Dokumen tersebut membahas tentang koordinat Cartesius, yang menjelaskan posisi suatu titik pada bidang koordinat dua dimensi dengan menggunakan pasangan bilangan real. Dokumen tersebut juga menjelaskan cara menentukan posisi relatif antar titik-titik pada bidang koordinat tersebut.

1. Media Pembelajaran
MATEMATIKA
Untuk SMP/MTs Kelas VIII

2. KOORDINAT CARTESIUS
Sumber: www.shuttertock.com

3. Koordinat
Cartesius Bidang Koordinat Cartesius
Koordinat Suatu Titik pada
Bidang Cartesius
Kedudukan titik terhadap titik asal
Posisi Titik terhadap Titik Lain
pada Bidang Cartesius
Posisi relatif titik terhadap titik
Posisi relatif titik terhadap garis
Menyelesaikan masalah tentang
koordinat Cartesius
PETA KONSEP

4. Seorang anak diminta oleh orang tuanya untuk
mengantarkan paket ke rumah saudaranya di sebuah
kompleks perumahan. Ia belum pernah sekalipun pergi ke
tempat tersebut. Agar sampai ke tujuan, tentunya ia akan
meminta petunjuk arah lokasi yang dituju kepada orang
tuanya atau kepada orang lain yang mengetahui lokasi
tersebut.
Berdasarkan petunjuk yang diberikan orang tuanya,
maka ia akan mampu sampai ke rumah tujuan sepanjang
ia mengetahui arah mata angin seperti arah utara, timur,
dan barat daya. Pada bab ini, kamu akan belajar untuk
mengetahui arah mata angin seperti yang dijelaskan di
atas.
Observasi

5. 2.1 POSISI TITIK PADA BIDANG KOORDINAT CARTESIUS
A. Tinjauan Kontekstual
Mungkin kamu pernah mendengar
istilah utara, selatan, timur, dan barat.
Tahukah kamu di mana letak arah mata
angin tersebut?
Perhatikan pembagian arah delapan mata
angin berikut.

6. Gambaran tata letak antara rumah teman
Ali, yaitu Budi (B), Cahya (C), Dita (D), Eni (E) dan
Fitri (F) terhadap rumah Ali (A) sebagai acuan
(patokan) masing-masing adalah seperti berikut
(Gambar 2.2). Coba amati.
Rumah Ali adalah suatu tempat (dalam
matematika bermakna sebagai suatu titik) yang
digunakan sebagai titik acuan (patokan) untuk
menyatakan letak rumah teman-temannya.
Artinya, dalam standar arah mata angin, rumah
Ali merupakan titik pangkal acuan letak
terhadap rumah teman-temannya.
Kerjakan Latihan 1 halaman 43 – 44

7. B. Tinjauan Formal
Tinjauan secara formal matematika
didasarkan pada sistem koordinat Cartesius,
mengacu pada nama Rene Descartes (seorang
filsuf Perancis di abad 17 Masehi).
Berdasarkan tinjauan kontekstual, secara
matematis (formal matematika) rumah Ali
dianggap sebagai titik acuan dengan satu satuan
mewakili jarak sepanjang 100 m sehingga pada
standar arah mata angin letak rumah Ali dan
rumah teman-temannya adalah seperti berikut.
Rumah Ali (A) bersesuaian dengan titik pangkal
koordinat (point of origin O), yakni A = O(0, 0).

8. Letak suatu titik dari (terhadap) titik acuan adalah:
Ke kanan ⇒ positif dan ke kiri ⇒ negatif.
Ke atas ⇒ positif dan ke bawah ⇒ negatif.
Definisi
Sesuai konvensi, koordinat Cartesius terbagi menjadi 4 kuadran
seperti pada gambar di samping. Tampak bahwa pembagian
kuadran seperti berikut.
• Kuadran I: sumbu-X positif dan sumbu-Y positif
• Kuadran II: sumbu-X negatif dan sumbu-Y positif
• Kuadran III: sumbu-X negatif dan sumbu-Y negatif
• Kuadran IV: sumbu-X positif dan sumbu-Y negatif

9. Masalah
Berdasarkan aturan sistem koordinat Cartesius
yang digambarkan pada Gambar 2.3, pertanyaan
berikutnya adalah jika titik acuan perhitungannya
adalah titik D. Tentukan posisi relatif titik-titik
lainnya serta titik D terhadap dirinya sendiri.
Pemecahan Masalah
Gambaran tentang posisi relatif titik-titik D
sendiri dan titik-titik lainnya terhadap titik D
dapat dilihat pada gambar di samping.

