Ringkasan dokumen tersebut adalah: 1. Dokumen tersebut membahas tentang persamaan Schrodinger atom hidrogen dan pemecahan persamaan tersebut. 2. Ada beberapa bilangan kuantum yang menentukan sifat atom hidrogen seperti bilangan kuantum utama, azimuth, magnetik dan spin. 3. Fungsi gelombang atom hidrogen terpisah menjadi fungsi radial, sudut dan azimut.

1. ATOM HIDROGEN
Nama Kelompok :
1. L.G. Dwi Karyani (1313031019)
2. I Gusti Ayu Suryani (1313031026)
3. Made Enny Budi Astuti (1313031027)

2. JURUSAN PENDIDIKAN KIMIA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA
SINGARAJA
2015
RINGKASAN
Persamaan Schrodinger Atom Hidrogen
Atom hidrogen terdiri dari satu elektron yang bermuatan negatif dan inti yang
mengandung hanya satu proton. Elektron bergerak di sekitar inti (mengelilingi inti) sebagai suatu
gelombang. Antara inti dengan elektron terdapat gaya elektrostatik atau Coulomb (Fc). Energi
potensial sistem atom hidrogen adalah:
dr
dv
F =
, dV = Fdr
dr
r
ek
V
r
∫=
0 2
2
.
dimana k = 1/(4πεo)
r
ke
V
2
−=
Dalam sistem atom Hidrogen terdapat dua partikel yang saling berinteraksi (proton dan
elektron), sehingga massa partikel diganti dengan massa tereduksi (μ).
21
21
mm
mm
+
=µ
Dengan demikian, persamaan schrodinger untuk sistem atom hidrogen adalah :
,
2
2
2
2
ΕΨ=Ψ





−∇−
r
e
µ

Ψ = fungsi gelombang sebagai fungsi kedudukan
Pada sistem atom hidrogen, sistem koordinat yang digunakan adalah koordinat bola, bukan
kotak. Dalam koordinat polar, persamaan schrodiger atom Hidrogen menjadi :

3. ),,(),,(
2
),,(2
2
222
2
2
2
sin
1
sin
sin
11
2
ϕθγθϕθ
ϕθθ
θ
θµ
rrr
r
e
rrr
r
rr
ΕΨ=Ψ−Ψ





∂
∂
+
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
−

Penyelesaian Persamaan Schrodinger Atom Hidrogen
Pemecahan fungsi gelombang tersebut menghasilkan tiga persamaan.
1. )(
2
)(2
2
2
2
ϕγ
ϕ
Ψ−=Ψ m
2. 0
sin2
2
sin
2
2
sin
1
)()(2
2
)( =Θ+Θ−





Θ θθθ β
θθ
θ
θθ
m
3. ( ) 0
2
2
2
2
2
)()(2
2
)()(
2
=ℜ−Ε+ℜ−





rrrr
mr
R
r
r νβ

Μ dan β adalah tetapan, dimana β = ℓ (ℓ + 1)
Persamaan pertama adalah persamaan yang paling mudah dikerjakan, sedangkan
persamaan ke dua dan ke tiga pemecahannya sangat rumit. Fungsi gelombang yang memenuhi
persamaan pertama adalah :
ϕ
ϕ
π
im
m e.
2
1
)( =Φ
Bentuk fungsi gelombang sebagai hasil penyelesaian dari persamaan ke dua adalah :
)(cos
)!(2
)!(2
)( θθ
m
m P
m
m



+
−+
=Θ
)(cosθm
P adalah persamaan Assosiasi Legendre yang mempunyai bentuk umum sebagai
berikut : )()1()(
2/2
xP
dx
d
xxP m
m
mm
 −=
)(xP disebut persamaan Rodriques yang mempunyai bentuk sebagai berikut :





)1(
2
1 2
!)( −= x
dx
d
P x
Bentuk tetapan normalisasinya yaitu ;

