Dokumen ini membahas konsep dimensi tiga dalam geometri, termasuk definisi titik, garis, dan bidang serta contoh kedudukan antara titik, garis, dan bidang pada kubus. Selain itu, dokumen ini membahas jarak antara berbagai elemen geometri, seperti jarak titik ke garis, garis ke bidang, dan juga mekanisme pengukuran sudut antar garis dan bidang. Berbagai contoh praktik dan pembahasan matematis disertakan untuk memperjelas materi.

1. MATERI :DIMENSI TIGA
KELAS/SEMESTER : X/GANJIL

2. A
H G
E F
D
C
B
Definisi:
Titik tidak dapat didefinisikan
tetapi dapat dinyatakan dengan
tanda noktah (.). Nama sebuah
titik biasanya menggunakan
huruf kapital
Contoh :
Lihat Kubus ABCD.EFGH di
samping
Titik-titik pada kubus
ABCD.EFGH tersebut adalah:
A, B, C, D, E, F, G, dan H

3. Definisi :
Garis adalah deretan titik-titik
(tak berhingga yang saling
bersebelahan dan memanjang
ke dua arah.
Contoh :
Lihat Kubus ABCD. EFGH di
samping
Garis-garis pada kubus
ABCD.EFGH antara lain
AB
CG
BG (diagonal sisi)
AG (diagonal ruang)
A
H G
E F
D
C
B

4. Definisi Bidang Datar :
Bidang merupakan titik –
titik yang mempunyai
ukuran luas.
Contoh bidang pada kubus
H G
E F
ABCD.EFGH
D
- Bidang ABCD
C
- Bidang DCGH
A
B
- Bidang BDG

5.  Kedudukan Titik dan Garis
 Kedudukan Titik dan Bidang
 Kedudukan 2 buah Garis
 Kedudukan Garis dan Bidang
 Kedudukan 2 buah Bidang

6. Titik Terletak pada Garis
Contoh pada Kubus
H G
ABCD.EFGH
B terletak pada AB
P terletak paba CG
Q terletak pada AB
Titik Di Luar Garis
C di luar garis AD
A
P di luar garis BF E F
D
C
B
P
Q

7. Titik Terletak pada
Bidang
Contoh pada Kubus
ABCD .EFGH
B pada bidang ABCD
P pada bidang DCGH
Q pada bidang ABCD
Titik Di Luar Bidang
C di luar bidang
ADHE
P di luar bidang BDG
A
H G
E F
D
C
B
P
Q

8. CONTOH KEDUDUKAN 2 GARIS PADA KUBUS ABCD.EFGH
Saling Berimpit
AB dan AB
AB dan BQ
Saling sejajar
AB dan DC
EH dan FG
Saling
Berpotongan
AB dan BC
EG dan AP
Saling
Bersilangan
BC dan DH
AP dan BG
A
H G
E F
D
C
B
P
Q

9. CONTOH KEDUDUKAN GARIS DAN BIDANG PADA KUBUS ABCD.EFGH
Garis Terletak pada
Bidang
BC pada ABCD
AG pada ACGE
Garis Sejajar Bidang
BC sejajar ADHE
EF sejajar DCGH
Garis
Memotong/Menembus
Bidang
AB memotong BCGF
CE memotong BDG
A
H G
E F
D
C
B

10. CONTOH KEDUDUKAN 2 BUAH BIDANG PADA KUBUS ABCD.EFGH
Saling Berimpit
ABCD dan ABD
ABD dan BCD
Saling Sejajar
BCGF dan ADHE
BDG dan AFH
Saling Berpotongan
ABFE dan BCGF
ACGE dan BDG
A
H G
E F
D
C
B

11. Kita akan membahas jarak
antara:
titik ke titik
titik ke garis
titik ke bidang
garis ke garis
garis ke bidang
bidang ke bidang

12. Jarak titik ke titik
Gambar disamping,
menunjukan
jarak titik A ke B,
adalah panjang ruas garis
yang menghubungkan
titik A ke B
A
B

13. Contoh
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
dengan
panjang rusuk a cm.
Tentukan jarak
titik A ke C,
titik A ke G,
a
cm
dan jarak titik A ke
P
D C
A B
tengah-tengah bidang EFGH
H
E F
G
a
cm
a
cm

14. Pembahasan
Perhatikan
segitiga ABC yang
siku-siku di B, maka
AC =
2 2 AB  BC
=
=
=
H
E F
G
a
cm
D C
a
cm
A B
a
cm
2 2 a  a
2 2a
a 2
Jadi diagonal sisi AC =
cm
a 2

15. Jarak titik ke Garis
A
g
Gambar
disamping,
menunjukan
jarak titik A ke
garis g adalah
panjang ruas
garis
yang ditarik dari
titik A dan
tegak
lurus garis g

16. Contoh
Diketahui T.ABCD
limas beraturan.
Panjang rusuk alas
12 cm, dan
panjang
rusuk tegak
12√2 cm. Jarak A
ke TC adalah….
T
D
12
cm
C
A B

17. Pembahasan
Jarak A ke TC = AP
AC = diagonal
persegi
= 12√2
AP =
=
=
=
Jadi jarak A ke TC
= 6√6 cm
T
D
12
cm
C
P
A B
2 2 AC  PC
2 2 ( 12 2 )  (6 2 )
2(144  36 )  2.108
2.3.36  6 6

