Irisan kerucut

Hal.: 2 IRISAN KERUCUT Adaptif
Persamaan Lingkaran

LINGKARAN DIDEFINISIKAN SEBAGAI
HIMPUNAN TITIK TITIK YANG
BERJARAK TETAP TERHADAP TITIK
TERTENTU, DIMANA TITIK TERTENTU
TERSEBUT DISEBUT SEBAGAI PUSAT
LINGKARAN DAN JARAK YANG TETAP
DISEBUT JARI - JARI
Persamaan lingkaran

o
r
Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran
Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik O(0,0)Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik O(0,0)
dan Berjari-jari rdan Berjari-jari r
Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik P(a,b)Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik P(a,b)
dan Berjari-jari rdan Berjari-jari r
Persamaan Lingkaran

o
r
T (x,y)
OT = r
x + y = r
2 2 2
( x2 - x1 ) + ( y2 - y1 ) = r
2 2
( x - 0) + ( y - 0) = r
2 2X
Y

Persamaan Lingkaran

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat
di titik O (0,0) dan :
a. berjari-jari 2
b. melalui titik (3,4)
Soal Latihan
Persamaan lingkaran

P (a,b )
r T (x,y)
PT = r
(x-a) + (y-b) = r
2 22
( x2 - x1 ) + ( y2 - y1 ) = r
2 2
( x - a) + ( y - b) = r
2 2
O
X
Y

Persamaan Lingkaran

Tentukan persamaan lingkaran jika :
a. Berpusat di titik P (3,2) dan berjari-jari 4
b. Berpusat di titik Q (2,-1) dan melalui titik R(5,3)
Soal Latihan
Persamaan lingkaran

ELIPS

Elips
Indikator
1. Menjelaskan pengertian elips.
2. Menentukan unsur-unsur elips.
3. Menentukan persamaan elips
4. Melukis grafik persamaan ellips
Kompetensi dasar:
3. Menerapkan konsep elips
Standar Kompetensi
Menerapkan konsep irisan kerucut dalam memecahkan
masalah.

Elips
Indikator
1. Menjelaskan pengertian elips.
2. Menentukan unsur-unsur elips.
3. Menentukan persamaan elips.
4. Melukis grafik persamaan elips.

Elips
Pengertian Elips
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada
bidang datar yang jumlah jaraknya terhadap dua
titik tertentu yang diketahui adalah tetap (konstan).

Perhatikan Gambar Elips
Elips
Unsur-unsur pada elips:
1.F1 dan F2 disebut fokus.
Jika T sembarang titik pada elips
maka TF1 + TF2 = 2a, F1F2 = 2c,
dengan 2a > 2c.
2. A1A2 merupakan sumbu panjang
(mayor)= 2a. B1B2 merupakan
sumbu pendek (minor) = 2b,
karena itu a > b.
b
B1
a
•T
A2
E
D
A1
B2
(0,-b)
(0,b)
F1 F2P (c, 0)(- c, 0)
K
L
Lanjut
Unsur-unsur elips

Elips
Lanjutan Elips
3. Latus Rectum yaitu segmen garis yang dibatasi elips, tegak lurus
sumbu mayor dan melalui fokus (DE dan KL), panjang Latus Rectum
DE = KL =
4. Titik pusat (P) yaitu titik potong sumbu mayor dengan sumbu minor.
5. Titik puncak elips yaitu titik A1, A2, B1, B2.
a
b2
2

Elips
1. Persamaan Elips yang berpusat di O(0,0)
Persamaan Elips : TF1 + TF2 = 2a
+ = 2a
= 2a -
Mengkuadratkan ruas kiri dan kanan
sehingga diperoleh ……
•
)0,(1 aA − )0,(2 aA
),0(1 bB
),0(2 bB −
),( yxT
(a2
- c2
) x2
+ a2
y2
= a2
(a2
-c2
) . . . (i), jika titik T pada titik puncak pada
sumbu minor (0,b) maka diperoleh … . b2
=a2
– c2
. . . . (ii)
22
)( ycx +−22
)( ycx ++
22
)( ycx ++ 22
)( ycx +−
Persamaan (ii) disubstitusikan ke persamaan (i) sehingga diperoleh:
Persamaan Elips
12
2
2
2
=+
b
y
a
x

