Modul 7 Sistem Koordinat

1. SISTEM KOORDINAT
MODUL 7

2. SISTEM KOORDINAT
Anggota :
Adeitya Prabu Bagaskara (857714774)
Siti Romlah (857709733)
Indarti (857713457)

3. KB 1. Sistem Bilangan Real dan Koordinat
- A. Sistem Bilangan Real
- B. Sistem Koordinat Kartesius
- C. Rumus Jarak (Distance)
- D. Persamaan Lingkaran
- E. Sistem Koordinat Kutub (Polar coordinate Sistem)
- F. Hubungan Koordinat Kutub Dengan Koordinat Kartesius

4. A. SISTEM BILANGAN REAL
Sistem
Bilangan real
Bentuk decimal suatu bilangan real
Bentuk decimal dari bilangan
rasional
Bentuk decimal dari bilangan
irasional
Kelengkapan dan kerapatan bilangan
real

5.  Semua bilangan real dapat diwakili oleh titik pada garis bilangan. Bilangan real
memiliki sifat terurut.
 Himpunan bilangan real dapat dinyatakan sebagai garis bilangan
 Berikut ibi contoh perbedaan jarak titik koordinat pada garis bilangan vertical dan
horizontal berdasarkan jarak dan arahannya terhadap O (Pusat koordinat garis)
SISTEM BILANGAN REAL
Titik koordinat pada
garis
Letak titik pada garis bilangan
Horizontal vertikal
3 3 satuan disebelah
kanan 0
3 satuan disebelah
atas 0
-10 10 satuan disebah kiri
0
10 satuan disebelah
bawah 0

6. A. Bentuk decimal suatu bilangan real, himpunan bilangan real adalah gabungan himpunan bilangan
rasional dan irrasional. Semua bilangan real dapat dinyatakan dalam bentuk decimal
B. Bentuk decimal dari bilangan rasional, bilangan rasional adalah bilangan real yang terbentuk
𝑎
𝑏
dengan
a,b € himpunan bilangan bulat dan b≠0. bentuk decimal dari bilangan rasional sebagai hasil pembagian
terhadap pembilang dan penyebut menghasilkan bilangan dibelakang koma yang terbatas serta
berakhir dengan pengulangan bilangan nol dan berulang tidak terbatas.
C. Bentuk decimal bilangan irrasional, bilangan irrasional adalah baingan yang real yang tidak dapat
dibentuk menjadi
𝑎
𝑏
, bentuk decimal dari bilangan irrasional menghasilkan bilangan dibelekang koma
yang tidak terulang dan tidak terbatas dan tidak berakhir dengan pengulangan bilangan nol
D. Kelengkapam dam kerapatan bilangan real, bilangan real selain memiliki sifat kelengkapan juga
memiliki sifat kerapatan. Beberapa kerapatan letak antara dua bilanganreal tersebut selalu ada
bilangan rasional atau bilangan irrasional lain

7. Sistem koordinat kartesius digunakan untuk menentukan tiap
titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang
biasa disebut koordinat x dan koordinat y dari titik tersebut.
Untuk mendeskripisikan suatu titik tertentu dalam system
koordinat dua dimensi, nilai x ditulis (absis), lalu nilai y
(ordinat). Dengan demikian format yang dipakai selalu (xy)
dan urutannya tidak dibalik-balik
Pada system koordinat kartesius terdapat dua garis
berpotongan tegak lurus. Garis mendatar disebut sumbu x.
garis tegak disebut y. titik potong kedua sumbu disebut titik
asal. X merupakan jarak titik dengan sumbu y dan y
merupakan jarak titik dengan sumbu x
B. SISTEM KOORDINAT KARTESIUS

8. GAMBAR BIDANG KOORDINAT 4 KUADRAN

9.  Ketika dua titik dihubungkan dengan garis lurus, bagian garis antara
dua titik disebut ruas garis. Panjang ruas garis tersebut menunjukkan
jarak antara dua titik dikedua ujung ruang garis tersebut
 Teorema phytagoras dapat digunakan untuk menentukan Panjang ruas
garis yang tidak sejajar dengan sumbu koordinat
C. RUMUS JARAK

10. D. PERSAMAAN LINGKARAN
 Lingkaran adalah tempat kedudukan titik (x,y) pada
bidang yang berjarak sama terhadap satu titik tetap
yang disebut lingkaran, jarak titik (x,y) terhadap titik
pusat disebut jari-jari (radius) dan dikembangkan r.

