Orthodontic treatment is a way of straightening or moving teeth to improve the appearance of the teeth and face. An orthodontist also looks after the long-term health of the teeth, gums and jaw joints, by ensuring even bite pressure and properly positioned teeth.
Ogni imprenditore è sempre più frustrato dalla complessità gestionale e normativa.
Solo incrementando la propria consapevolezza si può riuscire a riconquistare la necessaria serenità.
Una strategia consapevole e pianificata dell'impresa origina questo risultato consentendo all'imprenditore di riappropriarsi in modo pieno del proprio ruolo e delle proprie soddisfazioni.
Dalam modul ini dibahas mengenai berbagai macam cara untuk menghitung turunan suatu fungsi, diantaranya dengan menggunakan aturan rantai. Aturan rantai ini merupakan suatu tools yang sangat mempermudah untuk menghitung suatu fungsi yang jika dihitung dengan menggunakan rumus biasa akan memakan waktu lama dan rumit. Penulisan simbol turunan juga dipermudah oleh Leibniz.
2. Pengertian Integral
• Jika F(x) adalah fungsi umum yang
bersifat F’(x) = f(x),
• maka F(x) merupakan antiturunan atau
integral dari f(x).
3. Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x
dinotasikan sebagai berikut :
ò f ( x)dx = F( x) + c
ò
• notasi integral (yang diperkenalkan oleh
Leibniz, seorang matematikawan Jerman)
• f(x) fungsi integran
• F(x) fungsi integral umum yang bersifat
F’(x) f(x)
• c konstanta pengintegralan
4. ( ) x c
f x = n +1
+
• Jika f ‘(x) = xn, maka n
+
1
, n
≠ -1, dengan c sebagai konstanta
1
5. Integral Tak Tentu
• apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat
didiferensialkan pada interval sedemikian
hingga maka antiturunan dari f(x) adalah
F(x) + c
• Secara matematis, ditulis
ò f ( x)dx = F( x) + c
6. • di mana
• Lambang integral yang
menyatakan operasi antiturunan
òdx
• f(x) Fungsi integran, yaitu fungsi yang
dicari antiturunannya
• c Konstanta
7. Teorema 1
• Jika n bilangan rasional dan n ≠ 1, maka
x c , c adalah konstanta.
= + ò 1
xndx n +
n
+
1
1
8. Teorema 2
• Jika f fungsi yang terintegralkan dan k
suatu konstanta, maka
òkf ( x)dx = k ò f ( x)dx
9. Teorema 3
• Jika f dan g fungsi-fungsi yang
terintegralkan, maka
ò( f ( x) + g( x))dx = ò f ( x)dx + ò g( x)dx
10. Teorema 4
• Jika f dan g fungsi-fungsi yang
terintegralkan, maka
ò( f ( x) - g( x))dx = ò f ( x)dx - ò g( x)dx
11. Teorema 5
• Aturan integral substitusi
• Jika u suatu fungsi yang dapat
didiferensialkan dan r suatu bilangan
rasional tak nol maka
ò( u ( x )) r u ( x ) dx ( ( )) t 1
+
= u x + c
r
, dimana c adalah konstanta dan r
≠ -1.
+
1
' 1
12. Teorema 6
• Aturan integral parsial
• Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat
didiferensialkan, maka
òudv = uv - òvdu
13. Teorema 7
• Aturan integral trigonometri
xdx = x +
c
cos sin
xdx = - x +
c
sin cos
x c
x
= +
ò
ò
ò
tan
1
cos
2
• dimana c adalah konstanta.