Elips
Contoh
Tentukan persamaan elips dengan titik puncak (13,0) dan fokus
F1(-12, 0) dan F2(12,0).
Jawab:
Diketahui pusat elips O(0,0)
Titik puncak (13,0) a = 13
Titik fokus (-12,0) dan (12,0) c = 12
Sumbu utama adalah sumbu X, sehingga persamaannya:
⇒
⇒
1
25169
1
513
22
2
2
2
2
=+=+
yx
atau
yx

Elips
1
)()(
2
2
2
2
=
−
+
−
b
ny
a
mx
•
•
2.Persamaan elips yang bertitik pusat P (m,n)
a. Persamaan elips dengan
titik pusat (m, n):
b. Sumbu utamanya (sumbu) y = n,
dengan panjang 2a dan sumbu
minornya adalah sumbu x = n,
dengan panjang 2b.
3.Titik fokus F1(m-c, n) dan F2( m + c, n )
4. Titik puncak A(m-a, n) dan B ( m + a, n )
5. Panjang lactus rectum (LR) = dengan
222
cab −=
a
b2
2
O
B
C
D
P(m,n)
X= m
X
Y
A F1
F2
m
••

Elips
⇒
⇒
Contoh:
Tentukan persamaan elips dengan fokus F1(1,3) dan F2(7,3) dan
puncaknya (10,3).
Fokus (1,3) dan (7,3) = m-c = 1, m + c = 7 dengan eliminasi
diperoleh m=4 dan c= 3
Pusat P (m,n) = P (4,3) m = 3
Puncak(10,3) m + a= 10 a= 6
b2
= a2
–c2
= 62
- 32
= 36 - 9 = 27
Sumbu utama y=3, sehingga persamaan elips menjadi:
Jawab:
⇒
⇒
1
27
)3(
36
)4(
1
27
)3(
6
)4( 222
2
2
=
−
+
−
=
−
+
− yx
atau
yx
⇒

Elips
022
=++++ EDyCxByAx
Bentuk umum persamaan elips
Persamaan elips memiliki bentuk umum:
Hubungan antara persamaan dengan
persamaan adalah sebagai berikut:
022
=++++ EDyCxByAx
1
)()(
2
2
2
2
=
−
+
−
b
ny
a
mx
022
=++++ EDyCxByAx
Jika A > B, maka A = a2
, B = b2
, C=-2a2
m, D= -2b2
n, E= a2
m2
+ b2
n2
- a2
b2
Jika A < B, maka A = b2
, B = a2
, C=-2b2
m, D= -2a2
n, E= a2
m2
+ b2
n2
- a2
b2

Elips
⇔
Contoh:
Tentukan titik pusat dan fokus dari elips yang memiliki
persamaan 4x2
+ 9y2
-16x+ 18y -11=0.
Jawab:
Diketahui persamaan elips: 4x2
+ 9y2
-16x+ 18y -11=0.
A=4, B= 9, C= -16, D=18, E= -11
b2 = A = 4 b = 2
A2 = B = 9 a = 3⇔
⇔
C = -2 b2
m D= -2a2
m C2
= a2
–b2
= 9 -4 = 5
-16=-2. 4. m18= -2. 9.n C =
-16= -8m 18= -18n
2= m -1 = n
Pusat P(m,n) P(2, -1)
FokusF2(m-c, n)=F2 dan F2(m+c, n)=F2
)1,52( −− )1,52( −+

Elips
Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) pada elips
atau
b
yy
a
xx
12
1
2
1
=+
1. Untuk persamaan elips persamaan garis
singgung yang melalui (x1, y1) pada elips tersebut adalah:
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
22
1
2
1
2
bayyaxxb =+
2. Untuk persamaan elips persamaan garis
singgung yang melalui (x1, y1) pada elips tersebut adalah:
1
)()(
2
2
2
2
=
−
+
−
b
ny
a
mx
2
1
2
1 ))(())((
b
nyny
a
mxmx −−
+
−−

