Dokumen tersebut membahas tentang integrasi dan antiturunan. Secara singkat, integrasi merupakan proses membalikkan diferensiasi untuk mendapatkan antiturunan suatu fungsi, sedangkan antiturunan adalah fungsi yang bila diturunkan akan menghasilkan fungsi awal. Dokumen ini juga menjelaskan beberapa rumus integral untuk fungsi konstan, kuasa, dan lainnya.

1. NAMA ANGGOTA KELOMPOK :
1. Gerian Dwiki Sakti Sanusi Putra
2. Rafiz Arma Fashia
3. Susandi
III
INTEGRASI
Pada dasarnya , integrasi adalah proses membalikkan hasil diferensiasi .
Dalam Bagian III Anda akan bekerja dengan rumus integrasi untuk dasar tertentu
jenis fungsi , bersama dengan berlatih berbagai teknik integrasi.itu
Bahan dimulai dengan fokus pada integral tak tentu , dan kemudian pindah ke yang pasti
integral dan kemenangan penobatan kalkulus integral, Fundamental Pertama
Teorema kalkulus . Teorema Fundamental Kedua sangat berguna Kalkulus
dan Berarti Nilai Teorema untuk Integral juga disajikan .
Integral tak tentu dan
integrasi dasar
rumus dan aturan
Antiturunan dan terbatas terpisahkan
Sebuah antiturunan dari fungsi f pada interval I adalah fungsi F sehingga
F’(x) =
𝑑
𝑑𝑥
[ 𝐹(𝑥)] 𝐴 = 𝐹( 𝑥) 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑥 𝑑𝑖 𝐼.
Dengan demikian, sebuah antiturunan merupakan hasil membalikkan proses diferensiasi,boleh
dikatakan. Contoh berikut menggambarkan konsep ini.
 5𝑥3
𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 15𝑥2
𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎
𝑑
𝑑𝑥
(5𝑥3) = 15𝑥2
.
 5𝑥3
− 20 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 15𝑥2
𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎
𝑑
𝑑𝑥
(5𝑥3
− 20) = 15𝑥2
− 0 = 15𝑥2
.
 5𝑥3
+ 100 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 15𝑥2
𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎
𝑑
𝑑𝑥
(5𝑥3
+ 100) = 15𝑥2
+ 0 =
15𝑥2
.
 tan 𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎
𝑑
𝑑𝑥
(tan 𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥.
 tan 𝑥 + 4 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎
𝑑
𝑑𝑥
(tan 𝑥 + 4) = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 + 0 =
𝑠𝑒𝑐2
𝑥.
 tan 𝑥 − 30 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎
𝑑
𝑑𝑥
(tan 𝑥 − 30) = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 − 0 =
𝑠𝑒𝑐2
𝑥.
Dari contoh-contoh ini, Anda dapat melihat bahwa, meskipun fungsi memiliki paling banyak
satu derivatif, mereka mungkin memiliki banyak (pada kenyataannya,tak terhingga banyaknya)
antiturunan. Jadi, jika F adalah antiturunan dari fungsi f pada interval I,
Maka 𝑓( 𝑥) + 𝑐 merupakan set antiturunan dari f, di mana C adalah konstanta sembarang.
Integral tak tentu dari f adalah himpunan semua antiturunan dari f dan dinotasikan
Oleh ∫𝑓(𝑥)dx. Dengan demikian,∫𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)+ 𝑐,

2. di mana F adalah antiturunan dari f pada interval I dan C adalah konstanta sembarang.
Proses penentuan integral tak tentu disebut integrasi. Itu ekspresi 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 dibaca "integral dari f dari x
terhadap x"; f (x) adalah disebut integran, dx disebut diferensial, dan C disebut konstan integrasi. Catatan:
diferensial dx menunjukkan bahwa integrasi berlangsung sehubungan dengan variabel x . Akhir , akan
dimengerti bahwa dalam ekspresi 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)+ 𝑐, F adalah antiturunan dari f pada interval .Anda
mungkin telah menduga bahwa integrasi " Membatalkan " proses diferensiasi ke dalam nilai konstan .
