More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Viewers also liked
Similar to fisika-statistik
Similar to fisika-statistik (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
fisika-statistik
- 1. FISIKA STATISTIK PERHITUNGAN FUNGSI PARTISI Agar supaya energi-dalam dapat di hitung, perlu menghitung lebih dahulu fungsi partisi 𝑧𝑓 = ∑ 𝑒− 𝑤 𝑖 𝑘𝑇 ~ 𝑖=1 Dengan 𝑤𝑖 = (𝑖 − 1 2 )hf, maka 𝑧𝑓 = 𝑒− 1 2 ℎ𝑓 𝑘𝑇 + 𝑒−1 1 2 ℎ𝑓 𝑘𝑇 + …… . 𝑒− (𝑖− 1 2 ) ℎ𝑓 𝑘𝑇 + …. . 𝑒− (𝑛− 1 2 ) ℎ𝑓 𝑘𝑇 .... (2.61) Persamaan ini disederhanakan dengan mengeluarkan 𝑒− ℎ𝑓 2𝑘𝑇 dari tanda kurung, didapat 𝑧𝑓 = 𝑒− ℎ𝑓 𝑘𝑇 (1 + 𝑒− ℎ𝑓 𝑘𝑇 + 𝑒− 2ℎ𝑓 𝑘𝑇 + ⋯) Suku-suku dalam kurung disederhanakan, misalnya 𝑥 = 𝑒− ℎ𝑓 𝑘𝑇, maka suku-suku dalam kurung = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯. 𝑥 𝑛 Untuk x kecil, persamaan tersebut dapat disedrhanakan menjadi = 1 1−𝑥 Maka 𝑧𝑓 = 𝑒 − ℎ𝑓 2𝑘𝑇 1− 𝑒 − ℎ𝑓 2𝑘𝑇 ln 𝑧𝑓 = − ℎ𝑓 2𝑘𝑇 − ln (1 − 𝑒− ℎ𝑓 𝑘𝑇)...... (2.62) Dideferensialkan terhadap T : 𝑑 𝑑𝑇 ln 𝑧𝑓 = − ℎ𝑓 2𝑘𝑇2 − 𝑑 (1 − 𝑒− ℎ𝑓 𝑘𝑇) 1 − 𝑒− ℎ𝑓 𝑘𝑇 𝑑 (− ℎ𝑓 2𝑘𝑇 ) = − ℎ𝑓 2𝑘 ( 𝑑 𝑇−1) = − ℎ𝑓 2𝑘 − 1 𝑇−2 = ℎ𝑓 2𝑘𝑇2
- 2. ln (1 − 𝑒− ℎ𝑓 𝑘𝑇) Misal : (1 − 𝑒− ℎ𝑓 𝑘𝑇) = 𝑢 𝑒− ℎ𝑓 𝑘𝑇 = 𝑣 − ℎ𝑓 𝑘𝑇 = 𝑤 𝑓 ( 𝑥, 𝑦) = 𝑑𝑓 𝑑𝑢 . 𝑑𝑓 𝑑𝑣 . 𝑑𝑓 𝑑𝑤 = 1 𝑢 . 𝑣′. 𝑤′ = ( 1 1 − 𝑒− ℎ𝑓 𝑘𝑇 ). 𝑒− ℎ𝑓 𝑘𝑇. ℎ𝑓 𝑘𝑇2 = 𝑒− ℎ𝑓 𝑘𝑇 1 − 𝑒− ℎ𝑓 𝑘𝑇 . ℎ𝑓 𝑘𝑇2 Maka 𝑑 𝑑𝑇 ln 𝑧𝑓 = + ℎ𝑓 2𝑘𝑇2 − 𝑑 (1 − 𝑒− ℎ𝑓 𝑘𝑇) 1 − 𝑒− ℎ𝑓 𝑘𝑇 = ℎ𝑓 2𝑘𝑇2 + ℎ𝑓 𝑘𝑇2 𝑒− ℎ𝑓 𝑘𝑇 1 − 𝑒− ℎ𝑓 𝑘𝑇 Energi dalam 𝑈𝑓 = 𝑁𝑘𝑇2 𝑑 ln 𝑍 𝑓 𝑑𝑇 = 𝑁𝑓 𝑘𝑇2 { ℎ𝑓 2𝑘𝑇2 + ℎ𝑓 𝑘𝑇2 𝑒− ℎ𝑓 𝑘𝑇 1 − 𝑒− ℎ𝑓 𝑘𝑇 } 𝑘𝑇2 dimasukkan diantara suku-suku dalam kurung didapat 𝑈𝑓 = 𝑁𝑓 ( ℎ𝑓 2 + ℎ𝑓 𝑒+ ℎ𝑓 𝑘𝑇 − 1 ) …. .(2.63)
- 3. Persamaan (2.63) menyatakan : Energi-dalam 𝑁𝑓 osilator yang frekuensinya masing-masing f, sama untuk seluruh osilator. Kristal telah dimodelkan sebagai osilator sederhana bebas terbedakan. Masalahnya berapakah benyaknya osilator yang dapat memerikan kristal tersebut ? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita tinjau kristal yang titik kisinya berjumlah N, dalam ruang titik kisi mempunyai 3 koordinat (x,y,z). Jika setiap titik kisi mengalami pergeseran sangat kecil, maka koordinat yang terlibat pada pergeseran sel sejumlah 3 N. Energi potensial sebanding dengan koordinat kuadrat, energi kinetik sebanding dengan momentum kuadrat, sedang momentum merupakan perkalian massa dengan kecepatan, untuk setiap koordinat bertaut dangan 1 kecepatan. Jadi untuk memodelkan kristal yang terbangun oleh N titik kisi diperlukan 3N osilator harmonis sederhana bebas terbedakan. Selanjutnya, kita tinjau osilator-osilator yang frekuensinya tak sama, yang distribusinya dapat diperkirakan oleh persamaan. 