Elips
Persamaan garis singgung dengan gradien p
12
2
2
2
=+
b
y
a
xPada elips atau ,adalah222222
bayaxb =+
y= p 222
bpax +±
Untuk elips dengan persamaan:
Persamaan garis singgungnya adalah:
y - n = p(x-m)
1
)()(
2
2
2
2
=
−
+
−
b
ny
a
mx
222
bpa +±

Elips
Contoh:
,1
2128
22
=+
yx
Tentukan persamaan garis singgung elips berikut.
a. pada titik (4, 3)
b. pada titik(5,-3)
Jawab:
,1
9
)2(
18
)1( 22
=
+
+
− yx
a. Diketahui :
(4,3) x1 = 4 dan y1= 3
Persamaan garis singgung:
,1
2128
22
=+
yx
⇔
12
1
2
1
=+
b
yy
a
xx

Elips
1
21
3
28
4
=+⇔
yx
1
77
=+⇔
yx
7=+⇔ yx
b. Diketahui: pusat (m, n) = (1, -2)
( 5, -3) y1 = -3
Persamaan garis singgung:
⇒=
+
+
−
1
9
)2(
18
)1( 22
yx
danx 51 =⇒
1
))(())((
2
1
2
1
=
−−
+
−−
b
nyny
a
mxmx

Elips
1
9
)23(
18
)1)(15(
=
+−
+
−−
⇔
x
1
9
)2(
18
)1(4
=
+−
+
−
⇔
yx
1
9
)2(
9
)1(2
=
+−
+
−
⇔
yx
9)2()1(2 =−−−⇔ yx
132 =−⇔ yx

Parabola
Persamaan parabola berpuncak 0(0,0)
y2
= 4px
a.Puncak (0,0)
b. Sumbu semetri = sumbu x
c. Fokusnya F(p,0)
d. Direktriknya x = -p
(0,0) X
d:X=-P
F(P,0)
Y
•••

Parabola
Persamaan parabola yang bepuncak 0(0,0) dan Fokus di
F(-p,0) adalah
Y2
= -4px
X
Y
(0,0) F(P,0)
d:X=-P
•
•••

Parabola
F(0,p) adalah
x2
= -4py
X
Y
•
•
•
F(0,p)
(0,0)
d:y=-P

Parabola
F(0,-p) adalah
x2
= -4py
X
Y
•
•
•
F(0,-p)
(0,0)
d: y=p

Parabola
Contoh:
1.Dari parabola-parabola berikut tentukan koordinat
fokus,persamaan sumbu semetri,persamaan direktris dan
panjang lactus rectum
a. y2
= 4x c. x2
= -8y
b. y2
= -12x d. x2
= 6y
Jawab:
a. y2
=4px y2
= 4x, maka p = 1
Parabola ini merupakan parabola horizsontal ysng
terbuka ke kanan.
(i) Koordinat titik fokus F(p,0) F(1,0)
(ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu X, maka
persamaanya y = 0
(iii) Persamaan direktris: x = -p x = -1
(iv) Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4 . 1 = 4

Parabola
b. y2
=-p4x y2
= -12x, maka 4p = 12 p = 3
Parabola ini merupakan parabola horizsontal yang
terbuka ke kiri
(i) Koordinat titik fokus F(-p,0) F(-3,0)
(ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu X, maka
persamaanya y = 0
(iii) Persamaan direktris: x = -p x = 3
(iv) Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4 . 3= 12
c. x2
= -p4y x2
= -8y, maka 4p = 8 p = 2
Parabola ini merupakan parabola horizsontal ysng terbuka ke bawah
(i) Koordinat titik fokus F(0,-p) F(0,-2)
(ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu y, maka
persamaanya x = 0
(iii) Persamaan direktris: y = p y = 2
(iv) Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4 . 2 = 8
d. Untuk latihan

Parabola
Persamaan parabola berpuncak P(a,b)
(y – b)2
= 4p(x – a)
x•
•
•
•O(0,0) F(p,0)
••
•
y
P(a,b)
Fp(a+p,b)
a
•
•
a. Titik puncak P(a,b)
b. Titik fokus F(a+p,b)
c. Direktris x = -p+a
d. Sumbu semetri y = b
e.