14. METODE SUBTITUSI
Dalam menyelesaikan masalah integrasi pertama - tama kita
mengusahakan mengubahnya menjadi bentuk rumus dasar
dengan menggunakan variabel lain ( subtitusi )
Contoh :
1.ò 2x (x2 + 4)5dx = ...
dx du
Jawab :
u = x2 + 4 du = 2x dx
® Þ 2
x
=
1
1
u 2x du
ò 5 = òu5du = u6 + c = (x2 + 4)6 + c
2x
6
6
x dx ò =
...( )
1
2. 2
2
3
buat latihan
x
+
15. INTEGRAL PARSIAL
Misalkan u dan v fungsi yang differensiabel
terhadap x, maka :
d(u.v) = v.du + u.dv
u.dv = d(u.v) – v.du
òu.dv = òd(u.v) -òv.du
òu.dv = u.v -òv.du
yang perlu diperhatikan pada metode ini adalah :
(1). Bagian yang terpilih sebagai dv harus mudah diintegral.
(2).
òv du harus lebih mudah dari
òu.dv
16. òln x dx òu.dv
= 1
u = ln x du dx
x
òln x dx òdx
Contoh :
=
Jawab :
dv = dx v = x
Jadi :
= xln x -
= x ln x – x + c
17. INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
Sebuah polinom dalam x adalah sebuah fungsi berbentuk :
a xn + a xn + a xn + + a x + a -
n n
- -
1
2
2
1
0 1 ......
Fungsi H(x) disebut fungsi rasional jika :
H x = P x
( ) ( )
Q x
( )
dimana P(x) dan Q(x) adalah polinom
Jika derajat P(x) lebih rendah dari derajat Q(x), maka H(x)
disebut “Rasional Sejati”
Contoh :
2
+ - +
H x x x
= + +
x x x
( ) 2 2 3 2
2 2
18. Sedangkan jika derajat P(x) lebih tinggi dari derajat Q(x),
maka H(x) disebut “Rasional Tidak Sejati”
Contoh :
4 2
x x
= - + -
H x x x x
= - + +
( ) 10 3 1 2
6 3 23
4
4
2
2
-
-
x
x
Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk fungsi rasional,
P x
( )
Q x
( )
: ditulis sebagai jumlah dari bagian yang lebih
sederhana dengan menguraikan Q(x) dalam hasil
kali faktor-faktor linier atau kuadratis, yaitu :
19. 1. Faktor Q(x) semua linier dan tak berulang,
( ) ( )( ).....( ) 1 2 n Q x = x + a x + a x + a
A
( )
.....
P x
( )
A
A
( ) ( ) ( )
2
2
1
1
n
n
x a
x a
x a
Q x
+
+ +
+
+
+
=
Q(x) = (x + a)n
n
A
n
x a
A
x a
A
x a
P x
( )
Q x
( )
.....
( ) ( ) ( )
2
1 2
+
+ +
+
+
+
=
Q(x) = (ax2 + bx + c)(dx2 + ex + f )
P x
( )
Cx D
Ax B
+ +
= +
2 dx2 ex f
( ) ( ax bx c
) ( )
Q x
+ +
+ +
, maka :
2. Faktor Q(x) semua linier berulang,
, maka :
3. Q(x) adalah kuadratis,
, maka :
20. - ....
x
1. ( 1) 2 dx
ò =
- +
2
x x
A x B x
= + + -
( 1) ( 2)
( 2)( 1)
1
-
x
( 2)( 1) 2 1
- +
+
+
-
=
- +
x x
x
B
x
A
x x
- dx
x
( 1)
2 3 ò - 2
ò =
x x
- +
2
1
x
dx 2
3 ò dx
x
+1
ln | 2 | 2
3
= x - + ln | x +1| +c
3
1
contoh :
jawab :
x = 2 ® 2 – 1 = A(2+1)
1 = 3A ® A = 1/3
x = -1 ® -1 – 1 = B(-1-2)
-2= -3B ® B = 2/3
Jadi,
+
=
21. + ....