𝑑𝑁𝑓 = 𝑛 𝑓 𝑑 𝑓 .............(2.64) Dengan 𝑛 𝑓 fungsi frekuensi, ditulis 𝑛 𝑓 = 𝑛 𝑓 (𝑣), menyatakan jumlah osilator ...... persatuan rentang frekuensi. Jika diintegralkan untuk seluruh frekuensi, maka didapatkan harga sejumlah osilator yang memerikan watak kristal tersebut. ∫ 𝑑𝑁𝑓 = ∫ 𝑛 𝑓 𝑑𝑓 = 3𝑁 ................(2.65) Energi isolator yang freuensinya antara f dan d =df adalah 𝑤𝑓 = 𝑈𝑓 𝑁𝑓 = ( 1 2 ℎ𝑓 + ℎ𝑓 𝑒 ℎ𝑓 𝑘𝑇 − 1 ) Jika diintegralkan untuk seluruh osilator didapatkan 𝑈 = ∫ 𝑤 𝑓 𝑑𝑁𝑓 = ∫( 1 2 ℎ𝑓 + ℎ𝑓 𝑒 ℎ𝑓 𝑘𝑇−1 ) 𝑛 𝑓 𝑑𝑓 ...................... (2.66) Jika 3N osilator memberikan kristal dengan N titik kisi, sedang kristal yang mempunyai N titik kisi tersebut sebanyak 1 “mole”, maka seluruh energi yang diberikan oleh persamaan 2.66 adalah energi per “mole”, sedang N adalah jumlah titik kisi untuk 1 “mole”, kristal = 𝑁𝐴 (𝑁𝐴 = 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐴𝑣𝑜𝑔𝑎𝑑𝑟𝑜). Pendekatan yang dilakukan Einstein adalah 3N osilatoryang memberikan watak getaran kristal masing-masing mempunyai frekuensi = fE = frekuensi osilator Einstein 𝑈 = ∫ 𝑤 𝑓 𝑑𝑁𝑓
- 4. = ∫ { 1 2 ℎ𝑓𝐸 + ℎ𝑓𝐸 𝑒 ℎ𝑓𝐸 𝑘𝑇 − 1 } 𝑑𝑁𝑓 𝑈 = { 1 2 ℎ𝑓𝐸 + ℎ𝑓𝐸 𝑒 ℎ𝑓𝐸 𝑘𝑇 − 1 } 3𝑁 Kapasitas panas pada colume tetap Cv 𝐶 𝑣 = ( 𝜕𝑈 𝜕𝑇 ) 𝑣 = 𝑑 𝑑𝑇 { 1 2 ℎ𝑓𝐸. 3𝑁 + ℎ𝑓𝐸.3𝑁 𝑒 ℎ𝑓𝐸 𝑘𝑇 − 1 } = −ℎ𝑓𝐸 .3𝑁. { 𝑒 ℎ𝑓𝐸 𝑘𝑇 (− ℎ𝑓𝐸 𝑘𝑇2)} 𝑒 ℎ𝑓𝐸 𝑘𝑇 − 1 𝐶 𝑣 = − 1 𝑘 ( ℎ𝑓 𝐸 𝑘𝑇 )2.3𝑁 𝑒 ℎ𝑓 𝐸 𝑘𝑇 𝑒 ℎ𝑓 𝐸 𝑘𝑇 −1 = 𝑘 ( ℎ𝑓 𝐸 𝑘𝑇 ) 2 .3𝑁 𝑒 ℎ𝑓 𝐸 𝑘𝑇 𝑒 ℎ𝑓 𝐸 𝑘𝑇 −1 ..................(2.68) 𝑑𝑖 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 ℎ𝑓𝐸 𝑘 = 𝜃𝐸 .................(2.69) 𝜃𝐸 = temperatur karakteristik Einstein Maka 𝐶 𝑣 = 𝑘 ( 𝜃 𝐸 𝑇 ) 2 𝑒 𝜃 𝐸 𝑇 .3𝑁 𝑒 𝜃 𝐸 𝑇 −1 Untuk “mole” N menjadi 𝑁𝐴, 𝐶𝑣 menjadi 𝐶𝑣 dan 𝑁𝐴𝑘 = R = tetapan gas alam 𝐶 𝑣 ∗ = 3𝑘 𝑁𝐴 ( 𝜃𝐸 𝑇 ) 2 𝑒 𝜃 𝐸 𝑇 𝑒 𝜃 𝐸 𝑇 − 1 𝐶 𝑣 ∗ = 3𝑅 ( 𝜃 𝐸 𝑇 ) 2 𝑒 𝜃 𝐸 𝑇 𝑒 𝜃 𝐸 𝑇 −1 .........................(2.70) Atau 𝐶 𝑣 ∗ 3𝑅 = ( 𝜃 𝐸)2 𝑒 𝜃 𝐸 𝑇 𝑒 𝜃 𝐸 𝑇 −1 Jika digambarkan 𝐶 𝑣 ∗ 3𝑅 sebagai sangsi T, maka untuk T harga 𝐶 𝑣 ∗ 3𝑅 = 1, sesuai kaedah Dulong Petit, sedang untuk T 0 harga 𝐶 𝑣 ∗ 3𝑅 0 mendekati hasil percobaan,tetapi mendekati nol, terlalu cepat jika dibandingkan hasil percobaan.