Makalah ini membahas integral Stieltjes yang didefinisikan pada himpunan bilangan apa saja. Teorema utama membuktikan bahwa jika f dan g terintegral pada suatu himpunan M yang terdapat di interval [a,b], maka perpanjangan kiri dan kanan f dan g akan terintegral pada seluruh interval [a,b] dengan nilai integral yang sama dengan integral di M. Selain itu, makalah ini membandingkan definisi integral Stieltjes yang didefinisikan pada himp

1. A STUDY OF A STIELTJES INTEGRAL DEFINED ON
ARBITRARY NUMBER SETS
Hirwanto
Program Studi Matematika,
Universitas Gadjah Mada.
Universitas Gadjah Mada
hirwanto.iwan@yahoo.com

2. Daftar Isi
1 DASAR TEORI 2
1.1 Aljabar Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Integral Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Integral Riemann - Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Eksistensi Integral Riemann -Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 A STUDY OF A STIELTJES INTEGRAL DEFINED ON ARBITRARY NUMBER SETS 6
2.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Definisi Permulaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Kriteria Cauchy Bersama untuk Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Transformasi dari Definisi D ke Definisi C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. 1 DASAR TEORI
Pada bab ini dibahas tentang konsep yang mendasari pembahasan di bab-bab berikutnya. Konsep
dasar yang dibahas pada bab ini antara lain: aljabar himpunan,bilangan real,barisan bilangan real,
dan integral meliputi integral Riemann dan integral Stieltjes.
1.1 Aljabar Himpunan
Himpunan merupakan dasar dari semua matematika, semua objek dan kontruksi matematika
kembali pada teori himpunan. Kata himpunan(set) memiliki kesamaan kata yaitu kelas, koleksi,
aggregate, dan ensemble. Jika A dinotasikan sebagai himpunan dan jika x anggotanya, seringkali
kita menulis dengan x ∈ A artinya x elemen dari A atau x anggota dari A, atau himpunan A memuat
anggota x, x didalam A. Lebih jauh, jika A himpunan dan jika x bukan anggota dari A,kita juga
seringkali menulis dengan x /∈ A
1.2 Integral Riemann

4. 3
Diketahui [a,b] selang tertutup, maka himpunan terurut
P = {a = x0,x1,x2,...,xn = b}
dengan xi−1 − xi(i = 1,2,...,n) disebut partisi Riemann pada [a,b] dengan mesh(norma) P =
maks{∆ix;i = 1,2,...,n}.
Definisi 1.1
1.3 Integral Riemann - Stieltjes
Integral Riemann -Stieltjes merupakan modifikasi dari integral Riemann biasa, yang didapatkan
dengan mengganti panjang xi −xi−1 subinterval [xi−1 −xi] itu muncul didalam jumlahan Riemann
menggunakan selisih ϕ(xi)−ϕ(xi−1), dimana fungsi yang diberikan ϕ : I → ℜ.
Misalkan f,ϕ : I → ℜ fungsi terbatas pada selang kompak [a,b]. Jika ˙P := {([xi−1],ti)}n
i=1 merupakan
partisi bertanda dari I , maka jumlahan Riemann -Stieltjes (RS) f terhadap ϕ untuk ˙P adalah
Σ(f,ϕ, ˙P) = Σn
i=1 f(ti)[ϕ(ti)−ϕ(xi−1)] (1.1)
Definisi 1.2 (Bartle, 2001)
Kita mengatakan f terintegral Rieman-Stieltjes(RS) terhadap ϕ pada [a,b] jika terdapat A ∈ ℜ
dengan demikian untuk setiap ε > 0 terdapat ζε > 0 dengan demikian jika ˙P := {([xi−1],ti)}n
i=1
adalah sebarang partisi dengan mesh µ( ˙P):=maks{xi −xi−1} ≤ ζε, maka
|Σ(f,ϕ; ˙P)−A| ≤ ε.
Didalam kasus ini, kita bisa menuliskan A = b
a fdϕ = I fdϕ. Fungsi f disebut integrand dan ϕ
integrator atau fungsi berat (weight function)
(1) Jika ϕ(x),∀x ∈ [a,b], maka integral Riemann -Stieltjes menjadi integral Rieman biasa.
(2) Didalam banyak aplikasi,ϕ merupakan fungsi naik, sehingga ϕ(xi)−ϕ(xi−1) ≥ 0,∀i.
(3) Pendekatan lain untuk Integral Riemann -Stieltjes adalah sama tetapi tidak ekuivalen den-
gan definisi 1.2
Contoh 1.1
Jika f,g terintegral Rieman- Stieltjes terhadap ϕ pada [a,b] dan jika k ∈ ℜ maka f + g dan k f

