Dokumen tersebut membahas tentang irisan kerucut dan parabola. Irisan kerucut dapat berbentuk lingkaran, elips, parabola, atau hiperbola tergantung posisi bidang pengiris terhadap kerucut. Parabola didefinisikan sebagai tempat titik yang jaraknya ke fokus sama dengan jaraknya ke direktris. Persamaan parabola dapat ditentukan berdasarkan posisi fokus dan direktrisnya. [/ringkasan]

1. IRISAN KERUCUT
Materi Pembelajaran
A. Macam-macam Irisan Kerucut
Dalam kehidupan sehari-hari banyak kita jumpai benda-benda yang cukup
besar kegunaannya bagi perkembangan kemajuan peradaban manusia. Benda-
benda itu misalnya antena yang berbentuk parabola (antena parabola) untuk
menangkap siaran televisi lewat satelit komunikasi, sarana atau lapangan olah raga
berbentuk elips, serta paling banyak kita jumpai adalah benda-benda dengan
bangun lingkaran seperti roda maupun ban kendaraan, baik kendaraan bermotor
maupun yang tidak bermotor. Hiperbola adalah seperti bangun dua buah parabola
yang sama saling berhadapan. Bangun-bangun di atas dapat digolongkan ke dalam
bangun irisan kerucut.
Dalam bahasan berikut, kita akan mempelajari irisan kerucut antara lain
pengertian tentang parabola, lingkaran, elips dan hiperbola.
1. Pengertian Irisan Kerucut
Perhatikan definisi berikut ini.
Definisi 2.1 :
Irisan kerucut adalah himpunan (tempat kedudukan) dari semua titik pada
bidang datar yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik tertentu
mempunyai nilai yang tetap.
Titik tertentu itu disebut fokus dan garis tertentu ini disebut direktriks.
Sedangkan nilai perbandingan yang tetap itu dinamakan eksentrisitas disingkat e.

2. Secara geometris bentuk irisan kerucut dapat diperoleh dengan cara
mengiriskan sebuah bidang datar terhadap kerucut lingkaran tegak berselimut
ganda. Jika bidang pengirisnya tidak melalui puncak kerucut, ada empat
kemungkinan irisan kerucut, seperti diperhatikan pada gambar 2.1
Gambar 2.1 (a) adalah irisan kerucut berbentuk lingkaran. Terlihat bahwa bidang
datarmya mengiris seluruh bagian dari salah satu selimut dan tegak lurus sumbu
kerucut.
Gambar 2.1 (b) adalah irisan kerucut bentuk elips. Terlihat bidang datarmya
mengiris seluruh bagian dari salah satu selimut kerucut dan tegak lurus sumbu
kerucut.
Gambar 2.1 (c) adalah irisan kerucut berbentuk Parabola. Terlihat bidang datarmya
sejajar dengan salah satu garis pelukis.
Gambar 2.1 (d) adalah irisan kerucut berbentuk hiperbola. Terlihat bidang datarmya
memotong kedua selimut kerucut.
2. Rumus Jarak di antara Dua Titik
Gambar 2.2 memperlihatkan jarak di antara dua titik P1 dan P2 yang dihitung
dari koordinat-koordinatnya

3. Jika d adalah jarak antara titik P1 (x1,
y1) dan P2(x2,y2) maka berdasarkan
Gambar 2.2 kita dapat mendefinisikan
jarak di antara titik P1(x1,y1) dan
P2(x2,y2) adalah
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
Contoh 1
Tentukan jarak antara titik A(2,3) dan B(5,0).
Jawab
|𝑎𝑏̅̅̅| = 𝑑 = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2
√(5− 2)2 + (0 − 3)2
√9+ 9 = √18 = 3√2
Jadi, jarak titik A dan B adalah 3√2
B. Parabola
Perhatikan definisi berikut ini
Definisi 2.3 :
Parabola tempat kedudukan titik titik di dalam bidang yang jaraknya ke sebuah titik
tertentu sama dengan jaraknya ke sebuah garis tertentu dalam bidang tersebut.
Titik tertentu itu dinamakan fokus parabola dan garis tertentu dinamakan direktriks.
1. Parabola yang terbuka ke atas

4. Kita misalnya garis g sebagai garis tetap (garis direktriks) dan titik F sebagai titik
F sebagai titik tetap (fokus) atau titik api. Jika F tidak terletak pada g, maka kita
dapat memilih sebuah sistem koordinat yang menghasilkan sebuah persamaan
yang sederhana untuk parabola dengan mengambil sumbu Y melalui F dan
tegak lurus garis g, dan dengan mengambil titik asalnya di titik tengah antara F
dan g.
Lihat Gambar 2.15
Jika titik F dan garis g adalah 2p, maka
kita dapat menetapkan koordinat titik F,
yakni (0, p). Dengan demikian
persamaan garis g menjadi y=-p. Titik
P(x,y) terletak pada parabola jika dan
hanya jika pF=PQ ….(16)
Dengan rumus jarak, persamaan (16)
menjadi
√ 𝑥2 + ( 𝑦 − 𝑝)2 = √( 𝑦 + 𝑝)2
⇔ 𝑥2
+ ( 𝑦 − 𝑝)2
= ( 𝑦 − 𝑝)2
⇔ 𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑝𝑦 + 𝑝2
= 𝑦2
+ 2𝑝𝑦 + 𝑝2
⇔ 𝑥2
= 4𝑝𝑦 ……(17)
Jadi, persamaan parabola dengan titik puncak di (0,0) dan fokus di F(0,p) didefinisikan
dengan persamaan
𝑥2
= 4𝑝𝑦

5. a. Sumbu dan Puncak Parabola
Karena p merupakan bilangan bulat positif dalam persamaan (17), maka y tidak
mungkin negative. Ini artinya parabola tersebut akan terletak pada atau di atas
sumbu X. Parabola tersebut akan simetris terhadpa sumbu Ykarena x berderajat
dua dalam persamaan (17).
Selanjutnya sumbu simetri parabola itu dinamakan sumbu parabola. Sumbu
parabola pada persamaan (17) adalah garis x = 0 (lihat gambar 2.15). Titik pada
sumbu ini yang berada di tengah-tengah antara focus dan direktriks akan berbeda
pada parabola tersebut, karena titik itu berjarak sama dari focus dan dari direktriks.
Titik itu dinamakan puncak (vertex) p arabola. Dalam persamaan (17) titik
puncaknya adalah titik O (0,0) lihat gambar 2.15.
Ruas garis CC’ yang melalui titik focus F dan tegak lurus sumbu simetri dinamakan
latus rectum (lihat gambar 2.15). Panjang latus rectum untuk parabola dengan
persamaan (17) adalah 4p.
Contoh 18.
Carilah focus dan direktris dari parabola x2 = 8y
Pandang persamaan x2 = 8y dan x2 =
4py, maka didapat p = 2.
Fokusnya berada pada sumbu Y yang
jauhnya p = 2 satuan dari puncak, yakni
F(0,p) = F(0,2).
Direktriksnya y = -p adalah garus y = -2.

