Dokumen ini membahas berbagai transformasi geometri, termasuk kolineasi, involusi, dan isometri. Terdapat penjelasan mengenai cara membuktikan bahwa hasil kali transformasi adalah juga transformasi, serta berbagai theorem terkait geseran dan putaran setengah. Selain itu, dokumen ini juga mencakup penjelasan tentang refleksi terhadap sumbu dan garis, dengan rumus dan matriks transformasi yang sesuai.

1. Surfiani

2. TRANSFORMASI

4.  Unsur tetap
 Kolineasi
 Identitas
 Isometri
 Involusi

5. KOLINEASI

6. ISOMETRI

8. 1. Diketahui
a. Selidiki apakah suatu kolineasi
b. Selidiki apakah suatu involusi
a.
a.
ambil persamaan garis
ambil persamaan garis
diperoleh
diperoleh
sehingga
sehingga
Karena g’ adalah garis maka T merupakan kolineasi.
Karena g’ adalah garis maka T merupakan kolineasi.

9. a. (x,y)
a. (x,y) (x’,y’)
(x’,y’) (x’’,y’’)
(x’’,y’’)
TT TT
TT=T22
TT=T
Jadi
Jadi

10. Jika V transformasi dan W transformasi, berkenaan sifat V dan W sebagai fungsi,
maka dapat didefinisikan komposisi atau hasil kali dari V dan W. Seperti halnya
menyusun komposisi dua fungsi maka komposisi , W dikerjakan dahulu
baru V. Jadi .
Kemudian untuk menyingkat, seringkali ditulis

11. Hasil kali dua transformasi akan merupakan transformasi.
Hasil kali dua transformasi akan merupakan transformasi.
Bukti ::
Bukti
Ambil V dan W adalah transformasi dari bidang ke bidang semula, maka V•W
Ambil V dan W adalah transformasi dari bidang ke bidang semula, maka V•W
merupakan transformasi bila dapat dibuktikan bahwa V•W adalah pemetaan
merupakan transformasi bila dapat dibuktikan bahwa V•W adalah pemetaan
bidang kepada bidang dan bahwa V•W satu-satu.
bidang kepada bidang dan bahwa V•W satu-satu.
Ambil sebarang titik Q’’
Ambil sebarang titik Q’’
Karena V transformasi
Karena V transformasi
Karena W transformasi
Karena W transformasi
Sehingga
Sehingga
Berarti setiap titik pasti merupakan hasil fungsi V•W terhadap salah satu titik
Berarti setiap titik pasti merupakan hasil fungsi V•W terhadap salah satu titik
dalam bidang. Kemudian karena V dan W fungsi satu-satu, maka V•W juga akan
dalam bidang. Kemudian karena V dan W fungsi satu-satu, maka V•W juga akan
merupakan fungsi satu-satu.
merupakan fungsi satu-satu.
Terbukti bahwa V•W adalah transformasi.
Terbukti bahwa V•W adalah transformasi.

12. 1. Diketahui
a. Carilah
b. Kenakan pada persamaan garis yang melalui (-4,-6) dan sejajar dengan
Jawab:
a. (x,y) (x’,y’) (x’’,y’’)
T2 T1
T1 T2
Jadi

13. a. Persamaan garis melalui (-2,-3) dan sejajar dengan
a. Persamaan garis melalui (-2,-3) dan sejajar dengan
Karena sejajar maka
Karena sejajar maka
Jadi
Jadi
Jadi
Jadi

14. 1. Diketahui
a. Selidiki apakah suatu involusi
b. Kenakan T pada
a. (x,y)
a. (x,y) (x’,y’)
(x’,y’) (x’’,y’’)
(x’’,y’’)
TT TT
TT=T2 2
TT=T
Jadi
Jadi

