1. Persamaan Schrodinger
Persamaan Schrodinger diajukan oleh fisikawan Erwin Schrodinger pada tahun 1925.
Persamaan Schrodinger ini menjelaskan hubungan ruang dan waktu pada sistem mekanika
kuantum. Persamaan ini merupakan hal penting dalam teori mekanika kuantum, sebagaimana
halnya hukum II Newton pada mekanika klasik.
Berbeda dari hukum Newton, pemecahan persamaan Schrodinger yang disebut juga fungsi
gelombang memberikan informasi tentang perilaku gelombang dari partikel.
Dalam mekanika klasik, persamaan yang dihadapi dapat dicirikan oleh hadirnya gaya
teryentu F. Sedangkan dalam mekanika kuantum, persoalannya dapat dicirikan oleh fungsi
potensial tertentu. Kita tinggal menuliskan persamaan Schrodinger bagi potensial tersebut
dan mencari pemecahannya. Persamaan Schrodinger memiliki rumus umum sebagai berikut :
Persamaan Schrodinger di atas dikenal juga dengan persamaan schrodinger waktu
bebas satu dimensi.
 Penurunan rumusnya sebagai berikut :
Dengan menggunakan hukum kekekalan energi :
Karena kajian kita tentang fisiska kuantum ini dibatasi pada keadaan tak relativistik,
maka :
Dimana kecepatan( ) yang dipakai disini adalah kecepatan ( ) potensial, tidak lagi
memakai kecepatan ( ) massa relativistik, maka :
→

2. Sehingga ,
( )
, dimana
yang setara dengan
, pada energi kinetik dari gelombang de broglie
...........(1)
Kita tahu bahwa persamaan umum gelombang pada tali adalah :
(
)
(
)
Untuk persamaan gelombang ini, kita mengabaikan waktu (bebas waktu) sehingga :
(
Dalam Schrodinger
)
→ 𝞇 sehingga :
(
)
Persamaan gelombang di atas, didiferensialkan 2X terhadap
( )
............................(1)
subtitusi persamaan (1) ke (2)
(
)
:

3. kita tahu bahwa,
(
)
(
)
RESEP SCHRODINGER
Mengingat teknik untuk memecahkan persamaan di atas bagi berbagai bentuk
potensial V (yang pada umumnya bergantung pada x) adalah hampir sama, maka
kita dapat menyusun daja suatu daftar urutan langkah seperti berikut ini :
1. Mulailah dengan menuliskan persamaan di atas untuk V(x) yang bersangkutan.
2. carilah suatu fungsi matematik ψ (x), bagi pemecahanya.
3. Dengan menerapkan syarat-syarat batas, maka beberapa dari anatara pemecahan itu
dapat dikesampingkan dan semua integrasi yang tidak diketahui dapat ditetapkan.
4. Jika sedang mencari pemecahan bagi suatu potensial yang berubah secara tidak
kontinu, maka harus menerapkan persyaratan kekontinuan pada ψ(dan pada dψ/dx
batas anatara daerah-daerah ketidakkontinuannya.
5. Tentukanlah semua tetapan (integras) yang belum diketahui

4. PROBABILITAS DAN NORMALISASI
Sebuah partikel tunggal dalam ruang tidak memiliki dimensi fisika karenan
dimensi sebuah titik dalam ruang adalah nol, maka probabilitas untuk menemukan
sebuah partikel di sebuah titik adalah selalu nol, tetapi untuk selang dx,
probabilitasnya tidak nol. Jika kita mendefinisikan P(x) sebagai rapat probabilitas
(probabilitas per satuan panjang, dalam ruang satu dimensi), maka tafsiran Ψ(x)
menurut resep Schrödinger adalah
Probabilitas untuk menemukan partikel antara x1 dan x2 adalah jumlah semua
probabilitas P(x) dx dalam selang infinitesimal antara x1 dan x2, yang tentu saja
dalan suatu integral.
Probabilitas untuk menemukan partikel antara x1 dan x2 =
Dari aturan ini kita peroleh dalil berikut, bahwa probabilitas unntuk menemukan
partikel disuatu titik sepanjang sumbu x, adalah 100 persen, sehingga berlaku
Sebuah fiungsi gelombang yang tetap pengalihannya ditentukan menurut
persamaan di atas dikatakan ternomalisasikan; jika tidak, ia dikatakan tidak
ternomalisasikan. Hanyalah fungsi gelombamh yang ternomalisasikan secara tepat,
yang dapat digunakan untuk melalkukan semuaperhitungan yang mempunyai
makna fisika. Jika normalisasinya telah dilakukan secara tepat, maka persamaan
Akan selalu menghasilkan suatu probabilitas yang terletak antara 0 dan 1.