6. Gambar 2.16 memperlihatkan parabola
x2 = 8y.
Tentukan persamaan parabola yang mempunyai titik focus di (0,3) dan persamaan
direktrisnya y = -3
Jawab :
Titik fokusnya di F(0,3), maka p = 3
 4p = 12
Persamaan parabolanya x2 = 4py
 X2 = 12y
2. Parabola yang terbuka ke bawah
Jika gambar parabola itu terbuka ke bawah seperti dalam gambar 2.17, dengan
fokusnya di F(0,p) dan direktriksnya adalah garis y = p maka persamaan
parabolanya adalah
X2 = -4py.
Gambar 2.17

7. 3. Parabola yang terbuka ke kanan
Jika parwabola tersebut terbuka ke kanan, seperti di dalam gambar 2.19 dengan
fokusnya di F (p,0) dan dengan persamaan direktrisnya x = -p, maka persamaan
parabolanya adalah
y2 = 4px
Gambar 2.19
Contoh 21.
Tentukanlah koordinat titik puncak, persamaan sumbu simetri, koordinat focus,
persamaan direktrisnya, serta panjang latus rectum parabola y2, = 12x. Kemudian
gambarkanlah sketsa grafiknya.
Jawab :
Pandang y2 = 12x dan y2 = 4px, maka p = 3. Koordinat puncak adalah (0,0)
Persamaan sumbu simetrinya adalah garis y = 0
Koordinat focus F(p,0) adalah F(3,0).
Persamaan direktriksnya x = -p adalah x = -3 atau x + 3 = 0
Panjang latus rectum 4p = 12.
Sketsa grafiknya dapat dilihat dalam gambar 2.20
Gambar 2.20

8. 4. Parabola yang terbuka ke kiri
Jika parabola tersebut terbuka ke kiri, seperti di dalam gambar 2.21, dengan
fokusnya di F)-p,0) dan dengan persamaan direktriksnya x = p, maka persamaan
parabolanya adalah y2 = -4px
Contoh 22
Tentukanlah titik focus dan persamaan direktriks parabola y2 = -12x, kemudian
gambarlah sketsa grafiknya!
Jawab :
Pandang y2 = -4px dan y2 = -12x, maka p = 3, Koordinat focus F(-p,0) adalah F(-
3,0).
Persamaan direktriksnya x = p adalah x = 3 atau x -3 =0
Sketsa grafiknya dapat dilihat dalam Gambar 2.22
Gambar 2.22
5. Translasi Sumbu-Sumbu
Bila puncak parabola berada di titik V (a,b), maka kita dapat menentukan
persamaan parabola dengan memperkenalkan sebuah system koordinat baru,
dengan titik asal O’ yang berada di titik V (a,b). Sistem koordinat baru ini kita
namakan system koorinat X’O’Y’. Sumbu X’ sejajar dengan sumbu X dan sumbu Y’
sejajar dengan sumbu Y.

9. Perhatikan Gambar 2.23 di bawah ini.
Gambar 2.23
Titik P mempunyai koordinat (x, y) di dalam system semula (XOY) dan (x’, y’)
system baru (X’O’Y’). Untuk bergerak dari O ke P, kita mempunyai pergeseran
hborisontal x dan pergeseran vertical y.
NIlai x akan didapatkan dari dua pergeseran horizontal, yakni a dari O ke O’ dan x’
dari O’ ke P. Demikian pula, y akan didapatkan dari dua pergeseran vertical, yakni b
dari O ke O’ dan y’ dari O’ ke P. Sehingga kedua koordinat tersebut akan
dihubungkan sebagai berikut.
{
𝑥 = 𝑥′
+ 𝑎
𝑦 = 𝑦′
+ 𝑏
} (18𝑎) 𝑎𝑡𝑎𝑢 {
𝑥′ = 𝑥 + 𝑎
𝑦′ = 𝑦 + 𝑏
} …(18𝑏)
Persamaan (18) dinamakan persamaan-persamaan untuk translasi sumbu-sumbu
Selanjutnya pandang sebuah parabola dengan puncaknya di V(a,b) dan yang
membuka ke atas, seperti diperlihatkan di dalam Gambar 2.24. Bila kita menyatakan
persamaan parabolanya dalam system koordinat X’O’Y’, maka persamaannya
adalah
(x’)2 = 4py’ ………..(19)
Gambar 2.24

10. Dengan mensubtitusikan persamaan (18a) ke dalam persamaan (19), kita dapat
menyatakan persamaan parabola di dalam system koordinat XOY, yakni
(x – a)2 = 4p (y – b) ……………….. (20a)
Sehingga persamaan parabola dengan puncak di V(a,b), focus F (a, b + p) dan
dengan persamaan direktriksnya y = b – p didefinisikan dengan persamaan.
(x – a)2 = 4p (y – b)
Grafik dari persamaan (20a) simetri terhadap garis x = a.
Bentuk-bentuk lain dari persamaan parabola dengan puncak di V (a,b) adalah
(x – a)2 = -4p (y – b) ….. (20b)
(y – b)2 = 4p(x – a) ….. (20c)
(y – b)2 = -4p (x-a) ….. (20d)
Persamaan (20b) mempunyai sebuah grafik yang simetris terhadap garis x = a, dan
yang membuka ke bawah
Perhatikan gambar 2.25
Fokusnya F(a, b – p) dan garis direktrisknya
y = b + p
Gambar 2.25

11. Persamaan (20c) mempunyai sebuah grafik yang simetris terhadap garis y = b dan
yang membuka ke kanan.
Perhatikan gambar 2.26.
Fokus F(a + p, b) direktriksnya garis x = a – p
Gambar 2.26
Persamaan (20d) mempunyai sebuah grafik yang simetris terhadap y = b, dan yang
membuka ke kiri.
Perhatikan gambar 2.27. Fokusnya f( a-p, b).
Persamaan direktrisknya adalah x = a + p.
Contoh 23.
Tentukan persamaan parabola dengan titik focus (5,4) dan titik puncaknya di (2,4).
Kemudian gambarkanlah sketsa grafiknya dan tentukan persamaan direktriksnya !
Jawab :
Puncak (a,b) adalah (2,4).
Fokus F(a+p, b) adalah F( 2+ 3, 4) = F (5,4).
Sehingga parabola terbuka ke kanan. Bentuk baku persamaan parabola ini adlaha
(y-b)2 = 4px (x – a)  (y-4)2 = 4 (3) ( x – 2)
 (y-4)2 = 12 ( x – 2)
 y2 – 8y + 16 = 12x – 24

