matematika

2. Apa itu
transformasi
?
Transformasi dapat diartikan perubahan letak atau
bentuk dari suatu bangun geometri menjadi bangun
geometri yang lain. Dengan kata lain suatu bangun
geometri dapat diubah letak dan bentuknya.
Pernah, ada Transportasi,
Transmigrasi, Transplantasi,
Transisi dll.
Pernahkah kalian
mendengar istilah
yang menggunakan
kata Trans di awalnya
?
Jadi apa arti trans
dari kata-kata
tersebut ?
perpindahan
Benar, sekarang kita
akan belajar tentang
transformasi.

3. TRANSFORMASI
REFLEKSI ROTASI DILATASI
TRANSLASI

4. TRANSLASI

5. Pernahkah kalian
melihat permainan
catur ? Bagaimana
cara permainannya
?

6. Translasi (pergeseran) merupakan
transformasi yang memindahkan setiap
titik pada bidang dengan arah dan jarak
tertentu.
Apa yang terjadi
pada pion di
permainan catur,
dan cicak pada
gambar di samping
?
Itulah yang
disebut translasi,
jadi apa itu
translasi ?

7. a
b
T=
a
b
X
Y
O
P(x,y)
P’(x’,y’)
x
y
x’
y’
Sebuah Titik P(x,y) ditranslasikan sejauh a satuan
sepanjang sumbu X dan b satuan sepanjang sumbu Y,
diperoleh peta Titik P’(x’,y’).
Komponen translasi yang
memetakan
(memindahkan) titik P ditulis T =
a
b
= P’(x+a,y+b)

8. Bagaimana bila kita
mentranslasikan
sebuah bidang datar
?

9. Translasi T yang memetakan sebuah titik
P(x,y) sehingga diperoleh bayangan
P’(x’,y’) ditulis:
a
b
T=
P(x,y) P’(x+a, y+b)
Notasi lain:
T= :
a
b
P(x,y
)
P’(x+a, y+b)
Atau bisa ditulis:
x’
y’
= x + a
y + b dengan
x’ = x + a
y’ = y + b

10. CONTOH 1
Ruas garis AB dengan A(1,5) dan B(3,-2)
ditranslasikan 2 satuan searah sumbu X
dan 3 satuan searah sumbu Y.
Tentukan bayangannya?

11. PENYELESAIAN:
x’
y’
=
x + 2
y + 3
A(1,5) A’(1+2,5+3) = A’(3,8)
B(3,-2) B’(3+2,-2+3) = B’(5,1)
Pergeseran 2 satuan arah X dan 3 satuan arah Y
identik dengan komponen translasi T=
2
3
Peta (bayangan) titik ujung ruas garis masing-masing ditentukan
sebagai berikut:

12. 12
Contoh 2
Diketahui segitiga OAB dengan
koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan
B(3,5).Tentukan koordinat bayangan
segitiga OAB tersebut bila
ditranslasi oleh T = 







3
1

13. 13
Bahasan
(0,0) → (0 + 1, 0 + 3) = 0’(1,3)
(3,0) → (3 + 1, 0 + 3) = A’(4,3)
(3,5) → (3 + 1, 5 + 3) = B’(4,8)
X
y
O









3
1
T









3
1
T









3
1
T

14. 14
Contoh 3
Oleh suatu translasi, peta titik (1,-5)
adalah (7,-8). Bayangan kurva
y = x2 + 4x – 12 oleh translasi
tersebut adalah….

15. 15
Bahasan
Misalkan translasi tersebut T =
Bayangan titik (1,-5) oleh translasi T
adalah (1 + a, -5 + b) = (7,-8)
1+ a = 7 → a = 6
-5+ b = -8 → b = -3








b
a

16. 16
a = 6 dan b = -3 sehingga
translasi tersebut adalah T =
Karena T =
Maka x’ = x + a
y’ = y + b
x’ = x + 6 → x = x’ – 6
y’ = y – 3 → y = y’ + 6








 3
6








 3
6

17. 17
x = x’ – 6 dan y = y’ + 3 disubstitusi
ke y = x2 + 4x – 12
y’ + 3 = (x’ – 6)2 + 4(x’ – 6) – 12
y’ + 3 = (x’)2 – 12x’ + 36 + 4x’ - 24 -12
y’ = (x’)2 – 8x’ – 3
Jadi bayangannya: y = x2 – 8x – 3

18. LATIHAN
Garis g dengan persamaan
4x + 5y =11
ditranslasikan oleh vektor T=
sehingga diperoleh g’.
Tentukan persamaan garis g’ !
3
5

19. REFLEKSI

20. Apakah setiap
hari kalian
bercermin ?
Apa yang terjadi jika
kalian menjauh atau
mendekat ke cermin ?
Kenapa hal tersebut
terjadi ?