18. Jarak titik ke bidang
Gambar
disamping,
menunjukan jarak
antara titik A ke
bidang V adalah
panjang ruas garis
yang
menghubungkan
tegak lurus titik A
ke bidang V
A


19. Contoh
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 10 cm
Jarak titik A ke
bidang BDHF
adalah….
H
E F
D C
A B
G
10
cm
P

20. Pembahasan
Jarak titik A ke
bidang BDHF
diwakili oleh
panjang
AP.(APBD)
AP = ½ AC
(ACBD)
= ½.10√2
= 5√2
H
E F
D C
A B
G
10
cm
P
Jadi jarak A ke BDHF = 5√2
cm

21. Jarak garis ke garis
Gambar
disamping,
menunjukan jarak
antara garis g ke
garis h adalah
panjang ruas
garis
yang
menghubungkan
tegak lurus kedua
garis tersebut
P
Q
g
h

22. Contoh
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 4 cm.
Tentukan jarak:
H
E F
D C
A B
G
4 cm
a.Garis AB ke garis HG
b.Garis AD ke garis HF
c.Garis BD ke garis EG

23. Penyelesaian
Jarak garis:
a.AB ke garis HG
= AH (AH  AB,
AH  HG)
= 4√2 (diagonal
sisi)
b.AD ke garis HF
= DH (DH  AD,
DH  HF
= 4 cm
H
E F
D C
A B
G
4 cm

24. Penyelesaian
Jarak garis:
b.BD ke garis EG
= PQ (PQ  BD,
PQ  EG
= AE
= 4 cm
H
Q
E F
D C
P
A B
G
4 cm

25. Jarak garis ke bidang
Gambar
disamping,
menunjukan
Jarak antara
garis g ke
bidang V adalah
panjang ruas garis
yang
menghubungkan
tegak lurus garis
dan bidang
g

26. Contoh
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 8 cm
Jarak garis AE ke
bidang BDHF
adalah….
H
E F
P
D C
A B
G
8 cm

27. Pembahasan
Jarak garis AE ke
bidang BDHF
diwakili oleh
panjang AP.(AP AE
AP  BDHF)
AP = ½
AC(ACBDHF)
= ½.8√2
= 4√2
H
E F
P
D C
A B
G
8 cm
Jadi jarak A ke BDHF = 4√2
cm

28. V
Jarak Bidang dan Bidang
peragaan,
menunjukan jarak
antara bidang W
dengan bidang V
adalah panjang
ruas garis yang
tegak lurus
bidang W dan
tegak lurus bidang
V
W

29. Contoh
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 6 cm.
Jarak bidang AFH
ke bidang BDG
adalah….
H
E F
D C
A B
G
6 cm
6 cm

30. Pembahasan
Jarak bidang AFH
ke bidang BDG
diwakili oleh PQ
PQ = ⅓ CE
(CE diagonal ruang)
PQ = ⅓. 9√3
= 3√3
H
E F
D C
A B
G
6 cm
6 cm
P
Q
Jadi jarak AFH ke BDG = 4√2
cm

31. Sudut Pada Bangun Ruang:
Sudut antara dua garis
Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara bidang dan bidang

32. Sudut antara Dua Garis
Yang dimaksud dengan
besar sudut antara
dua garis adalah
besar sudut terkecil
yang dibentuk
oleh kedua
garis tersebut
k
m

33. Contoh
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
Besar sudut antara
garis-garis:
a. AB dengan BG
b. AH dengan AF
c. BE dengan DF
H
E F
D C
A B
G

34. Pembahasan
Besar sudut antara
garis-garis:
a. AB dengan BG
= 900
b. AH dengan AF
= 600 (Δ AFH smss)
c. BE dengan DF
= 900 (BE  DF)
H
E F
D C
A B
G

35. P
Sudut antara
Garis dan Bidang
Q
Sudut antara
garis a dan bidang 
dilambangkan (a,)
adalah sudut antara
garis a dan
proyeksinya pada .
P’
Sudut antara garis PQ dengan V
= sudut antara PQ dengan P’Q
=  PQP’

36. Contoh
Pada limas
segiempat beraturan
T.ABCD yang semua
a cm
D C
rusuknya sama panjang,
T
a cm
A B
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah….

37. Pembahasan
• TA = TB = a cm
• AC = a√2 (diagonal
persegi)
• ΔTAC = Δ siku-siku
samakaki
T
a cm
D C
a cm
A B
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah sudut antara TA dan AC
yang besarnya 450

38. Sudut antara
Bidang dan Bidang
Sudut antara
bidang  dan bidang 
adalah sudut antara
garis g dan h, dimana
g  (,) dan h  (,).
(,) garis potong bidang  dan 


(,)
g
h

39. Contoh
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
a. Gambarlah sudut
antara bidang BDG
dengan ABCD
H
E F
D C
b. Tentukan nilai sinus
sudut antara BDG
dan ABCD!
A B
G

40. Pembahasan
a. (BDG,ABCD)
• garis potong BDG
dan ABCD  BD
• garis pada ABCD
yang  BD  AC
• garis pada BDG
yang  BD  GP
H
E F
D C
A B
G
Jadi (BDG,ABCD) = (GP,PC)
=GPC
P

41. Pembahasan
b. sin(BDG,ABCD)
= sin GPC
=
=
H
E F
G
D C
GC
GP
a
6
1
1 .6
a 6
2
A P
B = ⅓√6
x
Jadi, sin(BDG,ABCD) = ⅓√6
6
6
2