Dengan cara seperti , diferensiasi " Membatalkan " proses integrasi . mengikuti contoh menggambarkan
terbalik ini ( " kehancuran " ) hubungan antara integrasi dan diferensiasi .
Masalah Pastikan ∫15 𝑥2
𝑑𝑥 = 15𝑥3
+ 𝑐 dengan membedakan anggota yang tepat .
Solusi
𝑑
𝑑𝑥
(15𝑥3
+ 𝑐) = 15 𝑥2
+ 0 = 15 𝑥2
Masalah Pastikan ∫𝑠𝑒𝑐 𝑥2
𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝑐 dengan membedakan anggota yang tepat .
Solusi
𝑑
𝑑𝑥
(tan 𝑥 + 𝑐) = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 + 0 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥2
7 · 1
LATIHAN
Verifikasi pernyataan berikut dengan membedakan anggota yang tepat .
1. ∫ 100 𝑑𝑥 = 100𝑥 + 𝑐
2. ∫ 6𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑥2
+ 𝑐
3. ∫( 3𝑥2
+ 4𝑥 − 5) 𝑑𝑥 = 𝑥3
+ 2𝑥 − 5𝑥 + 𝑐
4. ∫( 𝑥2
+ 1)√ 𝑥 𝑑𝑥 =
2
7
𝑥2
1
+
2
3
𝑥2
3
+ 𝑐
5. ∫( 𝑥 𝑒
+ 𝑒 𝑥 ) 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑒+1
𝑒+1
+ 𝑒 𝑥
+ 𝑐
6. ∫(10𝑥 + 30)3
10 𝑑𝑥 =
(10𝑥+30)4
4
+ 𝑐
7. ∫(𝑥2
− 3)4
2𝑥 𝑑𝑥 =
(𝑥2−3)5
5
+ 𝑐
8. ∫(𝑠𝑖𝑛2
𝑥cos 𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑠𝑖𝑛3
3
𝑥 + 𝑐
9. ∫ 𝑥2
− 𝑠𝑖𝑛 𝑥3
𝑑𝑥 =
− cos 𝑥3
3
+ 𝑐
10. ∫ 𝐼𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝐼𝑛 𝑥 = 𝑥 𝐼𝑛 𝑥 − 𝑥 + 𝑐

3. penyelesaian :
1. =
𝑑
𝑑𝑥
(100𝑥 + 𝑐) = 100𝑥 + 𝑐 = 100
2. =
𝑑
𝑑𝑥
(3𝑥2
+ 𝑐) = 6𝑥 + 0
3. =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥3
+ 2𝑥2
− 5𝑥 + 𝑐) = 3𝑥2
+ 4𝑥 − 5 + 0 = 3𝑥2
+4x-5
4. =
𝑑
𝑑𝑥
(
2𝑥
1
2
7
+
2𝑥
3
2
3
+ c)=
2𝑥
−1
2
14
+
6𝑥
1
2
6
+ 0 =
1𝑥
−1
2
7
+ 𝑥
1
2
5. =
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑥 𝑒+1
𝑒+1
+ 𝑒 𝑥
+ 𝑐) =
𝑒+1.𝑥 𝑒+1−1
1𝑒1−1+0
+ 𝑥𝑒 𝑥−1
+ 𝑐 =
𝑒+𝑥 𝑒
1
+ 𝑥𝑒 𝑥−1
+ 0 = 𝑒 +
𝑥 𝑒
+ 𝑥𝑒 𝑥−1
6. =
𝑑
𝑑𝑥
(10𝑥+30)4
4
+ 𝑐 =
10𝑥4
4
+
304
4
+ 𝑐 =
40𝑥3
4
+ 0 = 10𝑥3
7. =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥2−3)5
5
+ c =
𝑥10
5
−
35
5
+ 𝑐 =
10𝑥9
5
+ 0 = 2𝑥9
8. =
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑠𝑖𝑛3
3
𝑥 + 𝑐) =
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
3
.
sin 𝑥
3
+ 0 =
(1−𝑐𝑜𝑠2 𝑥) .