4. )!(2
)!(12
ml
mll
+
−+
.
Dengan demikian harga terbesar dari m adalah ±ℓ
/m/ ≤ ℓ
Bentuk fungsi gelombang penyelesaian persamaan ke tiga adalah sebagai berikut.
[ ]
)(..
)!(2
)!1(2 )12(
(
2/
3)( ρρρ +
+
−
+
−−






=ℜ 





n
o
rn Le
nn
n
na
Z
e adalah bilangan alam yang harganya 2,718281
r
na
Z
o






=
2
ρ dan 2
2
.4 e
h
ao
πµ
=
ao adalah jari-jari Bohr dan e adalah muatan elektron
)()12(
( ρ+
+

nL adalah polinomial Laquerre terasosiasi yang bentuknya adalah sebagai
berikut.
)()( )()12(
)12(
)12(
)( ρ
ρ
ρ 


 ++
+
+
+ = nn L
d
d
L
L(n + ℓ) (ρ) disebut polinomial Laquerre yang bentuknya sebagai berikut.
( )ρρ
ρ
ρ
ρ −+
+
+
+ = e
d
d
eL n
n
n
n
)(
)(
)(
)( )( 



Tetapan normalisasi fungsi gelombang radial atom hidrogen,
[ ]3
)!(2
)!1(2


+
−−






nn
n
na
Z
o
memberikan informasi tentang batasan bilangan kuantum n dan ℓ. Pembilang
pada tetapan normalisasi di atas mengandung faktorial, (n - ℓ -1)!. Karena bilangan faktorial
terkecil adalah 0, maka ;
(n - ℓ -1) = 0
ℓ = n-1
Karena harga terkecil dari ℓ adalah 0 (nol), maka n mempunyai harga dari 1, 2, 3, dst.
Bilangan Kuantum Utama dan Energi Atom hidrogen
Energi Atom hidrogen diperoleh dari penyelesaian persamaan ke tiga atom hidrogen yang
harganya ;

5. 22
422
2
hn
eZ
En
µπ
−=
Bilangan kuantum Azimut dan Momentum Sudut
Momentum sudut orbital dapat diperoleh dengan mengerjakan operator kuadrat
momentuk sudut terhadap fungsi gelombang penyelesaian atom hydrogen. Besarnya momentum
sudut orbital hanya ditentukan oleh bilangan kuantum azimut, sehingga bilangan kuantum ini
sering disebut dengan bilangan kuantum momentum sudut orbital.
Bilangan Kuantum Magnetik dan Arah momentum Sudut
Momentum sudut adalah vektor yang disamping memiliki besar (kuantitas) juga memiliki arah.
Besarnya harga momentum sudut dinyatakan dengan panjang anak panah sedangkan arahnya
dinyatakan dengan ujung anak panah.
Bilangan Kuantum Spin dan Arah putar elektron
Uhlenbeck dan Goudsmit mengusulkan bahwa elektron, selain beregerak mengelilingi inti atom,
juga mempunyai gerakan rotasi sehingga disamping mempunyai momentum sudut orbital, juga
memiliki momentum sudut spin.
Kebolehjadian dan Diagram Orbital
Fungsi gelombang total hasil pemecahan persamaan schrodinger non-relativistik dari atom
hidrogen adalah produk atau hasil kali dari fungsi gelombang radial.
1. Peluang Radial
Salah satu postulat mekanika kuantum menyatakan bahwa harga fungsi gelombang atau
tepatnya kuadrat fungsi gelombang adalah kebolehjadian menemukan partikel pada kedudukan
atau posisi tertentu yang selanjutnya disebut orbital. Adanya harga fungsi gelombang pada
kedudukan tertentu berarti ada peluang menemukan elektron pada kedudukan tersebut. Grafik
aluran fungsi gelombang atau kuadrat fungsi gelombang terhadap kedudukan r, θ, dan φ
memberikan diagram peluang yang sulit dipahami.
2. Peluang Sudut
Peluang menemukan elektron pada sudut-sudut tertentu dari inti atom dapat dilakukan
dengan cara yang mirip dengan pembahasan seperti peluang radial, bila kita mempunyai bentuk
diagram sudut fungsi gelombang, yaitu suatu aluran harga fungsi gelombang terhadap sudut θ
dan φ. Bentuk persamaan fungsi gelombang sudut atom hidrogen, ternyata sebagian besar fungsi
gelombang tersebut adalah imaginer, keculai bila harga m = 0.