Parabola
Contoh:
Diberikan persamaan parabola 3x – y2
+ 4y + 8= 0
Tentukan : a. Titik puncak c. Direktris
b. Titik fokus d. Sumbu semetri
Jawab:
Ubah persamaan parabola ke persamaan umum:
3x – y2
+ 4y + 8= 0
y2
- 4y = 3x + 8
y2
- 4y + 4 = 3x + 8 + 4
(y – 2)2
= 3x + 12
(y – 2)2
= 3(x + 4)
Didapat persamaan parabola (y – 2)2
= 3(x + 4) yaitu
parabola mendatar yang terbuka ke kanan.

Parabola
Dari persamaan tersebut diperoleh:
a. Titik puncak P(-4,2)
b. 4p = 3 maka p =
Titik Fokus F(a+p,b)
c. Persamaan direktris :
d. Sumbu semetrinya : y = 2
4
3
)2,
4
3
4( +−F
)2,
4
1
3(−F
4
3
4
4
4
3
−=
−−=+−=
x
apx
xO(0,0)
P(-4,2)
F
y

Parabola
Soal untuk latihan:
a.Tentukan persaaman parabola yang
berpuncak di (2,4) dan fokusnys (-3,4)
b.Tentukan persamaan Parabola yang titik
fokusnya F(2-3) dan persamaan didertrisnya
y = 5

Persamaan garis singgung parabola
A. Persamaan garis singgung parabola melaluhi titik A(x1,y1)
yy1 = 2p(x+x1)
x
y
•
•A(x1,y1)

Persamaan parabola melaluhi titik A(x1,y1) di sajikan pada
tabel berikut
Persamaan Parabola Persamaan Garis singgung
y2
= 4px yy1 = 2p(x+x1)
y2
= -4px yy1 = -2p(x+x1)
x2
= 4py xx1 = 2p(y+y1)
x2
= -4py xx1 = -2p(y+y1)
(y – b)2
= 4p(x – a) (y-b)(y1-b)=2p(x+x1-2a)
(y – b)2
= -4p(x – a) (y-b)(y1-b)=-2p(x+x1-2a)
(x– a)2
= 4p(y – b) (x-a)(x1-a)=2p(y+y1-2b)
(x– a)2
= -4p(y – b) (x-a)(x1-a)=-2p(y+y1-2b)

Contoh:
1. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2
= 8x di
titik (2,4)
jawab :
y2
= 8x
4p = 8
p = 2
Titik A(x1,y1) A(2,4)
Persamaan garis singgungnya adalah
yy1 = 2p(x+x1)
y.4 = 2.2(x+2)
4y = 4(x+2)
y = x+2

2. Tentukan persamaan garis singgung parabola
(x+1)2
= -3(y-2) pada titik (2,-1)
Jawab :
a = -1 , b = 2, x1 = 2 dan y1 = 1
(x+1)2
= -3(y-2)
-4p = -3
p =
Persamaan garis singgung parabola di titik A(2,-1) adalah
(x - a)(x1 - a) = -2p(y + y1 - 2b)
(x +1)(2 +1) = -2. (y - 1 – 2.2)
(x + 1)(3) =
6(x + 1) = - 3(y – 5)
2(x + 1) = -(y – 5)
2x + 2 = -y + 5
y = -2x + 3
4
3
4
3
)5(
2
3
−− y

