Dokumen tersebut membahas konsep-konsep fisika tentang pusat massa, momentum linier, dan tumbukan untuk sistem partikel dan benda kontinu dalam 1 dan 2 dimensi. Di antaranya adalah definisi pusat massa, hukum Newton kedua untuk sistem partikel, definisi dan sifat-sifat momentum linier dan energi kinetik, serta hukum kekekalan momentum dan energi dalam tumbukan elastik dan inelastik.

1. PUSAT MASSA & MOMENTUM LINIER
• Pusat Massa
• Hukum Newton II Sistem Partikel
• Momentum Linier
• Momentum Linier Sistem Partikel
• Tumbukan & Impuls
• Hukum Kekekalan Momentum Linier

2.  Gerak bola yang dilemparkan di udara membentuk
lintasan parabola.
 Gerak tongkat/kunci inggris yang dilemparkan di
udara membentuk lintasan rumit.
 Setiap bagian dari tongkat/kunci bergerak berbeda.
Pusat Massa

3.  Benda seperti tongkat/kunci inggris tidak dapat
dianggap sebagai partikel (benda titik), tetapi
sebagai sistem mekanik.
 Sistem mekanik dapat berupa sekumpulan atom
dalam suatu wadah atau benda kontinu.
 Tongkat memiliki satu titik khusus yang
membentuk lintasan parabola  pusat massa
 Pusat massa sistem partikel adalah titik yang
bergerak seolah-olah semua massa sistem
terpusat di titik tersebut dan semua gaya
eksternal bekerja padanya.
 Pusat massa sistem partikel digunakan untuk
menganalisis gerak sistem.

4.  Posisi pusat massa sistem sebagai posisi rata-rata
massa sistem.
 Contoh: pusat massa sistem (center of mass/com) dari
sepasang partikel.
dengan M = massa total sistem
Jika titik pusat koordinat sumbu-x bersesuaian
dengan posisi m1, maka:
Pusat massa terletak di suatu tempat pada garis yang
menghubungkan kedua partikel dan lebih dekat ke
partikel yang bermassa lebih besar.

5. Konsep pusat massa dapat diperluas untuk sistem
yang tersusun oleh banyak partikel dalam 3-dimensi.
dengan M = massa total sistem
Atau dalam bentuk vektor:
Pusat massa dituliskan:

6. Contoh soal 1:
Molekul air tersusun dari atom oksigen dan dua atom
Hidrogen. Atom oksigen memiliki massa 16 u
(u = satuan massa atom) dan atom hidrogen 1 u. Jarak
rata-rata atom hidrogen terhadap atom oksigen adalah
96,0 pm dan satu sama lain terpisah membentuk sudut
104,5o. Carilah pusat massa molekul air!

7.  Pusat massa benda padat (distribusi massa
kontinu)
Benda, seperti pemukul baseball:
- tersusun dari banyak partikel (atom)
- distribusi massa kontinyu dengan rapat massa
uniform
- “partikel” menjadi elemen massa dm.
- penjumlahan menjadi integral
- koordinat pusat massa dituliskan sebagai:

8. Contoh soal 2:
Tentukan pusat massa batang bermassa M, seperti
tampak pada gambar!

9. Pusat massa benda tak beraturan
- Gantungkan benda pada salah satu titik (gambar a),
diperoleh garis vertikal AB,
- Gantungkan pada titik yang lain, diperoleh garis
CD),
- Pusat massa terletak pada setengah ketebalan benda
di bawah titik potong garis AB dan CD.

10. Pusat massa benda berlubang
Lubang diasumsikan memiliki massa negatif.

11.  Hukum Newton II sistem partikel
Bagaimanakah suatu gaya eksternal dapat menggerak-
kan pusat massa sistem partikel (contoh gerak
beberapa bola billiar)?
Setiap bola bergerak berbeda arah, maka yang
ditinjau adalah gerak pusat massa susunan bola.
Percepatan pusat massa searah dengan gaya eksternal
total.
Persamaan di atas merupakan hukum Newton II untuk
gerak pusat massa sistem partikel yang berlaku juga
untuk benda kontinu.

