Tiga kalimat ringkasan dokumen tersebut adalah: Dokumen tersebut membahas aplikasi statistik Maxwell-Boltzmann dalam menjelaskan distribusi kecepatan molekul, termasuk menentukan fungsi degenerasi, fungsi partisi, kecepatan maksimum, kecepatan rata-rata, dan kecepatan kuadrat rata-rata molekul berdasarkan distribusi Maxwell-Boltzmann.

1. “ APLIKASI STATISTIK MAXWELL-BOLTZMAN”
(DISTRIBUSI KECEPATAN MOLEKUL) ”
Oleh
Kelompok 4
NAMA : Desi Elna Sari (16033046)
Verent Ishica Putri (16033066)
Zara Zetiara Devisya (16033068)
PRODI : PENDIDIKAN FISIKA B
DOSEN PEMBIMBING : Renol Afrizon, M.Pd
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI PADANG
2018

2. KATA PENGANTAR
Alhamdulillahirabbil ‘aalamiin. Puji syukur kami ucapkan kehadirat Allah SWT yang
telah memberikan rahmat dan karunianya, sehingga kami bisa menyelesaikan makalah
tentang “Aplikasi Fisika Statistik”.
Shalawat dan salam kita berikan kepada Nabi Muhammad SAW (Allaahumma shalli
‘alaa Muhammad wa ‘alaa aa li Muhammad) yang telah membawa dan mengarahkan
umatnya kepada jalan kebaikan.
Kami mengucapkan terima kasih kepada bapak Renol Afrizon, M.Pd selaku dosen
pembimbing kami dalam mata kuliah Fisika Statistik. Terima kasih juga kepada rekan-rekan
pendidikan fisika B 2016 yang telah mempercayai kami untuk menyampaikan materi ini.
Semoga makalah kami dapat bermanfaat untuk kita semua, baik dari kalangan pelajar,
mahasiswa, masyarakat umum, dan terkhusus untuk kami sendiri. kami mohon maaf apabila
terdapat kesalahan pada makalah yang kami tulis. Wabillaahi taufiq wal hidayah,
Padang, 2 Desember 2018
Hormat saya,

3. BAB I
PENDAHULUAN
1. Latar Belakang
Fisika statistik adalah suatu ilmu yang membahas sifat dan perilaku sistem yang terdiri
dari banyak partikel yang berukuran mikro. Segala sesuatu yang telah dipelajari dalam
termodinamika akan dibuktikan melalui fisika statistik. Dalam fisika statistik, kita mengenal
tiga distribusi yang mempunyai pendekatan yang berbeda, yaitu statistic Maxwell-
Boltzmann, Bose-Einstein, dan Fermi-Dirac. Ketiga distribusi ini dapat digunakan untuk
membuktikan besaran-besaran fisika yang dipelajari dalam termodinamika. Oleh karena itu,
saya akan membahas aplikasi dari statistik Maxwell-boltzmann yaitu mengenai distribusi
kecepatan molekul.
2. Rumusan Masalah
a. Bagaimana aplikasi statistik Maxwell-Boltzmann pada distribusi kecepatan
molekul?
3. Tujuan
a. Mengetahui aplikasi statistik Maxwell-Boltzmann pada distribusi kecepatan
molekul.

