tuliskan
B. Deret Pangkat dengan 2 Variabel
Bentuk
dasar
persamaaan
deret
pangkat
:
x adalah sebuah varibel dan ao ,a1 ,a2 …. adalah konstanta-konstantanya. xo
adalah sebuah konstanta yang disebut sebagai pusat dari deret. Jika x o = 0,
kitadapatkan deret pangkat x.
Ide dari metode deret pangkat
Kita asumsikan penyelesaian dalam bentuk deret pangkat sebagai
berikut

5. Diferensial Deret Pangkat
Deret pangkat dapat diturunkan bagian per bagian.
Konvergen untuk
<R dimana R>0, maka deret turunannya juga
konvergen.
C. Diferensial Total
Diferensial total adalah perubahan fungsi
salah satu variabelnya
parsial di
dan y menjadi
atau
. Misalkan fungsi
. Pertambahan fungsi
jika
terhadap pertambahan
mempunyai turunan
ditambah menjadi
adalah
Jika ditambah dan dikurangi
di ruas kanan, diperoleh

6. pers (*)
pertambahan x dalam fungsi
dengan mempertahankan
tetap.
Teorema nilai rata-rata kalkulus
Jika
pada setiap titik dalam selang [x - ∆x, x+ ∆x]
memiliki turunan
maka :
Dengan
sebuah titik dalam selang
.
Dengan demikian,
–
dengan 0 <
1
<1
Dengan cara yang sama, untuk suku kedua pers.(*), menghasilkan
dengan 0 <
2
<1
Jika turunan parsial
dan
kontinu di
, maka
dengan lim ε1= 0 dan lim ε2 = 0 , bila ∆x dan ∆y menuju nol. Pers.(*)
teralihkan menjadi :
Dengan mengambil limit ∆x
0 dan ∆y 0, diperoleh turunan total fungsi
f(x,y) :
Untuk
, turunan totalnya

7. Contoh 3
–
Hitunglah diferensial total fungsi
Penyelesaian :
–
dan
Sehingga turunan totalnya :
–
D. Aturan Rantai
Aturan Rantai untuk fungsi-fungsi komposisi satu peubah sekarang sudah
dikenal oleh semua pembaca. Jika y = f(x(t)), dengan f dan x keduanya fungsi
yang dapat didiferensialkan, maka
dan
(x)
, composite fungsi
2
fungsi :
3
fungsi :
Rumus 1
(Aturan Rantai). Andaikan
dan
dapat didiferensialkan di
t dan andaikan
dapat didiferensialkan di
Maka
dapat
didiferensialkan di t, maka :
Rumus 2
(Aturan Rantai). Misalkan
peetama di
dan misalkan
dan
mempunyai turunan
dapat didiferensialkan di

8. . Maka
mempunyai turunan parsial
pertama yang diberikan oleh,
Jika,
, maka
(1)
(2)
Rumus 3
Jika,
maka
(1)
(2)
(3)
ATURAN RANTAI UNTUK FUNGSI KOMPOSISI
1. Misal u dan v fungsi-fungsi yang didefinisikan u = u(x,y) dan v = v(x,y)
dengan u dan v kontinu, mempunyai turunan parsial pertama di (x,y). F
fungsi dari u dan v yang mempunyai turunan pertama yang kontinu dalam
daerah terbuka D yang memuat (u,v), maka:
dan
2. Misal F fungsi dari u, v dan w dengan u, v dan w fungsi-fungsi kontinu dua
variable u = u(x,y), v = v(x,y) dan w = w(x,y) yang mempunyai turunan parsial
pertama dan semua turunan parsial pertama fungsi F kontinu, maka:

9. dan
Contoh 4.
1.
Mengingat,
Jawab :
2.
Mengingat,
Jawab :

10. E.
Diferensial Implisit
Aturan hubungan sebuah fungsi mungki tidak eksplisit. Sebagai contoh,
aturan
adalh implisit terhadap persamaan
Lebih lanjut, tidak ada alasan untuk percaya bahwa persamaan ini dapat
diselesaikan untuk y dalam bentuk x. Akan tetapi, dengan mengasumsukan
domain yang sama (yang dijelaskan oleh variabel bebas x) angggota persamaan
dari ruas kiri dapat diartikan sebagai komposisi fungsi-fungsi dan didiferensiasi
dengan benar. (aturan diferensiasi berikut ini ditulis untuk untuk anda cek
kebenarannya).
Dalam contoh ini, diferensiasi terhadap x menghasilakan
Perhatikanlah bahwa persamaan ini dapat diselesaikan untuk
dari
dan
(tetapi tidak untuk x semata).
Diberikan,
Hitung
Misalkan,
maka
dari
=
, maka :
sebagai fungsi