15. a. T pada
a. T pada

17. S merupakan geseran apabila terdapat suatu ruas garis berarah AB
sedemikian sehingga untuk setiap titik P pada bidang V berlaku S(P)=P’
dengan PQ=AB. Selanjutnya geseran dengan vektor geser AB dinyatakan
sebagai SAB
A B
P P’

18. S AB = S CD ⇔ AB = CD
Misalkan tiga titik A, B dan C tidak segaris,
S AB = S CD ⇔ CABD jajar genjang
Geseran adalah suatu isometri

19. S AB = S CD ⇔ AB = CD
Bukti :
1) S AB = S CD ⇒ AB = CD
Ambil titik P dan kenakan S dengan vektor geser AB.
Berarti S AB ( P ) = P' berarti AB = PP ' .
Karena S AB = S CD maka S CD ( P ) = P ' berarti CD = PP ' .
Karena AB = PP '
CD = PP '
Maka akibatnya AB = CD
2) AB = CD ⇒ S AB = S CD
Ambil P dan kenakan S AB berarti S AB ( P) = P' ⇒ AB = PP' .
Karena AB = CD maka CD = PP' .
Sehingga S CD ( P ) = P '
S AB ( P) = P '
Maka akibatnya S AB = S CD
Dari (1) dan (2) terbukti bahwa S AB = S CD ⇔ AB = CD

20. Misalkan tiga titik A, B dan C tidak segaris,
S AB = S CD ⇔ CABD jajar genjang
Bukti :
1) S AB = S CD ⇒ CABD jajar genjang
Dengan dalil 2.1 diperoleh bahwa jika
S AB = S CD ⇒ AB = CD
Karena S AB = S CD ⇒ AB = CD berakibat AC = BD
Jadi CABD jajar genjang.
2) CABD jajar genjang ⇒ S AB = S CD
CABD jajar genjang, berarti terdapat 2 pasang sisi yang sejajar dan
sama panjang, yaitu AB = CD
AC = BD
Karena AB = CD dengan dalil 2.1 (jika AB = CD ⇒ S AB = S CD )
Jadi S AB = S CD
Dari (1) dan (2) terbukti bahwa S AB = S CD ⇔ CABD jajar genjang.

21. Geseran adalah suatu isometri
Bukti :
1) A B
P P’
Q Q’
=
S AB ( P ) = P ' ⇒ AB = PP'
S AB (Q) = Q ' ⇒ AB = QQ '
Akibatnya PP ' = QQ '
Akan dibuktikan P ' Q' = PQ
PP ' dan Q tidak segaris, dengan dalil 2.2 PQQ’P’ jajar genjang
Berakibat P ' Q ' = PQ ⇒ P ' Q ' = PQ
2)
P P’ Q Q’
PP ' dan Q segaris
P ' Q ' = PQ ' − PP '
= PQ + QQ ' − PP ' karena PP ' = QQ '
maka P ' Q ' = PQ
akibat P ' Q' = PQ
Jadi S isometri

22. Y
a
OB =  
b
 
 x a
P’(x’,y’) SOB =   +  
 y b
   
 x + a
= y + b

B(a,b) b  
b
P(x,y) a
X
O a

23. a
OB =   → vektor
b
 
B(a, b) → titik koordinat
Q(c,d)
P(a,b)
c−a
PQ = 
d − b

 

24. Diketahui titik-titik A(4, -6) dan B(3, 1)
1) Carilah rumus SAB dan SBA?
2) Kena Apakah SBA kolineasi?
3) kan SBA pada garis h di mana h melalui titik A dan
tegak lurus dengan garis g : 8x-3y+10=9.
4) Apakah SBA involusi?
5) Apakah SBA isometri?
6) Apakah hasil kali SAB dan SBA?

25.  Diketahui titik-titik A(4, -6) dan B(3, 1)
◦ Apakah SBA kolineasi?
◦ Kenakan SBA pada garis h di mana h melalui titik A
dan tegak lurus dengan garis g : 8x-3y+10=0.
◦ Apakah SBA involusi?
◦ Apakah SBA isometri?
◦ Apakah hasil kali SAB dan SBA ?