4. DISTRIBUSI KECEPATAN MOLEKUL
Suatu metode statistik, mengarah langsung ke pernyataan untuk penempatan nomor
tingkat energi dan distribusi kecepatan.Pernyataan untuk distribusi pertama kali dikerjakan
oleh Maxwell,sebelum pengembangan metode statistik, dan kemudian oleh Boltzmann dan
disebut sebagai distribusi Maxwell Boltzmann.
Sepertipadabagian sebelumnya, kita menyatakandistribusidalam
haljumlahpenempatan rata-ratatingkat makroyangtermasukintervalenergi antara𝜀𝑗dan𝜀𝑗 + 𝛥𝜀𝑗.
Misalkan Nmerupakan jumlahtotalmolekuldenganenergi keatas dantermasukenergi𝜀𝑗:
𝑑𝒩𝑖 =
𝑁
𝑍
𝑑𝑔 𝑒𝑥𝑝 (
−𝐸 𝑖
𝑘𝑇
) (1)
1. Mencari Fungsi Degenerasi
Besarnya fungsi degenarasi :
Fungsi degenerasi dari jumlah keadaan yang energinya antara 𝐸𝑘dan𝐸𝑘 + 𝛥𝐸𝑘.
𝑑𝑔 =
1
ℎ3 ∭ ∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑𝑝𝑥 𝑑𝑝 𝑦 𝑑𝑝𝑧 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 (𝑉) = ∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 (2a)
𝑑𝑔 =
𝑉
ℎ3
∭ 𝑑𝑝𝑥 𝑑𝑝 𝑦 𝑑𝑝𝑧
Dari persamaan di atas p = mv, sehingga dP = m dv
𝑑𝑔 =
𝑉
ℎ3
∭ 𝑚𝑑 𝑣 𝑥 𝑚𝑑𝑣 𝑦 𝑚𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑔 =
𝑚3
𝑉
ℎ3
∭ 𝑑𝑣 𝑥 𝑑𝑣 𝑦 𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑣 𝑥 𝑑𝑣 𝑦 𝑑𝑣𝑧 dalam elemen bola yaitu 𝑣2
𝑑𝑣 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑∅ kemudian di integralkan, sehingga
diperoleh seperti berikut :
𝑑𝑔 =
𝑚3
𝑉
ℎ3
∭ 𝑣2
𝑑𝑣sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑∅
𝑑𝑔 =
𝑚3
𝑉
ℎ3
𝑣2
𝑑𝑣∫ ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑∅
2𝜋
∅=0
𝜋
𝜃=0
𝑑𝑔 =
𝑚3
𝑉
ℎ3
𝑣2
𝑑𝑣 ∫ sin 𝜃
𝜋
0
𝑑𝜃 ∫ 𝑑𝜑
2𝜋
0

5. 𝑑𝑔 =
𝑚3
𝑉
ℎ3
𝑣2
𝑑𝑣 −cos 𝜃|0
𝜋
𝜑|0
2𝜋
𝑑𝑔 =
𝑚3
𝑉
ℎ3
𝑣2
𝑑𝑣 2 2𝜋
𝑑𝑔 =
4𝜋𝑚3
𝑉
ℎ3 𝑣2
𝑑𝑣 (2b)
2. Mencari Fungsi Partisi
Fungsi partisi partikel dapat dicari dengan memasukkan fungsi degenerasike dalam
fungsi partisi dan Ei merupakan besarnya energi kinetik partikel yaitu
𝑚𝑣2
2
:
𝑍 = ∫ 𝑑𝑔 exp(−
𝐸𝑖
𝑘𝑇
) (3a)
𝑍 = ∫
4𝜋𝑚3
𝑉
ℎ3
𝑣2
exp(−
𝑚𝑣2
2𝑘𝑇
) 𝑑𝑣
𝑍 =
4𝜋𝑚3
𝑉
ℎ3
∫ 𝑣 exp(−
𝑚𝑣2
2𝑘𝑇
) 𝑣𝑑𝑣
misal:
𝑢 =
𝑚𝑣2
2𝑘𝑇
𝑑𝑢 =
𝑚𝑣
𝑘𝑇
𝑑𝑣
𝑣𝑑𝑣 =
𝑘𝑇
𝑚
𝑑𝑢
𝑣 = (
2𝑢𝑘𝑇
𝑚
)
1
2
Sehingga fungsi partisi menjadi :
𝑍 =
4𝜋𝑚3
𝑉
ℎ3
∫ (
2𝑢𝑘𝑇
𝑚
)
1
2
exp(−𝑢)
𝑘𝑇
𝑚
𝑑𝑢
∞
0