6. Problem
1. Tuliskan persamaan schrodinger atom hidrogen menggunakan sistem koordinat
bola ?
Jawab : Dalam koordinat bola, persamaan Schrodinger atom hydrogen menjadi
),,(),,(
2
),,(2
2
222
2
2
2
sin
1
sin
sin
11
2
ϕθγθϕθ
ϕθθ
θ
θµ
rrr
r
e
rrr
r
rr
ΕΨ=Ψ−Ψ





∂
∂
+
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
−

2. Pisahkanlah persamaan schrodinger atom hidrogen menjadi persamaan yang
hanya mengandung satu variabel saja, r, θ, dan ?
Jawab: Pemisahan variabel dilakukan dengan
mensubstitusikan persamaan 2 ke dalam persamaan Schrodinger atom hidrogen,
kemudian dikalikan dan dibagi persamaan 2, sehingga akan diperoleh rumusan
sebagi berikut
(pers. 3)
Prosesnya
a. Kita pindahkan ke ruas kiri fungsi (Eψ ) pada persamaan (1) ke ruas kiri
(pers. 1a)
b. Kalikan persamaan tersebut dengan persamaan 1a menjadi
(pers. 1b)

7. persamaan (1b) kita lakukan pemisahan variabel sebagai fungsi
Persamaan di atas menjadi
(pers. 3)
dari persamaan 3 tampak bahwa suku pertama dan keempat hanya bergantung pada
variabel r, suku kedua dan ketiga hanya bergantung variabel dan Penjumlahan suku-
suku yang hanya bergantung pada variabel r dan dua sudut ini akan selalu sama dengan
nol untuk sembarang nilai r, dan jika masing-masing suku sama dengan konstanta.
Konstanta untuk memisahkan persamaan Schrodinger yang mengandung variabel r
berharga ± l(l+1).
c. Suku yang hanya bergantung pada variabel r menjadi
(pers. 4)
d. Suku yang hanya bergantung pada variabel dan menjadi
(pers. 5a)
e. Setelah dikalikan dengan sin2
, persamaan 5 menjadi
(pers. 5b)

8. tampak bahwa persamaan (5b) juga terpisah menjadi dua bagian yaitu bagian yang hanya
bergantung pada variabel dan bagian yang bergantung pada variabel θ. Selanjutnya
tetapkan masing-masing bagian sama dengan konstanta -m2
dan m2
, sehingga
a) = m2
(pers. 6)
b) (pers. 7.a)
Setelah dikalikan diperoleh
(pers. 7.b)
3. Jelaskan bagaimana bilangan kuantum azimut dibatasi oleh bilangan kuantum
utama ?
Jawab: Contoh bilangan kuantum azimuth dibatasi oleh bilangan kuantum utama yaitu
tetapan normalisasi fungsi gelombang radial atom hidrogen adalah
Tetapan di atas memberikan informasi tentang batasan bilangan kuantum n dan . Pembilang
pada tetapan normalisasi di atas mengandung factorial karena bilangan factorial
terkecil adalah 0, maka harga terbesar yang diperbolehkan adalah:
= 0 atau 0
Karena harga terkecil dari adalah 0, maka n mempunyai harga dari 1, 2, 3, dst.

