pelajaran kalkulus

1. INTEGRASI
By : MOCH. DHOFIR

2. Gambaran Problem Luas (Area)
Menentukan luasan sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 dengan menggunakan
pendekatan luasan segi-n. Luas eksak dari lingkaran sama dengan  dan luas pendekatan
menggunakan segi-n dengan n mulai 200 hingga 10.000 ditunjukkan pada table. Untuk
limit n mendekati takhingga didapat luas A(n) sama dengan .

3. Problem Area (Luas)
Selanjutnya bagaimana menentukan luasan suatu
area yang dibatasi oleh sebuah kurve fungsi f(x) dan
sumbu-x dalam rentang tertutup [a,b] seperti
ditunjukkan pada gambar di samping ?
Jawabannya dengan metode pendekatan segmentasi
persegi-panjang seperti gambar di bawah :
A : Nilai eksak luasan di bawah kurve
An : Pendekatan A menggunakan n persegi-panjang

4. Contoh Penggunaan Metode Persegi-Panjang
Mencari luas dengan menggunakan metode
persegi-Panjang untuk luasan di bawah kurve
y = x2 dalam interval [0,1] seperti pada
gambar di bawah.
Kita akan membagi interval [0,1] menjadi
n subinterval yang sama, dengan lebar
interval yang sama yaitu 1/n.
x :
f(x) :
Pembagian sub-interval dari titik
ujung x=0 ke titik ujung x=1 dan nilai
f(x) yang terkait.
Nilai An sbg pendekatan nilai eksak A
untuk nilai n dari 4 hingga 100.000
Nilai eksak A

5. Metode Anti-Derivatif untuk Menentukan Luas
Jika f(x) fungsi kontinyu non-negative, pada interval [a,b], dan jika A(x)
menyatakan luas di bawah grafik f(x) dalam interval [a,x], dimana x sembarang
titik dalam interval [a,b], maka :
Catatan :
Kita harus mencari fungsi A(x) sehingga
bila diturunankan sama dengan f(x).
A(x) merupakan anti-derivative dari A’(x).

6. Contoh :
Gunakan metode anti-derivatif untuk
menentukan luasan di bawah kurve f(x) = x2
dalam interval [0,1].
SOLUSI :
Ambil sembarang titik x dalam interval [0,1] dan A’(x)
menotasikan luas di bawah kurve f(x) dalam interval
[0,x].
Dengan metode anti-derivative, maka :
Anti derivative dari x2 adalah x3/3, sehingga :
Untuk x = 0, maka :
Kita memahami bahwa luasan pada titik
tunggal pada x = 0 adalah NOL, maka :
Sehingga :
Dan luas di bawah f(x) = x2 sLm interval
[0,1] adalah :

7. Integral Taktentu
Proses menentukan anti-derivative disebut dengan antideferensiasi atau
integrasi.
Antiderivatif
Derivatif

8. Formula Integrasi

9. Contoh :

10. Contoh :

11. Integrasi dari Titik Pandang Persamaan Diferensial
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
SOLUSI PD

12. Contoh :
SOLUSI PD UNTUK BERBAGAI NILAI C

13. Contoh :
PROBLEM NILAI AWAL / KONDISI AWAL

14. Soal-Soal :

15. Soal-Soal :

16. Integral dengan Substitusi

17. Contoh :

18. Contoh :

19. Contoh :

20. Contoh :

21. Contoh :

22. Soal-Soal :

23. Integral Tertentu
(Jumlah Reamann/Integral Reamann)
Definisi :
Sebuah fungsi f(x) dikatakan dapat diintegralkan (integrable) pada sebuah
interval tertutup tertentu [a,b] jika limit berikut ada :
a : batas bawah integrasi
b : batas atas integrasi
f(x) : integran (fungsi yang diintegrasikan)
Jumlah Reamann
Integral Reamann

28. CONTOH :
LIHAT TABEL HALAMAN-8

29. Contoh :
SOLUSI :

30. Total Luas
CONTOH :
Tentukan total luas A antara kurve f(x) = 1 – x2 dan sumbu-x
dalam intervala [0,2].
SOLUSI :

31. Teorema Nilai Rata-Rata untuk Integral
Nilai rata-rata fungsi f(x)

32. CONTOH :
Dengan menggunakan Teorema Nilai-Rata-Rata, tentukan x* untuk f(x) = x2 dalam
interval [1,4].
SOLUSI :
Theorema Nilai Rata-Rata :

33. CONTOH :
(Kontinyu pada sembarang x kecuali pada x = 0)
Sehingga,
INTEGRASI & DEFERENSIASI
ADALAH PROSES INVERSI

34. Soal-Soal

35. Soal-Soal

36. Menentukan Posisi & Kecepatan dg Integral
CONTOH :
Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = cost
sepanjang garis lurus. Asumsikan bahwa partikel
mempunyai koordinat s = 4 pada waktu t = 0, tentukan
fungsi posisinya.
SOLUSI :
Fungsi posisi :

37. Perhitungan Perpindahan dan Jarak Pergerakan dengan Integrasi
Perpindahan selama selang waktu sebuah partikel yang bergerak lurus adalah
koordinat akhirnya dikurangi koordinat awalnya. Jadi, jika fungsi posisi partikel
adalah s(t), maka perpindahannya (perubahan posisi) selama interval waktu [t0,t1]
adalah s(t1) – s(t0), ini dapat ditulis dalam bentuk integral sebagai :
Perpindahan selama
interval waktu [t0,t1]
Jarak pergerakan selama
interval waktu [t0,t1]

38. Contoh :

39. Contoh :
Jelaskan perpindahan dan jarak pergerakan (jarak tempuh) dari setiap gambar
berikut :
a : Perpindahannya = +2 (bergerak ke kanan) sepanjang garis lurus.
Jarak tempuhnya = +2
a : Perpindahannya = -2 (bergerak ke kiri) sepanjang garis lurus.
Jarak tempuhnya = +2
a : Perpindahannya = 0 (posisi semula). Dari [0,2] perpindahannya +1 (ke kanan),
dari [2,4] perpindahannya -1 (ke kiri), total perpindahan (+1 - 1 = 0).
Jarak tempuhnya = +2 (luas total)

40. Percepatan Konstan

41. Contoh :
SOLUSI :

42. Contoh :

43. Soal-Soal :

44. Soal-Soal :

45. Soal-Soal :

46. Soal-Soal :

47. Evaluasi Integral Tertentu dg Substitusi
CONTOH :

48. Evaluasi Integral Tertentu dg Substitusi
CONTOH :

49. CONTOH :
SOLUSI :
(a)
(b)

50. CONTOH :
SOLUSI :

51. Soal-Soal :

52. Soal-Soal :

53. Soal-Soal :

54. Soal-Soal :