11. ILUSTRASI
Jika titik pusat lingkaran P
(a,b) dan jarak titik-titik Q
(x,y) terhadap titik pusat P
berjarak r

12. SISTEM KOORDINAT KUTUB (POLAR
COORDINATE SYSTEM)
 Dalam system koordinat kartesius, tempat
kedudukan titik pada bidang ditunjukkan oleh
pasangan terurut bilangan real (x,y)
 Berlaku sebaliknya yaitu pasangan terurut bilangan
rasional (x,y) menunjukkan posisi suatu titik pada
bidang koordinat
 Selain koordinat kartesius untuk dapat
menunjukkan posisi suatu titik pada bidang dalam
system koordinat dapat juga digunakan koordinat
kutub dan koordinat polar yang ditandai dengan
jarak dan sudut

13. Arah pengukuran sudut
𝜃 𝑏𝑒𝑟𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎𝑟𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑔𝑢𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡
Berlawanan dengan arah jarum jam dan
𝜃 𝑏𝑒𝑟𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑔𝑢𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑠𝑒𝑎𝑟𝑎ℎ
𝑗𝑎𝑟𝑢𝑚 𝑗𝑎𝑚

14. HUBUNGAN KOORDINAT KUTUB DENGAN
KOORDINAT KARTESIUS
 Jika sumbu pada system koordinat kutub dan
system koordinat kartesius dihimpatkan sehingga
saling menutupi maka letak suatu titik pada system
koordinat kutub ditandai dengan pasangan terurut
(r,𝜃)dan titik koordinat kartesius ditandai dengan
pasangan terurut (x,y)

15.  Sin 𝜃 =
𝑦
𝑟
= y = r sin 𝜃
 Cos 𝜃 =
𝑥
𝑟
= x = r cos 𝜃
 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 dan tan 𝜃 =
𝑦
𝑥

17. Kegiatan Belajar 2
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
LINIER
Menentukan
persamaan
garis.
Menentukan
kemiringan
suatu garis yang
diketahui
persamaannya
Menentukan
daerah
penyelesaian
dari suatu
pertidaksamaan
linier.

18. A. Persamaan Linier
Pengertian
Persamaan Persamaan merupakan suatu kalimat terbuka
yang dihubungkan dengan simbol sama dengan
(=) pada kedua ruasnya.
Kalimat
Terbuka
Sebuah kalimat yang di dalamnya terkandung
satu atau lebih variabel yang nilai kebenarannya
belum diketahui.
Persamaan
Linear
Sebuah persamaan yang setiap suku nya
mengandung konstanta dengan variabel nya
yang berderajat satu atau tunggal dan
persamaan ini, bisa digambarkan dengan
sebuah gambar grafik dalam sistem koordinat
kartesius.

19. Contoh :
1. x +2 = 15
2. x + 2y = 7
3. x + 2y + 3z = 6
Ketiga persamaan di atas sama-sama disebut persamaan linier, namun karena
ada persamaan yang memiliki satu variabel, dua variabel, dan tiga variabel,
maka ada yang disebut persamaan linear satu variabel, persamaan linear dua
variabel, dan persamaan linier tiga variabel.
“Komponen atau unsur yang berhubungan dengan persamaan linear”
Suku
Variabel
Koefisien
Konstanta

20. Persamaan Linier Dua Variabel
a. Bentuk Umum Persamaan Linier Dua Variabel
Dengan x dan y € {bilangan real}
Catatan : Persamaan linier dua variabel sering dimaknai sebagai
sebagai dua hal yang sama dengan fungsi linier jika ingin menekankan
konsep fungsi dari relasi pasangan x dan y. Sehingga dapat ditulis :
y = ax + b atau ax + by = c
f(x) = ax + b

21. b. Penyelesaian Persamaan Linier Dua Variabel
Adalah pasangan terurut dari bilangan (x, y) yang menyebabkan persamaan
menjadi pernyataan yang bernilai benar.
Contoh :
Tunjukkan bahwa (4,4) adalah penyelesaian dari persamaan y =
1
2
𝑥 + 2
Jawab :
Untuk mengetahui apakah (4,4) adalah penyelesaian dari y =
1
2
𝑥 + 2, gantilah
:
1. x pada persamaan dengan 4
2. y pada persamaan dengan 4
 Jika hasilnya tidak sama, berarti bahwa (4,4) bukan penyelesaian dari
persamaan y =
1
2
𝑥 + 2.
 Jika hasilnya sama, berarti bahwa (4,4) adalah penyelesaian dari
persamaan y =
1
2
𝑥 + 2.
Mari kita buktikan !

