Perpotongan Garis-Garis Materi Geometri Analitik

1. Perpotongan Garis-Garis 1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Garis adalah salah satu objek elementer dalam matematika, khususnya
geometri. Karena merupakan objek elementer, garis biasanya tidak didefinisikan.
Garis lurus adalah garis yang menghubungkan dua titik dengan jarak yang terdekat.
persamaan garis lurus merupakan persamaan dimana variable x dan y memiliki
pangkat tertinggi yaitu satu. Adapun bentuk umum persamaan garis lurus yaitu 𝑎𝑥 +
𝑏𝑦 + 𝑐 = 0. Dalam sebuah system koordinat, jika terdapat dua buah garis, maka
terdapat tiga kemungkinan yaitu garis tersebut sejajar, berimpit ataupun berpotongan
dimana masing-masing dari ketiga hal tersebut memiliki ciri tersendiri. Dalam materi
geometri analitik sebelumnya telah dijelaskan tentang cara menggambar sebuah grafik
yaitu dengan memisalkan sebarang nilai x dari berbagai titik untuk mencari titik
koordinat yang selanjutnya akan dihubungkan menjadi sebuah garis lurus yang mana
telah kita ketahui sbelumnya bahwa garis tersebut merupakan hasil dari kumpulan
titik-titik yang tak hingga batas. Namun terkadang dengan metode tersebut kita sering
kesulitan untuk mencari titi potong dari garis tersebut. Adapun untuk memahami lebih
lanjut tentang materi garis lurus, pada makalah ini kami akan membahas materi
kelanjutan dari garis lurus yaitu mengenai Perpotongan Garis-Garis.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, rumusan masalanya yaitu:
1. Apa yang dimaksud dengan perpotongan garis?
2. Bagaimana cara menentukan titik potong dari perpotongan garis?
C. Tujuan
Makalah ini betujuan untuk memenuhi tugas mata kuliah geometri analitik
sekaligus memberikan informasi mengenai perpotongan gari-garis pada sebuah garis
lurus.

2. Perpotongan Garis-Garis 2
BAB II
PEMBAHASAN
A. Perpotongan Garis-Garis
Titik potong antar dua garis, berarti titik itu terletak pada garis pertama maupun
pada garis kedua. Mencari koordinat titik potong antara dua garis adalah mencari
penyelesaian dari sistem persamaan linier dengan dua variable[1].
Tinjau dua persamaan linier 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0, dan 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0
dengan 𝑎1, 𝑎2, 𝑏1, 𝑏2 ≠ 0. Tiap persamaan linier ini mewakili sebuah garis pada
bidang[2]. Namakanlah garis-garis tersebut l1 dan l2. Karena sebuah titik (x,y) terletak
pada sebuah garis jika dan hanya jika bilangan-bilangan x dan y memenuhi persamaan
garis tersebut, maka pemecahan sistem persamaan tersebut akan bersesuaian dengan
titik perpotongan dari garis l1 dan l2
[3]. Adapun dua buah garis kita katakan
bepotongan apabila garis tersebut terletak pada satu bidang datar dan kedua garis
tersebut berpotongan disalah satu titiknya. Ada tiga kemungkinan:
a. Garis l1 mungkin sejajar dengan garis l2, dimana di dalam kasus ini tidak ada
perpotongan, dan sebagai konsekuensinya maka tidak ada pemecahan untuk
sistem tersebut.
b. Garis l1 mungkin berpotongan dengan garis l2 di hanya satu titik, dimana dalam
kasus ini kedua garis tersebut mempunyai satu titik potong sehingga sistem
persamaan tersebut mempunyai satu pemecahan.
c. Garis l1 mungkin berimpit dengan garis l2, dimana dalam kasus ini terdapat tak
terhingga banyaknya titik perpotongan, dan sebagai konsekuensinya maka tak
terhingga banyaknya pemecahan untuk sistem tersebut. Hal tersebut digambarkan
dalam grafik berikut[4]:
(a) (b) (c)
x
y
x
y
x
y
l1
l2
l1
l1 l2l2

