Persamaan Diferensial Terpisahkan dan Eksak
•
0 likes•1,388 views
Persamaan diferensial terpisahkan dan Persamaan diferensial eksak
Recommended
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to Persamaan Diferensial Terpisahkan dan Eksak
Similar to Persamaan Diferensial Terpisahkan dan Eksak (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (11)
Persamaan Diferensial Terpisahkan dan Eksak
- 2. PERTEMUAN - 2 Persamaan Diferensial Terpisahkan (PDT) Persamaan Diferensial Eksak (PDE)
- 3. Persamaan Diferensial Terpisahkan Bentuk standar dari persamaan diferensial orde pertama dalam fungsi y(x) yang dicari adalah : y’ = f (x, y) Fungsi f(x,y) pada sisi kanan dapat juga dituliskan sebagai pembagian dua fungsi lainnya yaitu M(x,y) dan –N(x,y) , sehingga 𝒚′ = 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝑴(𝒙,𝒚) −𝑵(𝒙,𝒚) , dapat dituliskan dalam bentuk : M ( x, y ) dx + N (x, y ) dy = 0 Jika M(x,y) = A(x) [fungsi dari x saja] dan N(x,y) = B(y) [ fungsi dari y saja] ; persamaan diferensial tsb dapat DIPISAHKAN atau memiliki variabel-variabel yang TERPISAHKAN
- 4. Soal 2.1 Tentukan apakah persamaan-persamaan diferensial berikut dapat dipisahkan ! 𝑎 . 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦2 𝑑𝑦 = 0 𝑏 . 𝑥𝑦2 𝑑𝑥 − 𝑥2 𝑦2 𝑑𝑦 = 0 𝑐 . 1 + 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = 0
- 5. Solusi Umum PDT Solusi untuk persamaan diferensial orde pertama yang dapat dipisahkan : 𝐴 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 0 𝐴 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑐 , [𝑐 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔] Solusi untuk Soal Nilai Awal 𝐴 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 0; 𝑦 𝑥0 = 𝑦0 𝐴 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑥0 + 𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 0 𝑥 𝑥0
- 6. Jawaban 2.1 𝑎 . 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦2 𝑑𝑦 = 0 𝑏 . 𝑥𝑦2 𝑑𝑥 − 𝑥2 𝑦2 𝑑𝑦 = 0 𝑐 . 1 + 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = 0 PDT ; M(x,y) = A(x) = sinx ; N(x,y) = B(y) = 𝒚 𝟐 NON PDT ; M(x,y) = 𝒙𝒚 𝟐 ; N(x,y) = 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 Dapat diubah menjadi PDT dengan pembagi 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 1 𝑥 𝑑𝑥 − 1 𝑑𝑦 = 0 PDT ; M(x,y) = A(x) = 1/x ; N(x,y) = B(y) = -1 NON PDT ; M(x,y) = (1+xy) ; N(x,y) = y
- 7. Soal 2.2 Tentukanlah solusi dari soal-soal PDT berikut ! 𝑎 . 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑦2 𝑑𝑦 = 0 𝑏 . 𝑦′ = 𝑦2 𝑥3 𝑐 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 2 𝑦
- 8. Jawaban 2.2 𝑎 . 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑦2 𝑑𝑦 = 0 𝑏 . 𝑦′ = 𝑦2 𝑥3 𝑥2 2 − 𝑦3 3 = 𝑐 , 𝑦 = 3 2 𝑥2 + 𝑘 1 3 ; 𝑘 = −3𝑐 𝑥4 4 + 1 𝑦 = 𝑐 , 𝑦 = −4 𝑥4 + 𝑘 ; 𝑘 = −4𝑐 Tentukanlah solusi dari soal-soal PDT berikut !
- 9. Jawaban 2.2 𝑐 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 2 𝑦 1 3 𝑥3 + 2𝑥 − 1 2 𝑦2 = 𝑐 , 𝑦2 = 2 3 𝑥3 + 4𝑥 + 𝑘 ; 𝑘 = −2𝑐 Tentukanlah solusi dari soal-soal PDT berikut !
- 10. Penyederhanaan Persamaan Homogen Persamaan Diferensial Homogen 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 | 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦) Dapat ditransformasikan menjadi persamaan yang dapat dipisahkan dengan memasukkan (substitusi) : 𝑦 = 𝑥𝑣 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 𝑦𝑢 Serta turunannya dalam bentuk : 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑣 + 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑢 + 𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑦
- 11. Penyederhanaan Persamaan Homogen Selesaikanlah solusi persamaan berikut : 𝑦′ = 𝑦 + 𝑥 𝑥 Persamaan tersebut Homogen tetapi tidak dapat dipisahkan, maka ; substitusi y dengan xv atau y = xv 𝑣 + 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 𝑥𝑣 + 𝑥 𝑥 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 1 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑑𝑣 = 0 Solusi PDT : 1 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑑𝑣 = 𝑐 𝑣 = 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑐 , 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 − 𝑐 𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠𝑘𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑙𝑛 𝑘 𝑣 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑘 𝑣 = 𝑙𝑛 𝑘𝑥 ; 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘𝑘𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑚𝑏𝑎𝑙𝑖 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑣 = 𝑦 𝑥 , 𝑦 = 𝑥 𝑙𝑛 𝑘𝑥 Contoh,
- 12. Soal 2.3 Tentukan solusi dari PDT berikut dengan metoda peyederhanaan homogen ! 𝑦′ = 𝑥2 + 𝑦2 𝑥𝑦
- 13. Jawaban 2.3 𝑦′ = 𝑥2 + 𝑦2 𝑥𝑦 𝑦2 = 𝑥2 𝑙𝑛 𝑥2 + 𝑘𝑥2 Tentukan solusi dari PDT berikut dengan metoda peyederhanaan homogen !
