Dokumen tersebut membahas tentang irisan kerucut, translasi, dan rotasi. Irisan kerucut adalah bangun datar yang diperoleh dengan memotong kerucut lingkaran tegak berselimut ganda menurut aturan tertentu. Translasi adalah pergeseran titik-titik pada suatu objek, sedangkan rotasi adalah perputaran objek tersebut. Kedua transformasi geometri ini dapat menghasilkan bayangan dari objek asli.
Teks tersebut membahas tentang persamaan linear orde tinggi dengan koefisien konstan. Ia menjelaskan bahwa solusi umum dari persamaan tersebut dapat ditentukan dengan menemukan akar dari persamaan karakteristik yang dihasilkan dari koefisien persamaan. Jika akar tersebut nyata dan berbeda, solusi umum berupa kombinasi fungsi eksponensial. Jika akarnya kompleks, solusi umum dapat ditulis menggunak
1. Dokumen membahas tentang kemungkinan solusi persamaan binomial dan multinomial dengan syarat-syarat tertentu.
2. Terdapat rumusan teorema dan contoh soal untuk menghitung jumlah kemungkinan solusi persamaan tersebut menggunakan kombinasi dan koefisien binomial.
3. Dibahas pula ekspansi persamaan binomial menggunakan koefisien binomial sesuai teorema binomial.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan bola dalam geometri analitik ruang. Persamaan bola didefinisikan sebagai kumpulan titik yang berjarak sama dari pusat bola dan dapat dituliskan menggunakan rumus jarak kuadrat antara titik pusat dan titik manapun pada bola. Contoh soal penyelesaian persamaan bola dengan pusat dan jari-jari tertentu juga diberikan.
“
Terdapat tiga lingkaran yang berpotongan di dua titik. Berkas lingkaran adalah himpunan semua lingkaran yang melalui titik-titik potong tersebut, yang ditentukan oleh persamaan L1+λL2=0 dimana λ adalah konstanta. Kuasa suatu titik terhadap lingkaran menunjukkan letak titik tersebut relatif terhadap lingkaran.
Dokumen tersebut membahas tentang sifat Archimedes dan beberapa teorema yang berkaitan dengan hubungan antara bilangan riil dan bilangan asli, termasuk bukti dari teorema bahwa terdapat bilangan riil positif x sedemikian sehingga x^2 = 2.
Teks tersebut membahas tentang persamaan linear orde tinggi dengan koefisien konstan. Ia menjelaskan bahwa solusi umum dari persamaan tersebut dapat ditentukan dengan menemukan akar dari persamaan karakteristik yang dihasilkan dari koefisien persamaan. Jika akar tersebut nyata dan berbeda, solusi umum berupa kombinasi fungsi eksponensial. Jika akarnya kompleks, solusi umum dapat ditulis menggunak
1. Dokumen membahas tentang kemungkinan solusi persamaan binomial dan multinomial dengan syarat-syarat tertentu.
2. Terdapat rumusan teorema dan contoh soal untuk menghitung jumlah kemungkinan solusi persamaan tersebut menggunakan kombinasi dan koefisien binomial.
3. Dibahas pula ekspansi persamaan binomial menggunakan koefisien binomial sesuai teorema binomial.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan bola dalam geometri analitik ruang. Persamaan bola didefinisikan sebagai kumpulan titik yang berjarak sama dari pusat bola dan dapat dituliskan menggunakan rumus jarak kuadrat antara titik pusat dan titik manapun pada bola. Contoh soal penyelesaian persamaan bola dengan pusat dan jari-jari tertentu juga diberikan.
“
Terdapat tiga lingkaran yang berpotongan di dua titik. Berkas lingkaran adalah himpunan semua lingkaran yang melalui titik-titik potong tersebut, yang ditentukan oleh persamaan L1+λL2=0 dimana λ adalah konstanta. Kuasa suatu titik terhadap lingkaran menunjukkan letak titik tersebut relatif terhadap lingkaran.
Dokumen tersebut membahas tentang sifat Archimedes dan beberapa teorema yang berkaitan dengan hubungan antara bilangan riil dan bilangan asli, termasuk bukti dari teorema bahwa terdapat bilangan riil positif x sedemikian sehingga x^2 = 2.