3
sin 𝑥
3
9. =
𝑑
𝑑𝑥
(
− cos 𝑥3
3
+ 𝑐) =
−3 sin 𝑥2
3
+ 0 = −sin 𝑥2
10. =
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑥 𝐼𝑛 𝑥 − 𝑥 + 𝑐) = 𝑥.
𝑑𝑥
𝑥
− 1 =
𝑥−1𝑑𝑥
𝑥
Integrasi fungsi konstan
Jika k adalah setiap konstan, maka ∫ k dx= k x + c, di mana C adalah konstanta sembarang .
 ∫ 3 dx = 3x + c
 ∫ √7 dx = √7 + c
 ∫ dx = ∫ 1dx = 1x + c = x + c
Catatan : Solusi ini biasanya ditulis ∫ dx = x + c
7 · 2
LATIHAN
Cari integral tak tentu yang paling umum .
1. ∫8 𝑑𝑥
2. ∫
3
4
𝑑𝑥
3. ∫9.75 𝑑𝑥

4. 4. ∫√3𝑑𝑥
5. ∫(
√40
3
√10+15
)𝑑𝑥
6. ∫16 √2 𝑑𝑡
7. ∫ 𝑒2
𝑑𝑥
8. ∫2𝜋 𝑑𝑟
9. ∫−21𝑑𝑢
10.∫
6
𝑒
𝑑𝑥
Penyelesaian :
1. = 8x+c
2. =
3
4
𝑥 + 𝑐
3. = 9𝑥. 75𝑥 + 𝑐
4. = √3 x+c
5. =
40𝑥
2
3
10𝑥
1
2+15𝑥
+ 𝑐
6. = 16𝑡. √2 𝑡 + c
7. = 𝑒𝑥2
+ c
8. = 2𝑟. 𝜋𝑟 + c
9. = -21 u + c
10.=
6𝑥
𝑒𝑥
+ c
Integrasi fungsi kekuasaan
Rumus terpisahkan berikut untuk fungsi daya dapat diperoleh dari rumus untuk membedakan
fungsi listrik ( lihat Bab 4 ) dan fungsi logaritma natural ( lihat Bab 6 ) :
∫ 𝑥 𝑛
𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑛 ≠ −1;
Dan
∫𝑥−1
𝑑𝑥 = ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = 𝐼𝑛 | 𝑥| + 𝑐,

5. di mana C adalah konstanta sembarang .
 ∫ 𝑥2
𝑑𝑥 =
𝑥3
3
+ 𝑐
 ∫√ 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥
1
2 𝑑𝑥 =
𝑥
3
2
3
2⁄
+ 𝑐 =
2𝑥
3
2
3
+ 𝑐
 ∫
1
𝑥5 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥−5
𝑑𝑥 =
𝑥−4
−4
+ 𝑐 = −
1
4𝑥4 + 𝑐
 ∫𝑥 𝜋
𝑑𝑥 =
𝑥 𝜋+1
𝜋+1
+ 𝑐
 ∫
1
𝑑𝑢
= 𝐼𝑛 | 𝑢| + 𝑐
7 · 3
LATIHAN
Cari integral tak tentu yang paling umum .