3. Perpotongan Garis-Garis 3
Gambar 1
(a) Tidak ada pemecahan, (b) Satu Pemecahan, (c) Tak terhingga banyaknya
pemecahan.
B. Menentukan Titik Potong Garis
Menurut aljabar ada beberapa cara untuk menyelesaikan sistem persamaan
linier, antara lain dengan metode subtitusi, eliminasi, matriks, dan determinan[5].
1. Menggunakan Metode Subtitusi:
Untuk mencari titik potong terhadap kedua garis menggunakan metode
subtitusi dilakukan dengan cara menyatakan salah satu variabel ke dalam variabel
lainnya pada salah satu persamaan, kemudian mensubtitusikannya ke persamaan lain.
Contoh 1:
Tentukan titik potong dari persamaan berikut:
3𝑥 − 𝑦 = 10
𝑥 − 2𝑦 = 0
Penyelesaian:
Misalkan,
3𝑥 − 𝑦 = 10… … …… … … ( 𝑖)
𝑥 − 2𝑦 = 0 …… … …… … . (𝑖𝑖)
 Cara 1 (mensubtitusi y)
Pada persamaan (i) nyatakan variable y ke dalam variable x:
3𝑥 − 𝑦 = 10
𝑦 = 3𝑥 − 10… … .. (𝑖𝑖𝑖)
Subtitusikn persamaan (iii) ke persaman ke persamaan (ii):
𝑥 − 2𝑦 = 0
→ 𝑥 − 2(3𝑥 − 10) = 0 ↔ 𝑥 − 6𝑥 + 20 = 0
↔ −5𝑥 + 20 = 0
↔ −5𝑥 = −20
↔ 𝑥 =
−20
−5
↔ 𝑥 = 4
Subtitusikan x = 4 ke persamaan ke (iii):

4. Perpotongan Garis-Garis 4
𝑦 = 3𝑥 − 10 → 𝑦 = 3(4) − 10
↔ 𝑦 = 12 − 10
↔ 𝑦 = 2
𝑗𝑎𝑑𝑖,titik potong kedua garis tersebut yaitu (4,2)
 Cara 2 (Mensubtitusi x):
Pada persamaan (ii), nyatakan variable x ke dalam variable y:
𝑥 − 2𝑦 = 0
𝑥 = 2𝑦 …… … …(𝑖𝑣)
Subtitusikan (iv) ke (i), sehingga menjadi:
3(2𝑦) − 𝑦 = 10
↔ 5𝑦 = 10
↔ 𝑦 = 2
Subtitusikan y = 2 ke (iv):
𝑥 = 2𝑦
↔ 𝑥 = 2(2)
↔ 𝑥 = 4
Jadi, diperoleh titik potong kedua garis tersebut yaitu (4,2)
2. Menggunakan Metode Eliminasi:
Untuk mencari titik potong terhadap kedua garis menggunakan metode
eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan salah satu variabelnya.
Contoh 2:
Tentukan titik potong dari persamaan berikut:
3𝑥 − 𝑦 = 10
𝑥 − 2𝑦 = 0
Penyelesaian:
Misalkan,
3𝑥 − 𝑦 = 10… … …… … … ( 𝑖)
𝑥 − 2𝑦 = 0 …… … …… … . (𝑖𝑖)
Mengeliminasi/menghilangkan x:

5. Perpotongan Garis-Garis 5
3𝑥 − 𝑦 = 10 × 1 3𝑥 − 𝑦 = 10
𝑥 − 2𝑦 = 0 × 3 3𝑥 − 6𝑦 = 0
5𝑦 = 10
𝑦 = 2
Mengeliminasi/menghilangkan y:
3𝑥 − 𝑦 = 10 × 2 6𝑥 − 2𝑦 = 20
𝑥 − 2𝑦 = 0 × 2 𝑥 − 2𝑦 = 0
5𝑥 = 20
𝑥 = 4
Jadi, diperoleh titik potong kedua garis tersebut yaitu (4,2)
3. Matriks
Matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear.
Cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan matriks yaitu
mengubah bentuk persamaan ke dalam bentuk matriks[6]. Selanjutnya matriks tersebut
di selesaikan untuk mencari titik (x,y) dimana pada metode matriks ini juga
menggunakan invers pada matriks. Berikut langkah-langkah untuk mencari titik
potong garis dalam sebuah sistem persamaan menggunakan metode matriks.
Bentuk umum persamaan linear:
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0 → 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = −𝑐1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0 → 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = −𝑐2
Di ubah dalam bentuk matriks menjadi;
(
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
) (
𝑥
𝑦
) = (
−𝑐1
−𝑐2
)
Pada matriks, jika A = (
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
) maka: 𝐴−1
=
1
det 𝐴
(
𝑏2 −𝑏1
−𝑎2 𝑎1
) =
1
𝑎1 𝑏2−𝑎2 𝑏1
(
𝑏2 −𝑏1
−𝑎2 𝑎1
)
Sehingga diperoleh: ( 𝑥
𝑦
) =
1
𝑎1 𝑏2−𝑎2 𝑏1
(
𝑏2 −𝑏1
−𝑎2 𝑎1
) (−𝑐
−𝑐
) [7]
Contoh
Selesaikan system persamaan linear berikut dengan matriks!
{
3𝑥 − 𝑦 = 10
𝑥 − 2𝑦 = 0
[