B.Persamaan garis singgung parabola yang bergradien m
Persamaan parabola Persamaan garis singgung
y2 = 4px y = mx +
y2 =- 4px y = mx -
x2
= 4py y = mx – m2
p
x2
= -4py y = mx + m2
p
(y – b)2
= 4p(x – a) (y – b) = m(x – a) +
(y – b)2
= -4p(x – a) (y – b) = m(x – a) -
(x– a)2
= 4p(y – b) (y – b) = m(x – a) – m2
p
(x– a)2
= -4p(y – b) (y – b) = m(x – a) + m2
p
m
p
m
p
m
p
m
p

Contoh:
1.Tentukan persamaan garis singgung parabola y2
= 8x yang
kergradien 2
Jawab:
Parabola y2
= 8x
4p = 8
p = 2
Maka persamaan garis singgungnya adalah:
y = mx +
y = 2x + 1
m
p

2. Tentukan persamaan garis singgung parabola
(y + 5)2
= -8(x – 2) yang bergradien 3
Jawab :
Parabola (y + 5)2
= -8(x – 2)
-4x = -8
p = 2
Puncak P(2,-5)
Jadi persamaan garis singgungnya adalah
y – b = m(x – a) –
y + 5 = 3(x – 2) –
3y + 15 = 9(x – 2) -2
3y + 15 = 9x – 20
9x – 3y + 35 = 0
y = 3x -
m
p
3
2
3
35

Hiperbola
A.Hiperbola adalah kedudukan titik-titik pada bidang datar yang
selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap.
Kedua titik tertentu di sebut fokus(titik apai).
xa
b
x
y
•• •• •0
Y =
Y =
BA
x
a
b
−
F(C,0)F’(-C,0)
A.Persamaan Hiperbola Pusat(0,0)
N
12
2
2
2
=−
b
y
a
x
a. Pusat O(0,0)
b. Fokus F’(-C,0) dan F(C,0)
c. Puncak A(-a,0) dan B(a,0)
d. Sumbu semetri
- Sumbu Utama sumbu x
- Sumbu sekawan adalah sumbu y
e. Sumbu nyata AB = 2a
f. Sumbu imajiner MN = 2b
KM
LE
D
g. Asimtot , y = + x
a
b

Hiperbola
xa
b
x
y
•
•
•
•
•
0
Y =
Y =
B
A
x
a
b
−
F(0,C)
F’(0,-C)
B. Persamaan Hiperbola
N
12
2
2
2
=−
b
x
a
y
a. Pusat O(0,0)
b. Fokus F’(0,-C) dan F(0,C)
c. Puncak A(0,-a) dan B(0,a)
d. Sumbu semetri
- Sumbu Utama sumbu y
- Sumbu sekawan adalah sumbu x
K
M
LE
D
g. Asimtot , y = + x
a
b
atau b2
y2
– a2
x2
= a2
b2

Hiperbola
Contoh :
1.Tentukan persamaan hiperbola jika titik fokusnya F’(-13,0)
dan F(13,0) dengan puncak (-5,0) dan (5,0)
Jawab :
Pusat (0,0)
a = 5 , c = 13
b2
= c2
– a2
= 132
– 52
= 169 – 25
= 144
Sumbu utama sumbu X, maka persamaan hiperbolanya
adalah:
1
14425
1
22
2
2
2
2
=−⇒=−
yx
b
y
a
x

Hiperbola
2.Diketahui persamaan hiperbola dari
Jawab :
dan
Pusat(0,0)
Puncak(-a,0)=(-4,0) dan (a,0) = (4,0)
1
416
22
=+
yx
4161
416
2
22
=⇔=⇒=+ aa
yx
242
=⇔= bb
222020416222
==⇔=+=+= cbac
)0,22()0,()0,52()0,( =−=− CdancFokus
Persamaan xytota a
b
±=:sin
xy
3
2
= dan
4
2
−=y