1. ∫ 𝑥5
𝑑𝑥
2. ∫ √ 𝑥34
𝑑𝑥
3. ∫ 𝑥√2
𝑑𝑥
4. ∫
1
𝑥2
𝑑𝑥
5. ∫ 𝑡100
𝑑𝑡
6. ∫ 𝑢2𝜋
𝑑𝑢
7. ∫
1
√𝑥
𝑑𝑥
8. ∫
𝑥5
𝑥2
𝑑𝑥
9. ∫ 𝑟−1
𝑑𝑟
10.∫
1
𝑡
𝑑𝑡
Penyelesaian :
1. =
𝑥6
6
+ 𝑐
2. = ∫ 𝑥
3
4 𝑑𝑥 =
𝑥
7
4
7
4
+ c =
4𝑥
7
4
7
+ 𝑐
3. =
𝑥√2+1
√2+1
+ 𝑐

6. 4. =∫ 𝑥−2
𝑑𝑥 =
𝑥−1
−1
+ 𝑐 = −
1
𝑥
+ 𝑐
5. =
𝑡101
101
+ 𝑐
6. =
42𝜋+1
2𝜋+1
+ 𝑐
7. = ∫ 𝑥
−1
2 𝑑𝑥 =
𝑥
1
2
1
2
+ 𝑐 =
2𝑥
1
2
1
+ 𝑐
8. =
𝑥6
𝑥3
+ 𝑐
9. =
𝑟−1+1
−1+1
+ 𝑐 = ∞
10.∫ 𝑡−1
𝑑𝑡 =
𝑡−1+1
−1+1
+ 𝑐 = ∞
Integrasi fungsi eksponensial
Rumus terpisahkan berikut untuk fungsi eksponensial dapat diturunkan dari aturan untuk
membedakan fungsi eksponensial ( lihat Bab 6 ) dan aturan rantai ( lihat Bab 5 ) :
∫𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥
+ 𝑐;
∫𝑒 𝑘𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝑘
𝑒 𝑘𝑥
+ 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘 ≠ 0;
∫𝑏 𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝐼𝑛𝑏
𝑏 𝑥
+ 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1; 𝑑𝑎𝑛
∫𝑏 𝑘𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝑘𝐼𝑛𝑏
𝑏 𝑘𝑥
+ 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1, 𝑘 ≠ 0,
di mana C adalah konstanta sembarang .
 ∫𝑒 𝑢
𝑑𝑥 = 𝑒 𝑢
+ 𝑐
 ∫ 𝑒5𝑥
𝑑𝑥 =
1
5
𝑒5𝑥
+ 𝑐 =
𝑒5𝑥
5
+ 𝑐
 ∫ 2 𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝐼𝑛2
2 𝑥
+ 𝑐 =
2 𝑥
𝐼𝑛2
+ 𝑐
 ∫ 25𝑥
𝑑𝑥 =
1
5𝐼𝑛2
25𝑥
+ 𝑐 =
25𝑥
5𝐼𝑛2
+ 𝑐

7. 7 · 4
LATIHAN
Cari integral tak tentu yang paling umum .
1. ∫ 𝑒 𝑡
𝑑𝑡
2. ∫ 𝑒20𝑥
𝑑𝑥
3. ∫ 𝑒 𝜋𝑥
𝑑𝑥
4. ∫ 𝑒0,25𝑥
𝑑𝑥
5. ∫ 𝑒
𝑥
5 𝑑𝑥
6. ∫ 𝑒√3𝑥
𝑑𝑥
7. ∫4 𝑥
𝑑𝑥
8. ∫23𝑥
𝑑𝑥
9. ∫1000,25𝑥
𝑑𝑥
10.∫ 𝜋
𝑥
5 𝑑𝑥
Penyelesaian :
1. = 𝑒 𝑡
+ 𝑐
2. =
1
20
𝑒20𝑥
+ 𝑐 =
𝑒20𝑥
5
+ 𝑐
3. =
1
𝜋
𝑒 𝜋𝑥
+ 𝑐 =
𝑒 𝜋𝑥
𝜋
+ 𝑐
4. =
1
0,25
𝑒0,25𝑥
+ 𝑐 =
𝑒0,25𝑥
0,25
+ 𝑐
5. =
1
𝑥
5
𝑒
𝑥
5 + 𝑐 =
5
𝑥
𝑒
𝑥
5 + 𝑐
6. =
1
√3
𝑒√3𝑥
+ 𝑐 =
𝑒√3𝑥
√3
+ c
7. =
1
𝐼𝑛 4
4 𝑥
+ 𝑐 =
4 𝑥
𝐼𝑛 4
+ 𝑐
8. =
1
3 𝐼𝑛 2
23𝑥
+ 𝑐 =
23𝑥
3 𝐼𝑛 2
+ 𝑐