5. DASAR TEORI
terintegral ϕ pada [a,b] dan
b
a
(f +g)dϕ =
b
a
fdϕ+
b
a
dϕ
b
a
k fdϕ = k
b
a
fdϕ
Juga, jika f terintegral Riemann -Stieltjes terhadap ϕ dan ψ dan kϕ pada [a,b] dan k ∈ ℜ, maka f
terintegral RS terhadap ϕ+ψ dan kϕ pada [a,b] dan
b
a
fd(ϕ+ψ) =
b
a
fdϕ+
b
a
fdϕ,
b
a
fd(kϕ) = k
b
a
fdϕ.
Hubungan diatas biasa disebut dengan sifat dua linear (bilinear property) Integral Riemann-Stieltjes.
Misalkan f dan ϕ fungsi terbatas pada I := [a,b], maka f terintegral Riemann-Stieltjes terhadap ϕ
jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat θε > 0 dengan sifat jika ˙P1 dan ˙P2 sebarang partisi
bertanda dari [a,b] yang lebih kecil daripada θε , maka berlakulah
|Σ(f,ϕ; ˙P−Σ(f,ϕ;P2))| ≤ ε
Teorema 1.1 (Bartle,2001)
1.4 Eksistensi Integral Riemann -Stieltjes
Hasil selanjutnya adalah penting untuk melihat eksistensi teorema untuk Integral Riemann -
Siteltjes. Didalam pandangan ini, kita akan membuktikan teorema dibawah ini.
Jika f := [a,b] → ℜ adalah kontinu dan ϕ : [a,b] → ℜ mempunyai variasi terbatas(bounded varia-
tion) atau BV maka f terintegral Riemann- Stieltjes terhadap ϕ pada [a,b].
Teorema 1.2 (Bartle,2001)
Bukti. Ketika f kontinu secara seragam, diberikan bilangan ε > 0 terdapat δε > 0 dengan sifat
jika s,t ∈ [a,b] dan |s −t| ≤ 2δψ, maka |f(s) − f(t)| ≤ ε. Andaikan bahwa ˙P := {([xi−1],xi)}n
i=1 dan
˙P := {([yj−1],yj)}m
j=1 merupakan partisi bertanda dari [a,b] < δε, dan misalkan Q := {([zk−1],zk)}r
k=1
merupakan partisi tak bertanda yang didapatkan dengan menggunakan semua titik xi dan yj dari
˙P1 dan ˙P2. Jadi setiap selang bagian [xi−1,xi] dan[yj−1,yj] adalah gabungan berhingga banyak se-
lang bagian [zk−1,zk]; lebih jauh jika [zk−1,zk] didalam irisan [xi−1,xi] [yj−1,yj], maka ti,sj memenuhi
|ti −sj| ≤ 2δε, sehingga |f(ti)− f(sj)| ≤ ε.
Jumlahan Riemann - Stieltjes Σ(f,ϕ, ˙P) bisa ditulis sebagai jumlahan atas selang bagian di dalam
Q; dengan nama
∑(f,ϕ; ˙P) =
n
∑
i=1
f(ti)[ϕ(xi)−ϕ(xi−1) =
n
∑
k=1
f(ti)[w(zk)−w(zk−1)],

6. 5
Dimana ti ∈ ˙P yang berkorepodensi ke selang bagian tunggal [xi−1,xi] yang memuat [zk−1,zk]. Se-
cara sama, ∑(f,ϕ; ˙P) bisa ditulis sebagai jumlahan atau Q menggunakan titik sj yang berkoren-
spodensi ke subinterval tunggal [yj−i,yj] yang memuat [zk−1,zk]. Itu terlihat bahwa
∑(f,ϕ; ˙P1)−∑(f,ϕ; ˙P2) =
r
∑
k=1
[f(ti)− f(sj)][ϕ(zk)−ϕ(zk−1)].
Jadi, kita mempunyai
|∑(f,ϕ; ˙P1)−∑(f,ϕ; ˙P2)| ≤
r
∑
k=1
ε|ϕ(zk)−ϕ(zk−1)| ≤ Var(ϕ;[a,b]).
Ketika sebarang ε > 0, menggunakan Teorema 1.1 yang berarti f terintegral RS terhadap ϕ pada
[a,b] 2
Akibat 1.1 Jika f kontinu pada [a,b] dan ϕ ∈ BV([a,b]) maka
|
b
a
fdϕ| ≤ [ sup
t∈[a,b]
|f(t)|].Var(ϕ;[a,b])
Bukti. Misalkan ( ˙Pn)∞
n=1 barisan partisi bertanda dengan demikian kita mempunyai |∑(f,ϕ; ˙P)−
b
a fdϕ| ≤ 1n. Maka | b
a fdϕ| ≤ |∑(f,ϕ; ˙P)|+1n.
Integral menggunakan Bagian
Fakta utama tentang integral Riemann -Stieltjes adalah f terintegral Riemann -Siteltjes terhadap
ϕ jika dan hanya jika ϕ terintegral Riemann -Stieltjes ke f, yang didalam kasus
b
a
fdϕ+
b
a
ϕd f = fϕ|b
a (1.2)
2
Jika M ⊆ [a,b], f dan g
Teorema 1.3 (A.Coppin,2007)

