Deret Fourier sinus dan cosinus setengah jangkauan

1. MAKALAH
METODE TRANSFORMASI
DERET FOURIER
Metode Transformasi
Dosen : Dananjaya Ariateja
Jurusan Teknik Elektro
Universitas Teknologi Yogyakarta
2016
1

2. Disusun oleh :
Muhammad Ainur Rafiq (5150711042)
Richy Krisna Jayanto (5150711045)
Prinisa Adam Zaragoza (5150711012)
Muhammad Azizan Rokhim(5150711005)
Muchamad Syaiffudin (5150711031)
Ivan Arzaqi (5150711026)
Bagus Tri Setiawan (5150711019)
Tujuan
Mahasiswa dapat memahami cara mencari koefisien deret
fourier menggunakan deret sinus dan cosinus setengah jangkauan.
2

3. KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh.
Alhamdulillahirabbilalamin, banyak nikmat yang Allah
berikan, tetapi sedikit sekali yang kita ingat. Segala puji
hanya layak untuk Allah Tuhan seru sekalian alam atas
segala berkat, rahmat, taufik, serta hidayah-Nya yang tiada
terkira besarnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan
makalah dengan judul ”Deret Fourier sinus dan cosinus”.
Dalam penyusunannya, penulis memperoleh banyak
bantuan dari berbagai pihak, karena itu penulis
mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
Kedua orang tua dan segenap keluarga besar penulis (Pak
barlan taufik) yang telah memberikan dukungan, kasih, dan
kepercayaan yang begitu besar. Dari sanalah kami bisa
menjabarkan rumus Metode Fourier.
Meskipun penulis berharap isi dari makalah ini bebas dari
kekurangan dan kesalahan, namun selalu ada yang kurang.
Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang
membangun agar makalah ini dapat lebih baik lagi.
Akhir kata penulis berharap agar makalah ini bermanfaat
bagi semua pembaca.
Yogyakarta, Oktober 2016
Penyusun
3

4. DAFTAR ISI
1. Deret Fourier
1.1 Fungsi periodik.................................................
1.2 Deret fourier.....................................................
a. Definisi Deret Fourier.............................................
b. Syarat /Kondisi Dirichlet........................................
1.3 Fungsi genep dan fungsi ganjil........................
1.4 Deret sinus dan cosinus..................................
a. Fungsi Jangkauan Setengah............................
b. Deret fourier dari fungsi genap ........................
c. Deret fourier dari fungsi ganjil...........................
4

5. DERET FOURIER
1.1 Fungsi Periodik
Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan perioda P, jika untuk semua
harga x berlaku:
f (x + P) = f (x) ; P adalah konstanta positif.
Harga terkecil dari P > 0 disebut perioda terkecil atau sering disebut
perioda dari f(x).
Contoh :
• Fungsi sin x mempunyai perioda 2π; 4 π; 6 π; ...... karena sin (x+2 π) =
sin (x+4 π) = sin (x+6 π) = ..........= sin x.
• Periode dari sin nx atau cos nx ; dengan n bilangan bulat positif
adalah 2 π /n.
• Periode dari tan x adalah π.
• Fungsi konstan mempunyai periode sembarang bilangan positif.
Gambar grafik dari fungsi-fungsi yang periodik, misalnya :
5

6. Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada setiap segmen (piecewise continuous
function), bila f(x) hanya kontinu pada interval-interval tertentu dan diskontinu
pada titik-titik yang banyaknya berhingga. Harga f(x) di titik-titik diskontinu
ditentukan dengan menghitung harga limit fungsi f(x) untuk x mendekati titik
diskontinu (ujung masing-masing interval).
6

7. 1.2 Deret Fourier
Dalam beberapa permasalahan yang berhubungan dengan gelombang
(gelombang suara, air, bunyi, panas, dsb) ; pendekatan dengan deret Fourier
yang suku-sukunya memuat sinus dan cosinus sering digunakan. Dengan
mengekspansikan ke dalam bentuk deret Fourier ; suatu fungsi periodik bisa
dinyatakan sebagai jumlahan dari beberapa fungsi harmonis, yaitu fungsi dari
sinus dan cosinus (fungsi sinusoidal).
Definisi Deret Fourier :
Jika fungsi f(x) terdefinisi pada interval (-L;L) dan di luar interval tersebut
f(x) periodikdengan periode 2L ; maka deret Fourier atau ekspansi Fourier dari
fungsi f(x) tersebut di definisikan sebagai :
dengan koefisien Fourier a n , bn ditentukan oleh :
Jika interval (–L;L) sembarang dan f(x) mempunyai periode 2L
maka :
dengan C sembarang bilangan real.
Jika C = -L maka rumus (4-4) dan (4-5) akan sama dengan (4-2) dan (4-3).
Deret Fourier konvergen bila memenuhi syarat/kondisi Dirichlet.
7
(4-1)
(4-2)
(4-3)
(4-4)
(4-5)