9. =
1
0,25 𝐼𝑛 100
1000,25𝑥
+ 𝑐 =
1000,25𝑥
0,25 𝐼𝑛 100
+ 𝑐
10.=
1
𝑥
5
𝜋
𝑥
5 + 𝑐 =
5
𝑥
𝜋
𝑥
5 +

8. Integrasi turunan fungsi trigonometri
Rumus terpisahkan berikut dapat diturunkan dari aturan untuk membedakan enam
trigonometri fungsi (lihat Bab 6) dan aturan rantai (lihat Bab 5):
∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝑐;
∫ sin (kx)dx = −
1
𝑘
cos( 𝑘𝑥)+ 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘 ≠ 0;
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝑐;
∫ cos (kx)dx =
1
𝑘
sin(kx) + 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘 ≠ 0;
∫𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝑐;
∫ 𝑠𝑒𝑐2
(kx)dx =
1
𝑘
tan(kx) + 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘 ≠ 0;
∫𝑐𝑠𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 = −cot 𝑥 + 𝑐;
∫ 𝑐𝑠𝑐2
(kx)dx = −
1
𝑘
cot(kx) + 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘 ≠ 0;
∫sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝑐;
∫sec(𝑘𝑥)tan( 𝑘𝑥) 𝑑𝑥 =
1
𝑘
sec(kx)+ 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘 ≠ 0;
∫csc 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥 = −csc 𝑥 + 𝑐; 𝑑𝑎𝑛
∫csc(𝑘𝑥)cot( 𝑘𝑥) 𝑑𝑥 = −
1
𝑘
csc(kx) + 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘 ≠ 0;
di mana C adalah konstanta sembarang.
 sin 𝑢 𝑑𝑢 = −cos 𝑢 + 𝑐;
 ∫ cos (10x)dx =
1
10
sin(10x) + 𝑐
 ∫sec2(0.5𝑥) 𝑑𝑥
1
0.5
tan(0.5x) + 𝑐 =
tan(0.5𝑥)
0.5
+ 𝑐
 ∫ 𝑐𝑠𝑐2
𝑡 𝑑𝑡 = −cot 𝑡 + 𝑐;
 ∫sec(
3𝑥
4
) tan(
3𝑥
4
) 𝑑𝑥 = ∫ sec(
3
4
𝑥)tan (
3
4
𝑥) 𝑑𝑥 =
1
3
4⁄
sec (
3
4
𝑥) + 𝑐 =
4
3
sec(
3𝑥
4
) + 𝑐
Catatan: teknik khusus diperlukan untuk menentukan integral berikut:
∫ tan 𝑥 𝑑𝑥, ∫ cot 𝑥 𝑑𝑥,∫ sec 𝑥 𝑑𝑥, 𝑎𝑛𝑑 ∫ csc 𝑥 𝑑𝑥. Integral ini dapat ditentukan dengan
menggunakan teknik yang disajikan dalam Bab 8.
7 · 5
LATIHAN
Cari integral tak tentu yang paling umum .