Persamaan garis lurus dapat ditentukan dari dua titik yang dilaluinya atau dari gradiennya. Untuk menentukan persamaan dari dua titik, kita gunakan metode substitusi titik ke persamaan umum y=mx+c lalu kali silang. Sedangkan untuk menentukan dari gradien, kita gunakan rumus y-y1=m(x-x1).
Dokumen tersebut membahas tentang garis singgung lingkaran, termasuk rumus untuk menentukan panjang garis singgung dari titik di luar lingkaran, persamaan garis singgung jika titik singgung diketahui, dan persamaan garis singgung jika gradiennya diketahui. Juga dijelaskan contoh penerapan rumus-rumus tersebut.
(2) Lingkaran2-Segiempat Tali Busur 1.pptxGibbonTamba1
Ringkasan dokumen tersebut adalah:
Dokumen tersebut membahas tentang segiempat tali busur, termasuk definisi, sifat-sifat, dan contoh soalnya. Sifat-sifat yang dibahas antara lain sudut berhadapan saling berpelurus dan hubungan antara panjang diagonal dengan sisi lainnya. Contoh soal memberikan latihan mengenai penentuan besar sudut dan panjang sisi menggunakan sifat-sifat segiempat t
Dokumen tersebut membahas berbagai konsep dasar tentang turunan fungsi seperti kemonotonan fungsi, ekstrim fungsi, kecekungan fungsi, titik belok, dan asimtot fungsi beserta contoh soalnya.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan kuadrat dan cara-cara penyelesaiannya, termasuk menggunakan rumus, diskriminan, dan jenis-jenis akar. Juga dibahas tentang menyusun persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat.
Dokumen tersebut membahas tentang Teorema Ptolemy yang diciptakan oleh Claudius Ptolemy, seorang ahli matematika, astronomi, geografi, dan sastrawan dari Alexandria, Mesir. Teorema Ptolemy menyatakan bahwa jumlah hasil kali sisi-sisi yang berseberangan pada segi empat sama dengan hasil kali diagonalnya. Contoh soal pun diberikan untuk menerangkan Teorema Ptolemy tersebut.
Titik stasioner suatu fungsi dan jenis jenis ekstrimNova Muryani
Titik stasioner adalah titik kritis dimana turunan suatu fungsi sama dengan nol. Nilai stasioner adalah nilai fungsi pada titik stasioner. Nilai ekstrim, baik maksimum maupun minimum, dapat ditentukan pada titik dimana turunan fungsi sama dengan nol.
[Ringkuman]
Lembar kegiatan ini memberikan instruksi untuk melakukan rotasi pada segitiga dengan titik-titik koordinat tertentu dan menentukan titik bayangan setelah rotasi dengan besar sudut yang telah ditentukan. Peserta didik diminta mengerjakan langkah-langkah kegiatan secara berkelompok dan dapat meminta bantuan guru jika mengalami kesulitan.
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2018Mathematics Sport
Dokumen tersebut merangkum pembahasan delapan soal olimpiade sains nasional matematika tingkat provinsi. Soal-soal tersebut meliputi bilangan bulat, peluang, himpunan, kuadrat sempurna, volume tabung dan prisma, luas segitiga, kode angka, dan garis singgung kurva.
Transformasi Laplace adalah transformasi yang sering digunakan untuk menyelesaikan masalah syarat awal. Metode penyelesaian persamaan diferensial biasa menggunakan transformasi laplace terbukti cukup ampuh digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah nilai awal.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep translasi dalam matematika. Secara singkat, translasi adalah perpindahan suatu objek geometri secara keseluruhan dengan menggerakkan objek tersebut sejauh vektor translasi. Dokumen ini berisi contoh-contoh soal translasi titik, segitiga, dan mobil di bidang kartesian beserta penyelesaiannya.
Persamaan garis lurus dapat ditentukan dari dua titik yang dilaluinya atau dari gradiennya. Untuk menentukan persamaan dari dua titik, kita gunakan metode substitusi titik ke persamaan umum y=mx+c lalu kali silang. Sedangkan untuk menentukan dari gradien, kita gunakan rumus y-y1=m(x-x1).