12. Contoh soal 3:
Tiga partikel berada pada keadaan awal diam. Setiap
partikel mendapatkan gaya eksternal dari benda di
luar sistem tiga partikel tersebut, seperti tampak
pada gambar. F1 = 5,0 N, F2 = 10 N, dan F3 = 15 N.
Berapakah percepatan pusat massa sistem dan
kemanakah arah geraknya?

13.  Momentum Linier
Momentum linier didefinisikan sebagai perkalian
massa dan kecepatan.
(kg.m/s2)
Benda yang bergerak dengan arah sembarang
akan memiliki 3 komponen momentum.
Hk. Newton II dapat dinyatakan dengan relasi
momentum linier dan gaya resultan:
“Laju perubahan momentum partikel terhadap waktu
sama dengan gaya total yang bekerja pada partikel”

14. Jika gaya total yang bekerja pada benda adalah nol,
maka turunan momentum terhadap waktu sama
dengan nol momentum konstan.
p = mv = konstan
Momentum linier total sistem partikel sama dengan
Penjumlahan momentum linier masing-masing partikel
Dengan kata lain momentum linier total sistem partikel
adalah partikel tunggal bermassa M yang bergerak
dengan kecepatan vcom

15. Hk Newton II gerak sistem partikel dinyatakan dalam
momentum:
Jika tidak ada gaya eksternal yang bekerja pada sistem
(resultan gaya = 0), maka momentum linier total sistem
partikel konstan.
Contoh:
Peluruhan inti dapat dipandang berdasarkan konsep
kekekalan momentum
Atom yang tidak stabil dan dalam keadaan diam tiba-
tiba terbelah menjadi MA dan MB dengan kecepatan
vA dan vB. Momentum awal sistem nol, maka
momentum total setelah atom terbelah juga nol.

16. Contoh soal 4:
Inti thorium-227 (massa 227 u) dalam keadaan diam
meluruh menjadi radium-223 (massa 223 u) dengan
mengemisikan partikel  (massa 4,00 u). Energi
kinetik partikel  adalah 6,00 MeV. Berapa energi
kinetik radium?

17. • Tumbukan dan Impuls
Momentum setiap benda (partikel) tidak dapat
berubah kecuali jika diberikan resultan gaya eksternal
yang merubahnya.
Contoh: tumbukan bola mengenai pemukul,
peluru yang mengenai sasaran.
Bola mendapatkan gaya F(t) yang berubah setiap saat
selama tumbukan dan merubah momentum linier
bola .

18. Berdasarkan hk. Newton II:
Perubahan momentum bola dalam interval waktu dt:
Suku sebelah kiri persamaan adalah perubahan
momentum dan suku sebelah kanan disebut impuls
yang mengukur besar dan lama gaya tumbukan.
Dengan demikian, perubahan momentum benda sama
dengan impuls pada benda.

19. Jika fungsi gaya diketahui, kita dapat memplotkan gaya
terhadap waktu dan menentukan implus dengan cara
menghitung luas di bawah antara kurva dan sumbu t.
Pada keadaan fungsi gaya terhadap waktu tidak
diketahui, impuls dapat ditentukan dengan merata-
ratakan gaya selama tumbukan

20. Contoh soal 5:
Bola (1,2 kg) jatuh vertikal membentur lantai dengan
kecepatan 25 m/s. Bola memantul kembali dengan
kecepatan 10 m/s.
a. Berapa impuls yang bekerja pada bola selama
terjadi kontak 0,02 s dengan lantai?
b. Berapa gaya rata-rata yang bekerja pada lantai oleh
bola?

21. Untuk tumbukan yang berurutan seperti peluru yang
keluar dari senapan berurutan mengenai target, gaya
merupakan gaya rata-rata yang mengenai target
selama tumbukan beruntun.
Masing-masing peluru identik dengan massa m dan
momentum bergerak sepanjang sumbu-x dan
menumbuk target.
Jika terdapat n peluru yang menumbuk selama interval
waktu t, maka perubahan momentum bola adalah
n p dan menghasilkan impuls pada target selama t.

