Dokumen tersebut membahas tentang turunan fungsi dan berbagai aturan untuk menentukan turunan fungsi aljabar, trigonometri, transenden, parameter, dan lainnya. Secara khusus, dibahas definisi turunan, sifat-sifat dan aturan dasar turunan, turunan fungsi aljabar, trigonometri, eksponensial, logaritma, parameter, hiperbolik, serta contoh penerapannya.

1. BAB I
PENDAHULUAN
1.1
LATAR BELAKANG
Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya,
misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai
bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton (
1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz (
1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai
suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Turunan
dapat ditentukan tanpa proses limit. Untuk keperluan ini dirancang teorema tentang turunan
dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi
komposisi, dan turunan fungsi invers. Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang
kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah
menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial
adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi
yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal,
turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada
titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan
linear terbaik fungsi pada titik tersebut.
Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation). Teorema dasar
kalkulus menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari
pengintegralan.
Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Di fisika, turunan dari
perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan turunan dari kecepatan
terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan
dari momentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan kepada benda.
Laju reaksi dari reaksi kimia juga merupakan turunan. Dalam riset operasi, turunan
menentukan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan mendesain pabrik. Dengan
menerapkan teori permainan, turunan dapat memberikan strategi yang paling baik untuk
perusahaan yang sedang bersaing.
Turunan sering digunakan untuk mencari titik ekstremum dari sebuah fungsi.
Persamaan-persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat
penting dalam mendeskripsikan fenomena alam. Turunan dan perampatannya
(generalization) sering muncul dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis
kompleks, analisis fungsional, geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak.
1|Page

2. 1.2
RUMUSAN MASALAH
1. Definisi turunan
2. Deferensi fungsi aljabar
3. Deferensi fungsi trigonometri
4. Deferensi fungsi transenden
5. Deferensi fungsi parameter
1.3
TUJUAN
1. Untuk mengetahui deferensial fungsi aljabar
2. Untuk mengetahui deferensial fungsi trigonometri
3. Untuk mengetahui deferensial fungsi transenden
4. Untuk mengetahui deferensial fungsi parameter
1.4
BATASAN MASALAH
1. Definisi turunan
2. Deferensi fungsi aljabar
3. Deferensi fungsi trigonometri
4. Deferensi fungsi transenden
5. Deferensi fungsi parameter
2|Page

3. BAB II
PEMBAHASAN
2.1
Pengertian Turunan
Misalkan P adalah sebuah titik pada kurva y=f(c)
dan Q merupakan titik yang dapat dipindahkan pada
kurva tersebut. Titik P dan Q akan membentuk garis
singgung dengan kemiringan
. Kemiringan
dapat diperoleh dari
dengan nilai
.
Jadi kemiringan garis PQ dapat diperoleh dari:
Untuk mencari kemiringan garis singgung ini, merupakan definisi turunan.
Beberapa
bentuk
setara
untukturunan.Perubahanyanglebihradikal,tetapi masih tetap
hanyasuatuperubahancara penulisan,mungkin dipahami dengan
menggantikan c+h dengan x,sehingga h dapat digantikan
dengan x-c.
Keterdiferensiasi mengimplikasi kontinuitas jika f’(c) ada
maka f kontinu di c.Jika sebuah kurva mempunyai sebuah garis
singgung disebuah titik,maka kurva itu tidak dapat melompat
atau sangat berayun di titik tersebut.
Grafik turunan, turunan f’(x) memberikan kemiringan garis singgung terhadap
grafiky=f(x)pada nilai x. jadi ketika garis singgung miring naik kekanan,turunan positif,dan
ketika garis singgung miring turun ke kiri,turunan negative.karenanya kita dapat memperoleh
gambaran kasar dari turunan hanya dengan diketahui grafik fungsi.
Untuk menentukan fungsi deferensial, dapat menggunakan berbagai notasi yakni:
Notasi
Leibniz
Turunan
f(x) terhadap x
Notasi
Lagrange
ƒ′(x)
Notasi
Newton
Notasi
Euler
3|Page

4. 2.2
Aturan Pencarian Turunan
2.2.1 Sifat-Sifat Turunan
Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan maka berlaku:
1. Kelipatan Konstanta
Bukti :
2.
Penjumlahan
Bukti :
3.
Selisih
Bukti :
4|Page

5. 4. Perkalian
Bukti :
5. Pembagian
Bukti :
2.2.2
Turunan Fungsi Aljabar
Turunan fungsi aljabar merupakan penjabaran turunan dari fungsi tetap dan
fungsi pangkat.
1. Fungsi konstan
Bukti :
5|Page

6. 2. Fungsi pangkat Pangkat
Bukti :
Di dalam kurung siku, semua suku kecuali yang pertama mempunyai h
sehingga jika masing-masing suku ini mempunyai limit nol ketika h mendekati
nol.
2.3 Aturan Rantai
Aturan rantai adalah aturan yang sangat bermanfaat yang mempermudahkan kita
dalam mencari turunan suatu fungsi. Dimana aturan rantai biasanya digunakan untuk
menentukan fungsi komposisi.
Misalkan
dirumuskandengan
terdeferensialkan di
dan
menentukan fungsi komposisi yang
. Jika
terdeferensialkan di
dan
terdiferensialkan di dan
maka
atau
Fungsi komposisi dapat diperluas menjadi komposis 3 fungsi, 4 fungsi dan seterusnya.
Jika
Yakni
Maka :
6|Page