12.  y2 – 8y – 12x + 40 = 0
Sketsa grafiknya tampak di dalam Gambar 2.28.
Persamaan direktrisknya adalah
X = a – p
 x = 2 – 3
 x = - 1
 x + 1 = 0
Gambar 2.28
Contoh 24
Tentukan persamaan parabola dengan titik puncak (1, -3) dan titik fokusnya (0,30.
Selanjutnya tentukan persamaan direktriksnya dan gambarkan sketsa grafiknya!
Jawab :
Puncak (a, b) adalah (1, -3)
Fokus F(a-p, b) adalah F(1 – 1, -3) = F(0,-3)
Sehingga parabola terbuka ke kiri. Bentuk persamaan parabola ini adalah
(y-b)2 = -4px (x – a)  (y-(-3))2 = -4 (1) ( x – 1)
 (y+ 3)2 = -4 ( x – 1)
 y2 – 6y + 9 = -4x – 4
 y2 – 6y – 4x + 5 = 0

13. Sketsa grafiknya tampak di dalam Gambar 2.29.
Persamaan direktrisknya adalah
X = a + p
 x = 1 + 1
 x = 2
COntoh 25
Suatu parabola mempunyai persamaan x2 + 6x – 8y – 31 = 0. Tentukan :
a. Koordinat titik puncaknya
b. Koordinat titik fokusnya
c. Persamaan direktriksnya
d. Gambarkan sketsa grafiknya
Jawab :
x2 + 6x – 8y – 31 = 0
 x2 + 6x = 8y + 31
 x2 + 6y + 9 = 8y + 31 + 9
 (x + 3)2 = 8 ( y + 5 )
Persamaan di atas merupakan persamaan parabola yang terbuka ke atas dengan a
= -3, b = -5, dan 4p = 8 sehingga p = 2
a. Koordinat titik puncaknya (a, b) adalah (-3, -5)
b. Koordinat titik fokusnya F (a, b + p) adalah F (-3, -5 +2), sehingga F (-3, -3).
c. Persamaan direktriksnya y = b – p adalah y = -5-2, sehingga y = -7.
d. Sketsa grafiknya tampak dalam gambar 2.30.

14. Gambar 2.30
6. Perpotongan antara Garis dengan Parabola
Pandang parabola dengan persamaan
Y2 = 4px
Dan garis h dengan persamaan …(21)
y = mx + n …(22)
Bila persamaan (22) disubtitusikan ke dalam persamaan (21), diperoleh
(mx + n)2 = 4px
 m2x2 2mnx + n2 – 4px = 0
 m2x2 + (2mn – 4p) x + n2 = 0 …(23)
Persamaan (23) merupakan persamaan kuadrat dalam x.
Diskriminan dari persamaan ini adalah
D = (2mn – 4p)2 – 4m2n2
 D = 4m2n2 – 16mnp + 16p2 – 4m2n2
 D = 26p (p-mn) …(24)
Kedudukan garis h terhadap parabola ditentukan oleh nilai D di atas, sehingga ada
tiga kemungkinan hubungan antara garis dan parabola, seperti diperlihatkan di
dalam Gambar 2.31
Gambar 2.31

15. Gambar 31 (a) menunjukkan bahwa garis h tidak memotong maupun menyinggung
parabola. Hal ini terjadi bila D < 0.
Gambar 31 (b) menunjukkan bahwa garis h menyinggung parabola. Hal ini terjadi
bila D = 0
Gambar 31 © menunjukkan bahwa garis h memotong parabola di dua titik yang
berlainan. Hal ini terjadi bila D > 0.
Contoh 26
Tentukan kedudukan garis y = x + 2 terhadap parabola y2 = 8x
Jawab :
Y = x + 2
Y2 = 8x
Dari persamaan (a) dan (b), diperoleh
(x + 2)2 = 8x
 x2 + 4x + 4 – 8x = 0
 x2 – 4x + 4 = 0
D = (-4)2 – 4.1.4 = 16 – 16 = 0
Ternyata D = 0, sehingg dapat disimpulkan bahwa garis y = x + 2 merupakan garis
singgung parabola y2 = 8x.
7. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m pada Parabola
Syarat garis menyinggung parabola adalah D = 0. Sehingga dari persamaan (24),
kita dapat menuliskan persamaan
16p (p – mn) = 0  16p2 – 16 pmn = 0

16.  16 pmn = 16 p2
 n =
16𝑝2
16𝑝𝑚
 n =
𝑝
𝑚
Jadi, persamaan garis singgung pada parabola y2 = 4px didefinisikan dengan
persamaan
Y = mx +
𝑝
𝑚
Contoh 27
Tentukan persamaan garis singgung pada parabola y2 =
4
3
𝑥 dengan gradient sama
dengan 2.
y2 =
4
3
𝑥, maka 4 p =
4
3
, sehingga p =
1
3
Gradien = 2, maka m = 2
Persamaan garis singgungnya adalah
y= mx +
𝑝
𝑚
 y = 2x +
1
3
2
 y = 2x +
1
6
8. Persamaan Garis Singgung melalaui sebuah titik pada parabola
Perhatikan gambar 2.32 yang memperlihatkan sebuah garis h yang menyinggung
parabola y2 = 4px di titik P (x1, y1).
Garis h yang melalui titik P (x1, y1), sehingga persamaan garis h adalah
y-y1 = m (x – x1) …(25)

17. Secara geometri gradient garis singgung di titik (x1, y1) pada kurva (dalam hal ini
parabola) didefinisikan dengan persamaan
m =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
]
(𝑥1,𝑦1)
Selanjutnya pandang parabola
y2 = 4px  x =
𝑦2
4𝑝

𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
2𝑦
4𝑝
=
𝑦
2𝑝
, maka
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
2𝑝
𝑦
Sehingga gradient garis singgung pada parabola y2 = 4px di titik (x1, y1) adalah
m =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
]
(𝑥1,𝑦1)
=
2𝑝
𝑦1
Dari persamaan (25) dan (26), diperoleh
Y – y1 =
2𝑝
𝑦1
(x – x1)
 yy1 – y1 = 2p(x – x1)
Titik P (x1, y1) terletak pada parabola y2 = 4px, maka
y12 = 4px
Dari persamaan (27) dan (28), diperoleh
Yy1 – 4px1 = 2px – 2px1  yy1 = 2px + 2px1
 yy1 = 2p (x + x1)
Jadi, persamaan garis singgung parabola y2 = 4px di titik (x1, y1) didefinisikan
dengan
Yy1 = 2p (x + x1)
Contoh 28
Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x di titik (18,12).
Jawab :