7. 2
A STUDY OF A STIELTJES
INTEGRAL DEFINED ON
ARBITRARY NUMBER
SETS
Abstrak
Our purpose is to study a generalized Stieltjes defined on a class of subsets of a closed number
interval. We extend the result. Among other result, we prove that
• If M ⊆ [a,b] and f and g are functions with domain M such that f is g−integrable over M,
and there exists left(right) extension f∗ dan g∗ to [a,b], respectively, then f∗ is g∗− integrable
on [a,b] and
b
a
f∗
dg∗
=
M
fdg
• Suppose that F and G are functions with domain including [a,b] such that
(a) F is G−integrable on [a,b]
(b) M ⊆ [a,b] and a,b ∈ M
(c) if z belong to [a,b] − M dan ε is a positif number, then there is an open interval s
containing z such that |F(x) − F(z)||G(v) − G(u)| < ε where each of u,v, and x is in
s∩[a,b],u < z < v, and u ≤ x ≤ v.
Then F is G−integrable on M, and b
a f∗dg∗ dx = M fdg

8. 7
2.1 Pendahuluan
Integral Riemann-Stieltjes menyisakan topik yang menarik. Didalam paper ini kita akan menye-
lidiki modifikasi integral Riemann yang didefinisikan pada sebarang himpunan. Kasus khusus
integral ini kali pertama didefinisikan oleh Coppin dan Vance dimana integralnya didefinisikan
atas dense subset interval yang memuat titik-titik ujung interval itu. Coppin dan Vance telah me-
nunjukkan syarat perlu dan cukup untuk f terintegral g pada dense subset dari [a,b] dimana f|M
dan |M tidak mempunyai persekutuan titik kontinu. Vance memberikan karakterisasi fungsional
terbatas. Dia telah membuktikan representasi teorema untuk fungsi quasi kontinu didefinisikan
pada selang tertutup. Misalkan ∆ didefinisikan himpunan semua dense subset dari [a,b] yang
memuat a dan b. Coppin memberikan syarat dimana f terintegral g pada M di ∆ dibuktikan
f terintegral g di M di ∆ dan M ⊂ M . Dia menunjukkan bahwa jika f terintegral g pada suatu
anggota uncountable ∆, maka f teintegral g pada banyak uncountable ∆. Tambahan, Dia telah
membuktikan bahwa jika M anggota countable M dari ∆, maka ada fungsi bernilai real f dan g
dengan daerah asal [a,b] dengan demikian bahwa f terintegral g pada M dan tidak ada anggota
∆ lainnya. Coppin menambahkan hasilnya dengan menunjukkan bahwa f terintegral g pada M
di ∆ dan f|M dan g|M yang tidak mempunyai titik persekutuan yang diskontinu jika dan hanya
jika f terintegral pada setiap himpunan bagian M ∈ ∆ juga terbukti bahwa jika M ∈ ∆, f dan g
fungsi yang didefinisikan pada [a,b] yang mempunyai persekutuan dari kanan(kiri) di z dan f
terintegral g pada M, maka f terintegral pada M ∪{z} dan M∪{z} fdg = M fdg yang menunjukkan
bahwa jika f dan g fungsi dengan daerah asal [a,b] dan f dan g tidak mempunyai titik perseku-
tuan yang kontinu dari kiri(kanan), maka himpunan {w : w = M fdg M ∈ ∆} terhubung.
Di paper ini, kita akan belajar integral Siteltjes atas sebarang himpunan. Kita akan memband-
ingkan integral ini dengan partisi penghalus integral Stieltjes.
2.2 Definisi Permulaan
Kita akan memberikan definisi dan penetapan yang digunakan di paper ini.
Secara umum, selang M adalah himpunan [a,b]M = [c,d]∩M dimana c,d ∈ M dan c < d. Dua inter-
val dikatakan nonovelapping jika dan hanya jika A∩B tidak memuat selang. Koleksi interval tak
kosong dikatakan nonoverlapping jika dan hanya jika setiap dua anggota yang berbeda adalah
nonoverlapping. Di paper ini, semua fungsinya terbatas.
Jika M himpunan bilangan maka D dikatakan sebagai partisi dari M jika dan hanya jika D adalah
koleksi berhingga subinterval yang nonoverlapping M. E(D) dinotasikan sebagai himpunan titik-
titik ujung D.
Definisi 2.1
Jika M himpunan bilangan, dan D partisi dari M, maka D dikatakan sebagai partisi penghalus D
jika dan hanya jika D partisi M dan E(D) ⊆ E(D ).
Definisi 2.2