26. Teorema
Hasil kali dua geseran SAB dan SCD akan merupakan
geseran lagi dengan = AB + CD
PQ
Q
A B D
T’’
P
C
T T’

27. Y
B
A
D
Q(x2,y2)
P(x1,y1) C
O X

29. Setengah putaran terhadap titik P
A’
(dengan pusat P) dilambangkan
dengan Hp, adalah pemetaan yang
memenuhi untuk sebarang titik A
di bidang V :
P
1.Jika
A ≠ P maka titik P titik
tengah AA’
Hp(A)=A’
A
2.Jika A = P maka Hp(A)=P=A

30. Bukti :
Akan ditunjukkan Hp2=I
Ambil A, kenakan Hp sehingga Hp(A)=A’
Kenakan A’ dengan Hp, maka Hp
Hp(A’)=A
Hp(Hp(A))=A’=A
Hp2(A)=A A P A’
Hp2=I
Jadi Hp involusi Hp

31. TEOREMA
Setengah putaran adalah isometri
Bukti :
Ambil titik P, A dan B yang tidak segaris.
P sebagai pusat putar.
 Kenakan A dengan Hp,
B
sehingga Hp(A)=A’ dengan
A’
AP=PA’.
P  Kenakan B dengan Hp,
A
sehingga Hp(B)=B’ dengan
B’
BP=PB’.

32. Lanjutan
Perhatikan ∆APB dan ∆A’PB’
Karena AP=PA’
∠APB = ∠A' PB ' (bertolak belakang)
BP=PB’
Maka ∆APB dan ∆A’PB’ kongruen (s, sd, s)
Akibat : AB=A’B’
Jadi setengah putaran adalah isometri

33. Y
A’(x’,y’)
 Ambil P(a,b) sebagai
pusat putar.
P(a,b)  Hp memetakan
A(x,y) ke A’(x’,y’).
A(x,y)
X
O

34. Diperoleh hubungan bahwa :
x + x'
a= → 2a = x + x ' → x ' = 2a − x
2
y + y'
b= → 2b = y + y ' → y ' = 2b − y
2
Jadi jika P(a,b) maka :
Hp = (x,y)→(x’,y’) dengan  x '   2a − x 
 =
 y '   2b − y 

   

35. LATIHAN
Diketahui A(-3,-5) dan B(-2,3)
1. Carilah HA•HB
2. Apakah HA•HB involusi?
3. HB memetakan ∆KLM ke∆K’L’M’ dengan K(3,5),
L(-5,-4) dan M(5,6). Carilah koordinat K’, L’ dan M’
4. Carilah Q s.d.s HA•HB(Q)=P dengan P(-4,7)

36. 1. Diketahui A(4,4), B(2,-5) dan P(6,4), tentukan HA•HB(P)
dan HB•HA(P).
2. Diketahui P(3,2). Tentukan Hp((1,3)) dan Hp-1 ((2,4)).
3. Misalkan L={(x,y)│x2+y2=25}.Tentukan L’=HB•HA(L) jika
A(2,1) dan B(-3,5).
4. Misalkan g={(x,y)│y=5x+3} dan A(2,3), B(-1,-2) dan
C(3,5). Tentukan SAB•Hc(g).