22. 𝒚 =
𝟏
𝟐
𝒙 + 𝟐
𝟒 =
𝟏
𝟐
𝟒 + 𝟐
4 = 2+2
4 = 4 (ternyata hasilnya sama)
“Jadi benar bahwa (4,4) adalah penyelesaian dari persamaan 𝒚 =
𝟏
𝟐
𝒙 + 𝟐”
Catatan :
Secara umum, persamaan linear dua variabel mempunyai penyelesaian yang
tidak terbatas banyaknya. Dengan memilih berapapun nilai untuk (x) dan
mendistribusikan nilai (x) tersebut ke dalam persamaan tersebut menjadi
pernyataan yang bernilai benar.

23. c. Menggambar Persamaan Linier Dua Variabel
 Setiap penyelesaian suatu persamaan linier dapat
ditunjukkan/direpresentasikan secara visual pada sistem koordinat
kartesius.
 Representasi dari penyelesaian suatu persamaan linier adalah garis.
 Garis tersebut dapat ditentukan melalui dua titik.
Langkah menggambar :
1. Membuat sistem koordinat kartesius.
2. Menentukan sedikitnya dua titik sebagai penyelesaian dari persamaan
linier dan meletakkannya pada sistem koordinat kartesius.
3. Sebaiknya tambahkan lagi satu atau lebih titik penyelesaian lainnya,
jika semua titik tersebut segaris maka pekerjaan kita benar.

24. Contoh :
Gambarlah persamaan 4x-2y = 8
Penyelesaian :
 Menentukan titik potong garis terhadap sumbu-x (x-intercept).
 Menentukan titik potong garis terhadap sumbu-y (y-intercept).
 Kedua langkah di atas dapat kita sederhanakan dengan tabel berikut :
 y = 0 disubstitusikan ke persamaan 4x-2y = 8, maka :
4x-2y = 8
4x-2.0 = 8
4x = 8
x = 8/4
x = 2
 x = 0 disubstitusikan ke persamaan 4x-2y = 8, maka :
4x-2y = 8
4.0-2y = 8
-2y = 8
y = 8/-2
x = -4
x y
2 0
0 -4

25.  Meletakkan kedua titik tersebut pada bidang koordinat.
 Menghubungkan kedua titik menjadi sebuah garis, maka diperoleh gambar
garis 4x-2y = 8
Untuk lebih jelasnya, perhatikan modul hlm. 7.44 !

26. d. Kemiringan atau Gradien Garis
Gradien menunjukkan kemiringan dari suatu persamaan terhadap garis x.
Gradien dinotasikan dengan huruf m.
Kemiringan/gradien adalah perbandingan antara jarak garis yang
diproyeksikan ke sumbu y terhadap proyeksi garis terhadap sumbu x.
Contoh :
Gambarlah persamaan garis y = 2x.

28. Macam- Macam Gradien :
1. Gradien garis lurus positif, jika arah garis dari kiri ke kanan atas.
2. Gradien garis lurus yang sejajar sumbu–x adalah nol, karena arah garis
vertikal tidak ada.
3. Gradien garis lurus negatif, jika arah garis dari kiri ke kanan bawah.
4. Gradien garis lurus yang sejajar sumbu–y tidak terdefinisi, karena arah garis
horizontal tidak ada ( menyebabkan pembaginya nol dan hasilnya tidak
didefinisikan). Hal ini berarti garis yang sejajar sumbu–y tidak mempunyai
gradien.
5. Misalnya garis lurus k gradiennya 𝑚1 dan garis j gradiennya 𝑚2 . Jika garis k
dan j saling tegak lurus, maka gradien-gradiennya menunjukkan hubungan
𝑚1 = −
1
𝑚2
dengan 𝑚2 ≠ 0 atau 𝑚1–𝑚2= -1.
6. Garis-garis yang sejajar (paralel) mempunyai gradien yang sama.