9. A STUDY OF A STIELTJES INTEGRAL DEFINED ON ARBITRARY NUMBER SETS
Jika D koleksi interval tak kosong, maka δ dikatakan fungsi pilihan pada D jika dan hanya jika δ
adalah fungsi dengan daerah asal D dengan demikian δ(d) ∈ d untuk setiap d ∈ D.
Definisi 2.3
Jika D partisi dengan himpunan bilangan M, δ fungsi pilihan pada D, dan f dan g fungsi dengan
daerah asal termasuk didalam ∪D, maka
∑(f,g,D,δ) = ∑
[p,q]M∈D
f(δ([p,q]M)).[g(q)−g(p)]
Definisi 2.4
Andaikan M adalah himpunan bilangan dan f dan g fungsi dengan daerah asal termasuk di-
dalamnya M. Maka f dikatakan terintegral g pada M jika dan hanya jika terdapat bilangan
W(disebut integral f terhadap g dan dinotasikan sebagai M fdg) dengan demikian bahwa un-
tuk setiap ε > 0, ada partisi D dari M berlaku
| W −∑(f,g,D ,δ) |< ε.
Untuk setiap partisi penghalus D dari D dan setiap fungsi pilihan δ pada D .
Definisi 2.5
2.3 Kriteria Cauchy Bersama untuk Limit
Andaikan M adalah himpunan bilangan. Pernyataan bahwa D adalah arah (direction) di M (atau
arah D, jika tidak ada ambiguitas) artinya bahwa D adalah koleksi selang tak kosong dari M
dengan demikian bahwa untuk setiap dua himpunan S1 dan S2 ∈ D, ada anggota S3 ∈ D dengan
demikian S3 ⊂ S1 ∩S2.
Definisi 2.6
Andaikan f adalah fungsi dengan daerah asal termasuk himpunan bilangan M dan D adalah
direction di M. Maka pernyataan f mempunyai limit ke D artinya bahwa ada bilangan L (ditulis
limD f) dengan demikian jika ε > 0, terdapat S ∈ D berlaku
| L− f(x) |< ε,∀x ∈ S
Definisi 2.7

10. 9
Andaikan bahwa D adalah direction di M dan f fungsi dengan daerah asal termasuk M. Maka
limD f ada jika dan hanya jika ∀ε > 0, terdapat S ∈ D sehingga berlaku
| f(u)− f(v) |< ε,∀u,v ∈ S
Teorema 2.1 (Kriteria Cauchy Bersama untuk Limit)
Bukti. Diketahui limD f ada, katakan limD f = L berarti untuk setiap ε > 0 terdapat S ∈ D berlaku
| L− f(x) |< ε,∀x ∈ S,
Ambil sebarang ε > 0, selanjutnya
ada s1 ∈ D berlaku | L− f(u) |< ε
2 ,∀u ∈ S
ada s2 ∈ D berlaku | L− f(v) |< ε
2 ,∀v ∈ S,
Kemudian dipilih S = mins1,s2 sehingga diperoleh
2
(Kriteria Cauchy Bersama untuk Limit) Andaikan D direction di M, dan f adalah fungsi terbatas
dengan dearah asal termasuk M. Maka terdapat limD f ada dan limD g ada jika dan hanya jika
untuk setiap ε > 0 terdapat S ∈ D berlaku
| f(u)− f(v) || g(s)−g(r) |< ε,∀u,v,r,s ∈ S.
Teorema 2.2
Bukti.
⇒
Andaikan bahwa limD f atau limD g ada.Tanpa menghilangkan keumuman, asumsikan limD f ada.
Karena g terbatas, kita tahu bahwa A > 0, dengan demikian bahwa
| g(x) |< A (2.1)
Untuk setiap x ∈ M. Misalkan ε > 0. Karena limD f ada, menggunakan Teorema 2.1, untuk ε 2A >
0, terdapat S ∈ D, berlaku
| f(u)− f(v) |<
ε
2A
(2.2)
Untuk setiap u dan v didalam S. Dari (2.1) diatas, kita mempunyai
| g(s)−g(v) |< 2A (2.3)
Untuk setiap r dan s didalam M, dan selanjutnya ∀r,s ∈ S. Dari 2.2 dan 2.3,didapat
| f(u)− f(v) || g(s)−g(r) |< ε,∀u,v,r,s ∈ S
⇐
Andaikan bahwa untuk setiap ε > 0, terdapat suatu S ∈ D dengan demikian bahwa
| f(u)− f(v) || g(s)−g(r) |< ε (2.4)

