1. KELOMPOK 1 :
1. SRIMAYANTI
2. NOVITASARI
3. SUCIATI DJ LOLODA
4. ALMA YUNISTIRA
*
2. *
Persamaan Schrodinger dalam tiga dimensi berbentuk
sebagai berikut :
−
ℏ2
2𝑚
𝜕2𝜓
𝜕𝑥2 +
𝜕2𝜓
𝜕𝑦2 +
𝜕2𝜓
𝜕𝑧2 + 𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝜓 = E𝜓 (7.1)
𝜓 adalah fungsi dari x,y dan z. Cara lazim untuk
memecahkan persamaan diferensial parsial seperti ini
adalah dengan memisahkan variabel. Potensial bagi gaya
antara inti atom dan elektron adalah 𝑣 = −1
1
4𝜋𝜀0
𝑒2
𝑟
;
karena 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2,maka
𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −
1
4𝜋𝜀0
𝑒2
𝑥2+𝑦2+𝑧2
(7.2)
3. *Potensial dalam bentuk ini tidak memberikan persamaan
terpisahkan, tetapi jika kita bekerja dalam sistem
koordinat bola 𝑟, 𝜃, 𝜙 , yang lebih memadai ketimbang
sistem (x,y,z) (sekurang-kurangnya bagi perhitungan ini),
maka kita dapat memisahkan variabel-variabelnya, dan
menemukan himpunan pemecahannya. Variabel-variabel
sistem koordinat bola digambarkan pada gambar 7.1.
bayaran bagi penyederhanaan pemecahan ini adalah
bertambah rumitnya bentuk persamaan diferensial
parsialnya, yang bentuknya menjadi :
−
ℏ2
2𝑚
𝜕2𝜓
𝜕𝑟2 +
2
𝑟
𝜕𝜓
𝜕𝑟
+
1
𝑟2𝑠𝑖𝑛𝜃
𝜕
𝜕𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝜕𝜓
𝜕𝜃
+
1
𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃
𝜕2𝜓
𝜕𝜙2 +
𝑉 𝑟, 𝜃, 𝜙 𝜓 = E𝜓 (7.3)
4. *Gambar 7.1 Sistem koordinat bola bagi atom hidrogen.
Proton berada pada titik asal dan elektron pada jari-jari r,
dalam arah yang ditentukan oleh sudut polar 𝜃 dan sudut
azimut 𝜙.
Di mana 𝜓 = 𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜙 . Selanjutnya, kita hanya akan meninjau
pemecahan yang terpisahkan dan dapat difaktorkan sebagai
𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜙 = 𝑅 𝑟 Θ 𝜃 Φ 𝜙 (7.4)
Dengan R(r), Θ(𝜃) masing-masing adalah fungsi dari satu variabel.
Cara ini memberikan kita tiga buah persamaan diferensial, masing-
masing dalam satu variabel (r, 𝜃, atau 𝜙).
5. *
*Analisis pemecahan persamaan Schrodinger dalam koordinat
bola (r, 𝜃, atau 𝜙) agak sulit, karena itu kita hanya akan
langusng menyajikan dan kemudian membahas
pemecahan-pemecahannya.
*Merujuk ke bahasan perkenalan kita dengan
persaamaan Schrodinger, persoalan tiga di mensi
memerlukan tiga bilangan kuantum untuk mencirikan
semua pemecahannya. Oleh karena itu, semua fungsi
gelombang atom hidrogen akan diperikan dengan tiga
buah bilangan kuantum. Bilangan kuantum pertama, n
berkaitan dengan pemecahan bagi fungsi radial, R(r).
6. *Bilangan n ini sama dengan yang dipakai untuk menamai
tingkat-tingkat energi dalam model Bohr. Pemecahan bagi
fungsi polar, Θ(𝜃), memberikan bilangan kuantum l, dan
bagi fungsi Φ(𝜙), memberikan bilangan kuantum ketiga 𝑚𝑖.
*Bilangan kuantum n, yang dikenal sebagai Bilangan
Kuantum Utama, bernilai bulat 1,2,3,… Menentukan
bilangan n adalah setara dengan memilih suatu tingkat
energi tertentu, seperti halnya dalam model Bohr.
