Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari sebuah titik tertentu yang disebut pusat lingkaran. Dokumen ini menjelaskan tentang persamaan lingkaran, kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran, serta persamaan garis singgung lingkaran.

1. LINGKARAN
by Amalia Prahesti
A. Persamaan Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari sebuah titik tertentu. Titik tertentu
itu disebut pusat lingkaran, sedangkan jaraknya dengan lingkaran disebut jari-jari atau radius.
1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat di O
a. Persamaan lingkaran dengan Pusat di O dan berjari-jari r
Contoh: Uji Kompetensi 1 Halaman 9 No. 1b
Tentukan persamaan lingkaran dengan Pusat di O dan berjari-jari √ .
Penyelesaian:
( √ )
Jadi persamaannya
b. Persamaan lingkaran dengan Pusat di O dan melalui titik ( a , b )
berarti
𝑥 𝑦 𝑟
𝑥 𝑦 𝑟 dengan 𝑟 𝑎 𝑏
𝑥 𝑦 𝑎 𝑏

2. Contoh: Uji Kompetensi 1 Halaman 10 No. 2b
Tentukan persamaan lingkaran dengan Pusat di O dan melalui titik .
Penyelesaian:
Jadi persamaannya
c. Persamaan lingkaran dengan Pusat di O dan menyinggung garis
𝑥 𝑦
𝑐
√𝑎 𝑏

3. Contoh: Uji Kompetensi 1 Halaman 10 No. 3b
Tentukan persamaan lingkaran dengan Pusat di O dan menyinggung .
Penyelesaian:
√
√
√
Jadi persamaannya
2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat di ( a , b )
a. Persamaan lingkaran dengan pusat di ( a , b ) dan berjari-jari r
Contoh: Uji Kompetensi 1 Halaman 10 No. 4b
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat di dan berjari-jari √
Penyelesaian:
√
( √ )
( √ )
𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 𝑟

4. (ingat: dikelompokan)
Jadi persamaannya
b. Persamaan lingkaran dengan pusat di ( a , b ) dan melalui titik ( c , d )
berarti
Contoh: Uji Kompetensi 1 Halaman 10 No. 5a
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat di dan melalui titik
Penyelesaian:
(ingat: dikelompokan)
Jadi persamaannya
𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 𝑟 dengan 𝑟 𝑐 𝑎 𝑑 𝑏
𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 𝑐 𝑎 𝑑 𝑏

5. c. Persamaan lingkaran dengan pusat di ( a , b ) dan menyinggung garis
Contoh: Uji Kompetensi 1 Halaman 11 No. 7a
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat di dan menyinggung sumbu
Penyelesaian:
Sumbu berarti
Ingat berarti jadi nilai dan
|
√
|
√
| |
(ingat: dikelompokan)
Jadi persamaannya
CARA MUDAH mencari
persamaan lingkaran dengan pusat di (a , b) jika menyinggung Sumbu atau Sumbu .
Tidak perlu pakai rumus mutlak (di atas),
cukup pakai r atau jari-jari lalu dimasukan ke persamaan
𝑥 𝑎 𝑦 𝑏
𝐴𝑎 𝐵𝑏 𝐶
√𝐴 𝐵
(Mutlak berarti hasilnya selalu positif, kalo pindah
ruas baru berubah tanda)

6. 3. Persamaan Lingkaran yang Diameternya Merupakan Garis Hubung Titik A ( xA , yA ) dan B ( xB , yB )
Langkah 1: Menentukan Pusat Lingkaran
a ( )
Langkah 2: Menentukan Jari-jari
a i ja i a a √
Langkah 3: Menentukan persamaan lingkaran
Contoh: Uji Kompetensi 1 Halaman 11 No. 6b
Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya merupakan garis yang mengubungkan titik
dan .
Penyelesaian:
Langkah 1: Menentukan Pusat Lingkaran
a ( ) ( ) ( )
Langkah 2: Menentukan Jari-jari
√ √ √ √ √ √
Langkah 3: Menentukan persamaan lingkaran
√
𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 𝑟