6. Perpotongan Garis-Garis 6
Penyelesaian:
Kita nyatakan dulu system persamaan tersebut dalam bentuk matriks, yaitu:
(
3 −1
1 −2
)(
𝑥
𝑦
) = (
10
0
)
Sehingga:
⇔ (
𝑥
𝑦
) =
1
3(−2)− 1 − (−1)
(
−2 1
−1 3
) (
10
0
)
⇔ (
𝑥
𝑦
) =
1
−6 + 1
(
−2 1
−1 3
)(
10
0
)
⇔ (
𝑥
𝑦
) =
1
−5
(
−2(10)+ 1(0)
−1(10)+ 3(0)
)
⇔ (
𝑥
𝑦
) =
1
−5
(
−20
−10
)
⇔ (
𝑥
𝑦
) = (
4
2
)
Diperoleh nilai x = 4 dan y = 2, sehingga koordinat titik pototng kedua persamaan
garis tersebut yaitu (4,2)
4. Determinan
Selain menggunakan sifat invers pada matriks (metode ke-3) dalam mencari
titik potong dari suatu sistem persamaan garis juga dapat diselesaikan dengan
determinan.
Bentuk umum persamaan garis yaitu:
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0 ,
maka:
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = −𝑐1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = −𝑐2 ,
Jika diselesaikan dengan metode eliminasi, maka di dapat:
Eliminasi y:
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = −𝑐1 × 𝑏2 → 𝑎1 𝑏2 𝑥 + 𝑏1 𝑏2 𝑦 = −𝑐1 𝑏2
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = −𝑐2 × 𝑏1 → 𝑎2 𝑏1 𝑥 + 𝑏1 𝑏2 𝑦 = −𝑐2 𝑏1

7. Perpotongan Garis-Garis 7
⇔ 𝑎1 𝑏2 𝑥 − 𝑎2 𝑏1 𝑥 = −𝑐1 𝑏2 + 𝑐2 𝑏1
⇔ 𝑥(𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1) = −𝑐1 𝑏2 + 𝑐2 𝑏1
⇔ 𝑥 =
𝑐2 𝑏1 − 𝑐1 𝑏2
𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1
Diperoleh 𝑥 =
𝑐2 𝑏1−𝑐1 𝑏2
𝑎1 𝑏2−𝑎2 𝑏1
, atau dapat dituliskan dengan 𝑥 =
|
−𝑐1 𝑏1
−𝑐2 𝑏2
|
|
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
|
dimana
|
−𝑐1 𝑏1
−𝑐2 𝑏2
| = 𝑐2 𝑏1 − 𝑐1 𝑏2 yang tidak lain merupakan determinan dari (
−𝑐1 𝑏1
−𝑐2 𝑏2
).
Eliminasi x:
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = −𝑐1 × 𝑎2 → 𝑎1 𝑎2 𝑥 + 𝑏1 𝑎2 𝑦 = −𝑐1 𝑎2
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = −𝑐2 × 𝑎1 → 𝑎2 𝑎1 𝑥 + 𝑎1 𝑏2 𝑦 = −𝑐2 𝑎1
⇔ 𝑏1 𝑎2 𝑦 − 𝑎1 𝑏2 𝑦 = −𝑐1 𝑎2 + 𝑐2 𝑎1
⇔ 𝑦( 𝑏1 𝑎2 − 𝑎1 𝑏2) = −𝑐1 𝑎2 + 𝑐2 𝑎1
⇔ 𝑦 =
𝑎1 𝑐2 − 𝑎2 𝑐1
𝑎2 𝑏1 − 𝑎1 𝑏2
⇔ 𝑦 =
𝑎2 𝑐1 − 𝑎1 𝑐2
𝑎2 𝑏1 − 𝑎1 𝑏2
Diperoleh 𝑦 =
𝑎2 𝑐1−𝑎1 𝑐2
𝑎2 𝑏1−𝑎1 𝑏2
, atau dapat dituliskan dengan 𝑦 =
|
𝑎1 −𝑐1
𝑎2 −𝑐2
|
|
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
|
dimana
|
𝑎1 −𝑐1
𝑎2 −𝑐2
| = 𝑎2 𝑐1 − 𝑎1 𝑐2 yang tidak lain merupakan determinan dari (
𝑎1 −𝑐1
𝑎2 −𝑐2
). [7]
Contoh
Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan determinan!
{
3𝑥 − 𝑦 − 10 = 0
𝑥 − 2𝑦 = 0

