1. Penentuan Nilai Opsi .... (Istri Rumi Andriyani)1
Teori Perturbasi (Perturbation Theory)
Teori perturbation dalam matematika
dapat digunakan untuk mendapatkan pendekatan
solusi pada persamaan diferensial yang komplek
dan solusinya eksaknya susah dicari. Kata
perturbation memiliki arti gangguan kecil pada
sistem fisik. Secara umum gangguan kecil pada
sistem fisik dinotasikan dengan 𝜀, dengan 𝜀
merupakan parameter perturbation yang bernilai
sangan kecil atau bisa dikatakan 𝜀 menuju nol.
Perturbation theory dapat dibagi menjadi dua
bagian yaitu, regularly perturbed, dan singularly
perturbed.
Suatu persamaan diferensial dikatakan
sebagai regularly perturbed jika nilai 𝜀 = 0
maka orde dari persamaan diferensial tersebut
tidak berubah. Sedangkan persamaan diferensial
dikatakan sebagai singularly perturbed jika nilai
𝜀 = 0 maka orde dari persamaan diferensial
tersebut berubah.
Cara untuk mendapatkan pendekatan
solusi pada singularly perturbed adalah
menggunakan matched asymptotic expansion.
Algoritma untuk memperoleh solusi
menggunakan matched asymptoric expansion
adalah sebagai berikut (Sataphaty, 2012),
1. Menentukan sebuah solusi pada outer
problem sampai ekspansi asymptotic
jauh dari daerah batas,
2. Menentukan solusi pada inner problem
hingga variabel terulur sampai ekspansi
asymptotic dalam lapisan batas,
3. Mencocokan orde dari suku kedua
solusi masalah tersebut menggunkan
kondisi pencocokan oleh Prandtl
dengan kondisi
lim
𝑥→0
𝑓 𝑜𝑢𝑡
𝑥 = lim
𝑥→∞
𝑓 𝑖𝑛
𝑠 .
Contoh 1 (Holmes, 1995)
Akan ditunjukkan penggunaan teknik
perturbation untuk mendekati solusi dari
persamaan diferensial berikut,
𝜀
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦 = 0 (20)
dengan kondisi awal
𝑦 0 = 0dan y 1 = 1 (21)
Penyelesaian
Solusi eksak dari Persamaan (20) adalah
𝑦 𝑥 = exp(𝑎𝑥) + exp⁡(𝑏𝑥)
dengan 𝑎 = −1 + 1 − 2𝜀 dan 𝑏 = −1 −
1 − 2𝜀. Selanjutnya akan dilihat seberapa
dekat solusi yang yang diperoleh menggunakan
matched asymptotic expansion, untuk melihat
keakuratan metode tersebut. Diketahui ekspansi
asymptotic adalah,
𝑦 𝑥 = 𝑦0 𝑥 + 𝜀𝑦1 𝑥 + 𝜀2
𝑦2 𝑥 + ⋯ (22)
Substitusi Persamaan (22) pada Persamaan (20)
sehingga diperoleh,
𝜀
𝑑2
𝑑𝑥2
𝑦0 𝑥 + 𝜀𝑦1 𝑥 + 𝜀2
𝑦2 𝑥 + ⋯
+2
𝑑
𝑑𝑥
𝑦0 𝑥 + 𝜀𝑦1 𝑥 + 𝜀2
𝑦2 𝑥 + ⋯
+2 𝑦0 𝑥 + 𝜀𝑦1 𝑥 + 𝜀2
𝑦2 𝑥 + ⋯ = 0 (23)
dengan menyamakan order 𝜀 diperoleh,
𝑑𝑦0(𝑥)
𝑑𝑥
+ 𝑦0 𝑥 = 0 (24)
Solusi dari Persamaan (24) adalah
𝑦0 𝑥 = 𝑎𝑒−𝑥
(25)
Kondisi awal yang diberikan ada dua, sehingga
Persamaan (25) bukan merupakan solusi yang
diharapkan karena hanya memuat satu konstanta.

2. 2Jurnal Pendidikan Matematika dan Sains Edisi ...Tahun ..ke.. 20...
Cara mengatasi masalah tersebut adalah sebagai
berikut,
Outer Solution
Diasumsikan terdapat boundary layer pada
𝑥 = 0 atau 𝑥 = 1 sehingga perlu adapendekatan
asymptotic yang berbeda.Penyelesaian pada
interval biasa disebut sebagai outer solution.
Inner Solution
Singularitas dapat terjadi, misalkan pada saat
𝑥 = 𝑎 dengan 0 < 𝑎 < 1 sehingga dibuat
boundary layer yang baru𝑥 =
𝑥
𝜀 𝛼
Konsekuensi dari transformasi tersebut membuat
Persamaan (20) menjadi,
𝜀1−2𝛼
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 2𝜀−𝛼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦 = 0 (26)
Ekspansi asymptotic𝑦 𝑥 adalah
𝑦 𝑥 = 𝑦0 𝑥 + 𝜀𝑦1 𝑥 + 𝜀2
𝑦2 𝑥 + ⋯ (27)
Substitusi Persamaan (27) pada Persamaan (26)
diperoleh
𝜀1−2𝛼
𝑑2
𝑑𝑥2
𝑦0 𝑥 + 𝜀𝑦1 𝑥 + 𝜀2
𝑦2 𝑥 + ⋯
+2𝜀−𝛼
𝑑
𝑑𝑥
𝑦0 𝑥 + 𝜀𝑦1 𝑥 + 𝜀2
𝑦2 𝑥 + ⋯
+2 𝑦0 𝑥 + 𝜀𝑦1 𝑥 + 𝜀2
𝑦2 𝑥 + ⋯ = 0 (28)
dengan menyesuaikan suku berdasarkan order
epsilon, akan diperoleh
𝑑2
𝑦0
𝑑𝑥2
+ 2
𝑑𝑦0
𝑑𝑥
= 0 (29)
Penyelesaian umum Persamaan (29) adalah
𝑦0 𝑥 = 𝐴 1 − 𝑒−2𝑥
(30)
dengan𝐴 merupakan konstanta. Ekspansi Taylor
pada Persamaan (27) diharapkan memuat paling
sedikit satu penyelesaian outer layer untuk
masalah
𝑑2
𝑦0
𝑑𝑥2
+
𝑑𝑦0
𝑑𝑥
= 0
denganouter solution harus memenuhi syarat
𝑥 = 1 maka,
𝑦0 𝑥 = 𝑒1−𝑥
(31)
Matching
Outer solution dan inner solution merupakan
pendekatan untuk fungsi yang sama, karena pada
daerah transisi outer dan innersolution harus
memberikan penyelesaian yang sama maka,
𝑦0 ∞ = 𝑦0(0)
𝐴(1 − 2−2𝑥
) = 𝑒1−𝑥
𝐴 = 𝑒
sehingga diperoleh
𝑦0 𝑥 = 𝑒 − 𝑒1−2𝑥
(32)
Hasil composite expansions menghasilkan solusi
𝑦 menggunakan pendekatan matched expansions
method yaitu,
𝑦 ≈ exp(1 − 𝑥) + exp(1 − 2𝑥/𝜀)
Gambar 1 menunjukkan bahwa hasil pendekatan
yang diperoleh menuju solusi eksak yang telah
dikerjakan sebelumnya.Berdasarkan Gambar
1dapat terlihat bahwa hasil pendekatan solusi
menuju solusi eksak.
Gambar 1 Pendekatan solusi (hijau) dan solusi
eksak (biru)
DAFTAR PUSTAKA
Holmes, Mark H. 1995. Introduction To
Perturbation Methods. New
York:Springer.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2