7. (√ )
(ingat: dikelompokan)
Jadi persamaannya
4. Persamaan Umum Lingkaran
engan p a ( )
engan √( ) ( )
Contoh: Uji Kompetensi 1 Halaman 12 No. 9d
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran .
Penyelesaian:
p a ( ) ( )
√( ) ( ) √ √ √
Jadi pusat dan √
𝑥 𝑦 𝐴𝑥 𝐵𝑦 𝐶

8. B. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran
Pusat lingkaran
Misalkan dan disubstitusikan ke persamaan didapat
1. , titik terletak pada lingkaran
2. , titik terletak di dalam lingkaran
3. , titik terletak di luar lingkaran
Pusat lingkaran
Misalkan persamaan lingkaran diperoleh
1. , titik terletak pada lingkaran
2. , titik terletak di dalam lingkaran
3. , titik terletak di luar lingkaran
Latihan Uji Kompetensi 2 Halaman 15
1. Tanpa menggambarkan diagram, tentukan posisi titik-titik berikut terletak di dalam, di luar atau pada
lingkaran . (soal a, b, c)
Berarti pusat dengan .
a. b. c.
di dalam pada di luar
2. Tentukan batas-batas nilai n pada setiap pernyataan berikut. (soal a)
a. Titik terletak di luar lingkaran .
Berarti
Jadi nilai atau .

9. 3. Tentukan batas-batas nilai p agar titik teretak di luar lingkaran dengan pusat dan berjari-
jari 17
Berarti menggunakan dengan
Jadi nilai atau .
4. Tanpa menggambar diagram, tentukan posisi titik-titik berikut apakah terletak di dalam, di luar, atau
pada lingkaran . (soal a, b, c)
Berarti
√( ) ( ) √( ) ( ) √ √
Sehingga
Pusat ( ) ( )
a. b. c.
( ) ( )
pada di dalam di luar
5. Tanpa menggambar diagram, tentukan posisi titik-titik berikut apakah terletak di dalam, di luar, atau
pada lingkaran yang berpusat di dan melalui titik ! (soal a, b, c)
Berarti
( )
a. b. c.
( ) ( )
di luar pada di dalam

10. 6. Berapakah jarak antara titik dan lingkaran berikut? (soal a, b)
NOTE: rumus jarak titik ke pusat lingkaran rumus jari-jari
a. dan
Berarti
Jarak titik ke pusat lingkaran
√
√
√ (di luar lingkaran)
Jarak antara titik dengan lingkaran
b. dan
Berarti
Jari-jari lingkaran
√( ) ( )
√( ) ( )
√ √
Pusat ( )
( )
Jarak titik ke pusat lingkaran
√
√( )
√ √ (di luar
lingkaran)
Jarak antara titik dengan lingkaran
7. Tentukan batas-batas nilai k agar titik terletak di luar lingkaran !
Berarti
√( ) ( ) √( ) ( ) √ √
Sehingga
Pusat ( ) ( )
Terletak di luar lingkaran berarti
atau

11. Jadi nilai a a .
8. Carilah a jika titik terletak pada lingkaran !
Jadi nilai
9. Ditentukan suatu persamaan ingkaran . Tentukan batas p supaya: (soal a)
a. Titik terletak di dalam lingkaran
Berarti
( ) ( )
a a
Jadi nilai a a .
10. Ada 3 soal (soal a)
a. Selidiki apakah titik terletak pada lingkaran !
terbukti
(karna hasil sama dengan 0 seperti persamaan awal)

12. C. Kedudukan Garis terhadap Lingkaran
Menentukan kedudukan garis yaitu (m merupakan gradien), terhadap lingkaran yaitu
menggunakan nilai (diskriminan), rumus .
Langkah menentukan kedudukan garis:
1. Ubah persamaan garis menjadi bentuk
2. Substitusi ke persamaan lingkaran, menghasilkan
3. Mencari nilai dan tentukan kedudukannya
Arti nilai D:
1. , garis di luar lingkaran
2. , garis menyinggung lingkaran
3. , garis memotong lingkaran di dua titik
Latihan Uji Kompetensi 3 Halaman 21
1. Tentukan kedudukan garis terhadap lingkaran berikut! (soal a, b)
a. dan
Langkah:
1) Ubah persamaan garis menjadi bentuk
2) Substitusi ke persamaan lingkaran, menghasilkan
( )