1. ∫cos 𝑣 𝑑𝑣
2. ∫sin(
1
2
𝜋𝑥)𝑑𝑥
3. ∫cos(18) 𝑑𝑥
4. ∫ 𝑠𝑒𝑐2
(√3𝑥)𝑑𝑥
5. ∫ 𝑐𝑠𝑐2
(2,5) 𝑑𝑥

9. 6. ∫sec (
5
6
𝑥)tan(
5
6
𝑥)𝑑𝑥
7. ∫csc
x
3
𝑐𝑜𝑡
𝑥
3
𝑑𝑥
8. ∫csc(ex) cot(𝑒𝑥)𝑑𝑥
9. ∫sin 3𝜃 𝑑𝜃
10.∫cos(25𝜋𝑥) 𝑑𝑥
Penyelesaian :
1. = Sin v + c
2. = −
1
1
2𝜋
cos (
1
2
𝜋𝑥) + 𝑐 = −2𝜋cos (
1
2
𝜋𝑥) + 𝑐
3. =
1
8
sin(18𝑥) + 𝑐
4. =
1
√3
tan(√3𝑥) + 𝑐 =
tan(√3𝑥)
√3
+ 𝑐
5. = −
1
2,5
cot(2,5 𝑥) + 𝑐 =
−cot(2,5𝑥)
2,5
+ 𝑐
6. =
1
5
6
sec(
5
6
𝑥) + 𝑐 =
6
5
sec (
5
6
𝑥) + 𝑐
7. =
1
1
3
csc(
x
3
) + c = 3 csc (
𝑥
3
) + 𝑐
8. = −
1
𝑒
csc (ex) + c =
− csc( 𝑒𝑥)
𝑒
+ 𝑐
9. = −
1
3
cos(3𝜃) + 𝑐 =
−cos(3𝜃)
3
+ c
10.=
1
25𝜋
sin(25𝜋𝑥) + 𝑐 =
sin(25 𝜋𝑥)
25𝜋
+ c

10. Integrasi turunan dari terbalik
fungsi trigonometri
Rumus terpisahkan berikut dapat diturunkan dari aturan untuk membedakan enam terbalik
fungsi trigonometri (lihat Bab 6) dan aturan rantai (lihat Bab 5):
∫
1
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛−1
𝑥 + 𝑐 = −𝑐𝑜𝑠−1
𝑥 + 𝑐;
∫
1
√𝑎2 − 𝑎2
𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛−1
(
𝑥
𝑎
) + 𝑐 = −𝑐𝑜𝑠−1
(
𝑥
𝑎
) + 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑎 > 0;
∫
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝑥 + 𝑐 = −𝑐𝑜𝑡−1
𝑥 + 𝑐;
∫
1
𝑎2 − 𝑥2
𝑑𝑥 =
1
𝑎
𝑡𝑎𝑛−1
(
𝑥
𝑎
) + 𝑐 = −
1
𝑎
𝑐𝑜𝑡−1
(
𝑥
𝑎
) + 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑎 > 0;
∫
1
| 𝑥|√𝑥2−1
dx =𝑠𝑒𝑐−1
𝑥 + 𝑐 = −𝑐𝑠𝑐−1
𝑥 + 𝑐; 𝑑𝑎𝑛
∫
1
| 𝑥|√𝑥2−𝑎2dx =
1
𝑎
𝑠𝑒𝑐−1
(
𝑥
𝑎
) + 𝑐 = −
1
𝑎
𝑐𝑠𝑐−1
(
𝑥
𝑎
) + 𝑐,𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑎 > 0;
di mana C adalah konstanta sembarang.
Seperti yang dapat Anda lihat dari rumus di atas, untuk setiap integran yang
merupakan turunan dari salah satu dari enam fungsi trigonometri invers, Anda memiliki
sepasang antiturunan sesuai dari yang untuk memilih. Kondisi ini terjadi karena turunan dari
enam trigonometri invers fungsi jatuh ke tiga pasang. Di masing-masing pasangan, derivatif
hanya berbeda dalam tanda. Untuk Misalnya,
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑠𝑖𝑛−1
𝑥) =
1
√1−𝑥2 𝑑𝑎𝑛
𝑑
𝑑𝑥
(𝑐𝑜𝑠−1
𝑥 =
−
1
√1−𝑥2. . Ketika Anda mengintegrasikan integral yang merupakan turunan dari fungsi
trigonometri invers, Anda memilih hanya satu anggota dari yang sesuai sepasang antiturunan.
Meskipun secara matematis anggota baik benar,Integral tak tentu dan dasar formula integrasi
dan aturan 49 adalah kebiasaan untuk memilih sinus terbalik, tangen terbalik, dan fungsi garis
potong terbalik atas negative dari cosinus invers, kotangens terbalik, dan fungsi kosekans
terbalik, masing-masing.