11. A STUDY OF A STIELTJES INTEGRAL DEFINED ON ARBITRARY NUMBER SETS
Untuk u,v,r,s ∈ S. Tanpa menghilangkan keumuman, kita asumsikan bahwa limD f tidak ada. Jadi
Menggunakan definisi 2.7, terdapat ρ > 0 sehingga untuk sebarang S ∈ D dan suatu u,v ∈ S berlaku
| f(u)− f(v) |≥ ρ
Kita akan tunjukkan bahwa asumsi ini mengikuti fakta bahwa limD g haruslah ada.
Andaikan bahwa ε > 0. Dari (2.4) untuk ρε > 0, terdapat suatu S ∈ D dengan demikian berlaku
| f(u)− f(v) || g(s)−g(r) |< ρε (2.5)
Untuk setiap u,v,r,s ∈ S. Dari sini, ada u,v ∈ S, sehingga
| f(u)− f(v) |≥ ρ (2.6)
Jadi dari (2.5) dan (2.6), kita dapatkan ρ | g(s)−g(r) |≤| f(u)− f(v) || g(s)−g(r) |< ρε, atau | g(s)−
g(r) |< ε,∀s,r ∈ S. Jadi Menggunakan definisi 2.7, kita tahu bahwa limD g ada. 2
Akibat 2.1 limD f ada atau limD g ada jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0, terdapat S ∈ D dengan
demikian bahwa | f(u)− f(v) || g(s)−g(r) |< ε,∀u,v,r,s ∈ S dimana r ≤ u ≤ s dan r ≤ v ≤ s.
Bukti.
⇐
Ini mengikuti dengan Teorema 2.2
⇒
Asumsikan hipotesis dan kedua limD f dan limD g tidak ada. Maka menggunakan definisi 2.7,
untuk suatu ε1 > 0 dan ∀S ∈ D, terdapat u,v ∈ S dengan demikian | f(u)− f(v) |≥ ε1. Dengan cara
yang sama untuk suatu ε2 > 0 dan S ∈ D terdapat r,s ∈ D dengan demikian | g(s)−g(r) |≥ ε2.
Untuk ε1ε2 > 0, Menggunakan hipotesis, ada suatu S ∈ D dimana
| f(u)− f(v) || g(s)−g(r) |< ε1ε2 (2.7)
Untuk setiap u,v,r,s ∈ S, dimana r ≤ u ≤ s dan r ≤ v ≤ s.
Sekarang, sebarang dipilih r,s ∈ S. Kita bisa asumsikan bahwa r < s sehingga ada u,v ∈ S dengan
demikian r ≤ u,v ≤ s dan | f(u)− f(v) |≥ ε1. Dari (2.7), kita mempunyai
| g(s)−g(r) | ε1 <| f(u)− f(v) || g(s)−g(r) |< ε1ε2
atau
| g(s)−g(r) |< ε2
Untuk setiap r,s ∈ S. Ini kontradiksi dengan yang diketahui terdapat r,s ∈ S dengan demikian
| g(s)−g(r) |≥ ε2. Jadi pengandaian harus diingkar sehingga didapat bahwa limD g ada limD f ada.
2
2.4 Transformasi dari Definisi D ke Definisi C
Andaikan bahwa M ⊆ [a,b], maka sebuah gap G ∈ M (atau gap G jika tidak ada ambiguitas) adalah
maksimal himpunan bagian yang terhubung dari (a,b) yang tidak memuat titik M.
Definisi 2.8

12. 11
Andaikan M adalah himpunan dan G adalah Gap. Didalam dalam definisi ini kita mengikuti
Hewitt dan Stromberg untuk pengertian selang. Kita sekarang mendefinisikan direction dibawah
ini :
DG adalah koleksi semua selang yang memuat titik G, titik ujung kanan M dan titik ujung kiri
M.
DG
+ adalah koleksi semua selang dengan titik ujung kiri M dan titik ujung kanan gap G
DG
− adalah koleksi semua selang dengan titik ujung kanan M dan titik ujung kiri gap G
Definisi 2.9
Jika f fungsi dengan daerah asal termasuk himpunan bilangan M, G adalah sebuah gap di M,
atau G ∈ M, dan limDG f ada, maka limD+
G
f dan limD−
G
f ada dan
lim
DG
f = lim
D+
G
f = lim
D−
G
f
Teorema 2.3
Bukti. Andaikan bahwa f fungsi dengan daerah asal termasuk himpunan bilangan M, G adalah
sebuah G ∈ M, dan limDG f ada dan kita notasikan menggunakan L.
Misalkan ε > 0. Maka ketika limDG f ada, terdapat S ∈ DG demikian bahwa | L − f(x) |< ε,∀x ∈ S.
Sekarang, misalkan S+ anggota DG
+ dimana S+ ⊆ S. Maka | L − f(x) |< ε,∀x ∈ S+. Jadi menggu-
nakan definisi limD+
G
f, kita tahu bahwa limD+
G
f = L. Secara sama kita bisa membuktikan bahwa
limD−
G
f ada dan limD+
G f = L.
Jadi limDG f = limD+
G
f = limD−
G
f. 2
Jika f dan g fungsi dengan daerah asal M ⊆ [a,b] dengan demikian f terintegral g pada M dan G
adalah sebuah gap di M, maka limD−
G
f dan limD+
G
f ada atau limD−
G
g dan limD−
G
g ada.
Teorema 2.4
Bukti. Mengikuti argumen, direction D adalah DG untuk suatu gap G.
Andaikan bahwa ε > 0. Ketika f terintegral g pada M, terdapat bilangan W dan partisi P dari M
dengan demikian bahwa
| W − ∑
P ∈P
f(x)[g(q)−g(p)] |<
ε
2
(2.8)
Untuk sebarang partisi P dari P dan untuk semua [p,q]M ∈ P dan sebarang x ∈ [p,q]M.
Misalkan [c,d]M anggota P dimana G ⊆ [c,d]. Catatan bahwa, S = [c,d]M ∈ D. Misalkan r,s,u,v
sebarang anggota S. Tanpa menghilangkan keumuman, asumsikan bahwa r ≤ s, dan r ≤ u,v ≤ s.
Misalkan P partisi penghalus P dengan demikian E(P ) = E(P)∪{r,s}.
Misalkan bahwa T = ∑ f(x)[g(q) − g(p)] dimana x = p, untuk setiap [p,q]M ∈ P didalam kasus
ketika [p,q]M = [r,s]M, kita misalkan x = u. Misalkan U didefinsikan didalam masalah yang sama
sebagai T kecuali didalam [p,q]M = [r,s]M, kita misalkan x = v.
Dari (2.8), kita mempunyai