18. Y2 = 8x, maka 4p = 8, sehingga [ = 2.
(x1, y1) adalah (18, 12).
Persamaan garis singgungnya adalah
Yy1 = 2p (x + x1) y (12) = 2.2 (x + 18)
 12y = 4 (x + 18)
 y =
1
3
x + 6.
Contoh 29
Tentukanlah persamaan garis singgung yang melalui titik potong antara garis x – y =
3 dan parabola y2 =4x.
Jawab :
X – y = 3  y = x – 3
y2 = 4x
Dari persamaan (a) dan (b), diperoleh
(x – 3)2 =4x  x2 – 6x + 9 – 4x = 0
 x2 – 10x + 9 = 0
 (x – 9) (x – 1) = 0
X = 9 atau x = 1
Untuk x = 9, maka y = 9 – 3 = 6
Untuk x = 1, maka y = 1 – 3 = -2
Sehingga titik potongnya adalah (9,6) dan (1, -2).
y2 = 4x, maka 4p = 4, sehingga p = 1
Persamaan garis singgung parabola y2 = 4x di titik (9, 60 adalah

19. Yy1 = 2p (x + x1) 6y = 2(x + 9)
 y =
1
3
x + 3
Sedangkan di titik (1, -2) adalah
-2y = 2 (x + 1)  y = -x -1
9. Persamaan Garis Singgung melalui sebuah titik di luar parabola
Contoh 30
Buktikan bahwa titik P (4, 3) terletak di luar parabola y2 = 2x. Kemudian tentukan
persamaan garis singgung parabola itu yang melalui titik P.
Jawab :
Subtitusikan P (4, 3) pada parabola y2 = 2x. Ternyata 32 > 2(4), ini artinya titik P
(4,3) terletak di luar parabola y2 = 2x.
Karena y2 = 4px dan y2 = 2x, maka
2 = 4p, maka p =
1
2
Persamaan garis singgung dengan gradient m pada y2 = 4px adalah y = mx +
𝑝
𝑚
..(a)
Garis singgung tersebut melalui titik P( 4,3) pada parabola y2 = 2x, maka persamaan
(a) menjadi :
3 = 4m +
1
2
𝑚
3 = 4m +
1
2𝑚
11 x 2m
6m = 8m2 + 1
8m2 – 6m + 1 = 0
(2m – 1) (4m – 1) = 0
M =
1
2
, m =
1
4

20. Untuk m =
1
4
maka persamaan garis singgungnya adalah
y – 3 =
1
4
(x – 4)  y =
1
4
𝑥+ 2
g1 : y =
1
4
𝑥+2
Sedangkan untuk m =
1
2
persamaan garis singgungnya adalah
y – 3 =
1
2
( 𝑥 − 4) ≤> 𝑦 =
1
2
x + 1
g2 : y =
1
2
𝑥+1
LATIHAN
1. Tentukan kedudukan garis berikut terhadap parabola y2 = 5x
2. Garis y = x + c menyinggung parabola y2 = 8x di titik P. TEntukan
3. Suatu garis dengan gradient I menyinggung parabola y2 = 4x di titik P, tentukan
4. Titik P yang berkoordinat 4 terletak pada parabola y2 = -8x. Tentukan
5. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x yang membentuk sudut
450 terhadap sumbu X.
6. Titik A dan B masing-masing berabsis 4 dan 1 terletak pada parabola y2 = 9x,
tentukan :
7. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola y2 = 4x yang tegak lurus
dengan garis y =
1
3
√3𝑥+ 5.
C. ELIPS
1. Persamaan Elips yang pusatnya di O (0,0)
Perhatikan gambar 2.34 (a) yang memperlihatkan sebuah elips yang berpusat di
titik O (0,0).

21. Gambar 2.34
Titik P (x, y) terletak pada elips. Jika kedua titik tertentu tersebut, yang
dinamakan focus-fokus adalah F1(-c, 0) dan F2(c, 0), maka berdasarkan definisi
PF1 + PF2, adalah tetap, misalkan 2a.
Jadi, dapat ditulis
PF1 + PF2 = 2a …(29)
Berdasarkan rumus jarak dua titik, persamaan (29) menjadi
√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 + √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 2a
 √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 2 a - √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2
 √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 4a2 – 4 a √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 + (x – c)2 + y2
 x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 – 4a √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 + x2-2cx + c2 + y2
 4a√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 4a2 – 4vx
 a √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = a2 – cx
 a2 ((x – c)2 + y2) = (a2 – cx)2
 a2x2 -2a2 cx + a2c2 + a2y2 = a4 – 2a2 cx + c2x2
(a2 – c2)x2 + a2y2 = a2 (a2 – c2)

𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
(𝑎2−𝑐2 )
= 1
Dari gambar 2.34 (b) diperoleh hubungan a2 = b2 + c2 atau a2 – c2 = b2

22. Dari persamaan (30) dan (31), diperoleh persamaan elips dengan pusat O(0,0),
yakni :
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 =1
Sifat-sifat elips
1) Elips mempunyai sumbu mayor (sumbu panjang) dan sumbu minor (sumber
pendek). Dalam gambar 2.34 (a), yang merupakan sumbu mayor adalah AA’
dan sumbu minor adalah BB’
2) Elips
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 =1 memotong sumbu X di titik (a, 0) dan (-a, 0), dan memotong
sumbu Y di titik (0, b) dan (0, -b). Sehingga panjang sumbu mayor = 2a dan
panjang sumbu minor = 2b.
3) Sumbu simetri elips adalha sumbu mayor dan sumbu minor. Sumbu mayor
dan sumbu minor berpotongan di titik pusat elips.
4) Sumbu mayor dan sumbu minor berpotongan dengan elips di puncak-puncak
elips. Dalam gambar 2.34 (a), yang merupakan puncak elips adalah titik A
(a,0), A’(-a, 0), B(0, b), dan B’(0, -b).
5) Perbandingan jarak dari suatu titik pada elips ke titik focus dengan garis
direktriks disebut eksentrisitas, disingkat e.
Besarnya eksentrisitas (e) adalah
e =
𝑐
𝑎
dengan 0 < e < 1.
Karena c = √𝑎2 − 𝑏2,maka e = √
𝑎2
−𝑏2
𝑎

23. Contoh 31
Diketahui persamaan elips adalah 9x2 + 25 y2 = 225
Tentukan titik-titik puncak elips, dan titik-titik fokusnya, kemudian sketsalah elips
tersebut!
Jawab :
9x2 + 25y2 = 225

9𝑥2
225
+
25𝑦2
225
=1

𝑥2
25
+
𝑦2
9
=1
Sehingga diperoleh
a2 = 25 a = ±5
b2 = 9  b = ± 3
Jadi puncak-puncak elips adalah A (5, 0),
A’ (-5, 0), B(0,3), dan B’ (0, -3).
Pada elips berlaku hubungan c2 = a2 – b2, sehingga
c2 =25- 9 =16  c = 4
Jadi, focus elips adalah F1 (-4, 0) dan F2 (4,0).
Sketsa elipsnya tampak dalam gambar 2.35
Gambar 2.35