Selanjutnya, bila kita memecahkan persamaan Schrodinger,
akan kita temmukan bahwa semua tingkat energi
terkuantisasinya, sesuai dengan milik model Bohr,
𝐸𝑛 = −
𝑚𝑒4
32𝜋2𝜀2
ℏ2
1
𝑛2 (7.5)
Perhatikan bahwa energi ini hanya bergantung pada bilangan
kuantum n, tidak pada l dan 𝑚𝑖.
7. *Dalam model Bohr, nilai n menentukan jari-jari orbit
elektron semakin besar nilai n, semakin besar jari-
jarinya. Bilangan kuantum l menentukan (dalam konteks
model Bohr) apakah orbitnya berbentuk lingkaran atau
elips. Gambar 7.3 melukiskan semua orbit utama dari
tingkat n=4 untuk bilangan nilai l. Dengan tafsiran l ini,
dapatlah kita lihat mengapa bilangan kuantum ini
berkaitan dengan momentum sudut elektron. Semua orbit
dengan nilai l terbesar (l = n – 1)
8. *Memiliki momentum sudut terbesar terhadap inti atom,
dan dengan demikian berbentuk lingkaran. Semua nilai l
yang lebih kecil memberkan orbit elips, dan nilai terkecil
dari l (l=0) memberikan elips pipih yang melewati inti
atom. Bilangan kkuantum 𝑚𝑖. Memberikan orientasi bidang
orbit relatif terhadap bidang x,y. Gambar 7.4 melukiskan
dua orientasi yang mungkin dari bidang orbit elektron.
Sekali lagi tafsiran geometri ini hanya bermanfaat dalam
gambaran skematis yang menggunakan model Bohr, dan
hendaklah jangan dipandang sebagai keadaan
sesunggguhnya; dan memang, bidang orbit yang pasti
menyalahi asas ketidakpastian.
9. *
*Dalam beberapa segi, model Bohr membentuk kita untuk
memahami sifat-sifat atom. Telah kita lihat dalam pasal
terakhir bagaimana ketiga bilangan kuantum (n,l, 𝑚𝑖.)
memberitahu kita mengenai “bentuk” orbit elektron. Tetapi,
terdapat beberapa sifat atom terutama perilakunya dalam
medan magnet, yang dapat dipahami lebih mudah jika kita
menggunakan sebuah model yang memandang momentum
sudut berperilaku seperti vektor biasa (meskipun vektor ini
memiliki beberapa sifat istimewa yang tidak dijumpai dalam
vektor “klasik”.
10. *Untuk tiap orbit elektron yang mungkin, momentum sudut l
tetap tidak berubah. ( Hal yang sama juga berlaku bagi
semua benda yang mengorbit dalam medan gravitasi; sebuah
kometnbertambah besar kecepatannya ketika ia lewat dekat
matahari, jadi penurunan jaraknya dari matahari r, diimbangi
dengan kenaikan momentum linearnya p, sehingga hasil kali r
x p bernilai tetap ). Momentum sudut tersebut kita nyatakan
dengan vektor I; dalam pengertian klasik, ini adalah sebuah
vektor yang melalui inti atom dan tegak lurus bidang orbit
elektron. Perhitungan yang lebih teliti berdasarkan
pemecahan persamaan Schrodinger (yang berada di luar
jangkauan buku ajar ini) memberikan hubungan antara
panjang vektor I, yang kita tunjukkan dengan 𝑰 dengan
bilangan kuantum l, sebagai berikut ;
𝑰 = 𝒍 𝒍 + 𝟏 ℏ (7.6)
11. * Seperti halnya dengan vektor klasik, vektor I dapat
memiliki komponen sepanjang sebarang sumbu dalam