9. 4. Jelaskan apa yang dimaksud dengan orientasi ruang momentum sudut orbital
terkuantisasi
Jawab : Yang dimaksud dengan orientasi ruang momentum sudut orbital terkuantisasi
adalah pengaruh medan magnet yang menyatakan arah momentum sudut orbital.
Besarnya momentum sudut orbital bergantung pada bilangan kuantum azimuth yaitu:
Sedangkan, orientasi momentum sudut orbital ditentukan oleh bilangan kuantum
magnetik (m).
5. Jelaskan apa yang dimaksud dengan kulit atom dan sub kulit atom ?
Jawab: Kulit atom merupakan tingkat energi utama yang ditentukan oleh bilangan
kuantum utama (n). Subkulit atom adalah tingkat energi tambahan yang ditentukan oleh
bilangan kuantum azimuth (l), dimana sub kulit secara lengkap dinyatakan dengan dua
bilangan kuantum, yaitu n dan l sehingga dikenal sub kulit 1s, 2s, 3d, dan seterusnya.
Setiap sub kulit tersusun atas orbital-orbital yang ditentukan oleh 3 bilangan kuantum
yaitu n, l, dan m, sehingga dikenal orbital 1s0, 2p0, 2p-1, dan lain-lain. Jadi, yang
dimaksud dengan kulit atom adalah himpunan elektron yang dapat menempati bilangan
kuantum utama (n) yang sama dan subkulit atom adalah sejumlah elektron yang
mempunyai bilangan kuantum azimuth l dalam suatu kulit.
6. Buktikan bahwa kombinasi linear fungsi gelombang imaginer 2p-1 dengan 2p+1
menghasilkan fungsi gelombang real 2px dan 2py ?
Jawab: Bukti bahwa kombinasi linear fungsi gelombang imajiner 2p-1
dengan 2p+1
menghasilkan fungsi gelombang real 2px dan 2py adalah
Persamaan fungsi gelombang imajiner 2p-1 dengan 2p+1:
Penulisan fungsi gelombang di atas secara sederhana menjadi:
Kombinasi linear:

10. N adalah tetapan normalisasi fungsi gelombang hasil kombinasi linear.
Penyelesaian lebih lanjut persamaan di atas:
Karena dalam kurung terdapat faktor yang berhubungan dengan variabel r, yaitu
, maka variabel r dalam kurung dapat dikeluarkan:
Besaran adalah sama dengan x pada koordinat Cartesian sehingga sama
dengan .
Penyelesaian lebih lanjut persamaan di atas:
7. Gambarkan diagram fungsi gelombang radial dan fungsi gelombang sudut
(permukaan kontur orbital) dari elektron yang berkelakuan sebagai gelombang
ψ3dxy. Jelaskan makna diagram tersebut dikaitkan dengan gambaran atom
modern

11. Jawab: Gambar diagram fungsi gelombang radial dan fungsi gelombang sudut
(permukaan kontur orbital) dari elektron yang berkelakuan sebagai gelombang
adalah
Makna diagram tersebut dikaitkan dengan gambaran atom modern yaitu
Diagram fungsi gelombang radial adalah sebagai berikut.
Diagram fungsi gelombang radial ini menggambarkan kebolehjadian menemukan
elektron pada volume setebal kulit bola (dr) pada jarak r dari inti (r sampai r + dr).
Berdasarkan grafik tersebut maka peluang menemukan elektron pada orbital 3dxy adalah
dari rentangan 0-20. Penggambaran diagram fungsi gelombang radial dari elektron yang
berkelakuan sebagai gelombang memiliki bilangan kuantum utama 3 dan memiliki
bilangan kuantum azimuth yaitu 2. Dari grafik peluang kebolehjadian menemukan
elektron pada atom hidrogen di atas, r adalah jarak dari inti dan a0 adalah jari-jari atom
hidrogen.
Diagram fungsi gelombang sudut (permukaan kontur orbital) dari elektron yang
berkelakuan sebagai gelombang adalah sebagai berikut.