24. 2. Persamaan Elips yang Pusatnya di (p, q)
Perhatikan gambar 2.39 yang memperlihatkan sebuah elips dengan pusat di (p,
q). F1 dan F2 merupakan focus dengan koordinat (p + c, q) dan (p – c, q).
Titik-titik A, A’, B, dan B’ merupakan puncak-puncak elips dengan koordinat A (p
+ a, q)
A’ (p – a, q), B (p, q + b), dan B’ (p, q – b).
Persamaan elips pada gambar 2.39 adalah
(𝑥−𝑝)2
𝑎2 +
(𝑦−𝑞)2
𝑏2 =1
Contoh 35
Diketahui elips dengan persamaan x2 + 4y2 -2x – 16y + 13 = 0
Tentukanlah
a. Pusat elips
b. Sumbu mayor dan sumbu minor
c. Koordinat titik focus
d. Koordinat titik puncak
e. Sketsa grafiknya
Jawab :
Ubahlah persamaan x2 + 4 y2 – 2x – 16y + 13 = 0 ke dalam bentuk
(𝑥−𝑝)2
𝑎2 +
(𝑦−𝑞)2
𝑏2 =1, sebagai berikut :
x2 + 4y2 – 2x – 16y + 13 = 0
 x2 – 2x + 1 + 4y2 – 16y + 16 – 4 = 0
 (x2 – 2x + 1) + (4y2 – 16y + 16) =4

(𝑥2
−2𝑥+1)
4
+
4(𝑦2
−4𝑦+4)
4
=1

25. 
(𝑥−1)2
4
+
(𝑦−2)2
1
=1
Dari persamaan terakhir, diperoleh a = 2, b = 1, p = 1 dan q = 2. Sehingga dpaat
ditentukan
a. Pusat elips di (p, q) adalah (1, 2)
b. Sumbu mayor 2 a adalah 4 dan sumbu minor 2 b adalah 2
c. C = √𝑎2 − 𝑏2 , = √22 − 12,= √3
Koordinat F 1 (p + c, q) dan F2 (p – c, q) adalah F1 (1 + √3, 3 dan F2 (1 - √3, 2)
d. Koordinat titik puncaknya A (p + a, q), A’(p-a, qA), B(p, q+ b), dan B’(p, q-b)
adalah A(3,2), A’(-1,2), B(1,3) dan B’(1,1).
e. Sketsa grafiknya tampak pada gambar 2.40
Gambar 2.40
Persamaan elips dengan pusat di (p, q) yang lalin diperlihatkan di dalam gambar
2.41.
Gambar 2.41
Koordinat titik fokusnya F1 (p, q + c) dan F2 (p, q – c). Koordinat titik puncaknya A
(p, q + a), A’(p, q – a), B(p + b, q) dan B’(p-b, q). Persamaan elips ini adalah.

26. (𝑥−𝑝)2
𝑏2 +
(𝑦−𝑝)2
𝑎2 =1
Diketahui elips dengan persamaan 4x2 + y2 -8x – 4y + 4 = 0
Tentukanlah :
a. Pusat elips
b. Sumbu mayor dan sumbu minor
c. Koordinat titik fokus
d. Koordinat titik puncak
e. Sketsa grafiknya
Jawab :
4x2 + y2 -8x – 4y + 4 = 0
 4x2 – 8x + 4 + y2 – 4y + 4 – 4 = 0
 (4x2 – 8x + 4) + (y2 – 4y + 4) = 0

4(𝑥2
−2𝑥+1)
4
+
(𝑦2
−4𝑦+4)
4
= 1

(𝑥−1)2
4
+
(𝑦−2)2
1
=1
Dari persamaan terakhir , diperoleh b = 1, a = 2, p = 1 dan q = 2
Sehingg adapat ditentukan:
a. Pusat elips di (p, q) adalah (1,2).
b. Sumbu mayor 2 a adalah 4 dan sumbu minor 2b adalah 2.
c. c = √𝑎2 − 𝑏2 = √22 − 12 = √3, koordinat titik fokusnya F1 (1, 2 + √3 ) dan
F2 (1, 2 - √3 ).
d. Koordinat titik puncaknya A (p, q + a), A’ (p, q – a), B(p + b, q), dan B’ (p – b,
q) adalah A (1, 4), A’ (1, 0), B (2,2) dan B’ (0, 2).

27. e. Sketsa grafiknya tampak di dalam gambar 2.42
Gambar 2.42
3. Perpotongan antara Garis dengan Elips
Perhatikan gambar 2.43 yang memperlihatkan kedudukan sebuah garis lurus
terhadap elips.
Gambar 2.43
Bila persamaan garis h adalah y = mx + n dan persamaan elips adalah
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2=1, maka dari kedua persamaan tersebut diperoleh
𝑥2
𝑎2 +
(𝑚𝑥+𝑛)2
𝑏2 = 1
 b2x2 + a2 (m2x2 + 2mx + n2 ) =a2b2
 (b2 + a2m2)x2 + 2mna2 x + (a2n – a2b2) = 0
 (b2 + a2m2)x2 + 2a2mnx + a2 (n2 – b2) = 0
Persamaan terakhir merupakan persamaan kuadrat dalam x. Diskriminan
persamaan ini adalah :
D = (2a2mn2) – 4 (b2 + a2m2)a2 (n2 b2)
 D = 4a4m2n2 – 4a2 (b2 n2 – b4 + a2m2n2 – a2b2m2)

28.  D = 4a4m2n2 – 4a2 b2 n2 + 4a2m2n2 – 4a2b2m2 + 4a2b2m2
 D = – 4a2 b2 (n2 – b2 + a2m2)
Kedudukan garis h terhadpa elips ditentukan oleh nilai diskriminan di atas,
sebagai berikut.
a. Jika D < 0, maka garis h tidak memotong maupun menyijnggung elips (lihat
gambar 2.43(a)).
b. Jika D = 0, maka garis h menyinggung elips (lihat gambar 2.43 (b)).
c. Jika D > 0, maka garis h memotong elips di dua titik yang berbeda (lihat
gambar 2.43 (c)).
4. Persamaan Garis Singgung dengan gradient m pada Elips
Jika garis h : y = mx + n menyinggung elips
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2=1, maka besarnya
diskriminan D = 0. Kita sudah mengetahui bahwa diskriminan dari persamaan
kuadrat yang dihasilkan oleh kedua persamaan di atas adalah D = -4a2b2 (n2-b2 –
a2m2), sehingga diperoleh -4a2b22 (n2-b2 –a2m2) = 0
 n2 - b2 – a2m2 = 0
 n2 = b2 + a2m2
 n = ± √𝑎2 𝑚2 + 𝑏2
Jadi, persamaan garis singgung pada elips
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 =1 dengan gradient m
didefinisikan dengan persamaan :
y = mx ± √𝑎2 𝑚2 + 𝑏2
5. Persamaan Garis singgung melalui sebuah titik pada elips