35. Dari contoh-contoh tersebut, sifat-
sifat apa yang dapat kalian
simpulkan dalam refleksi
(pencerminan) ?

36. X
Y
O
A(2,1)
B(5,4)
2
1
5
4
Sebuah garis yang melalui titik A(2,1) dan B(5, 4) direfleksikan trhdp
sumbu X dan Sumbu Y, garis y = x garis y = -x , O(0,0), x = 1, dan y = -1.
Tentukan bayangan garis terhadp pencerminan tersebut

37. ROTASI

38. Kalian tahu jam
dinding? Tahu juga
bagaimana
pergerakan jarum
jamnya?

39. Hal apa yang kalian
peroleh pada ketiga
contoh tersebut?
Itulah yang
disebut rotasi, jadi
apa itu rotasi ?
Rotasi atau perputaran adalah
transformasi yang memindahkan
suatu titik ke titik
lain dengan perputaran terhadap
titik pusat tertentu..
Arah perputaran dibagi menjadi
dua:
• Arah positif: berlawanan
dengan arah jarum jam.
• Arah negatif: searah dengan
arah jarum jam.

40. Contoh Soal
y
x
10 20 40
30
-10
10
-10
-20
-20
-30
-30
-40
20
30
0
Gambar koordinat
Kartesius
.P
.Q
.R
.S
Sebuah pesawat mainan pada titik
koordinat P(30,10) bergerak
berputar sebesar 90 berlawanan
arah jarum jam menuju titik Q.
Setelah tiba di titik Q, pesawat
melanjutkan rotasi sebesar 90 dari
titik asal menuju titik R.
Tunjukkanlah koordinat tujuan
pesawat tersebut pada koordinat
kartesius!
Dari
GambardapatkitalihatbahwaperputarantitikP
(30,10) sebesar90° berlawananarahjarum
jam menujutitikQ(–10,30).
Jikakitalanjutkanrotasisebesar90° darititik Q
menghasilkantitiktujuanR(-30,–10)
Dapatkitatulis:
𝑃 30,10
𝑅[𝑃 30,10 ,90°
𝑄 −10,30
𝑄 −10,30
𝑅[𝑄 −10,30 ,90°
𝑅 −30, −10
MisalkanPesawatmainantersebutbergerakb
erputar -90°, dimanakoordinat tujuan
pesawat tersebut pada koordinat
kartesiusnya?
Dari
GambardapatkitalihatbahwaperputarantitikP
(30,10) sebesar-90°
makaakanberadapadatitik S(10,-30).
Dapatditulis
𝑃 30,10
𝑅[𝑃 30,10 ,−90°
𝑆 10, −30

41. Sifat-sifat rotasi
Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan
ukuran.
Bangun yang diputar (rotasi) mengalami perubahan posisi.

42. DILATASI

43. Pernahkan kalian
memperbesar atau
memperkecil ukuran
foto untuk dicetak?
Ukuran Foto Panda 13 x 10,5 cm
Ukuran Foto Panda
6,5 x 5,25 cm

44. CONTOH DALAM MATEMATIKA

45. Seorang ibu menyimpan gula dalam sebuah gelas plastik
berbentuk tabung tanpa tutup dengan luas alas 616 𝑐𝑚2(alas
berbentuk lingkaran). Kemudian ibu menutup tabung tersebut
dengan plastik serta mengikatnya dengan karet gelang yang
berbentuk lingkaran dengan diameter 7 cm. Hitunglah
pembesaran karet tersebut?
Karet gelang

46. Penyelesaian :
𝐽𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑡 𝑔𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔 𝑟 =
1
2
∙ 𝑑
𝑟 =
1
2
∙ 7 =
7
2
𝑐𝑚
𝐽𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑡 𝑔𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔 𝑟
𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑎𝑠 𝑡𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔 = 𝜋𝑟2
=
22
7
∙ 𝑟2
= 616 𝑐𝑚2
𝑟2
=
7
22
∙ 616 𝑐𝑚2
𝑟2
= 196 𝑐𝑚2
𝑟 = 14 𝑐𝑚
∴ 𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑡𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔 ∶ 𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑡 𝑔𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔 = 14:
7
2
𝑎𝑡𝑎𝑢 4: 1 sehingga
pembesaran karet gelang adalah 4.

47. Dilatasi (pembesaran atau perkalian) ialah suatu
transformasi yang mengubah ukuran
(memperkecil atau memperbesar) suatu bangun
tetapi tidak mengubah bentuk bangun yang
bersangkutan. Dilatasi ditentukan oleh titik pusat
dan faktor (faktor skala) dilatasi.
Jadi, apa ya yang dimaksud
dengan dilatasi?
Pembesaran atau
perkalian itu nama
lain dari dilatasi

48. Apa yang dimaksud faktor
skala?
Faktor skala (k) adalah perbandingan antara jarak
titik bayangan dari titik pusat dilatasi dan jarak titik
benda berkaitan dari titik pusat dilatasi.
𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑠𝑘𝑎𝑙𝑎 𝑘 =
𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑏𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛
𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑛𝑑𝑎