Dokumen tersebut membahas tentang garis singgung lingkaran, termasuk rumus untuk menentukan panjang garis singgung dari titik di luar lingkaran, persamaan garis singgung jika titik singgung diketahui, dan persamaan garis singgung jika gradiennya diketahui. Juga dijelaskan contoh penerapan rumus-rumus tersebut.
(2) Lingkaran2-Segiempat Tali Busur 1.pptxGibbonTamba1
Ringkasan dokumen tersebut adalah:
Dokumen tersebut membahas tentang segiempat tali busur, termasuk definisi, sifat-sifat, dan contoh soalnya. Sifat-sifat yang dibahas antara lain sudut berhadapan saling berpelurus dan hubungan antara panjang diagonal dengan sisi lainnya. Contoh soal memberikan latihan mengenai penentuan besar sudut dan panjang sisi menggunakan sifat-sifat segiempat t
Dokumen tersebut membahas berbagai konsep dasar tentang turunan fungsi seperti kemonotonan fungsi, ekstrim fungsi, kecekungan fungsi, titik belok, dan asimtot fungsi beserta contoh soalnya.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan kuadrat dan cara-cara penyelesaiannya, termasuk menggunakan rumus, diskriminan, dan jenis-jenis akar. Juga dibahas tentang menyusun persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat.
Dokumen tersebut membahas tentang Teorema Ptolemy yang diciptakan oleh Claudius Ptolemy, seorang ahli matematika, astronomi, geografi, dan sastrawan dari Alexandria, Mesir. Teorema Ptolemy menyatakan bahwa jumlah hasil kali sisi-sisi yang berseberangan pada segi empat sama dengan hasil kali diagonalnya. Contoh soal pun diberikan untuk menerangkan Teorema Ptolemy tersebut.
Titik stasioner suatu fungsi dan jenis jenis ekstrimNova Muryani
Titik stasioner adalah titik kritis dimana turunan suatu fungsi sama dengan nol. Nilai stasioner adalah nilai fungsi pada titik stasioner. Nilai ekstrim, baik maksimum maupun minimum, dapat ditentukan pada titik dimana turunan fungsi sama dengan nol.
[Ringkuman]
Lembar kegiatan ini memberikan instruksi untuk melakukan rotasi pada segitiga dengan titik-titik koordinat tertentu dan menentukan titik bayangan setelah rotasi dengan besar sudut yang telah ditentukan. Peserta didik diminta mengerjakan langkah-langkah kegiatan secara berkelompok dan dapat meminta bantuan guru jika mengalami kesulitan.
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2018Mathematics Sport
Dokumen tersebut merangkum pembahasan delapan soal olimpiade sains nasional matematika tingkat provinsi. Soal-soal tersebut meliputi bilangan bulat, peluang, himpunan, kuadrat sempurna, volume tabung dan prisma, luas segitiga, kode angka, dan garis singgung kurva.
Transformasi Laplace adalah transformasi yang sering digunakan untuk menyelesaikan masalah syarat awal. Metode penyelesaian persamaan diferensial biasa menggunakan transformasi laplace terbukti cukup ampuh digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah nilai awal.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep translasi dalam matematika. Secara singkat, translasi adalah perpindahan suatu objek geometri secara keseluruhan dengan menggerakkan objek tersebut sejauh vektor translasi. Dokumen ini berisi contoh-contoh soal translasi titik, segitiga, dan mobil di bidang kartesian beserta penyelesaiannya.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan mengenai beberapa jenis transformasi geometri bidang, yaitu refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi. Refleksi dibahas terkait sumbu koordinat, garis, dan titik pusat. Translasi dijelaskan dengan matriks transformasi. Rotasi dan dilatasi juga dijelaskan dengan menggunakan matriks transformasi. Beberapa contoh soal diberikan untuk memperjelas penjelasan setiap jenis transform
Transformasi (Translasi, Rotasi Dan Dilatasi)guest6ea51d
Bahan ajar tentang transformasi (translasi, rotasi dan dilatasi) menjelaskan tiga jenis transformasi tersebut beserta contoh-contoh perhitungannya. Translasi adalah pergeseran, rotasi adalah perputaran, dan dilatasi adalah perubahan ukuran tanpa mengubah bentuk. Transformasi dapat digunakan untuk menentukan bayangan suatu kurva akibat perpindahan dan perubahan ukurannya.