29. Perhatikan gambar 2.44 yang memperlihatkan sebuah garis h yang
menyinggung elips
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2=1 di titik P (x1, y1).
Karena garis h melalui titik P (x1, y1), maka persamaan garis h adalah
y – y1 = m (x – x1) …(32)
Secara geometri gradient garis singgung di titik P (x1, y1) pada elips didefinisikan
dengan persamaan
m =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
]
(𝑥1,𝑦1)
Dengan mengambil diferensial pada elips
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2=1
d (
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 ) = d (1)
 d (
𝑥2
𝑎2) + d +(
𝑦2
𝑏2) =0

2𝑥
𝑎2 dx +
2𝑦
𝑏2 = 0

2𝑦
𝑏2 dy = -
2𝑥
𝑎2 dx

𝑑𝑦
𝑑𝑥
= -
2𝑥
𝑎2
𝑏2
2𝑦

𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑏2
𝑎2
𝑥
𝑦
Diperoleh gradient garis singgung pada elips
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 =1 di titik (x1, y1 adalah
m =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
]
(𝑥1,𝑦1)
=
𝑏2
𝑎2
𝑥
𝑦
dari persamaan (32) dan (33), diperoleh
y – y1 = -
𝑏2
𝑎2
𝑥
𝑦
(x – x1)
 a2yy1 – a2y12 = -b2xx1 + b2 x12

30.  a2yy1 + b2xx1 = a2y12 + b2x12

𝑥𝑥1
𝑎2 +
𝑦𝑦1
𝑏2 =
𝑦1
2
𝑏2 +
𝑥1
2
𝑎2

𝑥𝑥1
𝑎2 +
𝑦𝑦1
𝑏2 =
𝑥1
2
𝑎2 +
𝑦1
2
𝑏2 …(34)
Titik P (x1, y1) terletak pada elips
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2=1, maka berlaku
𝑥1
2
𝑎2 +
𝑦1
2
𝑏2=1 …(35)
Dari persamaan (34) dan (35) diperoleh
𝑥𝑥1
𝑎2 +
𝑦𝑦1
𝑏2
Jadi, persamaan garis singgung elips
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 =1 di titik P (x1, y1) didefinisikan
dengan persamaan.
𝑥𝑥1
𝑎2 +
𝑦𝑦1
𝑏2
D. HIPERBOLA
1. Persamaan Hiperbola dengan Pusat di O(0,0)
Perhatikan gambar 2.45, yakni sebuah hiperbola yang berpusat di O (0, 0).
Gambar 2.45
Jika kita menentukan dua titik tertentu, yang dinamakan fokus, di F1 (-c, 0) dan
F2 (c, 0) dan jika konstanta tersebut sama dengan 2a, maka sebuah titik P (x, y)
terletak pada hiperbola itu jika dan hanya jika
√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 2a + √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2
(√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2)2
= (2𝑎 + √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2)2

31. (x + c)2 + y2 = 4a2 + 4a √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2+ (x – c)2 + y2
x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 + 4a √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 + x2 – 2xc + c2 + y2
4a √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = -4a2 + 4cx
a √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = -a2 + cx
(a √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2)2 = (a2 + cx)2
a2 ((x – c)2 + y2 ) = a4 – 2a2cx + c2x2
a2 (x2 – 2cx + c2+ y2
) =
a4
– 2a2
cx + c2
x2
a2
x2
– 2a2
cx + a2
c2
+ a2
y2
= a4
– 2a2
cx + c2
x2
(a2
– c2
)x2
+ a2
y2
= a4
–a2
c2
(c2
– a2
) x2
– a2
y2
= a2
(c2
–a2
)
𝑥2
𝑎2 -
𝑦2
(𝑐2 − 𝑎2 )
= 1 …(36)
Karena c > 0, maka c2 > a2 , sehingga c2 – a2 > 0 . Misalkan kita tentukan c2 – a2
= b2, sehingga persamaan (36) menjadi
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2=1 …(37)
Persamaan di atas adalah persamaan hiperbola
Sifat-sifat hiperbola:
a. Perpotongan antara sumbu koordinat dengan hiperbola disebut puncak.
Koordinat-koordinat puncak persamaan hiperbola (37) adalah (-a, 0) dan (a,
0).
b. Ruas garis yang menghubungkan kedua fokus disebut sumbu mayor. Pada
gambar 2.45 sumbu mayornya adalah AA, yang panjangnya 2a.

32. c. Ruas garis yang melalui titik pusat hiperbola dan memotong tegak lurus
sumbu mayor disebut sumbu minor. Pada gambar 2.45 sumbu minornya
adalah BB’ yang panjangnya 2b.
d. Sumbu simetri persamaan hiperbola (37) adalah sumbu X dan sumbu Y.
Sumbu simetri yang melalui F1 dan F2 disebut sumbu utama atau sumbu
nyata. Sumbu simetri yang melalui titik tengah F1 dan F2 serta tegak lurus
sumbu mayor disebut sumbu sekawan atau sumbu imajiner
e. Persamaan hiperbola (37) mempunyai asimtot :
y =
𝑏
𝑎
x dan y = -
𝑏
𝑎
x
Perhatikan gambar 2.46.
Garis g dan h adalah garis asimtot
g : y = -
𝑏
𝑎
x
h : y =
𝑏
𝑎
x
terlihat bahwa garis g dan h membatasi daerah grafik dari masing-masing
cabang hiperbola.
2. Persamaan Hiperbola dengan Pusat di (p,q)
Perhatikan gambar 2.51 yakni sebuah hiperbola dengan pusat di (p,q)
Persamaan hiperbola dalam Gambar 2.51 adalah
(𝑥−𝑝)2
𝑎2 −
(𝑦−𝑞)2
𝑏2 = 1
Hiperbola ini mempunyai sifat:
a. Koordinat titik puncaknya A(p +a, q) dan A’(p – a,q)
b. Koordinat fokusnya F1 (p + c, q) dan F2 (p – c,q)

33. c. Koordinat titik ujung sumbu minor (p, q + b) dan (p, q – b)
d. Persamaan asimtotnya adalah
g : y = −
𝑏
𝑎
( 𝑥 − 𝑝) + 𝑞 𝑑𝑎𝑛 ℎ ∶ 𝑦 −
𝑏
𝑎
( 𝑥 − 𝑝) + 𝑞
Contoh 44
Diketahui hiperbola dengan persamaan
(𝑥−3)2
16
−
(𝑦−2)2
9
= 1
Tentukan :
a. Koordinat titik pusat
b. Koordinat titik puncak
c. Koordinat titik focus
d. Koordinat ujung sumbu minor
e. Persamaan asimtot
f. Sketsalah Grafiknya
3. Perpotongan antara garis dengan hiperbola
Diketahui hiperbola dengan persamaan
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1 …(38)
Dan garis h dengan persamaan
y = mx + n …(39)
Jika persamaan (39) disubtitusikan ke dalam persamaan (38), diperoleh
𝑥2
𝑎2 −
(𝑚𝑥 +𝑛)2
𝑏2 = 1
 b2x2 – a2 (m2x2 + 2mnx + n2) – a2 b2 = 0
 (b2 – a2m2)x2 – 2a2mnx – a2 (n2 + b2) = 0