29. e. Menentukan Persamaan Garis
 Melalui sebuah titik dengan gradien tertentu.
Jika (𝑥1, 𝑦1) adalah titik pada garis dan (x,y) adalah titik lain pada garis yang
sama, maka gradien dari (𝑥1, 𝑦1) dan (x,y) adalah :
Persamaan di atas dapat diubah menjadi 𝑦 − 𝑦1 = m x − 𝑥1
Contoh :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,1) dan gradien 3.
Jawaban :
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 1 = 3(𝑥 − 2)
𝑦 − 1 = 3𝑥 − 6
y= 3𝑥 − 6 + 1
y= 3𝑥 − 5
𝒎 =
𝒚 − 𝒚𝟏
𝒙 − 𝒙𝟏

30.  Melalui dua buah titik.
(𝑥1, 𝑦1) dan (𝑥2, 𝑦2) adalah titi-titik pada satu garis dan (x,y) adalah titik lain
pada garis yang sama.
 Gradien garis dari (𝑥1, 𝑦1) ke (x,y) adalah 𝑚1.
 Gradien garis dari (𝑥1, 𝑦1) ke (𝑥2, 𝑦2) adalah 𝑚2.
Sehingga :
𝑚1 =
𝑦−𝑦1
𝑥−𝑥1
dan 𝑚2 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
 Karena (x,y), (𝑥1, 𝑦1), dan (𝑥2, 𝑦2) terletak pada garis yang sama maka
gradien garis dari (𝑥1, 𝑦1) ke (x,y) sama dengan gradien garis dari (𝑥1, 𝑦1)
ke (𝑥2, 𝑦2).
Sehingga :
𝑚1 = 𝑚2
𝑦−𝑦1
𝑥−𝑥1
=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1
=
𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑥 − 𝑥1
𝑦 − 𝑦1 = m (x − 𝑥1) dengan
m=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1

31. Contoh :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,-3) dan (5,1).
Jawaban :
 Menentukan gradien
m=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
𝑚 =
1 − (−3)
5 − 2
𝑚 =
1+3
5−2
𝑚 =
4
3
 Menentukan persamaan garis yang melalui (2,-3) dengan gradien
4
3
.
𝑦 − 𝑦1 = m x − 𝑥1
𝑦 − −3 =
4
3
x − 2
𝑦 + 3 =
4
3
𝑥 −
8
3
𝑦 =
4
3
𝑥 −
8
3
− 3
𝑦 =
4
3
𝑥 −
8
3
−
9
3
𝑦 =
4
3
𝑥 −
17
3

32. B. Pertidaksamaan Linier

33. Pertidaksamaan linier dalam x dan y dapat ditulis dalam salah satu bentuk-
bentuk berikut :
1. ax + by <c
2. ax + by ≤c
3. ax + by >c
4. ax + by ≥c
dimana a, b, dan c adalah bilangan real, dan a dan b tidak sama dengan nol.
a. Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier
Adalah penyelesaian dari pertidaksamaan linier yang merupakan pasangan
terurut dari bilangan real yang menyebabkan pertidaksamaan menjadi
pernyataan yang bernilai benar.
Contoh :
Apakah titik (3,2) dan (5,1) merupakan penyelesaian dari 3x-2y <6 ?
Jawaban :
 Titik (3,2) disubstitusikan ke pertidaksamaan 3x-2y <6.
3x-2y <6
3.3-2.2 <6
9-4 <6
5 <6 (benar)
 Titik (5,1), Silahkan kalian coba !

34. b. Gambar Himpunan Penyelesaian dari Pertidaksamaan Linier
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear 2x + 3y ≥ 12
Jawaban :
 Langkah pertama adalah lukis garis 2x + 3y = 12 dengan cara menghubungkan titik
potong garis dengan sumbu x dan sumbu y.
 Cari dua titik untuk menggambar garisnya.
 Untuk menentukan daerah yang mana adalah himpunan penyelesaian, maka
dilakukan dengan mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah.
 Sebagai contoh di sini kita ambil titik (0,0). Lalu disubstitusikan ke pertidaksamaan
sehingga akan kita peroleh:
2x + 3y ≥ 12
2.0 + 3.0 ≥ 12
0 ≥ 12
Sehingga, 0 ≥ 12 salah, yang berarti tidak dipenuhi sebagai daerah penyelesaian.
Jadi, daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang tidak masuk dalam titik (0,0).
x y
0 4
6 0

35. Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian 2x + 3y ≥ 12