37. TEOREMA
Hasil kali dua setengah putaran merupakan geseran
Bukti :
P P’’
A B C
P
’

38. Ambil titik P, A dan B tidak segaris, kenakan P dengan HA
sehingga :
HA(P)=P’ berlaku PA=AP’
HB(P)=P’ berlaku P’B=BP’’
Berarti :
HB(P’)=P’’
HB(HA(P))=P’’
HB•HA(P)=P’’
Karena PA=AP’ dan P’B=BP’’
Maka AB merupakan garis tengah sejajar alas PP’ dalam
∆PP’P’’ sehingga PP’’=2AB
Berarti HA•HB merupakan geseran atau
HA•HB=SAC dengan AC=2AB

39. Hasil kali geseran dan setengah
putaran ???

40.  Diketahui koordinat P(-2,8) dan R(0,10) serta ∆A’B’C’
dengan A’(5,1) B’(-3,-4) dan C’(1,-5). Carilah ∆ABC
sehingga :
HR•HP(A)=A’
HR•HP(B)=B’
HR•HP(C)=C’
Jawab :
A(1,-3) B(-7,-8) C(-3,-9)

41.  Diketahui koordinat E(-5,-1) F(1,4) G(-2,-8)
1. Apakah hasil dari HF•HG
Jawab : (6-x, 22-y)
1. Jika HF•HG=SED carilah koordinat D
Jawab : (1, 21)
3. Kenakan HE•HF pada garis g di mana g melalui E dan tegak lurus
garis yang melalui F dan G
4. Apakah hasil dari HF•HE•HG
5. Selidiki apakah HG•SEF involusi
Find the answers by yourself, pasti bisa!!!

43.  Transformasi pencerminan /refleksi
menghasilkan bayangan yang tergantung pada
acuannya.

44.  Refleksi terhadap sumbu x
Refleksi titik A (a, c) terhadap
sumbu x menghasilkan bayangan
yaitu A’(a’, c’), demikian juga untuk
titik B dan titik C.
Diperoleh persamaan bahwa : a’
= a, b’ = b, c’= -c dan seterusnya
sehingga persamaan matrik
transformasinya adalah :
1 0 
Tx =  
0 -1
Refleksi ditulis dengan notasI :
sumbu x
A(a,c) A’(a, -c)
x′  x  1 0  x 
Dengan notasi  y ′ = Tx  y  = 0 -1  y 
matrik :       

45. Sama seperti refleksi terhadap
sumbu x menghasilkan
persamaan a’= - a, b’ = - b dan c’
= c dan seterusnya. sehingga
persamaan matrik
transformasinya-1 0

adalah :
Ty =  
 0 1
Refleksi ditulis dengan notasI :
sumbu y
A(a,c) A’(-a, c)
x′  x  -1 0  x 
Dengan notasi  y ′ = Ty  y  =  0 1  y 
      
matrik :

46.  Refleksi terhadap titik asal (0,0)
Menghasilkan persamaan
:
a’= - a, dan c’ = -c,
b’= - b, dan c’ = -c,
d’= - d, dan c’ = -c,
sehingga persamaan
matrik transformasinya
-1 0 
adalah := 
T(0,0)
 0 -1

Refleksi ditulis dengan notasI :
titik(0,0)
A(a,c) A’(-a,-c)
 x′   x  -1 0   x 
Dengan notasi  y′ = T(0,0)  y  =  0 -1  y 
matrik :       

47.  Refleksi terhadap garis y = x
Menghasilkan persamaan :
a’= c, dan c’ = a,
b’= c, dan c’’ = b,
d’= e, dan e’ = d dan
seterusnya
sehingga persamaan matrik
transformasinya adalah :
0 1
Ty = x = 
1 0

Refleksi ditulis dengan
notasI :
y=x
A(a,c) A’(c,a)  x′   x  0 1  x 
Dengan notasi  y ′ = Ty = x  y  = 1 0   y 
matrik :       

48.  Refleksi terhadap garis y = - x
Menghasilkan persamaan :
a’= -c, dan c’ = -a,
b’= -c, dan c’’ = -b,
d’= -e, dan e’ = -d dan
seterusnya, sehingga
persamaan matrik
transformasinya adalah :
0 -1
Ty =− x = 
 -1 0 

Refleksi ditulis dengan
notasI :
y =- x
A(a,c) A’(-c,-a)  x′   x  0 -1   x 
Dengan notasi  y′ = Ty =− x  y  = -1 0   y 
matrik :       