34. Persamaan yang terkahir merupakan persamaan kuadrat dalam x. Diskriminan
dari persamaan ini adalah
D = (-2a2mn)2 – 4 (b2 –a2m2) (-a2 (n2 + b2))
 D = 4a4 m2n2 + 4a2 (b2n2 + b4 – a2 m2n2 – a2b2m2)
 D = 4a2b2 (n2 + b2 –a2m2)
Kedudukan garis h terhadap hiperbola ditentukan oleh nilai D di atas, sehingga
ada tiga kemungkinan hubungan antara garis h dengan hiperbola, seperti
diperlihatkan dalam Gambar 2.55
Gambar 2.55
Gambar 2.55 (a) menunjukkan bahwa garis h tidak memotong maupun
menyinggung hiperbola. Hal ini terjadi bila D < 0/
Gambar 2.55 (b) menunjukkan bahwa garis h menyinggung hiperbola. Hal ini
terjadi bila D = 0.
Gambar 2.55 (c) menunjukkan bahwa garis h memotong hiperbola di dua titik
yang berbeda. Hal ini terjadi bila D > 0.
4. Persamaan Garis singgung dengan gradient m pada Hiperbola
Jika garis h menyinggung hiperbola, maka diskriminan D = 0, sehingga
4a2b2 (n2 + b2 – a2m2) = 0
 n2 + b2 – a2m2 = 0

35.  n2 = a2m2 – n2
 n = ± √𝑎2 𝑚2 − 𝑏2
Jadi persamaan garis singgung dengan gradient m pada hiperbola
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1
didefinisikan dengan persamaan
Y = mx ± √𝑎2 𝑚2 − 𝑏2
Contoh 47
Tentukan persamaan garis singgung dengan gradient 1 pada hiperbola
𝑥2
100
−
𝑦2
64
= 1
Jawab :
𝑥2
100
−
𝑦2
64
= 1 , maka a2 = 100, b2 = 64
Gradien m = 1
Persamaan garis singgungnya adalah :
Y = mx ± √𝑎2 𝑚2 − 𝑏2
 y = x ± √100.1 − 64
 y = x ± √36
 Y = X ± 6
5. Persamaan Garis singgung melalui sebuah titik pada hiperbola
Dari gambar 2.56 tampak sebuah garis h yang menyinggung hiperbola
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1 di titik P (x1, y1)
Garis h melalui titik (x1, y1) sehingga persamaan garis h adalah
y - y1 = m (x – x1) …(40)

36. Kita mengetahui bahwa m =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
]
(𝑥1,𝑦1)
Diferensialkan persamaan hiperbola sebagai berikut :
Gambar 2.56
d(
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 ) = 𝑑(1)
 d(
𝑥2
𝑎2) − d (
𝑦2
𝑏2 ) = 0

2𝑥
𝑎2 𝑑𝑥 -
2𝑦
𝑏2 𝑑𝑦 = 0

2𝑦
𝑏2 𝑑𝑦 =
2𝑥
𝑎2 𝑑𝑥

𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑥
𝑎2
𝑏2
2𝑦

𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑏2
𝑥
𝑎2 𝑦
Sehingga gradient garis singgung pada hiperbola
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1 di titik (x1, y1)
adalah
m =
𝑏2
𝑥1
𝑎2 𝑦1
…(41)
dari persamaan (4) dan (41), diperoleh
y – y1 =
𝑏2
𝑥1
𝑎2 𝑦1
(x – x1)
 a2yy1 – a2y12 = b2xx1 – b2 x12
 a2yy1 – b2xx1 = a2y1 – b2 x12

𝑦𝑦1
𝑏2 −
𝑥𝑥1
𝑎2 =
𝑦1
2
𝑏2 −
𝑥1
2
𝑎2

37. 
𝑥𝑥1
𝑎2 −
𝑦𝑦1
𝑏
=
𝑥1
2
𝑎2 −
𝑦1
2
𝑏2 …(42)
Titik P (x1, y1) terletak pada hiperbola
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1, maka berlaku
𝑥1
2
𝑎2 −
𝑦1
2
𝑏2 = 1 …(43)
Dari persamaan (42) dan (43), diperoleh
𝑥𝑥1
𝑎2 −
𝑦𝑦1
𝑏2 = 1
Jadi persamaan garis singgung hiperbola
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1 di titik (x1, y1) di definisikan
dengan persamaan
𝑥𝑥1
𝑎2 −
𝑦𝑦1
𝑏2 = 1
6. Persamaan Garis singgung melalui sebuah titik di luar hiperbola
Contoh 49
Tunjukkan bahwa titik P(0,0) terletak di luar hiperbola
𝑥2
9
−
𝑦2
4
= 1
Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola tersebut yang melalui titik P.
Jawab:
Subtitusikan titik P (0,0) pada hiperbola
𝑥2
9
−
𝑦2
4
= 1, di dapat
02
9
−
02
4
< 1. Ini
artinya titik P terletak di luar hiperbola.
Misalkan persamaan garis singgung yang melalui titik P(0,)) dengan gradien m,
adalah y – 0 = m (x – 0)
 y = mx …(a)
Persamaan hiperbolanya
𝑥2
9
−
𝑦2
4
= 1
 4x2 – 9y2 – 36 = 0 …(b)

38. Subtitusikan persamaan (a) ke (b), diperoleh
4x2 – 9y2 – 36 = 0  4x2 – 9m2x2 – 36 = 0
 (4-9m2) x2 – 36 = 0
Diskriminan dari persamaan terakhir di atas adalah
D = 02 – 4 (4 – 9m2) (-36) = 576 – 1296 m2
Karena garis menyinggung hiperbola, haruslah D = 0, sehingga
576 – 1296 m2 = 0
 1296 m2 = 576
 m = ± √
576
1296
= ±
24
36
= ±
2
3
Persamaan garis singgung untuk m =
2
3
adalah y =
2
3
x sedangkan untuk m = -
2
3
adalah y = -
2
3
x
LATIHAN ULANGAN BAB 2
A. Pilihlah satu jawaban yang benar!
1. Persamaan lingkaran yang titik pusatnya P(-5, 4) dan melalui titik Q (2, -3)
adalah…..
a. x2 +y2 + 5x – 4y + 57 = 0
b. x2 + y2 – 10x + 8y + 9 = 0
c. x2 + y2 -10x + 8y -9 =0
d. x2 + y2 + 10x – 8y -57 = 0
e. x2 + y2 + 10x – 8y + 57 = 0

