Teori elektron bebas terkuantisasi menjelaskan bahwa elektron dalam logam dapat bergerak bebas namun memiliki energi yang terkuantisi. Energi elektron ditentukan oleh bilangan kuantum dan berkaitan dengan panjang gelombang de Broglie. Statistik Fermi-Dirac menjelaskan distribusi elektron pada tingkat energi yang berbeda berdasarkan prinsip eksklusi Pauli. Konduktivitas listrik logam dijelaskan oleh model elektron bebas

1. TEORI ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI
A. Energi Level dalam Satu Dimensi
Bayangkan sebuah elektron dengan massa m yang terkungkung oleh
sebuah kotak yang panjangnya L dan lebarnya tak terhingga, atau kita sebut saja
dengan sumur potensial.
Fungsi gelombang 𝜑 𝑛(𝑥) dari elektron adalah solusi dari persamaan Schrodinger
𝐻Ψ = 𝜀Ψ dengan mengabaikan energi potensial sehingga diperoleh 𝐻 = 𝑝2
/
2𝑚, dimana P adalah momentum yang dapat direpresentasikan sebagai –thd/dx,
sehingga
𝐻 = −
𝑛2
2𝑚
𝑑2
𝑑𝑥2
Maka persamaannya menjadi
𝐻Ψn = −
𝑛2
2𝑚
𝑑2
𝑑𝑥2
(Ψn) = εnΨn ………………………………………………(1)
Dimana εn adalah energi elektron dalam orbital. Model orbital hanya tepat jika
tidak ada interaksi antara elektron.
Gambar tiga tingkat energi pertama dan fungsi gelombang dari massa m
yang terkurung pada sebuah garis yang panjangnya L

2. Kondisi boundary adalah Ψn(0) = 0 ; Ψn(L) = 0 seperti yang
dipersyaratkan dalam barier tak hingga. Memenuhi syarat jika fungsi gelombang
fungsi sinus dengan bilangan integral n dari setengah gelombang antara 0 dan L :
Ψn = A Sin (kx)
Ψn = A Sin (
2π
λn
x);
1
2
𝜆 𝑛 = 𝐿……………………………………………(2)
Dimana A adalah konstanta. Persamaan (2) adalah solusi dari persamaan (1),
karena
𝑑Ψn
𝑑𝑥
= 𝐴 (
𝑛𝜋
𝐿
) 𝑐𝑜𝑠 (
𝑛𝜋
𝐿
𝑥) ;
𝑑2
Ψn
𝑑𝑥2
= 𝐴 ((
𝑛𝜋
𝐿
)
2
𝑠𝑖𝑛 (
𝑛𝜋
𝐿
𝑥))
Apabila jumlah bilangan kuantumnya kita tambah terus sampai n buah, maka
energinya dapat digambarkan oleh persamaan :
𝜀 𝑛 =
ℏ2
2𝑚
(
𝑛𝜋
𝐿
)
2
………………………………………………………………….(3)
Menurut prinsip eksklusi Pauli tidak ada dua elektron yang dapat mempunyai dua
bilangan kuantum yang identik. Setiap orbital hanya dapat diisi oleh satu
elektron. Hal ini juga berlaku bagi elektron dalam atom, molekul, atau zat padat.
Dalam zat padat linier bilangan kuantum dari orbital elektron konduksi
adalah n dan ms dimana n interger positif dan bilangan kuantum magnetik 𝑚 𝑠 =
±
1
2
tergantung pada orientasi spins. Sepasang orbital dilabel oleh bilangan
kuantum n dapat mengakomodasi dua elektron, satu spins ke atas dan satu spins
ke bawah. Orbital-orbital yang mempunyai energi yang sama disebut degenerasi.
Oleh karena itu apabila ada N buah elektron maka terdapat :
𝑛 =
𝑁
2

3. Energi Fermi, 𝜀𝑓 didefinisikan sebagai energi terasatas yang berisi dan tingkat
dasar dari elektron N sistem. Oleh persamaan (3) dengan n = nf dalam satu
dimensi.
𝜀𝑓 =
ℏ2
2𝑚
(
𝑛𝑓 𝜋
𝐿
)
2
=
ℏ2
2𝑚
(
𝑁𝜋
2𝐿
)
2
B. Statistik Fermi-Diract pada Gas Elektron
Pada umumnya elektron dalam logam memiliki energi kinetik dan energi
potensial, namun untuk elektron bebas gas energi potensial dibuat nol. Energi
total menjadi sama dengan energi kinetik. Elektron ini dapat direpresentasikan
oleh suatu vektor dari origin ke suatu lokasi tertentu dalam ruang-v, atau ruang-k,
atau hanya satu titik pada lokasi tertentu. Dalam ruang-k misalnya pada jarak yag
sama dari origin akan mempunyai energi yang sama besar.
𝜀 =
ℏ2
2𝑚
[ 𝑘𝑥2
+𝑘𝑦2
+ 𝑘𝑧2] =
ℏ2
𝑘2
2𝑚
Tidak tergantung pada arah k.
Gambar beberapa lokasi yang diizinkan dalam ruang-k untuk kondisi
boundri dengan keperiodikan L dalam masing-masing arah dari ruang riel.