5. D. Beberapa Penerapan Persamaan Schrodinger
1. Pada partikel Bebas
2. Pada Partikel dalam kotak (1D)
3. Pada partikel dalam kotak (2D)
 Partikel bebas
Partikel bebas adalah sebuah partikel yang bergerak tanpa dipengaruhi gaya
apapun dalam bagian ruang; yaitu F=0, sehingga V(x)= tetapan untuk semua
x.
Rumusan persamaan schrodinger menjadi;
E
2
Dimana kita tahu bahwa: k
E=k+v
E=k
Sehingga energi yang dihasilkan oleh partikel itu sendiri adalah:
E=
 Partikel dalam kotak (1D)
Kita tinjau sebuah partikel yang terperangkap dalam sebuah kotak (1D)
dengan panjang L ;
0
X
L
V=0
X=0
x=L
Solusinya : 𝞇(x) = A sin kx + B cos kx
Dengan syarat batas ; 𝞇(x) = 0 dan x = L ;
Maka ; 𝞇(x) = A sin kx + B cos kx
0
= Asin kx + 0
0
= A sin kL

6. A sin nπ = A sin kL
nπ =
π
n = bilangan bulat 1,2,3,,,,,,
kL
=k
Sehingga untuk energinya menjadi;
E=
E=(
)
E=
Untuk persamaan gelombangnya;
𝞇(x) = A sin kx
𝞇(x) = A sin ( )x
Syarat normalisasinya :
∫
∫
∫
(
∫
[
( )
(
)
(
)
(
)
(
A2 =
)
) ]
A=√
Sehingga persamaan gelombang untuk partikel dalam kotak (1D) menjadi:
𝞇(x) = A sin ( )

7. 𝞇(x) = √
sin ( )
 Partikel dalam kotak (2D)
Ciri pemecahannya masih tetap sama, namun ada suatu ciri baru yang
penting yang dikenalkan yaitu “degenerasi” yang akan lebih penting
penjelasannya nanti pada fisika atom.
Dari persamaan umum schrodinger versi satu dimensi (1D),yakni x
saja sehingga pada dua dimensi (2D) terhadap x dan y, seperti:
(
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
Gambarnya:
y
v=∞
y=L
v=0
v=∞
x
x=L
sehingga solusinya menjadi:
𝞇(x) = f(x) g(x)
f(x) = Asin kxx + B cos kxx
g(x)= C sin kyy + D cos kyy
syarat normalisasinya :
∬
( )
Dengan :
,
Sehingga persamaan gelombangnya menjadi :
(
)
√ (
)√ (
)
)

8. (
)
Dan energinya menjadi :
(
)
G. Ketergantungan Pada Waktu
untuk 1D
Untuk persamaan di atas adalah: kita tinjau sebuah gelombang dalam
bidang xy berjalan dalam arah +x.
Gambarannya:
v
IA
Persamaan gelombangnya menjadi :
y = A cos w (t - x/v)
kita ubah dalam bentuk eksponennya menjadi :
(
)
Persamaan schrodinger :
(
)
(
)

9. Dimana kita tahu bahwa : ω = 2πv ,(v = kec.partikel)
v = 𝛌v
(kec. De broglie)
Sehingga:
(
⁄‫) ג‬
⁄
‫ג‬
(
⁄ )
......................(1)
Dimana :
,
,
Sehingga:
(
⁄ )
(
)
⁄ (
) ...............................(2)
untuk memperoleh persamaan schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi
adalah dengan menurunkan persamaan (2) 2x terhadap dan 2x terhadap .
Sehingga:
⁄ (
terhadap x,
)
⁄ (
)
⁄ (
)
..................(3)

10. ⁄ (
Tehadap t :
)
⁄ (
)
...................................(4)
Untuk Persamaan energi mekanik :
⁄
⁄
( )
⁄
Sehingga;
..................( dikali
)
...............................(5)
Dari persamaan (3) diperoleh:
:
dan dari persamaan (4) diperoleh
kemudian substitusikan persamaan (6) dan (7) ke persamaan (5)
sehingga diperoleh:
(
)
(persamaan schrodinger bergantung waktu)

11. H .Tidak Ketergantungan Pada Waktu
Persamaannya :
atau
(
)
(1D)
Untuk yang 2D dan 3D tinggal menambahkan variabelnya menjadi (x,y) untuk
2D dan (x,y,z) untuk yang 3D.
I. Potensial Tangga Dan Halang
Dalam hal ini kita akan menganalisis apa yang terjadi jika sebuah partikel
yang sedang bergerak dalam ruang 1D pada suatu daerah berpotensial tetap
tiba-tiba bergerak memasuki daerah yang potensialnya berbeda . kita akan
mengambil E sebagai energi total yang tetap dan V sebagai nilai energi
potensial tetapnya.
V
I
E
II
X=0
 Apabila E
x
V, maka pemecahan persamaan schrodingernya berbentuk:
Fungsi gelombang sebuah partikel berenergi E yang memasuki sebuah
potensial tangga setinggi