13. Berarti
3) Mencari nilai dan tentukan kedudukannya
(ingat )
(tidak usah dicari nilainya sudah ketahuan hasilnya )
e a i memo ong lingka an di d a i ik
Gambar nomor 1a (untuk ngecek gunakan geogebra)
b. dan
Langkah:
1) Ubah persamaan garis menjadi bentuk
2) Substitusi ke persamaan lingkaran, menghasilkan
(( ) )
( )
( )
Berarti
3) Mencari nilai dan tentukan kedudukannya
( )
(tidak usah dicari nilainya sudah ketahuan hasilnya )
e a i di l a lingka an

14. Gambar nomor 1b (untuk ngecek gunakan geogebra)
2. Tentukan titik potong lingkaran dengan: (soal a)
a. Sumbu X
Langkah:
1) Ubah persamaan garis menjadi bentuk
Sumbu X berarti
2) Substitusi ke persamaan lingkaran, menghasilkan
a a
i ik po ongn a dan
Gambar nomor 2 (untuk ngecek gunakan geogebra)
3. Tunjukkan bahwa garis menyinggung lingkaran dan dengan lingkaran
! Tentukan koordinat titik singgungnya!
Pertama
Ubah persamaan garis menjadi bentuk

15. Kedua
1. Substitusi ke persamaan lingkaran, menghasilkan
Berarti
2. Mencari nilai dan tentukan kedudukannya
(tidak usah dicari nilainya sudah ketahuan hasilnya )
e a i di l a lingka an
Ketiga
1. Substitusi ke persamaan lingkaran, menghasilkan
Berarti
2. Mencari nilai dan tentukan kedudukannya
e a i men ingg ng lingka an
dengan titik singgung
nilai e a i
i ik ingg ngn a
Keempat : Kesimpulan
Jika dilihat dari hasil kedua dan ketiga di atas, garis hanya menyinggung satu lingkaran yaitu
dengan titik singgung .

16. Gambar nomor 3 (untuk ngecek gunakan geogebra)
4. Misalkan garis menyinggung lingkaran di titik P dan
menyinggung lingkaran di titik Q, tentukan panjang garis PQ!
Pertama
Ubah persamaan garis menjadi bentuk
Kedua
1. Substitusi ke persamaan lingkaran, menghasilkan
2. Mencari titik singgung
nilai e a i
i ik ingg ngn a
Ketiga
1. Substitusi ke persamaan lingkaran, menghasilkan

17. 2. Mencari titik singgung
nilai e a i
i ik ingg ngn a
Keempat Mencari jarak/panjang garis PQ
(rumus jarak rumus jari-jari)
Anggap dan
ja ak √
ja ak √
ja ak √
ja ak √
ja ak √
panjang ga i √
Gambar nomor 4 (untuk ngecek gunakan geogebra)

18. D. Persamaan Garis Singgung (PGS)
1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui titik pada Lingkaran
e amaan a i ingg ng
ingka an
ada en k
di i ik adalah
di i ik adalah
di i ik adalah
Langkah:
Substitusikan ke persamaan berikut
a a
a a
tergantung persamaan lingkarannya (pilih salah satu saja).
Latihan Uji Kompetensi 4 Halaman 24
1) Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik !
Langkah:
Substisusi ke
n a

19. 2) Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik yang berordinat !
Langkah:
Diketahui ordinat atau bisa ditulis
a) Substisusi ke
b) Substisusi dan ke
Titik
Titik
n a dan
3) Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik !
(sebagai latihan di google classroom)
4) Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik !
(sebagai latihan di google classroom)