ruang. Sekali lagi, semua fungsi gelombang yang diperoleh
dari persamaan Schrodinger memberi kitaseperangkat
aturan untuk menghitung ketiga komponen dari I. (umunya
kita memilih sumbu z, karena ia merupakan sebuah sumbu
acuan dalam sistem koordinat bola). Nialai-nilai komponen
z dari 𝑖𝑧, yang kita tunjukkan dengan I, terbatasi menurut
pernyataan
𝑙𝑧 = 𝑚𝑙ℏ (7.7)
Di mana 𝑚𝑙 adalah bilangan kuantum magnet, yang bernilai
0, ±1, ±2, … , ±𝑙
12. *Komponen-komponen vektor I untuk l=2 dilukiskan pada
gambar 7.5. Tiap Orientasi yang berbeda dari vektor I
berkaitan dengan suatu nilai 𝑚𝑙 yang berbeda. Sudut polar 𝜃
yang dibuat vektor I terhadap sumbu z mudah dicari dengan
merujuk ke gambar 7.5 karena 𝑙𝑧 = 𝑰 𝒄𝒐𝒔 𝜽, maka
𝒄𝒐𝒔 𝜽 =
𝒍𝒛
𝑰
=
𝒎𝒊ℏ
𝒍 𝒍 + 𝟏 ℏ
Atau
𝒄𝒐𝒔 𝜽 =
𝒎𝒊
𝒍 𝒍+𝟏
(7.8)
13. *
*Bilangan-bilangan kuantum (n,l, 𝒎𝒊) yang menamai tiap
keadaan atom hidrogen, seperti telah kita lihat, mempunyai
dua tafsiran. Bilangan kuantum adalah label yang bukan
hanya muncul dari prosedur matematik yang terlibat dalam
pemecahan persamaan Shrodinger, tetapi juga mempunyai
tafsiran geometris. Dalam pasal ini kita kan lebih menaruh
perhatian pada sifat matematik pemecahannya, yaitu bahwa
bilangan kuantum merupakan label atau indeks bagi fungsi
gelomvang yang berbeda.
*Komponen fungsi gelombang Ψ 𝑟, 𝜃, 𝜙 dapat ditulis sebagai
hasil kali tiga bauh fungsi satu variabel :
Ψ𝑛,𝑙,𝑚 𝑟, 𝜃, 𝜙 = 𝑅𝑛,𝑙 𝑟 Θ𝑙,𝒎𝒊
𝜃 Φ𝑚 ∅ (7.10)
14. Tabel 7.1 Beberapa Fungsi Gelombang Atom Hidrogen
Indeks (n,l, 𝒎𝒊) yang berbeda memberikan komponen fungsi
gelombang yang berbeda. Dalam Tabel 7.1 didaftarkan
beberapa fungsi gelombang untuk benerapa nilai bilangan
kuantum (n,l, 𝒎𝒊). Dalam koordinat bola (lihat gambar 7.7),
elemen ini adalah
15. 𝑑𝑉 = 𝑟2
sin 𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑∅ (7.11)
Karena itu, probabilitasnya adalah
Ψ𝑛,𝑙,𝒎𝒊
𝑟, 𝜃, 𝜙
2
𝑑𝑉 =
𝑅𝑛,𝑙 𝑟
2
Θ𝑙,𝒎𝒊
𝜃
2
Φ𝒎𝒊
𝜙
2
𝑟2
sin 𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝜙 (7.12)
Dengan menggunakan pernyataan probalitas ini, persamaan
(7.12) kita dapat menghitung berbagai pola distribusi ruang
elektron. Sebagai contoh kita dapat menghitung probabilitas
radial P(r)dr untuk menemukan elektron antara r dan r + dr,
tidak peduli berapapun nilai 𝜃 dan 𝜙. Untuk melihatnya
dengan cara lain, kita bayangkan sebuah kulit bola tipis
berjari-jari r setebal dr, dan menyatakan berapaprobabilitas
untuk menemukan elektron dalam volume kulit bola ini.
Karena kita tidak tertarik pada 𝜃 dan 𝜙, maka kita
integrasikan terhadap semua nilai yang mungkin dari kedua
variabel ini:
16. 𝑃 𝑟 𝑑𝑟 = 𝑅𝑛,𝑙 𝑟
2
𝑟2
𝑑𝑟 0
𝜋
Θ𝑙,𝒎𝒊
𝜃
2
𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃 0
2𝜋
Φ𝒎𝒊
𝜙
2
𝑑𝜙
(7.13)
Integral 𝜃 dan integral 𝜙 bernilai satu, karena fungsi R, Θ dan
Φ masing-masing normalisasikan. Jadi, rapat probabilitas
radial adalah
𝑃 𝑟 = 𝑟2
𝑅𝑛,𝑙(𝑟)
2
(7.14)