49. Sebuah segitiga ABC dengan titik
A(1,2), B(2,3), dan C(3,1) dilatasi
terhadap titik 0 dengan faktor skala 2.
tentukan koordinat bayangan titik-titik
segitiga ABC.
Penyelesaian:
Koordinat bayangan titik A, B, dan C masing-masing adalah A1(2,4),
B1(4,6), dan C1(6,2).
A
B
C
A1
C1
B1

50. Jika titik 𝑃(𝑥, 𝑦) dilatasi terhadap pusat 𝑂(0,0) dan faktor skala
𝑘, didapat bayangan 𝑃’(𝑥’, 𝑦’) maka 𝑥’ = 𝑘𝑥 dan 𝑦’ = 𝑘𝑦 dan
dilambangkan dengan [𝑂, 𝑘]
𝑃(𝑥, 𝑦)
𝐷[0,𝑘]
𝑃′(𝑘𝑥, 𝑘𝑦)

51. Contoh 1: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(4,2),
C(4,3), dan D(3,3) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala
2. Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD!
A
D
B
C
Terdapat persegi ABCD dengan
titik A(3,2), B(4,2), C(4,3), dan
D(3,3)
Dilatasi
terhadap titik
A dengan
faktor skala 2.
B’
C’
D’
A’
Penyelesaian:
Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D masing-masing adalah
A’(3,2), B’(5,2), C’(5,4), dan D’(3,4)

52. Dari contoh 1 dapat disimpulkan
bahwa “jika k>1, maka bangun
terlihat diperbesar dan letaknya
searah terhadap pusat dilatasi
dengan bangun semula”.

53. Contoh 2: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(4,2),
C(4,3), dan D(3,3) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala
−2 . Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD!
A
D
B
C
Terdapat persegi ABCD dengan
titik A(3,2), B(4,2), C(4,3), dan
D(3,3)
Dilatasi
terhadap titik A
dengan faktor
skala −2 .
B’
C’ D’
A’
Penyelesaian:
Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D masing-masing adalah
A’(3,2), B’(1,2), C’(1,0), dan D’(3,0)

54. Dari contoh 2 dapat
disimpulkan bahwa “jika
k<-1, maka bangun
terlihat diperbesar dan
letaknya berlawanan arah
terhadap pusat dilatasi
dengan bangun semula”.

55. Contoh 3: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(4,2),
C(4,3), dan D(3,3) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala 1.
Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD!
A
D
B
C
Terdapat persegi ABCD dengan
titik A(3,2), B(4,2), C(4,3), dan
D(3,3)
Dilatasi
terhadap titik A
dengan faktor
skala 1.
Penyelesaian:
Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D tidak mengalami
perubahan (tidak diperbesar ataupun diperkecil), koordinatnya
tetap.

56. Dari contoh 3 dapat disimpulkan bahwa
“jika 𝑘 = 1 , maka bangun tidak
mengalami perubahan ukuran dan letak”.

57. Contoh 4: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(5,2),
C(5,4), dan D(3,4) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala
1
2
. Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD!
A
D
B
C
Terdapat persegi ABCD dengan
titik A(3,2), B(5,2), C(5,4), dan
D(3,4)
Dilatasi
terhadap titik
A dengan
faktor skala
1
2
.
B’
C’
D’
A’
Penyelesaian:
Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D masing-masing adalah
A’(3,2), B’(4,2), C’(3,2), dan D’(3,3)

58. Dari contoh 4 dapat disimpulkan
bahwa “jika 0 < 𝑘 < 1, maka bangun
terlihat diperkecil dan letaknya searah
terhadap pusat dilatasi dengan bangun
semula”.

59. Contoh 5: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(5,2),
C(5,4), dan D(3,4) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala
−
1
2
. Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD!
A
D
B
C
Terdapat persegi ABCD dengan
titik A(3,2), B(5,2), C(5,4), dan
D(3,4)
Dilatasi
terhadap titik
A dengan
faktor skala
−
1
2
.
B’
C’ D’
A’
Penyelesaian:
Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D masing-masing adalah
A’(3,2), B’(2,2), C’(2,1), dan D’(3,1)

60. Dari contoh 5 dapat disimpulkan
bahwa “jika −1 < 𝑘 < 0 , maka
bangun terlihat diperkecil dan
letaknya berlawanan arah terhadap
pusat dilatasi dengan bangun
semula”.

61. DILATASI PUSAT P(A,B)
DAN FAKTOR SKALA K

62. DAPAT DISIMPULAKAN BAHWA SIFAT
DILATASI ADALAH
Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat
mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah
bentuknya.
a. Jika k>1, maka bangun akan diperbesar dan terletak secara
terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
b. Jika k=1, maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan
letak.
c. Jika 0<k<1, maka bangun akan diperkecil dan terletak searah
terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
d. Jika -1<k<0, maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan
arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
e. Jika k<-1, maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan

63. TERIMA KASIH