7. Bukti:
2.4
Turunan fungsi invers
Andaikan terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang I.
Jika
di suatu x tertentu dalam daerah I. Maka
terdiferensiasikan di titik
yang berpadanan
dalam daerah hasil f dan
Bukti :
Menurut definisi limit
Akan dibuktikan
Dengan definisi limit, kita peroleh
Karena
dan
Maka kita bisa menuliskan
Karena f kontinu dan monoton murni, sehingga
, sehingga
Sehingga kita boleh melanjutkan proses maka kita bisa menuliskan
7|Page

8. Dengan ini kita mendapatkan
Dimana
2.5
, diperoleh
Diferensiasi implisit
Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namun sebagian
yang lain tidak. Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan fungsi
dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di atas. Untuk mencari turunan
fungsi yang tak dapat diubah ke dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut
diferensiasi implisit . Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat didiferensiasi
terhadap x. Fungsí implisit secara umum dapat ditulis sebagai f(x, y) = 0 dengan y sebagai
fungsí dalam x.
Contoh fungsi implisit: 1) y – 2x3 – 8 = 0
Contoh :
1. Tentukan
dari fungsí yang dirumuskan dengan y – 2x3 – 8 = 0
Penyelesaian
Apabila kedua ruas diturunkan terhadap x, maka akan diperoleh:
8|Page

9. 2.6
Turunan Fungsi Trigonometri dan Siklometri
Aturan turunan fungsi trigonometri hanya ada dua, yakni untuk Dxsinx dan
Dxcosx.
Untuk
dan
Bukti :
Serta
9|Page

10. Fungsi siklometri adalah invers fungsi trigonometri. Akan dicari turunan invers
fungsi sinus (arcus sinus) berikut.
1
x
y
1
y
x
10 | P a g e

11. 2.7
Turunan Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponensial adalah fungsi dari suatu konstanta berpangkat tertentu.
Bentuk fungsi eksponensial yang akan kami bahas disini adalah turunan fungsi
dan
.
Jika
maka
Sedangkan untuk
Jika
sehingga
2.8
, maka
diganti dengan e maka
maka
, jadi
. Karena nilai
Turunan Fungsi Logaritma
Sebelum membahas turunan fungsi eksponen dan logaritma, akan dikenalkan dulu
bilangan e yang kemuan disebut sebagai bilangan Euler, yakni sebuah bilangan yang
merupakan pendekatan dari bentuk
untuk n menuju tak hingga yang ditemukan
pada tahun 1683 oleh Jacob Bernoulli
Pada tahun 1748, Euler memberikan ide mengenai bilangan e, yaitu :
Bentuk berikut ini dapat diubah menjadi
Dari formulasi tersebut Euler memperoleh pendekatan untuk nilai e sampai 18
digit, yaitu
e = 2,718281828459045235
Suatu logaritma dengan basis e dinamakan logaritma natural dan ditulis dengan
ln. Sehingga
11 | P a g e

12. Turunan dasar pada fungsi logaritma dalam
Sedangkan untuk
2.9
dan
maka
Turunan Fungsi Parameter
Apabila disajikan persamaan berbentuk:
x = f(t)
y = g(t)
maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari x dan y, dan t disebut
parameter. Dari bentuk parameter ini dapat dicari dengan cara sebagai berikut. Dari
bentukx = f(t) dibentuk
, dengan begitu maka
menggunakan aturan rantai, akan didapatkan
) dengan
seperti berikut.
12 | P a g e

13. 2.10
Turunan Fungsi Hiperbolik
Fungsi hiperbolik diperoleh dari campuaran fungsi
dan fungsi
. Fungsi
hiperbolik, cosinus hiperbolik dan empat fungsi hiperbolik lainya, didefinisikan sebagai
berikut.
Pembuktiannya menggunakan sisi kanan dari identitas terhadap euler. Ingat bahwa :
Bukti turunan
Bukti turunan
Bukti turunan
13 | P a g e

14. BAB III
PENUTUP
3.1
KESIMPULAN
Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya,
misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan
sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac
Newton ( 1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm
Leibniz ( 1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial )
digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan
mekanika. Pada geometri masalahnya adalah garis singgung sedangkan mekanis
masalahnya pada kecepatan rata-rata dan kecepatan.
14 | P a g e

15. 15 | P a g e

16. DAFTAR PUSTAKA
Djohan, Warsoma, dkk. 2007. Diktat Kalkulus I. Bandung : Departemen Matematika,
Fakultas MIPA ITB.
http://id.wikipedia.org/wiki/Turunan_fungsi
http://id.wikipedia.org/wiki/Turunan
http://matematikasulis.blogspot.com/2013/03/rumus-lengkap-turunan.html
Yudarwi. 2007. Turuna Fungsi Logaritma Dan Eksponensial
16 | P a g e