Buku ini membahas materi-materi matematika SMA kelas XI semester 2 sesuai kurikulum 2013. Materi yang diajarkan antara lain statistika, aturan pencacahan, lingkaran, transformasi, turunan, dan integral. Pada bab statistika dijelaskan tentang ukuran pemusatan data, ukuran letak data, dan ukuran penyebaran data beserta contoh soalnya.
Presentasi ini berisi materi SMA, yakni persamaan lingkaran. Di dalamnya terdapat 3 bentuk persamaan lingkaran. Presentasi ini juga membahas soal kedudukan garis dan titik terhadap lingkaran.
Rencana pelaksanaan pembelajaran ini membahas tentang elastisitas dan gerak harmonik sederhana pada mata pelajaran fisika untuk siswa kelas XI. Materi pembelajaran meliputi pengertian sifat elastis dan plastis suatu benda, tegangan, regangan, dan modulus elastisitas. Metode pembelajaran yang digunakan adalah demonstrasi dan diskusi untuk meningkatkan pemahaman siswa.
Dokumen tersebut membahas tentang matriks transformasi geometri yang menerangkan pencerminan, rotasi, dan dilatasi. Dilengkapi dengan contoh soal dan penyelesaiannya. Transformasi geometri seperti pencerminan, rotasi, dan dilatasi dapat didefinisikan melalui matriks khusus. Misalnya, matriks untuk pencerminan tergantung pada sumbu yang dipantulkan, sedangkan matriks rotasi bergantung pada pusat dan sudut putar rotasi.
1. RPP ini membahas pelajaran kesebangunan dan kekongruenan untuk siswa kelas IX SMP Muhammadiyah 1 Purwokerto.
2. Materi pelajaran mencakup pengertian bangun datar yang sebangun dan kongruen, serta sifat-sifat dua segitiga yang sebangun dan kongruen.
3. Pembelajaran dilakukan dengan berbagai metode seperti diskusi, tugas, dan presentasi untuk menguasai konsep-konsep tersebut.
Media Pembelajaran Kesebangunan, Kongruensi, Segiempat, SegilimaPutu Ayu Pramita
Dokumen tersebut memberikan informasi mengenai konsep-konsep geometri dasar seperti kesebangunan, kongruensi segitiga, dan jenis-jenis bangun datar seperti segitiga, segiempat, dan segilima.
Rpp (gerak rotasi translasi dan kesetimbangan benda tegar)eli priyatna laidan
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) ini membahas tentang kompetensi inti, kompetensi dasar, indikator pencapaian kompetensi, tujuan pembelajaran, materi pembelajaran, kegiatan pembelajaran, metode pembelajaran, sumber belajar, dan penilaian.
Dokumen tersebut membahas tentang irisan kerucut dan lingkaran. Irisan kerucut dapat berbentuk titik, garis, segitiga, lingkaran, parabola, elips, atau hiperbola tergantung letak bidang yang memotongnya. Lingkaran didefinisikan sebagai tempat titik-titik yang sama jaraknya dari pusat. Persamaan lingkaran dapat ditulis dalam berbagai bentuk tergantung pusat dan jari-jarinya. Parabola ad
Dokumen tersebut membahas tentang irisan kerucut dan lingkaran, termasuk definisi, macam-macam irisan kerucut, persamaan lingkaran dengan berbagai pusat dan jari-jari, garis singgung lingkaran, dan latihan soal. Secara ringkas, dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang konsep geometri irisan kerucut dan lingkaran beserta contoh soalnya.