- 14. Persamaan Diferensial Eksak (PDE) Suatu persamaan diferensial : 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 Adalah eksak jika ada suatu fungsi 𝑔(𝑥, 𝑦) sehingga : 𝑑𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 Dengan uji kepastian, jika : 𝜕𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 Metode Solusi 𝜕𝑔(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥 = 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑔(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦 = 𝑁(𝑥, 𝑦)
- 15. Persamaan Diferensial Eksak (PDE) Contoh, Tentukan apakah persamaan berikut PDE dan tentukan solusinya ! 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 1 + 𝑥2 𝑑𝑦 = 0 𝑀 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 , 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 2𝑥 (𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎𝑝 𝑦 , 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥) 𝑁 𝑥, 𝑦 = 1 + 𝑥2 , 𝜕𝑁 𝜕𝑥 = 2𝑥 (𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎𝑝 𝑥 , 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖) 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 = 2𝑥 , 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖 𝑃𝐷 𝐸𝑘𝑠𝑎𝑘 Solusi 𝜕𝑔(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥 = 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑔 𝜕𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 𝑦 + (𝑦) 𝜕𝑔 𝜕𝑦 = 𝑥2 + ′ 𝑦 , 𝑥2 + ′ 𝑦 = 1 + 𝑥2 , 𝑠𝑒𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 ′ 𝑦 = 1 𝑑 𝑑𝑦 = 1 , 𝑦 = 𝑦 + 𝑐1 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 𝑦 + 𝑦 + 𝑐1 𝒙 𝟐 𝒚 + 𝒚 = 𝒄 𝟐 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒚 = 𝒄 𝟐 (𝒙 𝟐 + 𝟏)
- 16. Soal 2.4 Buktikan bahwan persamaan diferensial berikut Eksak serta cari solusinya ! C𝑎𝑟𝑖 𝑗𝑎𝑤𝑎𝑏𝑎𝑛 𝑢𝑚𝑢𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑝𝑒𝑠𝑖𝑓𝑖𝑘𝑛𝑦𝑎, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑦 0 = 1 3𝑥3 𝑦2 𝑦′ + 3𝑥2 𝑦3 − 5𝑥4 = 0
- 17. Jawaban 2.4 C𝑎𝑟𝑖 𝑗𝑎𝑤𝑎𝑏𝑎𝑛 𝑢𝑚𝑢𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑝𝑒𝑠𝑖𝑓𝑖𝑘𝑛𝑦𝑎, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑦 0 = 1 𝑥3 𝑦3 − 5𝑥 + 𝑘 = 0 𝑥3 𝑦3 − 5𝑥 = 0 Buktikan bahwan persamaan diferensial berikut Eksak serta cari solusinya ! 3𝑥3 𝑦2 𝑦′ + 3𝑥2 𝑦3 − 5𝑥4 = 0
- 18. Faktor Integrasi PDE Jika suatu persamaan diferensial : 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 𝐼 𝑥 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 Bukan suatu persamaan dierensial eksak : 𝜕𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 ≠ 𝜕𝑁(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 Maka dapat dilakukan pengalian (faktor integrasi) dengan fungsi I(x), sehingga : Menjadi Persamaan Diferensial Eksak 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐼 𝑥 = 𝑥 𝑚, 𝑦 𝑛
- 19. Tabel Faktor Integrasi PDE Kelompok Suku Faktor Pengitegrasi I(x, y) 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 − 1 𝑥2 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 1 𝑦2 − 1 𝑥𝑦 − 1 𝑥2 + 𝑦2 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑦 1 𝑥𝑦
- 20. Soal 2.5 Periksa apakan persaaman diferensial berikut termasuk PDE, cari solusinya dengan Faktor Integrasi ! 𝑎 . 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 = 0 𝑏 . 3𝑥𝑦 + 2𝑦3 + 3𝑥2 + 5𝑥𝑦2 𝑦′ = 0
- 22. Jawaban 2.5 Periksa apakan persaaman diferensial berikut termasuk PDE, cari solusinya dengan Faktor Integrasi ! 𝑎 . 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 = 0 𝑦 = 𝑘𝑥 𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑠𝑖 ∶ 𝑥𝑦2 ; 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖 ∶ 𝑥3 𝑦3 − 𝑥2 𝑦5 + 𝑘 = 0 𝑏 . 3𝑥𝑦 + 2𝑦3 + 3𝑥2 + 5𝑥𝑦2 𝑦′ = 0
- 23. Persamaan Diferensial Terpisahkan (PDT) Persamaan Diferensial Eksak (PDE) 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑴 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