39. 2. Lingkaran yang titik pusatnya P (-3, 4) dan menyinggung garis 6x – 8y + 25 = 0
mempunyai jari-jari r = …..satuan.
a.
1
10
b. 2
1
2
c. 5
d. 7
3
10
e. 10
3. Diketahui titik A(1, 1) dan B (5, 7). Persamaan lingkaran yang diameternya AB
adalah ….
a. x2 + y2 – 6x – 8y – 27 = 0
b. x2 + y2
4. Diketahui garis g dengan persamaan 2x + y = 2. Persamaan lingkaran yang
menyinggung garis g di titik (1, 0) dan berjari – jari 2√5 adalah ….
a. x2 + y2 + 10x + 4y + 9 = 0 d. x2 + y2 + 10x +4y – 9 = 0
b. x2 + y2 – 10x -4y + 9 = 0 e. x2 + y2 – 4x – 10y +9 = 0
c. x2 + y2 – 10x – 4y – 9 = 0
5. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 – 4x +6 – 45 = 0 melalui titik P
(_1, 4) adalah ….
a. 3x – 7y – 31 = 0 d. 7x – 3y – 31 = 0
b. 3x – 7y + 31 = 0 e. 7x – 3y + 31 = 0
c. 7x + 3y – 31 = 0
6. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 8x + 6y = 0 melalui titik (0, 0)
adalah ….

40. a. 4x – 3y = 0 d. 2x – 3y = 0
b. 3x – 4y = 0 e. 3x +4y = 0
c. 4x +3y = 0
7. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 24 yang di tarik dari titik P
pada lingkaran itu dengan ordinat – 4 di daerah kuadran III adalah ….
a. x√2 + 2y + 12 = 0 d. x + y √2 – 6 = 0
b. x√2 + 2y – 12 = 0 e. 2x + y√2 + 12 = 0
c. x + y √2 + 6 = 0
8. persamaan parabola dengan titik puncak ( 2,-3) melalui titik (4,1) dan sumbu
simetrinya sejajar sumbu x adalah…
a. 𝑦2
+ 6y – 8x – 25 = 0 d. 𝑦2
+ 6y – 2x + 13 = 0
b. 𝑦2
+ 6y – 8x + 25 = 0 e. 𝑦2
+ 6y – 2x + 13 = 0
c. 𝑦2
- 6y – 2x + 13 = 0
9. Koordinat titik fokus parabola (2x – 3)2 = 16 (y – 2) adalah….
a. (
1
2
, 1) d. (−1
1
2
, 1)
b. (
1
2
, 3) e. (1
1
2
, 4)
c. (−1
1
2
, 3)
10.Parabola dibawah ini titik fokusnya di (0,3). Persamaannya adalah
Gambar parabola
a. (y + 3)2 = -8(x +2)
b. (y – 3)2 = 8(x – 2)

41. c. (y – 3)2 = -8(x – 2)
d. (x – 2)2 = -8 (y – 3)
e. (x + )2 = 8 (y + 3)
11.Persamaan parabola yang titik puncaknya (6,0) dan titik fokusnya (0,0) adalah…
a. y2 = -24 x + 144 d. y2 = 36 x - 216
b. y2 = 24x – 144 e. y2
= 4x - 24
c. y2
= -36x + 216
12.Titik fokus parabola y2 -12 x – 4y + 16 = 0 adalah…
a. (5,1)
b. (4,2)
c. (-1,1)
d. (-2,2)
e. (1,2)
13.Bentuk umum persamaan irisan kerucut Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 akan
berbentuk persamaan parabola yang menghadap ke kiri apabila…
a. A = 0 dan B = 0
b. A = B = 0, C > 0 dan D > 0, atau C < 0 dan D < 0
c. A = 0, C > 0, D < 0
d. B = C = 0, A > 0 dan E > 0 atau A < 0 dan E < 0
e. B = C = 0, A > 0 dan E < 0
14.Persamaan garis singgung pada parabola y2 – 8x – 4y + 12 = 0 di titik (3, 6)
adalah…
a. X – y + 3 = 0

42. b. 2x – y = 0
c. X – 2y + 9 = 0
d. X + y – 9 = 0
e. 3x + y – 15 = 0
15.Persamaan garis singgung pada parabola y2 – 8x – 6y + 1 = 0 yang tegak lurus
pada garis x + 2y = 0 adalah…
a. 4x – 2y + 10 = 0
b. 6x – 3y + 2 = 0
c. 2x – y + 8 = 0
d. 2x – y + 6 = 0
e. 8x – 4y + 5 = 0
16.Elips dengan titik titik puncak (27,2), (-23,2), (2,9) dan (2,-5) persamaannya
adalah…
a.
(𝑥−2)2
729
+
(𝑦−2)2
81
= 1
b.
(𝑥−2)2
81
+
(𝑦−2)2
729
= 1
c.
(𝑥−2)2
625
+
(𝑦−2)2
49
= 1
d.
(𝑥−2)2
49
+
(𝑦−2)2
625
= 1
e.
(𝑥 + 2)2
729
+
(𝑦 + 2)2
81
= 1
17.Persamaan garis singgung pada elips x2 + 9y2 = 9 di titik (2,
1
3
√5) adalah…
a. 2x + 2 √5𝑦= 9
b. 2 √5𝑦 + 2y = 9

43. c. 2x + 4√5𝑦= 9
d. 2x + 3 √5𝑦= 9
e. 3 √5𝑦 + 2y = 9
18.Persamaan irisan kerucut Ax2 +Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, akan berupa
persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu x atau y jika…
a. A = C, B = 0
b. A = B = 0
c. A > 0, C > 0, A > C, B = 0
d. A > 0, C < 0, B = 0
e. A ≠ C , B ≠ 0.
19.Persamaan hiperbola dengan pusat (0,0) asimtotnya Y =
3
4
x dan Y =-
3
4
x.
Panjang sumbu imajiner = 9 dan fokusnya pada sumbu x adalah…
a. X2 – y2 =81
b. 100x2 – 81y2 = 8100
c. 81 x2 – 100y2 = 8100
d. 144x2 -81y2 = 1166y
e. 81x2 – 144y2
20.Persamaan garis singgung hiperbola x2 – y2 = 9 di titik (5,4) adalah…
a. 2 x – y = 6
b. 3x – 2y = 7
c. X – y = 7
d. 5x – 4y = 9
e. X – 24 = -3

44. B. Kerjakan dengan singkat dan tepat!
1. Jika garis y =
4
3
𝑥 + p menyinggung lingkaran x2 + y2 – 8x – 9 = 0 . Tentukanlah
nili-nilai p yang mungkin!
2. Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 – 6x – 36 = 0
yang tegak lurus pada garis 2x – 3y + 10 = 0.
3. Tentukanlah koordinat titik focus parabola (2x + 3)2 = 16 (y + 2)
4. Tentukanlah koordinat titik – titik fokus elips 25x2 + 9y2+ 100x – 72y + 19 = 0
5. Tentukan persamaan asimtot hiperbola 9x2 – 16 y2 + 18x + 64 y – 199 = 0.