12. Makna grafik sudut orbital 3dxy di atas adalah kebolehjadian menemukan elektron yang
menempati orbital 3dxy adalah di antara sumbu xy dan yz. Tanda positif dan negatif pada
diagram di atas adalah tanda matematika dari harga fungsi gelombang pada sudut dan
tertentu. Bentuk diagram permukaan kontur dan tanda matematika memegang peranan
penting dalam menggambarkan ikatan kimia. Ikatan antar orbital atom terjadi apabila
bagian positif dari orbital yang satu tumpangsuh dengan bagian negatif dari orbital yang
lain. Ikatan yang terjadi searah dengan sumbu orbital atom yang berikatan disebut dengan
ikatan sigma ( ), sedangkan ikatan kimia yang terjadi sejajar sumbu (parallel) disebut
dengan ikatan phi ( ), atau bisa ikatan delta ( ).
8. Buktikan bahwa peluang radial terbesar menemukan elektron pada orbital 1s
adalah pada jarak sama dengan jari-jari Bohr ?
Jawab: Bukti bahwa peluang radial terbesar menemukan elektron pada orbital 1s adalah
jarak sama dengan jari-jari Bohr adalah
Untuk menentukan probabilitas menemukan elektron dalam sel speris dengan ketebalan
dr pada jarak r dari inti diberikan oleh: . Peluang radial (Pr) juga
dapat dinyatakan dengan mengintegrasikan langsung kuadrat fungsi gelombang radial
terhadap integral volume, .

13. Karena hanya digunakan variabel radial (r), maka fungsi gelombang sudut dibuat tetap
dengan menganggapnya sebagai konstanta, maka:
Untuk menemukan kebolehjadiannya maka dapat dihitung dengan menurunkan
persamaan kerapatan peluang radial dan dihargakan 0.
9. Diketahui fungsi gelombang sudut θ atm hidrogen adalah :
Θl,m (θ) = (2l+1)(l-/m/)! / 2(l+/m/). Pl
m
(cosθ)
Tunjukkan bahwa bilangan kuantum magnetik dibatasi oleh bilangan kuantum
azimut: /m/ ≤ 1
Jawab:
Penyelesaian fungsi gelombang ternormalisasinya adalah:

14. disebut sebagai polinominal Legendre terasosiasi dari derajat l dan order m
dengan l .
Persamaan untuk adalah sebagai berikut:
Persamaan tersebut ditentukan oleh dua tetapan, yaitu m dan l. Bentuk tetapan
normalisasi yaitu:
Pembilang pada tetapan diatas mengandung suku faktorial . Dari penyelesaian
persamaan gelombang yang mengandung variabel telah didapatkan bahwa m berharga
0, ±1, ±2, dst, sehingga mempunyai harga dari 0, 1, 2, dst namun tidak diperbolehkan
atau .
10. Apa yang dimaksud dengan momentum sudut orbital dan momentum sudut spin,
bilangan kuantum apa saja yang menentukan harga momentum sudut tersebut, dan
hitunglah momentum sudut orbital dan sudut spin dari elektron yang berkelakuan
sebagai gelombang ψ3dx0.

15. Jawab: Yang dimaksud dengan momentum sudut orbital adalah vektor yang memiliki
besar dan arah yang berhubungan dengan sifat atom dan momentum sudut spin adalah
momentum yang dibentuk akibat adanya gerakan rotasi elektron selain bergerak
mengelilingi inti atom. Bilangan kuantum yang menentukan harga momentum sudut
adalah bilangan kuantum magnetik dan bilangan kuantum spin.
Momentum sudut spin adalah momentum sudut yang disebabkan karena elektron
memiliki gerakan rotasi. Bilangan kuantum yang menentukan harga momentum sudut
spin adalah bilangan kuantum spin yang terlihat dari persamaan momentum sudut spin
dan momentum sudut spin arah z, yaitu:
dimana s = +1/2
dimana ms = -1/2 dan +1/2
Momentum sudut orbital dari elektron yang berkelakuan sebagai gelombang
adalah:
L = = [2(2+1)]1/2
=
Momentum sudut spin elektron yang berkelakuan sebagai gelombang
adalah:
=
= ½
11. Hitunglah harga ekspektasi r suatu elektron yang berkelakuan sebagai gelombang
1s dan 2s. Diketahui :