11. = 6xy +
Demikian pula, jika
, maka
Misal z = F(x,y) dan y = g(x), maka z = F(x, g(x)) menyatakan fungsi satu variable,
sehingga berdasarkan aturan rantai diperoleh:
Jika z = 0 maka F(x,y) = 0 mendefinisikan y secara implisit sebagai fungsi x dan (*)
menjadi
asalkan
Analog dengan hal tersebut, jika z fungsi implisit variabel x dan y yang didefinisikan
oleh persamaan F(x,y,z) = 0 maka :
dan
asalkan
F. Aplikasi Diferensial Parsial
Hubungan Maxwell dalam Termodinamika
Termodinamika merupakan cabang Fisika yang paling banyak menggunakan
perumusan turunan dan diferensial parsial. Misalnya, hukum I Termodinamika
dapat dituliskan dalam bentuk diferensial berikut:

12. ………....(1)
dengan
menyatakan sejumlah kecil kalor yang keluar/masuk sistem,
menyatakan selisih infinitesimal energi dalam sistem dan
dU
menyatakan
sejumlah kecil kerja yang diterima/dilakukan sistem. Perlu dicatat bahwa
dan
bukan menyatakan selisih, sehingga operator diferensialnya dituliskan
sebagai
. Untuk sistem yang bersifat reversibel atau prosesnya dapat dibalik
arahnya, maka berlaku hubungan:
…………………(2)
Dengan T adalah temperatur dan
adalah selisih infinitesimal entropi
sistem. Sementara itu, sejumlah kecil usaha dapat dituliskan sebagai:
…………………(3)
dengan P adalah tekanan dan dV adalah selisih infinitesimal volume
sistem.
Berdasarkan hubungan pada persamaan (2) dan (3), maka persamaan (1) dapat
dituliskan kembali sebagai:
……………(4)
Dari perumusan ini jelas terlihat bahwa energi dalam merupakan fungsi dari
entropi dan volume,
.
Tinjau kembali definisi diferensial total yang telah dijelaskan sebelumnya yang
ditulis ulang sebagai berikut :
……(5)
Dengan
menyatakan turunan parsial f terhadap x dengan y konstan dan
menyatakan turunan parsial f terhadap y dengan x konstan. Selanjutnya kita
asumsikan bahwa kita berhubungan dengan fungsi f yang bersifat konservatif
sehingga memenuhi kondisi berikut:
Maka dari sini kita dapatkan diferensial total dari fungsi
adalah :

13. Bandingkan dengan persamaan 4 yang kita peroleh :
Selanjutnya berdasarkan kondisi 6 dan turnan parsial berikut :
Diperoleh hubungan berikut :
yang dikenal sebagai salah satu dari empat buah “Hubungan Maxwell” (Maxwell
Relations) dalam Termodinamika. Pada hubungan ini diperlihatkan bahwa pada
proses reversibel, perubahan temperatur terhadap volume pada entropi tetap sama
dengan negatif perubahan tekanan terhadap entropi pada volume tetap.
G. Peubah Variabel
Hampir semua fenomena-fenomena di dalam Fisika harus digambarkan
melalui persamaan diferensial. Jika fenomena tersebut melibatkan beberapa
variabel, baik berupa besaran pokok ataupun besaran turunan, maka persamaan
diferensial yang terkait akan berbentuk persamaan diferensial parsial. Persamaan
diferensial terkait tersebut kadang – kadan akan lebih mudah dicari solusinya jika
kita menyatakan dalam bentuk variable – variable baru yang merupakan fungsi
dari variabel lama. Untuk jelasnya, tinjau sebagai contoh persamaan gelombang
berikut:
…………………….(7)
Dengan Ψ menyatakan fungsi gelombang dan v merupakan laju
perambatan gelombang. Dalam pengalaman sehari-hari, kita sering menjumpai
gundukan air yang merambat di dalam kolam atau perambatan gelombang air laut
di pantai. Secara ideal, kesemuanya dapat dihampiri oleh persamaan (1) di atas.