20. 5) Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik yang berabsis !
(sebagai latihan di google classroom)
Clue: absis berarti
6) Ada 2 soal
a) Diketahui lingkaran . Tentukan persamaan garis singgung pada
lingkaran di titik !
Langkah:
Substisusi ke
( )
n a
b) Apakah garis ini juga menyinggung lingkaran yang berpusat di dan melalui titik ?
Langkah:
Pertama
Cari persamaan lingkaran dengan
Berarti

21. Kedua
Substisusi ke
( )
e ki n a ama e a i men ingg ng ga i
7) Diketahui lingkaran memotong sumbu di titik dan . Tentukan
persamaan garis singgung lingkaran di dan !
Langkah:
Diketahui memotong sumbu atau bisa ditulis
a) Substisusi ke

22. a a
b) Substisusi dan ke
Titik
Titik
n a dan
8) Ada 2 soal
a) Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik !
Langkah:
Substisusi ke

23. n a
b) Buktikan bahwa garis ini juga menyinggung lingkaran ! Tentukan
pula titik singgungnya pada lingkaran kedua dan hitung panjang garis sekutu antara kedua titik
singgung tersebut!
Langkah:
Pertama
Substisusi ke
e a i
ipe oleh i ik

24. Kedua
Substisusi ke
( ) ( )
e k i n a ama e a i men ingg ng ga i
Ketiga
Panjang titik dan
Berarti cari jari-jari
(rumus jarak rumus jari-jari)
Anggap dan
ja ak √
ja ak √
ja ak √
ja ak √
ja ak √
panjang ga i e e √

25. 2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Jika Gradien Garis Singgung Diketahui
a. Lingkaran Berpusat di
Persamaan garis singgung dengan gradien pada lingkaran adalah
√
b. Lingkaran Berpusat di
Persamaan garis singgung dengan gradien pada lingkaran adalah
√
Latihan Uji Kompetensi 5 Halaman 27
1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang bergradien √ !
Diketahui: √
Ditanyakan: √
Jawab:
√ √ ( √ )
√ √ ( √ √ )
√ √
√ √
√
√
n a √ dan √
Nilai PGS mungkin berbeda dengan hitung manual, bergantung koefisien di depan y

26. 2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang bergradien !
Diketahui:
dan
Lingkaran , berarti cari pusat lingkaran dan jari-jari
a ( ) ( )
√( ) ( ) √ √ √
Persamaan lingkaran bisa ditulis dengan ( ) (√ )
Ditanyakan: √
Jawab:
√ √
√ √
√ √
√
dan
n a dan
Nilai PGS mungkin berbeda dengan hitung manual, bergantung koefisien di depan y

27. 3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang bergradien !
Diketahui:
dan
Lingkaran , berarti jari-jari √
Ditanyakan: √
Jawab:
√ √
√ √
√ √
√
√
dan
n a dan
Nilai PGS mungkin berbeda dengan hitung manual, bergantung koefisien di depan y

28. 4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di dan melalui titik yang:
Diketahui:
a dan i ik e a i pe amaan lingka ann a
Ditanyakan: √
Jawab:
a. Sejajar garis
Ingat berarti
ejaja e a i
√
√ √
√ √
√ √
dan
n a dan
Nilai PGS mungkin berbeda dengan hitung manual, bergantung koefisien di depan y

29. b. Tegak lurus garis
Ingat berarti
egak e a i
√
√ √ ( )
√ √
√ √
√ √
√
√
√
√
√ dan √
n a √ dan √

30. Nilai PGS mungkin berbeda dengan hitung manual, bergantung pembulatan √
5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang:
Diketahui:
Lingkaran , berarti cari pusat lingkaran dan jari-jari
a ( ) ( )
√( ) ( ) √ √ √
Persamaan lingkaran bisa ditulis dengan ( ) ( )
Ditanyakan: √
Jawab:
a. Sejajar garis
Ingat berarti
ejaja e a i
√
√ ( )

31. √
√
dan
n a dan
Nilai PGS mungkin berbeda dengan hitung manual, bergantung koefisien di depan y
b. Tegak lurus garis
Ingat berarti
egak e a i
√