 ∫
𝑑𝑢
√1−𝑢2 𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑢
√1−𝑢2 𝑑𝑢 = 𝑠𝑖𝑛−1
𝑢 + 𝑐
 ∫
1
√9−𝑥2 𝑑𝑥 = ∫
1
√32 −𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛−1
(
𝑥
3
) + 𝑐
 ∫
1
5+𝑥2 𝑑𝑥 = ∫
1
(√5)
2
+𝑥2
𝑑𝑥 =
1
√5
𝑡𝑎𝑛−1
(
𝑥
√5
) + 𝑐
 ∫
1
√ 𝑥2( 𝑥2−
36
25
)
𝑑𝑥 = ∫
1
| 𝑥|√ 𝑥2
−
(6)2
5
𝑑𝑥 =
1
6
5⁄
𝑠𝑒𝑐−1
(
𝑥
6
5⁄
) + 𝑐 =
5
6
𝑠𝑒𝑐−1
(
5𝑥
6
) + 𝑐

11. 7 · 6
LATIHAN
Cari integral tak tentu yang paling umum .
1. ∫
1
1+𝜃2
𝑑𝜃
2. ∫
𝑑𝑥
√16−𝑥2
3. ∫
1
49+𝑥2
𝑑𝑥
4. ∫
𝑑𝑡
0,25+𝑡2
5. ∫
𝑑𝑢
√𝑢2(𝑢2−1)
6. ∫
1
|𝑥|√𝑥2−41
𝑑𝑥
7. ∫
1
√
81
100
−𝑥2
𝑑𝑥
8. ∫ 𝜋2+𝑥2
𝑑𝑥
9. ∫
𝑑𝑡
√𝑡2(𝑡2−
1
4
)
10.∫
1
|𝑥|√𝑥2−7
𝑑𝑥
Penyelesaian :
1. = 𝑡𝑎𝑛−1
𝜃 + 𝑐 = −𝑐𝑜𝑡−1
𝜃 + 𝑐
2. = ∫
1
√42−√𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛−1
(
𝑥
4
) + 𝑐
3. = ∫
1
√492+𝑥2
𝑑𝑥 =
1
√49
𝑡𝑎𝑛−1
(
𝑥
√49
) + 𝑐
4. = ∫
1
√0,252+𝑡2
𝑑𝑡 =
1
√0,25
𝑡𝑎𝑛−1
(
𝑡
√0,25
)+ 𝑐
5. = ∫
1
|𝑢|√𝑢2−√12
𝑑𝑢 =
1
1
𝑠𝑒𝑐−1
(
𝑢
1
) + 𝑐 = 𝑠𝑒𝑐−1( 𝑢) + 𝑐
6. = 𝑠𝑒𝑐−1
(
𝑥
41
) + c = - 𝑐𝑠𝑐−1
(
𝑥
41
) + c

12. 7. = ∫
1
√
(9)2
10
−𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛−1
(
𝑥
9
10
) + 𝑐 =𝑠𝑖𝑛−1
(
10𝑥
9
) + 𝑐 = −𝑐𝑜𝑠−1
(
10𝑥
9
) +
𝑐
8.
1
𝜋
𝑡𝑎𝑛−1 𝑥
𝜋
+ 𝑐 = −
1
𝜋
𝑐𝑜𝑡−1
(
𝑥
𝜋
)+c
9.= ∫
1
| 𝑡|√ 𝑡2−
(1)
2
2
𝑑𝑥 =
1
1
2
𝑠𝑒𝑐−1
(
𝑡
1
2
) + 𝑐 = 2𝑠𝑒𝑐−1(2𝑡) + 𝑐
10.𝑠𝑒𝑐−1
(
𝑥
7
) + 𝑐 = −𝑐𝑠𝑐−1
(
𝑥
7
) + 𝑐