14. Persamaan gelombang (1) memiliki solusi yang dapat menggambarkan
perambatan dua gelombang yang saling berlawanan arah, oleh karena itu untuk
menggambarkannya kita dapat mendefinisikan variabel baru berikut:
…………………………..(8a)
–
Sekarag kita misalkan
=
…………………………….(8b)
, dengan
dan
seperti yang diberikan oleh persamaan (8). Diferensial total
, r dan s adalah:
……………….,(9a)
………………….. (9b)
……………………….(9c)
Dari ketiga diferensial total kita dapatkan:
………(10)
yang sekarang merupakan diferensial total terhadap x dan t , sehingga dengan
demikian kita peroleh:
………………………………………..(11a)
…………………………………………(11b)
Berdasarkan persamaan (8):
………………………………. (12)
sehingga persamaan (11) memiliki bentuk sebagai berikut:
...............................................................................(13a)

15. ……………………………………………(13b)
Akan berguna jika kita menyatakan operator pada persamaan (13) sebagai berikut:
=
…………………………………………………..(14a)
………………………………………………..(14b)
Untuk mencari turunan parsial kedua dari fungsi
terhadap x dan t , kita dapat
menggunakan penulisan operator pada persamaan (14) sebagai berikut:
………....(15a)
………….(15b)
Selanjutnya substitusikan persamaan (15) ke dalam persamaan gelombang (7)
diperoleh bentuk persamaan diferensial untuk gelombang dalam variabel r dan s
sebagai berikut:
……………………………………………………………………………(16)
Persamaan gelombang (16) jelas lebih sederhana dari persamaan (7). Pemecahan
dari persamaan (64) tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
…………………………………………..(17)
yang tidak lain menggambarkan gelombang yang merambat ke arah x negatif
(diwakili oleh fungsi
(diwakili oleh fungsi
) dan gelombang yang merambat ke arah x positif
).
H. Diferensiasi Integral (aturan Leibniz)
Gottfried Wilhelm Leibniz adalah salah seorang dari dua penemu utama
kalkulus (yang lainnya adalah Isaac newton). Cara penulisannya (notasinya)
untuk turunan masih dipakai secara luas, khususnya dalam bidang terapan

16. seperti halnya Fisika, kimia, dan ekonomi. Daya tariknya terletak dalam
bentuknya, sebuah bentuk yang seringmengemukakan hasil-hasil yang benar
dan kadang-kadang menunjukkan bagaimana membuktikannya. Setelah kita
menuasai notasi Leibniz, kita akanmenggunakannya untuk menyatakan
kembali Aturan rantai dan kemudian benar-benar membuktikan aturan
tersebut.
Pertambahan
Jika nilai sebuah variabel
perubahan dalam
oleh
berganti dari
ke
maka
–
,
disebut suatu pertambahan dari x dan biasanya dinyatakan
. Jika
dan
maka
–
–
Jika x1 = c dan x2 = c+h, maka
–
Andaikan bahwa
dari
ke
maka
–
menentukan sebuah fungsi. Jika x berubah
berubah dari
bersesuaian dengan pertambahan
. Jadi
–
dalam x, terdapat pertambahan
dalam y yang diberikan oleh
–
–
Contoh 5.
Jika y = f(x) = 2 – x2. Carilah
jika x berubah dari 0,4 ke 1,3
Penyelesaian :
Lambang dy/dx turunan
Andaikan variabel bebas beralih dari
dalam variabel tak bebas y akan berupa
ke
. Perubahan yang terjadi

17. ) – f(x)
=f(
Soal dan Pembahasan
1. Carilah
dan
jika
.
Penyelesaian:
Untuk mencari
fungsi ini terhadap
kita anggap
sebagai konstanta dan kita diferensialkan
didapat
Jadi,
Demikian pula,
Sehingga,
Jika z = f(x,y), kita gunakan cara penulisan lain.
Lambang
adalah lambang khas dalam matematika dan disebut tanda turunan
parsial.
2. Jika
Penyelesaian :
cari
dan
.

18. 3. Cari keempat turunan parsial kedua dari
Penyelesaian :
4. Jika
, cari
Penyelesaian :
Untuk memperoleh
, kita pandang
dan
sebagai konstanta dan turunkan
terhadap peubah . Jadi,
Untuk mencari
terhadap :
Serupa halnya,
, kita anggap
dan
sebagai konstanta dan turunkan

19. 5. Suatu tangki silinder berjari 0 jari 2,5 m dan tingginya 3 m mempunyai lubang
pada alasnya dengan jari – jari 25 mm. Diketahui bahwa air akan mengalir ke
luar melalui lubang semacam ini dengan kecepatan mendekati
, h adalah dalamnya air dalam tangki. Carilah waktu yang diperlukan untuk
mengosongkan tangki itu lewat lubang tersebut.
Penyelesaian :
Volume air yang mengalir ke luar per detik dapat dipikirkan sebagai volume
silinder yang berjari – jari 25 mm dan tingginya v. dengan demikian volume
yang mengalir keluar pada saat dt detik adalah
Perubahan permukaan air di tangki dinyatakan dengan
mengalir ke luar dinyatakan oleh
Maka :
atau
Integrasikan antara t=0, h=3 dan t=t, h=0,
, volume air yang