8. Perpotongan Garis-Garis 8
Penyelesaian:
𝑥 =
|
−𝑐1 𝑏1
−𝑐2 𝑏2
|
|
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
|
, maka:
⇔ 𝑥 =
|
−(−10) −1
−(0) −2
|
|
3 −1
1 −2
|
=
0(−1)− (10)(−2)
1(−1)− 3(−2)
=
20
5
= 4
𝑦 =
|
𝑎1 −𝑐1
𝑎2 −𝑐2
|
|
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
|
, maka:
⇔ 𝑦 =
|
3 −(−10)
1 −(0)
|
|3 −1
1 −2
|
=
1(10) − 3(0)
1(−1) − 3(−2)
=
10
5
= 2
Diperoleh koordinat titik potong dari sistem persamaan tersebut yaitu (4,2)
Gambar 2
Pasangan x dan y adalah koordinat titik potong dari garis l1 dan l2. Kita tinjau
berbagai kemungkinan. [8]
Perhatikan contoh berikut:
Contoh 1.
Carilah koordinat titik potong antara 𝑔1: 2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 dan garis 𝑔2: 𝑥 + 3𝑦 −
4 = 0.
Secara determinan:
1
1
(0,0)
(2,1)
(4,2)
(0,10/3)
x-2y=0
3x-y-10=0

9. Perpotongan Garis-Garis 9
Penyelesaian:
2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0
𝑥 + 3𝑦 − 4 = 0
𝑥 =
|
−3 −1
4 3
|
|
2 −1
1 3
|
=
−9 + 4
6 + 1
= −
5
7
𝑦 =
|
2 −3
1 4
|
|
2 −1
1 3
|
=
8 + 3
6 + 1
=
11
7
Jadi titik potong 𝑔1 dan 𝑔2 adalah titik
(−
5
7
,
11
7
)
Gambar 3
Terlihat |
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
| = 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 ≠ 0 atau |
2 −1
1 3
|= 6 + 1 = 7, 𝑑𝑎𝑛
𝑎1
𝑎2
≠
𝑏1
𝑏2
𝑎𝑡𝑎𝑢
2
1
≠
11
7
dan kedua garis tersebut perpotongan pada satu titik yaitu (−
5
7
,
11
7
).
Contoh 2:
Diketahui persamaan garis berikut:
{
3𝑥 − 𝑦 − 5 = 0
6𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0
Tentukan titik potong serta sketsakan grafiknya!
Penyelesaian:
𝑥 =
|
−𝑐1 𝑏1
−𝑐2 𝑏2
|
|
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
|
maka:
Kesimpulannya yaitu:
Jika |
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
| = 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 ≠ 0, 𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑎1
𝑎2
≠
𝑏1
𝑏2
maka dua garis tersebut berpotongan
di satu titik. [9]
1
1
(-5/7,11/7)
(1,1)
(0,3)
(1,5)
(4,0)
2x-y+3=0
x+3y-4=0

10. Perpotongan Garis-Garis 10
⇔ 𝑥 =
|
−(−5) −1
−(−4) −2
|
|
3 −1
6 −2
|
=
4(−1)− 5(−2)
6(−1)− 3(−2)
=
−4 + 10
−6 + 6
=
6
0
= ∞
𝑦 =
|
𝑎1 −𝑐1
𝑎2 −𝑐2
|
|
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
|
, maka:
⇔ 𝑦 =
|
3 −(−5)
6 −(−4)
|
|
3 −1
6 −2
|
=
6(5)−3(4)
6(−1)−3(−2)
=
30−12
−6+6
=
18
0
= ∞
Gambar 4
Terlihat |
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
| = 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 = 0 atau |
3 −1
6 −2
|= 6(−1)− 3(−2) =
0, 𝑑𝑎𝑛
𝑎1
𝑎2
≠
𝑏1
𝑏2
𝑎𝑡𝑎𝑢
3
6
=
−1
−2
dan kedua garis tersebut tidak memiliki titik potong.
Contoh 3.
Diketahui persamaan garis berikut:
{
3𝑥 − 𝑦 − 5 = 0
6𝑥 − 2𝑦 − 10 = 0
Tentukan titik potong serta sketsakan grafiknya!
1
1
(1,-2)
(0,-5)
(0,-2)
(1,1)
6x-2y-4=0
3x-y-5=0
Kesimpulannya yaitu:
Jika |
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
| = 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 = 0, 𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
𝑑𝑎𝑛
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
≠
𝑐1
𝑐1
maka garis
tersebut sejajar (dianggap tidak berpotongan). [10]