Hiperbola
A. Persamaaan Hiperbola dengan pusat P(m,n)
xa
b
x
y
• •• • •
0
Y =
Y =
BA
x
a
b
−
F(C,0)F’(-C,0)
N
1
)()(
2
2
2
2
=
−
−
−
b
ny
a
mx
a. Pusat P(m,n)
b. Fokus F’(m-C,0) dan F(m+C,0)
c. Puncak A(m-a,0) dan B(m+a,0)
d. Sumbu semetri
- Sumbu Utama sumbu y = n
- Sumbu sekawan adalah y = m
KM
LE
D
g. Asimtot , y-n = + (x - a)x
a
b
P

Hiperbola
Contoh:
1. Tentukan persamaan hiperbola jika titik fokus F’(-2,-3) dan F(8,-3) dan
titik puncaknya (7,-3)
Jawab:
fokus F’(-2,-3) dan F(8,-3)
Jarak pusat ke fokus c = 8 – 3 = 5
Puncak (7,3)
Jarak pusat dengan puncak a = 7 – 3 = 4
b2
= c2
– a2
= 52
– 42
= 25 – 16 = 9
Jadi persamaan hiperbola adalah
atau
9(x-3)2
– 16(y+3)2
= 144
9x2
– 16y2
– 54x -96y – 207 = 0
)3,3(
2
)3(3
,
2
82
−=




 −+−+−
⇒ pusat
1
9
3
16
3
22
=




 +
−




 − yx

Hiperbola
2. Tentukan titik pusat,titik fokus, titik puncak, panjang lactus rectum dan
persamaan asimtotnya dari
Jawab:
Titik pusat (4,-1)
( ) ( ) 1
225
1
64
4
22
=
+
−
− yx
( ) ( ) 1
225
1
64
4
22
=
+
−
− yx
8642
=⇔= aa
152252
=⇔= bb
1728922564222
=⇔=+=+= cbac
)1,21()1,174()1,13()1,174( −=−+−−=−− danFokus
tusPanjangLac
4
225
8
225.22 2
===
a
b
rectum
( )4
8
15
1: −±=+ xyAsimtot

Persamaan Garis Singgung Hiperbola
Persamaan garis singgung hiperbola melelaluiT(x1,y1)
Persamaan garis singgung
di titik T(x1,y1) yaitu
12
1
2
1
=−
b
yy
a
xx
1
)()(
2
2
2
2
=
−
−
−
⇒
b
ny
a
mx
⇒
12
2
2
2
=−⇒
b
x
a
y
12
1
2
1
=−
b
xx
a
yy
12
2
2
2
=−
b
y
a
x
di titik T(x1,y1) yaitu 1
))(())((
2
1
2
1
=
−−
−
−−
b
nyny
a
mxxx
1
)()(
2
2
2
2
=
−
−
−
⇒
b
mx
a
ny 1
))(())((
2
1
2
1
=
−−
−
−−
b
mxmx
a
nyny

Contoh 1 :
Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola
pada titik (9, -4)
1
29
22
=−
yx
PERSAMAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA
Jawab
Persamaan garis singgung Hiperbola
12
2
2
2
=−
b
y
a
x
di titik T(x1,y1) yaitu 12
1
2
1
=−
b
yy
a
xx
Jadi persamaan garis singgungnya : 1
2
4
9
9
=
−
−
yx
atau x + 2y = 1

Persamaan garis singgung Hiperbola
Contoh 2
Tentukan persamaan garis singgung hiperbola 1
12
)3(
36
)2( 22
=
+
−
− yx
Pada titik (-4, -3)
Jawab :
Persamaan garis singgung hiperbola 1
)()(
2
2
2
2
=
−
−
−
b
ny
a
mx
1
12
)3)(33(
36
)2)(24(
=
++−
−
−−− yx
Jadi persamaan garissinggungnya :
1
))(())((
2
1
2
1
=
−−
−
−−
b
nyny
a
mxxx
10
6
)2(
=−
−
−⇒
x
62 =+−⇒ x
x = - 4

Irisan kerucut

More Related Content

What's hot

Similar to Irisan kerucut

More from Eko Supriyadi

Recently uploaded

Irisan kerucut

Editor's Notes