1. Makalah ini membahas tentang irisan kerucut dan lingkaran.
2. Ada beberapa jenis irisan kerucut yaitu parabola, elips, dan hiperbola, tergantung posisi bidang yang mengirisnya.
3. Lingkaran dibahas melalui persamaannya, garis singgungnya, dan garis singgung persekutuan luar dan dalam.
1. Dokumen ini membahas tentang unsur-unsur lingkaran seperti titik pusat, jari-jari, diameter, busur, tali busur, juring, sudut pusat, sudut keliling, dan tembereng.
2. Juga membahas tentang persamaan lingkaran dengan berbagai pusat dan cara menentukan posisi suatu titik terhadap lingkaran.
3. Persamaan garis singgung lingkaran dan contoh soalnya.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan lingkaran dan garis singgungnya. Secara singkat, dibahas tentang bentuk umum persamaan lingkaran dengan berbagai pusat dan cara menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui suatu titik di dalam atau luar lingkaran. Juga dijelaskan cara menentukan persamaan garis singgung dengan memberikan gradien tertentu.
Dokumen tersebut membahas tentang definisi dan rumus persamaan lingkaran, serta contoh soal dan pembahasannya. Termasuk di dalamnya adalah cara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran berdasarkan persamaannya, posisi suatu titik terhadap lingkaran, jarak titik ke lingkaran, serta posisi garis terhadap lingkaran.
Transformasi (Translasi, Rotasi Dan Dilatasi)guest6ea51d
Bahan ajar tentang transformasi (translasi, rotasi dan dilatasi) menjelaskan tiga jenis transformasi tersebut beserta contoh-contoh perhitungannya. Translasi adalah pergeseran, rotasi adalah perputaran, dan dilatasi adalah perubahan ukuran tanpa mengubah bentuk. Transformasi dapat digunakan untuk menentukan bayangan suatu kurva akibat perpindahan dan perubahan ukurannya.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan lingkaran, mulai dari definisi lingkaran sebagai himpunan titik yang berjarak sama dari suatu titik tetap yang disebut pusat, persamaan umum lingkaran dengan pusat di (0,0), contoh soal menentukan persamaan lingkaran berdasarkan pusat dan jari-jari yang diberikan, serta menyelesaikan soal yang melibatkan persamaan lingkaran dengan memberikan pusat, jari-jari, at
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan lingkaran, mulai dari definisi lingkaran sebagai himpunan titik yang berjarak sama dari suatu titik tetap yang disebut pusat, persamaan umum lingkaran dengan pusat di (0,0), contoh soal menentukan persamaan lingkaran berdasarkan pusat dan jari-jari yang diberikan, serta menentukan pusat, jari-jari, dan persamaan lingkaran berdasarkan informasi tambahan seperti mel
Dokumen tersebut membahas tentang tiga jenis transformasi geometri yaitu translasi, rotasi, dan dilatasi. Translasi adalah pergeseran, rotasi adalah perputaran, sedangkan dilatasi adalah perubahan ukuran suatu bangun tanpa mengubah bentuknya. Diberikan contoh-contoh soal untuk menentukan bayangan suatu kurva akibat dilakukannya ketiga jenis transformasi tersebut.
"Jodoh Menurut Prespektif Al-Quran" (Kajian Tasir Ibnu Katsir Surah An-Nur ay...Muhammad Nur Hadi
Jurnal "Jodoh Menurut Prespektif Al-Quran" (Kajian Tasir Ibnu Katsir Surah An-Nur ayat 26 dan 32 dan Surah Al-Hujurat Ayat 13), Ditulis oleh Muhammmad Nur Hadi, Mahasiswa Program Studi Ilmu Hadist di UIN SUSKA RIAU.
2. A. Pengertian Irisan kerucutA. Pengertian Irisan kerucut
1. Definisi Irisan Kerucut1. Definisi Irisan Kerucut
Irisan kerucut adalah sebuah bangun datar yang diperolehIrisan kerucut adalah sebuah bangun datar yang diperoleh
dengan cara memotong kerucut lingkaran tegak berselimut gandadengan cara memotong kerucut lingkaran tegak berselimut ganda
menurut aturan tertentu.menurut aturan tertentu.
2. lingkaran2. lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yangLingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang
berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentuberjarak sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu
disebut pusat lingkaran. Jarak yang sama disebut jari-jaridisebut pusat lingkaran. Jarak yang sama disebut jari-jari
lingkaran.lingkaran.