11. Perpotongan Garis-Garis 11
Penyelesaian:
𝑥 =
|
−𝑐1 𝑏1
−𝑐2 𝑏2
|
|
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
|
maka:
⇔ 𝑥 =
|
−(−5) −1
−(−10) −2
|
|
3 −1
6 −2
|
=
10(−1)− 5(−2)
6(−1)− 3(−2)
=
−10 + 10
−6 + 6
=
0
0
= ∞
𝑦 =
|
𝑎1 −𝑐1
𝑎2 −𝑐2
|
|
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
|
, maka:
⇔ 𝑦 =
|
3 −(−5)
6 −(−10)
|
|
3 −1
6 −2
|
=
6(5) − 3(10)
6(−1) − 3(−2)
=
30 − 30
−6 + 6
=
0
0
= ∞
Terlihat bahwa kedua persamaan garis tersebut memiliki tak hingga banyak titik
koordinat yang berpotongan diantara kedua garis tersebut. Meskipun pada contoh 2 diperoleh
titik (x,y) = (∞,∞) namun pendefinisiannya berbeda. Pada contoh 2 kedua garis tersebut
sejajar (tidak ada titik perpotongan) sedangkan pada contoh ini kedua garis tersebut
berpotongan pada semua titik atau garis itu sendiri. Hal itu dapat dilihat pada grafik dibawah
ini.
Gambar 5
1
1
6x-2y-10=0
(0,-5)
(1,-2)
(2,1)
3x-y-5=0

12. Perpotongan Garis-Garis 12
Kesimpulannya yaitu:
Jika |
𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2
| = |
𝑎1 𝑐1
𝑎2 𝑐2
| = |
𝑐1 𝑏1
𝑐2 𝑏2
| atau
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
=
𝑐1
𝑐1
maka kedua garis
tersebut berimpit (titik potongnya banyak sekali, yaitu garis itu sendiri) [11]
.

13. Perpotongan Garis-Garis 13
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Dari pembahasan diatas dapat disimpulkan bahwa, Dua buah garis kita
katakan bepotongan apabila garis tersebut terletak pada satu bidang datar dan kedua
garis tersebut berpotongan, atau ada titik yang dilewatinya secara bersama.. Setiap
persamaan mewakili sebuah garis pada bidang, adapun tiga kemungkinan yaitu, garis
tersebut akan sejajar, berimpit atau berpotongan. Untuk mencari penyelesaian atau
titik potong dari persamaan grafik itu sendiri yaitu ada 4 cara, yakni; metode subtitusi,
eliminasi, matriks maupun determinan.
B. Saran
Semoga makalah yang kami buat ini dapat bermanfaat bagi teman-teman dan
saran kami supaya makalah ini dibaca dan dipelajari agar dapat membantu teman-
teman dalam.

14. Perpotongan Garis-Garis 14
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard. 1983. .Aljabar Linier Elementer Edisi Ke-3. Jakarta: Erlangga
Suherman, Maman.1986. Buku Materi Pokok Geometri Analitik Datar 1-3. Jakarta:
Karunika
Jakarta
Waluyo, Slamet dkk. 2006. Matematika 2 SMA/MA. Jakarta: Bumi Aksara
[1], [2] Suherman, Maman.1986. Buku Materi Pokok Geometri Analitik Datar 1-3.
Jakarta: Karunika Jakarta, Hlm 2.33
[3] Anton, Howard. 1983. .Aljabar Linier Elementer Edisi Ke-3. Jakarta: Erlangga,
Hlm 3
[4] Anton, Howard. 1983. .Aljabar Linier Elementer Edisi Ke-3. Jakarta: Erlangga,
Hlm 4
[5] Suherman, Maman.1986. Buku Materi Pokok Geometri Analitik Datar 1-3. Jakarta:
Karunika Jakarta, Hlm 2.33
[6] Waluyo, Slamet dkk. 2006. Matematika 2 SMA/MA. Jakarta: Bumi Aksara, Hlm
140
[7] Waluyo, Slamet dkk. 2006. Matematika 2 SMA/MA. Jakarta: Bumi Aksara, Hlm
141
[8], [9], [10], [11], Suherman, Maman.1986. Buku Materi Pokok Geometri Analitik Datar 1-
3. Jakarta: Karunika Jakarta, Hlm 2.33