4. Fungsi gelombang dari elektron harus memenuhi persamaan Schrodinger yang
dibatasi kondisi boundry. Solusi untuk gelombang bidang adalah :
𝜑 = 𝐶 exp(𝑖𝑘. 𝑟)
Jumlah sel yang terletak antara speris dari jari-jari k dan (k + -dk) sebagai
(𝑘2
𝐿3
/2𝜋2
)𝑑𝑘. Dentitas tingkat energi elektron yang tersedia adalah dua kali
lebih besar karena dua kemungkinan spin elektron.
Fungsi gelombang untuk elektron dengan spin 𝑠 = ±
1
2
dianggap tingkat energi
yang diizinkan terpisah menurut prinsip Pauli, meskipun kx, ky, kz identik.
Di dalam kesetimbangan termodinamika pada temperatur T, ekspetasi dari
okupansi tingkat dengan energi 𝜀 dari fermi-Diract adalah :
𝑓( 𝜀) =
1
1 + 𝐵 exp(
𝜀
𝑘0 𝑇
)
=
1
1 + 𝑒𝑥𝑝[
𝜀 − 𝜀𝑓
𝑘0 𝑇
]
dimana B adalah parameter normalitas yang tidak mempunyai dimensi.
Normalisasi dapat jua dilakukan dalam bentuk parameter 𝜀 = −𝑘0 ln(𝐵), yang
mempunyai energi yang tidak berdimensi. Normalisasi diperlukan sehingga
n=∫ 𝑓(𝑛
𝜀)𝑔( 𝜀) 𝑑𝜀 =
1
2𝜋2
(
2𝑚
ℏ2
)
3/2
∫
𝜀1/2 𝑑𝜀
1+𝑒𝑥𝑝[
𝜀−𝜀 𝑓
𝑘0 𝑇
]
adalah sama dengan total dentitas elektron persatuan volume. Pada temperatur
biasa dalam logam, 𝜀 𝑝 harus positif dan harga ini disebut energi Fermi atau
tingkat Fermi.
Elektron – elektron pertama akan mengisi tingkat yang energi kinetik yang
terendah, ini adalah tingkat-tingkat panjang gelombang panjang dari vektor
gelombang karena 𝜀 = (
ℏ2
𝑘2
2𝑚
). Karena logam umumnya berisi 1028
elektron
bebas per meter kubik. Energi Fermi temperatur rendah adalah
𝜀 𝐹𝑂 = (3𝜋2
𝑛)
3
2 𝑛2
/2𝑚

5. C. Konduktifitas Listrik dan Hukum Ohm
Gaya yang dialami oleh elektron yang bermuatan e akibat medan listrik E
dan medan magnet B adalah –e[E+(1/c)v x B].
Hukum ohm didefinisikan sebagai jika dalam medan listrik E ada sejumlah n
elektron bermuatan q=-e per unit voume, kerapatan arus listrik. Dengan
persamaan :
J=nqv = 𝑛𝑒2 𝜏
𝐸/𝑚
Konduktivitas listrik 𝜎 didefinisikan sebagai j = 𝜎𝐸 sehingga
𝜎 =
𝑛𝑒2 𝜏
𝑚
Hambatan listrik 𝜌 didefinisikan sebagai resiprokal dari konduktivitas, sehingga
𝜌 = 𝑚/𝑛𝑒2 𝜏
D. Hambatan Listrik Eksperimental dari Logam
Hambatan listrik dari kebanyakan logam didominasi pada suhu kamar
oleh tumbukan dari hantaran elektron dengan kisi ponon dan temperatur helium
cair (4K) oleh tumbukan atom-atom pengotordan ketidaksempurnaan mekanik di
dalam kisi. Apabila medan listrik dimatikan distribusi momentum akan relaks
kembali ke tingkat dasar dengan waktu relaksasi :
1
𝜏
=
1
𝜏 𝐿
+
1
𝜏𝑖
dimana 𝜏 𝐿 dan 𝜏𝑖 adalah waktu tumbukan untuk masing – masing hamburan
ponon dan kecacatan.
Resisvitas netto dirumuskan dengan :
𝜌 = 𝜌𝐿 + 𝜌𝑖
dengan 𝜌𝐿 adalah hambatan yang disebabkan oleh ponon termal, dan 𝜌𝑖 adalah
hambatan yang disebabkan oleh cacat statik yang mengganggu keperiodikan dari
kisi.
E. Gerakan dalam Medan Magnet
Percepatan partikel bebas adalah (ℏ𝑑/𝑑𝑡) dan efek dari tumbukan atau
gesekan diwakilkan oleh ℏ𝛿𝑘/𝜏.
Gaya Lorentz pada elektron adalah :
F = −𝜀 (𝐸 +
1
𝑐
𝑣 𝑥 𝐵) dalam satuan CGS

6. Jika mv = ℏ𝛿𝑘, maka persamaan gerak adalah :
m(
𝑑
𝑑𝑡
+
1
𝑣
) 𝑣 = −𝑒 (𝐸 +
1
𝐶
𝑣 𝑥 𝐵)
Dalam keadaan steady dalam medan listrik statik turunan terhadap waktu adalah
nol, sehingga kecepaan drit adalah :
𝑉𝑥 = −
𝑒𝜏
𝑚
𝐸 𝑋 − 𝜔 𝐶 𝜏𝑣 𝑦; 𝑉𝑦 = −
𝑒𝜏
𝑚
𝐸 𝑦 + 𝜏𝑣 𝑥; 𝑉𝑧 = −
𝑒𝜏
𝑚
𝐸𝑧
dimana 𝜔 = 𝑒𝐵/𝑚𝑐 adalah frekuensi kyklotron.
Efek hall adalah medan listrik yang dikemangkan dengan memotong dua
permukaan konduktor, dalam arah j x B, dimana arus j mengalir memotong
medan magnet B. Koefisien hall didefenisikan dengan persamaan :
𝑅 𝐻 =
𝐸 𝑦
𝑗 𝑋 𝐵
Semakin kecil konsentrasi karir, semakin besar magnitude dari koeisien hall.