IRISAN KERUCUT
3. B. Persamaan LingkaranB. Persamaan Lingkaran
1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r
Perhatikan gambar di bawah ini !Perhatikan gambar di bawah ini !
Persamaan dalam x dan y yang memenuhiPersamaan dalam x dan y yang memenuhi
pada Gambar di samping adalah :pada Gambar di samping adalah :
X
r
O
Y
O
P (X,Y)
x2
+ y2
= r2
4. Kedudukan titik P(x,y) terhadap lingkaran dapat terletak pada, di dalam, ataupunKedudukan titik P(x,y) terhadap lingkaran dapat terletak pada, di dalam, ataupun
di luar limgkaran.di luar limgkaran.
a.a.Jika titik P(x,y) terletak pada lingkaran, maka berlaku xJika titik P(x,y) terletak pada lingkaran, maka berlaku x22
+ y+ y22
= r= r22
..
b.b.Jika titik P(x,y) terletak di dalam lingkaran, maka berlaku xJika titik P(x,y) terletak di dalam lingkaran, maka berlaku x22
+ y+ y22
< r< r22
..
c.c.Jika titik P(x,y) terletak di luar lingkaran, maka berlaku xJika titik P(x,y) terletak di luar lingkaran, maka berlaku x22
+ y+ y22
> r> r22
..
Contoh:Contoh:
Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dengan jari-jari 5 !Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dengan jari-jari 5 !
Jawab:Jawab:
xx22
+ y+ y22
= r= r22
⇔⇔ xx22
+ y+ y22
= 5= 522
⇔⇔ xx22
+ y+ y22
= 25= 25
⇔⇔ rr22
= 169= 169
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat pada titik pangkal dan melalui titik (5, 12)Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat pada titik pangkal dan melalui titik (5, 12)
adalah xadalah x22
+ y+ y22
= 169.= 169.
5. 2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a, b) dan Jari-jari r2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a, b) dan Jari-jari r
Contoh:Contoh:
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, 6) dan1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, 6) dan
berjari-jari r = 7 !berjari-jari r = 7 !
Jawab:Jawab:
(x – a)(x – a)22
+ (y – b)+ (y – b)22
= r= r22
⇔⇔ (x – 3)(x – 3)22
+ (y – 6)+ (y – 6)22
= 7= 722
⇔⇔ (x – a)(x – a)22
+ (y – b)+ (y – b)22
= 49= 49
Y
r
)
P (X,Y)
r
a
b
X
O
(a,b)
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
6. 3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Jika bentuk persamaan lingkaran (x – a)Jika bentuk persamaan lingkaran (x – a)22
+ (y – b)+ (y – b)22
= r= r22
kitakita
jabarkan menjadi suku-suku yang paling sederhana, maka kitajabarkan menjadi suku-suku yang paling sederhana, maka kita
peroleh bentuk sebagai berikut :peroleh bentuk sebagai berikut :
(x – a)(x – a)22
+ (y – b)+ (y – b)22
= r= r22
xx 22
– 2ax + a– 2ax + a22
+ y+ y 22
– 2by + b– 2by + b22
= r= r22
xx 22
+ y+ y 22
– 2ax – 2by + a– 2ax – 2by + a22
+ b+ b22
= r= r22
xx 22
+ y+ y 22
– 2ax – 2by + a– 2ax – 2by + a22
+ b+ b22
- r- r22
= 0= 0
atau ditulis :atau ditulis :
Dengan :
Pusat lingkaran P( )
Jari-jari lingkaran r =
x2
+ y2
+ Ax + By + C = 0
CBA −+ 22
)
2
1
()
2
1
(
BA
2
1
,
2
1
−−
7. Contoh:
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x 2
+ y 2
+ 6x + 4y – 3 = 0 !
Jawab:
Pusat lingkaran =
Jari-jari lingkaran :
r =
Jadi, pusat P(-3, -2) dan jari-jari r = 4.