49.  Refleksi terhadap garis y = h
Sumbu x digeser sejauh h,
menghasilkan persamaan :
a’= a, dan c’ = 2h-c,
b’= b, dan c’ = 2h-c,
d’= d, dan e’ = 2h-e,
sehingga notasi persamaan
matrik transformasinya adalah :
 x′  1 0   x  0 
 y′ = 0 -1  y  + 2h 
      

50. Bukti :
Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x yang
baru adalah y = h. Maka koefisien setiap titik berubah
 ′ x’,  x 0 
menjadix( = y’)dengan : x 
 y′ − =
 y  h   y − h
       
Kemudian titik tersebut direfleksikan pada sumbu-x yang
 x′′  1 0   x   x 
baru menjadi :
 y ′′ = 0 -1  y − h  = − y + h 
      
Tahap terakhir, menggeser sumbu-x yang baru ke sumbu-
x semula dengan memakai translasi diperoleh:
 x′′′   x  0   x 
 y′′′ = − y + h  + h  = − y + 2h 
       
 x  0  1 0   x  0 
= +  =   y  +  2h 
- y  2h  0 -1    

51.  Refleksi terhadap garis x = k
Sekarang yang digeser adalah
sumbu y sejauh k,
menghasilkan persamaan :
a’= 2k-a, dan c’ = c,
b’= 2k-b, dan c’ = c,
d’= 2k-d, dan e’ = e,
sehingga notasinya adalah :
x=k
A(a,c) A’(2k-
a,c)
 x′  -1 0   x  2k 
Dengan notasi  y ′ =  0 1   y  +  0 
matrik :       

52. Contoh Soal :
Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD dengan
titik sudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan D(1,11) jika
direfleksikan terhadap sumbu-x, kemudian
dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu-y.
Jawab :
Penyelesaian soal tersebut dilakukan dengan dua
tahap yaitu mencari bayangan jajaran-genjang
ABCD dari refleksi terhadap sumbu-x, kemudian
bayangan yang terjadi direfleksikan terhadap
sumbu-y.

53. Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut
:

54. Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’ direfleksikan
pada sb-y

55. Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang A’’B’’C’’D’’
dengan
titik sudut A’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) dan D’’(-1,-
11).

57.  Telah dibahas bahwa :
◦ Hasil kali 2 pencerminan dengan kedua sumbu sejajar
adalah berupa geseran.
◦ Hasil kali 2 pencerminan dengan kedua sumbu yang
saling tegak lurus adalah berupa setengah putaran.
 Apakah hasil kali 2 pencerminan jika kedua
sumbu sebarang???

58.  Ambil sebarang sumbu s dan t yang berpotongan di P.
Sebuah titik A sebarang dikenai Ms dan Mt , berarti :
Ms(A) = A’
Mt(A’) = A’’
Jadi, Mt(A’) = A’’
Mt(Ms(A)) = A’’
(Mt•Ms)(A) =A’’
 Ambil Q titik tengah AA’
 Ambil R titik tengah A’A’’

59. Akibat pencerminan :
1.
2. PA = PA’
PA’ = PA’’
Jadi PA = PA’’
Sehingga Mt•Ms menghasilkan :
1. PA = PA’’
2.

60.  Putaran terhadap P dengan sudut θ sebagai sudut
putar dilambangkan dengan RP,θ adalah pemetaan
yang memenuhi :
◦ RP,θ (P) = P
◦ Rp,θ (A) =A’ di mana PA=PA’ dan
P = pusat putar
θ = sudut putar

61.  Jika θ = 0o maka RP,θ = I
 Jika θ = 180o maka RP,θ = HP
 Jika α = β maka α = β + k•360o, dengan k anggota
B+
 Sudut θ positif jika arah berlawanan jarum jam