13. A STUDY OF A STIELTJES INTEGRAL DEFINED ON ARBITRARY NUMBER SETS
| W −T |< ε
2 dan | W −U |< ε
2 .
Dengan menambahkan dan mengaplikasikan ketidaksamaan segitiga untuk nila mutlak, kita
mendapatkan
U −T <
ε
2
.
Ini telah menunjukkan bahwa
U −V = [f(v)− f(u)][g(s)−g(r)].
Sehingga
| [f(v)− f(u)][g(s)−g(r)] | .
Jadi, untuk sebarang ε > 0, terdapat S ∈ D yang memuat G dengan demikian bahwa untuk se-
barang r,s ∈ M dimana [r,s] ⊆ D dan sebarang u,v ∈ M dimana r ≤ u ≤ s dan r ≤ v ≤ s, kita mem-
punyai bahwa
| [f(u)− f(v)][g(s)−g(r)] |< ε.
Jadi Menggunakan Akibat 2.1, maka limD f ada limD g ada. Menggunakan Teorema 2.3, limD−
G
f
dan limD+
G
f ada atau limD−
G
g dan limD+
G
g ada. 2
Jika f fungsi dengan daerah asal M ⊆ [a,b], z adalah anggota dari [a,b]−M adalah titik limit(limit
point) dari f | [a,z], maka terdapat bilangan c dengan demikian (z,c) adalah titik limit dari grafik
f | [a,z]. Dengan cara yang jika z adalah titik limit dari daerah asal f | [z,b], maka terdapat bilangan
c sehingga (z,c) adalah titik limit dari grafik f | [z,b].
Teorema 2.5
Bukti. Bukti itu secara langsung, menggunakan aplikasi dari Teorema Heine-Borel di selang verk-
tikal {(z,t) : −B ≤ t ≤ B}, dimana B adalah batas positif untuk | f | dan | g |. 2
Didalam Teorema 2.5 , c dikatakan quasi end value.
Definisi 2.10
Andaikan f fungsi dengan daerah asal M ⊂ [a,b]. Menggunakan f∗, kita artikan sebuah fungsi
yang berlaku
(a) f∗(x) = f(x) untuk setiap x ∈ M, dan
(b) Jika x ∈ [a,b]−M dan G adalah gap yang memuat x, maka f∗(x) adalah sama dengan quasi
end value f terhadap G. Itu dapat dimengerti ketika ada lebih dari satu pilihan untuk f∗(x)
maka hanya satu pilihan yang dibuat dan sama untuk setiap nilai di G.
Definisi 2.11
f∗ dikenal sebagai extension f ke [a,b]. Jika quasi-left value adalah digunakan secara konsisten
untuk setiap gap, maka f∗ dikenal sebagai left extension f pada [a,b]. Right extension juga didefin-
isikan dengan cara yang sama.

14. 13
Jika f dan g fungsi dengan daerah asal M ⊆ [a,b],a ≤ r∗ ≤ x∗ ≤ s∗ ≤ b, dimana r∗,x∗,s∗ ∈ M, dan
ε > 0, maka
(a) Jika a ∈ M, terdapat left extension f∗ dan g∗ dari f dan g ke [a,b], dan terdapat bilangan
r,s,x ∈ M, dengan demikian a ≤ r ≤ r∗, r ≤ x ≤ x∗, x ≤ s ≤ s∗ dan | f ∗ (x∗)[g∗(s∗) − g∗(r∗)] −
f(x)[g(s)−g(r)] |< ε, dan
(b) Jika b ∈ M, terdapat right extension f∗ dan g∗ dari f dan g ke [a,b], dan terdapat bilangan
x∗ ≤ x ≤ s, s∗ ≤ s ≤ b, dan | f∗(x∗)[g∗(s∗)−g∗(r∗)]− f(x)[g(s)−g(r)] |< ε.
Teorema 2.6
Bukti. Untuk bagian (a) Andaikan a ≤ r∗ ≤ x∗ ≤ s∗ ≤ b dimana r∗,x∗,s∗ ∈ M. Andaikan ε > 0 dan B
adalah positive common bound dari | f | dan | g |. Misalkan ε = min{ε/6B, ε/6}. Ketika a ≤ r∗,
misalkan z = inf(M ∩ [a,r∗]). Jika z ∈ M, misalkan r = z. Jika tidak, z merupakan titik limit M.
Didalam kasus terakhir, menggunakan Teorema 2.5, terdapat titik dengan sumbu z yang meru-
pakan titik limit dari grafik g | [a,z]. Selanjutnya, terdapat anggota r dari M dengan demikian
bahwa a ≤ r ≤ r∗ dan g(r) = g∗(r∗) + δ1, dimana | δ1 |< ε . Dengan cara yang sama, ada bilangan
x ∈ M dengan demikian bahwa r ≤ x ≤ x∗ dan f(x) = f∗(x∗)+δ2, dimana | δ2 |< ε. Seperti masalah
yang sama juga didapat, ada anggota s ∈ M, sehingga r ≤ x ≤ x∗, dan g(s) = g∗(s∗) + δ3, dimana
| δ3 |< ε . Maka
| f∗(x∗)[g∗(s∗)−g∗(r∗)]− f(x)[g(s)−g(r)]
=| [f(x)+δ2][g(s)+δ3 −g(r)−δ1]− f(x)[g(s)−g(r)] |
=| f(x)[g(s)−g(r)]+ f(x)[δ3 −δ1]+δ2[g(s)−g(r)]+δ2[δ3 −δ1]−
f(x)[g(s)−g(r)] |≤| f(x)[δ3 −δ1] | + | δ2[g(s)−g(r)] | + | δ2[δ3 −δ2] |
< B. 2ε
6B + 2ε
6B .2B+ 2ε
6 = ε
3 + ε
3 + ε
3 = ε
Jadi, | f∗(x∗)[g∗(s∗)−g∗(r∗)]− f(x)[g(s)−g(r)] |< ε. Bukti bagian (b)adalah sama untuk bagian (a).
2
Jika M ⊆ [a,b], f dan g fungsi dengan daerah asal M dengan demikian f terintegral g atas M, dan
terdapat left extension kiri(kanan) f∗ dan g∗ dari f dan g ke [a,b], maka f∗ terintegral g∗ pada [a,b]
dan
b
a
f∗
dg∗
=
M
fdg
Teorema 2.7
Bukti. Andaikan M ⊆ [a,b] dan f dan g fungsi dengan daerah asal M dengan demikian bahwa
f terintegral pada M. Misalkan W = M fdg dan f∗, g∗ left(right) extension dari f dan g. Tanpa
menghilangkan keumuman, kita asumsikan left extension dari f dan g dan jika a,b,∈ M. Andaikan