)2,3()
2
1
,
2
1
( −−=−− PBAP
416349323 22
==++=++
9. 99
Jika translasi T =
memetakan titik P(x,y) ke P´(x’,y’)
maka x’ = x + a dan y’ = y + b
ditulis dalam bentuk matrik:
b
a
+
=
b
a
y
x
y'
x'
10. 1010
Contoh 1
Diketahui segitiga OAB dengan
koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan
B(3,5).Tentukan koordinat bayangan
segitiga OAB tersebut bila
ditranslasi oleh T =
3
1
14. 1414
Karena translasi T = maka
x’ = x – 1 → x = x’ + 1.….(1)
y’ = y + 3 → y = y’ – 3…..(2)
(1) dan (2) di substitusi ke x2
+ y2
= 25
diperoleh (x’ + 1)2
+ (y’ – 3)2
= 25;
Jadi bayangannya adalah:
(x + 1)2
+ (y – 3)2
= 25
−
3
1
15. 1515
Contoh 3
Oleh suatu translasi, peta titik (1,-5)
adalah (7,-8). Bayangan kurva
y = x2
+ 4x – 12 oleh translasi
tersebut adalah….
16. 1616
Bahasan
Misalkan translasi tersebut T =
Bayangan titik (1,-5) oleh translasi T
adalah (1 + a, -5 + b) = (7,-8)
1+ a = 7 → a = 6
-5+ b = -8 → b = -3
b
a
17. 1717
a = 6 dan b = -3 sehingga
translasi tersebut adalah T =
Karena T =
Maka x’ = x + 6 → x = x’ – 6
y’ = y – 3 → y = y’ + 6
− 3
6
− 3
6
18. 1818
x = x’ – 6 dan y = y’ + 3 disubstitusi
ke y = x2
+ 4x – 12
y’ + 3 = (x’ – 6)2
+ 4(x’ – 6) – 12
y’ + 3 = (x’)2
– 12x’ + 36 + 4x’ - 24 -12
y’ = (x’)2
– 8x’ – 3
Jadi bayangannya: y = x2
– 8x – 3
20. 2020
Rotasi Pusat O(0,0)
Titik P(x,y) dirotasi sebesar α
berlawanan arah jarum jam
dengan pusat O(0,0) dan
diperoleh bayangan P’(x’,y’)
maka: x’ = xcosα - ysinα
y’ = xsinα + ycosα
21. 2121
Jika sudut putar α = ½π
(rotasinya dilambangkan dengan R½π)
maka x’ = - y dan y’ = x
dalam bentuk matriks:
Jadi R½π =
−
=
y
x
y
x
01
10
'
'
01
10
−
22. 2222
Contoh 1
Persamaan bayangan garis
x + y = 6 setelah dirotasikan
pada pangkal koordinat dengan
sudut putaran +90o
, adalah….
23. 2323
Pembahasan
R+90
o
berarti: x’ = -y → y = -x’
y’ = x → x = y’
disubstitusi ke: x + y = 6
y’ + (-x’) = 6
y’ – x’ = 6 → x’ – y’ = -6
Jadi bayangannya: x – y = -6
24. 2424
Contoh 2
Persamaan bayangan garis
2x - y + 6 = 0 setelah dirotasikan
pada pangkal koordinat dengan
sudut putaran -90o
, adalah….
25. 2525
Pembahasan
R-90
o
berarti:
x’ = xcos(-90) – ysin(-90)
y’ = xsin(-90) + ycos(-90)
x’ = 0 – y(-1) = y
y’ = x(-1) + 0 = -x’ atau
dengan matriks:
−
=
y
x
01
10
'y
'x
26. 2626
R-90
o
berarti: x’ = y → y = x’
y’ = -x → x = -y’
disubstitusi ke: 2x - y + 6 = 0
2(-y’) - x’ + 6 = 0
-2y’ – x’ + 6 = 0
x’ + 2y’ – 6 = 0
Jadi bayangannya: x + y – 6 = 0
27. 2727
Jika sudut putar α = π
(rotasinya dilambangkan dengan H)
maka x’ = - x dan y’ = -y
dalam bentuk matriks:
Jadi H =
−
−
=
y
x
y
x
10
01
'
'
10
01
−
−