22. Besar impuls sama dengan perubahan momentum,
namun berlawanan arah.
Gaya rata-rata yang bekerja pada target:
Pada keadaan:
 peluru berhenti diam dalam target,
 peluru terpantul dengan kecepatan sama dengan
kecepatan awal,
Dalam interval waktu t, sejumlah massa m = nm
menumbuk target:

23. Kekekalan Momentum Linier
 Jika resultan gaya eksternal yang bekerja pada
sistem partikel sama dengan nol (sistem terisolasi)
dan tidak ada partikel yang keluar atau masuk ke
sistem (sistem tertutup), maka:
Hk. Kekekalan momentum linier
atau
“momentum linier total pada keadaan awal (saat t =
0) sama dengan momentum linier total pada
keadaan akhir (setelah t tertentu)”

24. Contoh soal 6:
Sebuah kapal yang berada dalam keadaan diam terletak
di pusat koordinat-xy , tiba-tiba meledak menjadi tiga
bagian. Setelah ledakan, satu bagian memiliki massa m
bergerak dengan kecepatan (-30 m/s)i, bagian kedua
memiliki massa m bergerak dengan kecepatan (-30 m/s)j.
Berapa kecepatan gerak bagian ketiga yang memiliki
massa 3m? Kemana arahnya?

25.  Keadaan dua benda yang bertumbukan (dapat juga
tumbukan antara atom/ion) dalam waktu yang
singkat dan tidak ada gaya ekternal yang bekerja pada
sistem, maka momentum liniernya konstan.
 Bagaimanakah dengan energi kinetik sistem?
Momentum dan Energi Kinetik dalam Tumbukan

26. Ada dua keadaan dapat terjadi:
 energi kinetik awal = energi kinetik akhir
menghasilkan tumbukan elastik
Contoh : tumbukan bola billiard
tumbukan molekul air dengan dinding
wadah
 Energi kinetik awal  energi kinetik akhir
menghasilkan tumbukan inelastik,
Jika setelah tumbukan kedua benda menempel
dikatakan tumbukan inelastik sempurna

27. Tumbukan inelastik
 Momentum total
sebelum tumbukan = setelah tumbukan

28. Tumbukan inelastik sempurna
 benda setelah tumbukan saling menempel

29. Contoh soal 7:
Peluru bermassa 8 g ditembakkan ke balok pendulum
balistik yang bermassa 4,5 kg dan diam di dalam balok.
Balok+peluru berayun ke atas, sehingga pusat massa
pendulum bergeser ke atas sejauh 7,5 cm.
Berapakah kecepatan awal peluru ?

30. Tumbukan elastik
Tumbukan yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari
merupakan tumbukan inelastik.
Beberapa diantaranya (seperti bola yang dipantulkan
di atas lantai) dapat diaproksimasi menjadi tumbukan
elastik, yaitu energi kinetik total benda yang
bertumbukan kekal.
Bila keadaan awal salah satu benda diam, maka:
Momentum linier:
Energi kinetik:

31. Kecepatan akhir kedua benda adalah:
 Jika massa m1 = m2
 m2 >> m1
 m1 >> m2

32. Untuk dua benda dengan keadaan awal bergerak
Momentum linier:
Energi kinetik:
Kecepatan akhir kedua benda adalah:

33. Contoh soal 8:
Neutron dengan massa mn bergerak dengan kecepatan
awal vni bertumbukan elastik dengan inti karbon yang
diam (massa karbon mc). Carilah:
a. kecepatan akhir kedua partikel
b. fraksi energi kinetik awal neutron yang hilang!

34. Tumbukan dalam 2-Dimensi
Dua partikel yang bertumbukan dalam sistem
terisolasi, maka momentumnya konstan. Jika
tumbukan menghasilkan pergerakan dalam arah
sumbu-x, sumbu-y dan sumbu-z, maka momentum
dalam semua arah sumbu tersebut juga konstan.
Contoh tumbukan 2-dimensi dapat dilihat pada
permainan bola bilyar. Bola bergerak pada permukaan
2-dimensi.
Kekekalan momentum:

35. Andaikan partikel-1 dengan massa m1 menumbuk
partikel-2 bermassa m2 yang diam, seperti tampak pada
Gambar. Kekekalan momentum:
Jika tumbukan elastik:

36. Contoh soal 9:
Benda bermassa m1 bergerak dengan kecepatan 20 m/s
menumbuk benda kedua yang diam bermassa m2.
Setelah tumbukan benda-1 bergerak dengan kecepatan
15 m/s membentuk sudut 25o terhadap arah kecepatan
awalnya. Ke arah manakah benda-2 bergerak?