6. 𝑍 =
4𝜋𝑚3
𝑉
ℎ3
(
2𝑘𝑇
𝑚
)
1
2 𝑘𝑇
𝑚
∫ ( 𝑢)
1
2 exp(−𝑢) 𝑑𝑢
∞
0
𝑍 =
2𝜋𝑚3
𝑉
ℎ3
(
2𝑘𝑇
𝑚
)
3
2
∫ ( 𝑢)
1
2 exp(−𝑢) 𝑑𝑢
∞
0
Solusi dari integral ini dapat diselesaikan dengan menggunakan fungsi gamma, yaitu :
∫ ( 𝑢)
1
2 exp(−𝑢) 𝑑𝑢
∞
0
 𝑛 − 1 =
1
2
𝑛 =
3
2
Γ (
3
2
) = Γ (1 +
1
2
) =
1
2
Γ (
1
2
) =
1
2
√ 𝜋
𝑍 =
2𝜋𝑚3
𝑉
ℎ3
(
2𝑘𝑇
𝑚
)
3
2 1
2
√ 𝜋
𝑍 =
𝑉
ℎ3
(2𝜋𝑚𝑘𝑇)
3
2 (3b)
Banyaknya 𝒩𝑣 merupakanjumlahrata-ratamolekuldengansemua kecepatan dan
termasuk v, dan𝑑𝒩𝑣 adalah jumlahrata-rata dengankecepatan antaravdanv+Δv .
𝑑𝒩𝑣 =
𝑁
𝑍
𝑑𝑔 𝑒𝑥𝑝 (
−𝐸𝑖
𝑘𝑇
) (4a)
𝑑𝒩𝑣 =
𝑁
𝑉
ℎ3 (2𝜋𝑚𝑘𝑇)
3
2
4𝜋𝑚3
𝑉
ℎ3
𝑣2
𝑑𝑣 𝑒𝑥𝑝 (−
𝑚𝑣2
2𝐾𝑇
)
𝑑𝒩𝑣 =
4𝜋𝑚3
𝑁
(2𝜋)
3
2 ( 𝑚𝑘𝑇)
3
2
𝑣2
𝑒𝑥𝑝 (−
𝑚𝑣2
2𝐾𝑇
) 𝑑𝑣
𝑑𝑁 𝑣 =
4𝑁
√ 𝜋
(
𝑚
2𝐾𝑇
)
3/2
𝑣2
𝑒𝑥𝑝 (−
𝑚𝑣2
2𝐾𝑇
) 𝑑𝑣 (4b)
3. Mencari nilai kecepatan maksimum, kecepatan rata-rata, dan kecepatan kuadrat
rata-rata
Banyaknya 𝒩𝑣 merupakanjumlahrata-ratamolekuldengansemua kecepatan dan
termasuk v, dan𝑑𝒩𝑣 adalah jumlahrata-rata dengankecepatan antaravdanv+Δv .Jika
ruangkecepatandibagike dalam kulit bola dari ketebalanyang sama,kecepatanvm

7. dimanafungsidistribusimaksimumadalah jari-jariyangkulit bolayang
mencakupjumlahterbesardarititikrepresentatif.Kecepatanvm disebut jumlah kemungkinan
kecepatan.Untuk menemukannilainya, kita mengambilturunan pertamadarifungsi
distribusisehubungan denganvdanmengaturnyasama dengan nol.
𝑑
𝑑𝑣
[𝑣2
𝑒𝑥𝑝(−
𝑚𝑣2
2𝐾𝑇
)] = 0 (15a)
Halyang tersisasebagai masalahuntuk menunjukkan bahwa :
𝑣 𝑚 = √
2𝐾𝑇
𝑚
(15b)
Fungsi distribusisekarangdapat dinyatakanlebih lengkap dalam hal𝑣 𝑚 :
∆𝑁 𝑣
∆𝑣
=
4𝑁
√𝜋𝑣 𝑚
3
𝑣2
𝑒𝑥𝑝(
−𝑣2
𝑣 𝑚
2
) (16)
Fungsi distribusitergantung padasuhugas untuk banyaknya 𝑣 𝑚, yangmunculbaik
dalamfungsieksponensialdan koefisien. Gambar 1adalah grafikfungsi distribusipadatiga suhu
yang berbeda.
Gambar 1. Grafik dari fungsi distribusi kecepatan Maxwell pada3 temperatur berbeda
,T0>T2>T1
Kemungkinan kecepatanmenurun sebagaipenurunantemperaturdan"menyebar"
ataukecepatanmenjadi lebih kecil. Area di bawahkurvaketigaadalah sama, karena
daerahsesuai denganjumlahtotal molekul.Sebagaimana dijelaskandalam bagian sebelumnya
,kecepatanrata-rata molekul adalah :
𝑣̅ = ∫
𝑣 𝑑𝑁𝑣
𝑁
(17a)
= ∫
4𝑁
N√ 𝜋
[
𝑚
2𝐾𝑇
]
3
2
𝑣2
𝑒
−[
𝑚𝑣2
2𝐾𝑇
]
𝑑𝑣