10. Ambil salah satu contoh, misal posisi relatif titik E terhadap titik D. Karena posisi
titik E dari titik acuan D adalah ke kanan 3 satuan dan ke bawah 5 satuan, maka
posisi relatif titik E terhadap/dari titik D adalah ED(3, –5). Dengan cara yang sama,
selidiki bahwa DD(0, 0).
Berdasarkan contoh perhitungan posisi relatif titik E terhadap titik D tersebut,
cobalah isi selengkapnya isian pada baris dan kolom tabel berikut (Tabel 2.1). Amati
pola isiannya, kemudian cobalah untuk membuat dugaan (hipotesis) secara umum
generalisasi) tentang posisi relatif titik T(x, y) terhadap titik D(4, 2). Terakhir, buatlah
hipotesis secara lebih umum tentang posisi relatif sembarang titik T(x2, y2) terhadap
suatu titik acuan D(x1, y1).

12. Pola isiannya kamu dapatkan TD(x2 – 4, y2 – 2), sehingga diperoleh kesimpulan bahwa
posisi relatif sembarang titik T(x2, y2) terhadap sembarang titik acuan D(x1, y1) adalah
TD(x2 – x1, y2 – y1).

13. Bukti
Secara formal (deduktif) matematika,
pembuktiannya adalah seperti berikut.
Misalkan koordinat titik T dan D berturut-
turut adalah T(x2, y2) dan D(x1, y1). Untuk
mempermudah pemahaman, setelah
menentukan letak titik D(x1, y1) letakkan
titik T(x2, y2) di sebelah kanan atas titik D
seperti berikut (Gambar 2.7).

14. Titik D(x1, y1) ⇒ Dari titik pangkal O ke kanan sejauh x1 dan ke atas sejauh y1.
Titik T(x2, y2) ⇒ Dari titik pangkal O ke kanan sejauh x2 dan ke atas sejauh y2.
Berdasarkan kedua hal tersebut, diketahui bahwa posisi relatif titik T(x2,
y2) terhadap titik D(x1, y1) adalah ke kanan sejauh x2 – x1 dan ke atas sejauh
y2 – y1 sehingga dapat disimpulkan sebagai berikut.

15. Tentukan posisi relatif titik B(1, 5), C(–3, 4), dan D(5, –2) terhadap titik
A(3, 1).
ContohSoal
Jawab:
Secara gambar, posisi relatif (koordinat) titik C terhadap titik acuan A
adalah CA(–6, 3).
Lanjutan
contoh soal

16. Secara aljabar perhitungan posisi relatif titik C(–3, 4) terhadap titik acuan
A(3, 1) adalah
cA(xA, yA) = cA(xC – xA, yC – yA)
= cA(–3 – 3, 4 – 1)
= cA(–6, 3)
Dengan cara yang sama, dapat diselidiki kebenaran koordinat titik-titik
lainnya relatif terhadap titik A, yaitu koordinat AA, BA, dan DA hingga
diperoleh hasil-hasil seperti yang terdapat pada gambar (b).
ContohSoal

17. Kerjakan Latihan 2 halaman 49 – 50

18. 2.2 POSISI RELATIF SUATU TITIK TERHADAP SUATU GARIS
Masalah
Perhatikan gambar di samping. Diketahui
titik A dan garis g dengan titik A berada di luar
garis g. Titik-titik lainnya, yakni titik B, C, dan D
terletak pada garis g. Manakah di antara ketiga
ruas garis AB, AC, dan AD tersebut yang panjang
ruas garisnya, yakni AB, AC, dan AD menyatakan
jarak titik A ke garis g?
Garis acuan merupakan garis yang digunakan sebagai patokan atau acuan untuk
memperhitungkan letak suatu titik terhadap suatu garis.

19. Pemecahan Masalah
Jarak titik A ke garis g adalah panjang ruas garis
penghubung terpendek (minimum) dari titik A ke
garis g. Dengan kata lain, “jarak suatu titik ke suatu
garis adalah panjang ruas garis penghubung antara
titik itu dengan titik proyeksinya pada garis yang
diketahui” atau “jarak suatu titik ke suatu garis
adalah panjang ruas garis penghubung terpendek
antara titik itu dengan garis yang diketahui”. Jika
jarak yang dimaksud adalah d, maka jarak titik A dan
garis g dapat digambarkan seperti gambar di
samping. Dari Gambar 2.9 diketahui AA′ tegak lurus
terhadap garis g. Jadi, ruas garis yang menyatakan
jarak titik A ke garis g adalah AC.

20. Perhatikan gambar di samping. Garis g melalui titik
(3, 0) dan sejajar dengan sumbu-Y. Titik-titik A, B, C,
D, dan E terletak pada garis g. Tuliskan koordinat titik
A, B, C, D, E, F, dan G.
ContohSoal
Kerjakan Latihan Ulangan Bab 2
halaman 54– 56
Kerjakan Latihan 3 halaman 53
Jawab:
Koordinat ketujuh titik tersebut masing-masing adalah
A(3, 1), B(3, 2), C(3, 3), D(3, 4), E(3, –1), F(3, –2), dan
G(3, –3).