2 1
x
2. ( 1) 2 dx
ò =
x x
- +
A x B
= ( - 1)
+
2 2 ( 1)2
1
+
x
( 1) 1 ( 1)
-
-
+
-
=
-
x
x
B
x
A
x
x = 1 ® 1 + 1 = B ® B = 2
mis, x = 0 ® 0 +1 = A(0 – 1) + B
x
2 1
+ dx
1 = - A + 2 ® A = 1
( 1)
2 ò x -1
ò =
x x
- +
dx 2
ò dx
( x
-1)2
c
ln | 1| 2
x +
x
-
= - -
( 1)
Jadi,
+
22. SUBTITUSI TRIGONOMETRI
Jika Integran mengandung salah satu dari bentuk :
a2 - b2x2 , a2 + b2x2 ,atau b2 x2 - a2
x = a sin a2 -b2x2 = a cos z
a2 - b2 x2 z
b
x = a a2 + b2x2 = a sec z
a2 + b2 x2 tg z
b
x = a sec b2x2 - a2 = a tg z
b2x2 - a2 z
b
,
dan tidak memiliki faktor irrasional lainnya, maka dapat
ditransformasikan ke dalam fungsi trigonometri dengan
menggunakan variabel baru :
Bentuk Subtitusi Memperoleh
23. 2
dx
1.ò 9 - 4 = ....
x
x
= 3 9 - 4x2 = 3 cos z
= 3 dx cos zdz
x sin z
2
2
9 4 2 3cos 2
z dz z
dx z
ò - = ò = ò dz
z
z
x
x
cos ) 3 cos
2
sin
(3
3
sin
2
3òcos ec z dz - 3òsin z dz
- = ò dz
= - - x + - 2 +
x c
3ln | 3 9 4
x
2
| 9 4
2
contoh :
jawab :
®
, Jadi,
= 3 ln |cosec z – ctg z| + 3 cos z + c
3 1 sin
z
z
sin
2
24. dx
ò =
+
....
4
2.
x2 x2
x = 2 tg z dx = 2sec2 zdz 4 + x2 = 2sec z
dx ò dz =
ò =
x2 4 + x2
z
2sec
2
2
tg z z
(4 )(2sec )
cos
ò dz
z
z
4sin2
d z
sin2
1 (sin )
c
ò = z
4
- +
4sin
z
1
c
4 2
= - + x +
x
4
jawab :
®
,
Jadi,
25. Integral TerTentu
• Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang
nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas)
tertentu.
• Jika fungsi terdefinisi pada interval tertutup [a,b] , maka
integral tertentu dari a ke b dinyatakan oleh :
• Dimana :
b
ò
a
f (x)dx
• f(x) : integran
a : batas bawah
b : batas atas
26. KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
5
ù
é
b
ò f (x)dx = [F(x)] = F(b) - F(a)
[ ] ( )
a
b
a
ò x dx = x x
êë
1
1
5 5 5
2
- = = úû
5 2
5
1
5
5
5
2
(3125 32) 618,6
5
5
2
5
4
= - =
a
ò =
a
ù
é
f (x)dx 0 [ ] ( )
ò x dx = x x
êë
1
1
- = = úû
(32 32) 0
5
1
2 2
5
5
5
2 5 5
2
5
2
2
2
2
5
4
= - =
b
ù
é
f (x)dx f (x)dx [ ] ( )
ò =-ò
a
a
b
- ò x dx = - x x
1
1
- - = - = úû
êë
(32 3125) 618,6
5
1
2 5
5
5
5
2 5 5
5
5
2
5
2
5
5
4
= - - =
27. KKAAIIDDAAHH--KKAAIIDDAAHH IINNTTEEGGRRAASSII TTEERRTTEENNTTUU
b
ù
êë é
kf (x)dx k f (x)dx [ ]
ò = ò
a
b
a
ò x dx = x 5.1
x
5 5 5
5
5
= úû
3125 32 3093
2
5
5
2
5
2
5
4
= - =
b
f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx ( )
ò{ + } = ò + ò
a
b
a
b
a
ò x 4 + 5 x 4 dx = ò x 4 dx + ò 5
x 4
dx
618,6 3093 3.7111,6
5
2
5
2
5
2
= + =
c
ò x4dx + ò x4dx = ò x4dx =
f (x)dx f (x)dx f (x)dx 618,6
ò + ò = ò
a
b
c
b
a
3
2
5
3
5
2