15. A STUDY OF A STIELTJES INTEGRAL DEFINED ON ARBITRARY NUMBER SETS
ρ > 0. Jadi, ada partisi D dari M dengan demikian bahwa
| W −∑ f(x)[g(q)−g(p)] |<
ρ
2
(2.9)
Untuk sebarang partisi penghalus D ⊆ D dan untuk semua [p,q]M ∈ D dan sebarang x ∈ [p,q]M.
Sekarang kita kontruksikan D dan δ. Misalkan P partisi dari [a,b] dengan demikian E(P) = E(D)
dan misalkan P sebarang partisi penghalus P. Sekarang kita akan kontruksikan partisi penghalus
D dari D dengan demikian
| ∑(f,g,D ,δ)−∑(f∗
,g∗
,P ,δ ) <
ρ
2
dimana δ sebagai fungsi pilihan pada P dan δ fungsi pilihan yang spesifik pada D .
Misalkan N banyaknya elemen di P . Dinotasikan P = {[u∗
k−1,uk
∗]}N
k=1. Kita mulai dengan memilih
ε di Teorema terdahulu menjadi ρ 2N. Dengan mempertimbangkan adanya [u0
∗,u1
∗] dari P dan
x∗ = δ ([u0
∗,u1
∗]), maka menggunakan Teorema 2.6, kita dapatkan anggota u0,u1,x0 ∈ M dengan
demikian a ≤ u0 ≤ u0
∗ ≤ x ≤ x∗ ≤ u1 ≤ u1
∗ ≤ b dan
| f∗
(x0
∗
)[g∗
(u1
∗
)−g∗
(u0
∗
)]− f(x0)[g(u1)−g(u0)] |<
ρ
2N
Sekarang, kita mempertimbangkan adanya bilangan u1,u2
∗,x1
∗. Terdapat bilangan x1 dan x2 den-
gan demikian bahwa u ≤ x1 ≤ x1
∗ ≤ u2 ≤ u2
∗ dan
| f∗
(x1
∗
)[g∗
(u2
∗
)−g∗
(u1
∗
)]− f(x1)[g(u2)−g(u1)] |<
ρ
2N
.
Maka, kita lanjutkan proses seterusnya untuk k = 2,...,N sehingga ketidaksamaan dibawah ini :
f∗
(x∗
k−1)[g∗
(uk
∗
)−g∗
(u∗
k−1)− f(x1)[g(uk)−g(uk−1)] |<
ρ
2N
.
Untuk k = 1,...,N.
Dengan menambahkan N ke ketidaksamaan diatas dan mengaplikasi ketidaksamaan segitiga,
kita dapatkan dibawah ini :
| ∑(f,g,D ,δ)−∑(f∗
,g∗
,P ,δ ) |<
ρ
2
(2.10)
Dimana D = {[uk−1,uk]}N
k=1 dan δ([uk−1,uk]) = xk untuk k = 1,...,N. Sekarang, kita mempunyai D
dan δ.
Dengan menambahkan 2.9 dan 2.10, kita dapatkan
| W −∑(f∗
,g∗
,P ,δ ) |< ρ
Dimana P sebarang partisi penghalus dari P dan δ sebarang fungsi pilihan pada P . Jadi f∗ ter-
integral g∗ pada [a,b] dan b
a f∗dg∗ = M fdg. 2
Andaikan bahwa F dan G fungsi dengan daerah asal termasuk [a,b] dengan demikian bahwa
(a) F terintegral G pada [a,b]
(b) M = [a,b],a,b ∈ M
(c) Jika z elemen [a,b]−M dan ε bilangan positif, maka ada interval terbuka s memuat z dengan
demikian | F(x)−F(z) || G(v)−G(u) |< ε, dimana ∀u,v,x ∈ s∩[a,b],u < z < v dan u ≤ x ≤ v.
Maka F terintegral G pada M dan b
a FdG = M FdG.
Teorema 2.8