8. 𝑣̅ = ∫
4
√ 𝜋
[
𝑚
2𝐾𝑇
]
3
2
𝑣2
𝑒
−[
𝑚𝑣2
2𝐾𝑇
]
𝑣𝑑𝑣 (17b)
Misal:
U = 𝑚𝑣2
2𝐾𝑇
v2 =
2 𝑘𝑇 𝑢
𝑚
du=
2 𝑚
2𝑘𝑇
v dv
v dv=
2 𝑘𝑇
2 𝑚
du
𝑣̅ =
4𝑁
√ 𝜋
[
𝑚
2𝐾𝑇
]
3
2 2 𝑘𝑇
𝑚
∫ 𝑢
~
0
e-u 2 𝑘𝑇
𝑚
du
=
4𝑁
√ 𝜋
[
𝑚
2𝐾𝑇
]
8
2
[
2 𝑘𝑇
𝑚
]1/2 2 𝑘𝑇
𝑚
𝑘𝑇
𝑚
∫ 𝑢
~
0
e-udun-1 = 1n= 2, ∏(2)= 1
=
2
√ 𝜋
[
2 𝑘𝑇
𝑚
]1/2
= [
8 𝑘𝑇
𝜋𝑚
]1/2
= √
8 𝑘𝑇
𝜋𝑚
𝑣̅ = √
8
𝜋
𝑘𝑇
𝑚
(17c)
Selanjutnya kita cari kecepatan kuadrat rata-rata :
𝑣²̅̅̅ = ∫
~
0
𝑣 ²𝑑𝑁𝑣
𝑁
(18a)
= ∫ ∫
4𝑁𝑣²
N√ 𝜋
~
0
[
𝑚
2𝐾𝑇
]
3
2
𝑣2
𝑒
−[
𝑚 𝑣2
2𝐾𝑇
]
𝑑𝑣
= ∫ ∫
4𝑣³
√ 𝜋
~
0
[
𝑚
2𝐾𝑇
]
3
2
𝑒
−[
𝑚 𝑣2
2𝐾𝑇
]
𝑣𝑑𝑣
=
4
√ 𝜋
[
𝑚
2𝐾𝑇
]
3
2
∫
~
0
𝑣³
𝑒
−[
𝑚𝑣2
2𝐾𝑇
]
v dv
U = 𝑚𝑣2
2𝐾𝑇
v3 = [
2 𝑘𝑇 𝑢
𝑚
]
3/2

9. du=
2 𝑚
2𝑘𝑇
v dv
v dv=
2 𝑘𝑇
2 𝑚
du
𝑣²̅̅̅=
4
√ 𝜋
[
𝑚
2𝐾𝑇
]
3
2
∫ [
2 𝑘𝑇 𝑢
𝑚
]
3/2~
0
𝑘𝑇
𝑚
du (18b)
=
4
√ 𝜋
[
𝑚
2𝐾𝑇
]
3
2
∫ [
2 𝑘𝑇
𝑚
]
3/2
𝑢3/2~
0
𝑒−𝑢 𝑘𝑇
𝑚
du
=
4
√ 𝜋
[
𝑚
2𝐾𝑇
]
3
2
[
2 𝑘𝑇
𝑚
]
3/2 𝑘𝑇
𝑚
∫ 𝑢3/2~
0
𝑒−𝑢
du
=
4 𝑘𝑇
√ 𝜋𝑚
3/4 √ 𝜋
𝑣²̅̅̅=
3𝑘𝑇
𝑚
(18c)
𝑣𝑟𝑚𝑠 = √ 𝑣̅2̅̅̅ (19a)
𝑣𝑟𝑚𝑠 =
3
2
𝑣 𝑚 = √3
𝑘𝑇
𝑚
(19b)
Metode ini berlaku untuksistem yang lebih rumit dari pada gas ideal dengan mengubah
ketergantungan ∈𝑗dan 𝐺𝑗pada kecepatan atau partikel.
𝑣 𝑚 = √2
𝑘𝑇
𝑚
(20a)
𝑣 = √
8
𝜋
𝑘𝑇
𝑚
= √2.55
𝑘𝑇
𝑚
(20b)
𝑣𝑟𝑚𝑠 = √3
𝑘𝑇
𝑚
(20c)
Ketiga kecepatan tersebut ditunjukkan pada gambar 2.Besaran relatifdari ketiganya ,
padasuhu tertentu adalah
𝑣 𝑚: 𝑣̅: 𝑣𝑟𝑚𝑠 = 1 ∶ 1.128 ∶ 1.224 (20d)

10. Gambar 2.Kemungkinan 𝑣 𝑚, 𝑣̅,dan vrms
BAB III
PENUTUP
1. Kesimpulan
a. Aplikasi statistik Maxwell-Boltzmann pada distribusi kecepatan molekul
didapatkan𝑑𝑁 𝑣 =
4𝑁
√ 𝜋
(
𝑚
2𝐾𝑇
)
3/2
𝑣2
𝑒𝑥𝑝 (−
𝑚𝑣2
2𝐾𝑇
) 𝑑𝑣
2. Saran
Makalah ini bagus untuk dibaca semua kalangan masyarakat yang memerlukan
pengetahuan tentang aplikasi fisika statistik. Makalah ini masih membutuhkan perbaikan dan
tambahan dari sumber lain agar lebih lengkap.