32. √ ( )
√
√
√
√
√
√
√
√ dan √
n a √ dan √
Nilai PGS mungkin berbeda dengan hitung manual, bergantung pembulatan √

33. E. Hubungan Dua Lingkaran
1. Kedudukan Dua Lingkaran
L1 L2 Sepusat (Konsentris) L2 di dalam L1 L1 L2 bersinggungan di dalam
L1 L2 berpotongan L1 L2 bersinggungan di luar L1 L2 terpisah
Keterangan:
p a lingka an dan p a lingka an 𝐿
ja ak an a a p a lingka an dan
ja i ja i lingka an dan ja i ja i lingka an
dig nakan ke ika
dig nakan ke ika
Latihan Uji Kompetensi 6 Halaman 29
1) Tentukan persamaan lingkaran yang konsentris dengan lingkaran dan
berjari-jari !
Langkah:
a) Cari pusat lingkaran
a ( ) ( )
Atau dengan cara lain
dikelompokan dan
di a en k k ad a
angka pindah a ke kanan
e a i p a dan

34. b) Cari persamaan yang konsentris (sepusat) dengan jari-jari
Sepusat berarti pusat sama yaitu
e amaan lingka an ang dimak d
Cek dengan geogebra
2) Tentukan kedudukan lingkaran dan !
Soal dimodifikasi sedikit, ada ganti angka 4 menjadi 16.
Langkah:
a) Cari pusat dan jari-jari lingkaran K
inga pe amaan
a
a i ja i √
b) Cari pusat dan jari-jari lingkaran L
a ( ) ( )
a i ja i √( ) ( )
a i ja i √ √ √

35. c) Cari jarak
Anggap
a ak √ √ √ √
d) Cari nilai
NOTE: karna berarti carinya
e) Hasil
√
a ak e a i ingka an dan e po ongan
Cek dengan geogebra
3) Tentukan kedudukan lingkaran terhadap lingkaran
!
Langkah:
a) Cari pusat dan jari-jari lingkaran K
a ( ) ( )
a i ja i √( ) ( )
a i ja i √ √ √
b) Cari pusat dan jari-jari lingkaran L

36. a ( ) ( )
a i ja i √( ) ( )
a i ja i √ √ √
c) Cari jarak
Anggap
a ak √ √( ) √ √
d) Cari nilai
NOTE: karna berarti carinya
e) Hasil
a ak e a i ingka an dan e ingg ngan di dalam
Cek dengan geogebra
4) Jika lingkaran memotong lingkaran di titik A dan B, tentukan
jarak A dan B!
Langkah:
a) Cari pusat dan jari-jari lingkaran 1
inga pe amaan
a
a i ja i √
b) Cari pusat dan jari-jari lingkaran 2
inga pe amaan
a
a i ja i √

37. c) Cari jarak
Anggap
a ak √
a ak √ √ √ √
a ak √
a a n a panjang ja i ja i lingka an dan ama ai
dan pe pindahan an a a p a ke ama ai a aln a da i
a ak √
Cek dengan geogebra
5) Tentukan kedudukan lingkaran dan
!
Langkah:
a) Cari pusat dan jari-jari lingkaran K
a ( ) ( )
a i ja i √( ) ( )
a i ja i √ √ √
b) Cari pusat dan jari-jari lingkaran L
a ( ) ( )

38. a i ja i √( ) ( )
a i ja i √ √ √
c) Cari jarak
Anggap
a ak √
a ak √( ) √ √
d) Cari nilai
NOTE: karna berarti carinya
e) Hasil
a ak e a i ingka an ada di dalam
Cek dengan geogebra