62.  Sebarang putaran RP,θ selalu dapat dianggap sebagai
hasil kali 2 pencerminan, satu terhadap sumbu s dan
satu terhadap sumbu t.
 P = titik (s,t)
 Jadi, hasil kali 2 pencerminan Mt•Ms :
◦ Jika s//t maka Mt•Ms = SAB dengan AB = 2 jarak (s,t)
◦ Jika s tidak sejajar t maka Mt•Ms = Rp,θ dengan P = titik (s,t) dan
◦ Jika s tegak lurus t maka Mt•Ms = RP,θ = HP

63.  Dengan pusat putar (0,0)
Ambil sumbu cermin s dan t di mana s berimpit dengan sumbu x dan t garis melalui (0,0)
dengan
RP,θ dinyatakan sebagai hasil kali pencerminan :
• Sumbu s, y = 0
Ms : (x,y) → (x’,y’) dengan

64. • Sumbu t, , maka
Mt : (x’,y’) → (x’’,y’’) dengan

65. • Mt•Ms : (x,y) → (x’,y’) dengan
Jadi, jika P(0,0) maka :
RP,θ : (x,y) → (x’,y’) dengan

66.  Dengan pusat putar P(a,b)
Ambil suatu koordinat dengan pangkal P(a,b) dari suatu sumbu .
Terhadap sumbu koordinat C(x,y) dan C’(x,y).
RP,θ : (x,y) →(x’,y’) dengan
Bila terhadap sumbu XOY, koordinat C(x,y) dan C’(x’,y’)

67. Jadi
Jadi jika pusat putar P(a,b) maka
RP,θ : (x,y) → (x’,y’) dengan
dengan
Suatu transformasi yang dipenuhi merupakan putaran.

68. 1. Kesebangunan mempertahankan besar sudut
Misalkan diberikan sebarang sudut < ABC dan T(<ABC) =
<A’B’C’.
Diperoleh |A’B’| = k|AB|, |B’C’| = k|BC|, dan |A’C’| = k|A’C’|.
Sehingga segitiga A’B’C’ sebangun dengan segitiga ABC. Diperoleh
besar sudut A’B’C’ sama dengan besar sudut ABC.
Jadi terbukti bahwa kesebangunan mempertahankan besar sudut.
Akibat langsung dari bukti ini adalah kesebangunan juga
mempertahankan ketegaklurusan.

69. Definisi
Misal P suatu titik tertentu dan k ≠0. Transformasi DP,k
disebut suatu dilatasi terhadap P dengan faktor k jika
a. DP,k (P)=P.
b. Untuk sebarang titik Q≠P, DP,k(Q) = Q’ dengan PQ’=kPQ dan
Q’ pada PQ untuk k>0 kemudian Q’ pada P/Q untuk k<0.
Teorema
Untuk sebarang garis g dan g’=DP,k(g) berlaku :
a. g’=g jika P terletak pada g.
b. g’//g jika P tidak terletak pada g.

70. Teorema
Hasil kali suatu dilatasi dan suatu isometri adalah suatu
similaritas. Sebaliknya, suatu similaritas selalu dapat dinyatakan
sebagai hasilkali suatu dilatasi dan suatu isometri.
Teorema
Untuk sepasang segitiga yang sebangun ABC dan A’B’C’ terdapat
tepat satu similaritas L yang membawa A ke A’, B ke B’ , dan C ke C’

71. 1. Rumus Dilatasi
Misalkan titik P(x,y) suatu titik tertentu. T(a,b) sebarang titik
dengan T’(a’,b’) sedemikian hingga T’=D P,k(T).
Kemudian p adalah vektor posisi dari P(x,y), t’ vektor posisi dari
T’(a’,b’) dan t vektor posisi dari T(a,b)
T’(a’,b’)
P(x,y)
t’
x T(a,b)
t
Sehingga dengan menggunakan aturan vektor dan matriks
diperoleh:
PT’ = k(PT)
t’-x = k(t-x)

72. atau
sehingga