16. 15
Bukti. Andaikan ε > 0. Ketika F terintegral G pada [a,b], terdapat partisi D dari [a,b] dengan
demikian, jika D partisi penghalus D, maka
|
b
a
FdG−∑(F,G,D ,δ ) |<
ε
2
Untuk setiap fungsi pilihan δ pada D .
Tanpa menghilangkan keumuman, misalkan kita ambil kasus element D mempunyai titik ujung
yang bukan anggota M.
Andaikan bahwa A = E(D) ∩ Mc yang bisa dituliskan sebagai A = {x1,x2,...,xN}. Menggunakan
bagian (b) dan (c) dari hipotesis kita, ada koleksi G = {(ri,si) : i = 1,2,...,N} subinterval terbuka
yang saling asing dari [a,b] dengan titik ujung di M, setiapnya memuat tentunya satu anggota
dari A, memuat bukan titik dari E(D)∩M, dan jika xi ∈ A, maka
| F(x)−F(xi) || G(v)−G(u) |<
ε
2N
(2.11)
untuk setiap u,v,x ∈ (ri,si)∩[a,b], dimana u < xi < v,u ≤ x ≤ v untuk i = 1,...,N.
Misalkan D dinotasikan partisi penghalus D dimana E(D ) = E(D)∪{r1,s1,r2,s2,...,rN,sN}. Mis-
alkan P dinotasikan partisi dari M dengan demikian E(P) = E(D )∩M. Andaikan bahwa P adalah
sebarang partisi penghalus P. Untuk i = 1,...,N, Misalkan [ci,di]M dinotasikan elemen dari P den-
gan demikian bahwa ci < xi < di.
Dari (2.11), ketika ci,di,xi ∈ (ri,si)∩[a,b], kita mempunyai
| F(x)[G(di)−G(ci)]−F(xi)[G(xi)−G(ci)]−F(xi)[G(di)−G(xi)] |<
ε
2N
(2.12)
Dimana x sebarang bilangan di [ci,di]M,i = 1,2,...,N. Ketika terdapat N ∈ A, dari (2.12), kita mem-
punyai
|
N
∑
i=1
F(x)[G(di)−G(ci)]−
N
∑
i=1
F(xi)[G(xi)−G(ci)]−
N
∑
i=1
F(xi)[G(di)−G(xi)] |<
ε
2
. (2.13)
Misalkan D” dinotasikan partisi penghalus dari D dengan demikian E(D”) = E(P”) ∪ E(D). Mis-
alkan QP = {[ci,di]M}N
i=1 dan QD” = {[ci,di]}N
i=1 ∪{[xi,di]}N
i=1.
Misalkan ρ sebarang fungsi pilihan pada P dan misalkan δ fungsi pilihan pada D” didefinisikan
sebagai δ ([p,q]) = ρ([p,q]M) untuk setiap [p,q]M ∈ P − QP , untuk setiap [p,q] ∈ D” − QD” dan
δ ([ci,xi]) = δ ([xi,di]) = xi,i = 1,2,...,N. Jadi (2.13) menjadi
| ∑(F,G,QP ,ρ)−∑(F,G,QD”,δ ) |<
ε
2
. (2.14)
Kita juga mempunyai
∑(F,G,D”−QD”,δ ) = ∑(F,G,P −QP ,ρ) (2.15)
dan
∑(F,G,D”,δ ) = ∑(F,G,QD”,δ )+∑(F,G,D”−QD”,δ ) (2.16)
dan
∑(F,G,P ,ρ) = ∑(F,G,QP ,ρ)+∑(F,G,P −QP ,ρ) (2.17)
Substitusikan (2.15)ke dalam (2.16), kita dapatkan
∑(F,G,D”,δ ) = ∑(F,G,QD”,δ )+∑(F,G,P −QP ,ρ) (2.18)

17. A STUDY OF A STIELTJES INTEGRAL DEFINED ON ARBITRARY NUMBER SETS
Dengan menghitung selisih antara sisi kiri (2.17) dan (2.18) dan kemudia disubstitusikan ke (2.14),
didapatkan
| ∑(F,G,P ,ρ)−∑(F,G,D”,δ ) |<
ε
2
(2.19)
Selanjutnya, dengan diketahui bahwa
|
b
a
FdG−∑(F,G,D”,δ ) |<
ε
2
(2.20)
Dengan mengkombinasikan (2.19) dan (2.20).
|
b
a
FdG−∑(F,G,P ,ρ) |< ε
Jadi, menggunakan definisi, F terintegral G pada M dan menggunakan ketunggalan integral di-
dapatkan b
a FdG = M FdG. 2
ty
Contoh 2.1
1 paso
2 paso
3 paso
4 paso
1 paso
2 paso
3 paso
4 paso

18. Daftar Pustaka
[1] W. Gautschi. Numerical Analysis. An Introduction. Birkhäuser, 1997.
[2] P. Henrici.Essentials of Numerical Analysis. Wiley, New York, 1982.