39. 2. Kuasa dan Berkas Lingkaran
Kuasa Lingkaran
(Posisi sebuah titik pada lingkaran)
Buka kembali poin B dan uji kompetensi 2
Posisi titik terhadap lingkaran
Titik memiliki kuasa
atau sama dengan
Jika
a. titik ada di dalam lingkaran
b. titik ada pada lingkaran
c. titik ada di luar lingkaran
Posisi titik terhadap lingkaran
Titik memiliki kuasa
Jika
a. titik ada di dalam lingkaran
b. titik ada pada lingkaran
c. titik ada di luar lingkaran
Garis Kuasa
materi tidak untuk Penilaian Akhir Tahun
(Himpunan kedudukan titik-titik yang punya kuasa
sama terhadap dua buah lingkaran)
Berkas Lingkaran
materi tidak untuk Penilaian Akhir Tahun
(Sejumlah lingkaran yang dibuat dari garis kuasa
atau perpotongan lingkaran 1 dan 2)
Diketahui
Persamaan Garis kuasa
atau
Persamaan Berkas lingkaran
Langkah mencari persamaan berkas lingkaran
a. Masukkan dan ke
disebut persamaan 1
b. Substitusikan titik ke persamaan 1
ketemu nilai lam da
c. Substitusikan ke persamaan 1
Latihan Uji Kompetensi 7 Halaman 32
1. Tentukan posisi titik terhadap lingkaran !
li pe amaann a anpa
digan i angka i ikn a
di en kan andan a
a ena maka i ik e le ak di dalam lingka an
Cek dengan geogebra

40. 2. Tentukan posisi titik terhadap lingkaran !
li pe amaann a anpa
digan i angka i ikn a
di en kan andan a
a ena maka i ik e le ak pada lingka an
Cek dengan geogebra
3. Tentukan posisi titik terhadap lingkaran !
li pe amaann a anpa
digan i angka i ikn a
di en kan andan a
a ena maka i ik e le ak di l a lingka an
Cek dengan geogebra

41. 4. Tentukan posisi titik terhadap lingkaran !
li pe amaann a anpa
digan i angka i ikn a
di en kan andan a
a ena maka i ik e le ak pada lingka an
Cek dengan geogebra
5. Diketahui sebuah lingkaran dan sebuah titik . Tentukan batas
nilai agar titik berada di dalam lingkaran!
li pe amaann a dengan ka ena e le ak di dalam
digan i angka i ikn a
a a
ilai m ang memen hi
Cek dengan geogebra
Misal ambil angka dan

42. 6. Diketahui dua buah lingkaran dan
.
a. Tentukan titik pada sumbu yang memenuhi kuasa sama terhadap kedua lingkaran!
b. Tentukan kuasa dari titik tersebut!
dan
m ga i k a a
m ga i k a a
( ) ( ) np kan nilain a
m e a i
i ik ang dimak d
Titik di substitusikan ke
digan i angka i ikn a
a a i ik e hadap ma ing ma ing lingka an adalah
Cek dengan geogebra

43. 7. Diketahui persamaan lingkaran dan .
Tentukan persamaan garis kuasa dari lingkaran!
dan
m ga i k a a
m ga i k a a
( ) np kan nilain a
e amaan ga i k a an a
Cek dengan geogebra
8. Diketahui dua buah lingkaran dan
.
a. Tentukan titik pada sumbu yang memenuhi kuasa sama terhadap kedua lingkaran!
b. Tentukan kuasa dari titik tersebut!
dan
m ga i k a a
m ga i k a a
( ) ( ) np kan nilain a
m e a i
i ik ang dimak d

44. Titik di substitusikan ke
digan i angka i ikn a
a a i ik e hadap ma ing ma ing lingka an adalah
Cek dengan geogebra
9. Tentukan persamaan berkas lingkaran yang melalui titik potong lingkaran
dan serta melalui titik !
pe amaan
h f digan i
pindah a ke kanan
Substitusikan ke persamaan 1
e amaan e ka n a

45. Cek dengan geogebra
10. Tentukan persamaan berkas lingkaran yang melalui titik potong lingkaran
dan serta melalui titik !
pe amaan
pindah a ke kanan
Substitusikan ke persamaan 1
e amaan e ka n a
Cek dengan geogebra
h f 𝑥 𝑦
digan i

46. 3. Keliling Irisan Dua Lingkaran
materi tidak untuk Penilaian Akhir Tahun
4. Luas Irisan Dua Lingkaran
materi tidak untuk Penilaian Akhir Tahun