8. Syarat /Kondisi Dirichlet
Teorema : Jika,
1. f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal, kecuali pada beberapa titik
yang banyaknya berhingga pada interval (-L:L).
2. f(x) periodik dengan perioda 2L.
3.f(x) dan f’(x) merupakan fungsi-fungsi yang kontinu pada setiap segmen pada
interval (-L;L).
Maka deret Fourier (4-1) dengan koefisien (4-2) dan (4-3) atau (4-4)
dan (4-5) konvergen ke :
Contoh :
1. Tentukan deret Fourier dari fungsi f(x) yang didefinisikan sebagai :
di luar interval ini f(x) periodik dengan perioda 2 π.
Penyelesaian :
8

9. Fungsi f (x) pada contoh diatas bisa dimisalkan merupakan suatu pulsa
voltase yang periodik; dan suku-suku dari deret Fourier yang dihasilkan akan
berkaitan dengan frekuensi frekuensi yang berbeda dari arus bolak balik yang
dihubungkan pada gelombang “bujur sangkar” dari voltase tadi.
2. Tentukan deret Fourier dari :
dan bagaimanakah f (x) harus ditentukan pada x = -5 ; x = 0 dan x = 5
agar deret Fourier tersebut konvergen ke f (x) pada -5 < x < 5.
9

10. Penyelesaian :
Periode = 2L ………. L=5
Deret Fouriernya :
f(x) memenuhi syarat Dirichlet , jadi deret Fourier akan konvergen ke:
- F (x) ; jika x titik kontinu
- f (x+
) + f (x-
) ; jika x titik diskontinu
2
titik-titik x = -5; 0 dan 5 merupakan titik-titik diskontinu dari f (x) pada
interval (-5,5) sehingga :
di x = -5 ; deret akan konvergen ke :
di x = 0 ; deret akan konvergen ke :
di x = 5 ; deret akan konvergen ke :
10

11. Deret Fourier diatas akan konvergen ke f (x) pada interval -5 ≤ x ≤ 5
apabila f (x) ditentukan sbb:
diluar interval ini periodik dengan p = 10
3. Ekspansikan f (x) = x 2 ; 0 < x < 2 kedalam deret Fourier jika f (x)
Periodik dengan periode 2 .
Penyelesaian :
periode 2L = 2 L =
11

12. 4. Dengan menggunakan hasil dari contoh no. 3, buktikan bahwa :
Penyelesaian :
Pada x = 0 ; deret Fourier dari f(x) = x2
konvergen ke f(x) =
12

13. 1.3Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Fungsi f(x) disebut fungsi genap jika f ( -x ) = f (x) untuk setiap x.
Contoh :
Polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat genap
merupakan fungsi genap. Jika f (x) fungsi genap maka:
Fungsi f (x) disebut fungsi ganjil jika f ( -x ) = - f (x) untuk semua x.
Contoh :
13
(4-6)

14. Polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat ganjil
merupakan fungsi ganjil. Jika f (x) fungsi ganjil maka:
1.4 Deret Sinus dan Deret Cosinus Setengah Jangkauan (Half – Range)
- Fungsi Jangkauan Setengah
Misalkan suatu fungsi f(x) didenisikan pada interval (0;L). Fungsi ini dapat
diekspansikan kedalam deret Fourier dengan cara mengembangkan
fungsi f pada interval (-L;L). Jadi diperlukan pendenisian fungsi pada
interval (-L;0). Ada dua cara yang dapat dilakukan, yaitu : 1. fungsi f
dikembangkan menjadi fungsi ganjil 2. atau menjadi fungsi genap. Untuk
lebih jelasnya kedua cara ini dapat dilihat pada dua gambar berikut yang
menunjukkan deret Fourier Jangkauan setengah.
Untuk pengembangan menjadi fungsi ganjil, maka akan didapat deret :
Deret fourier dari fungsi genap :
Genap
14
(4-7)

15. Jadi , jika f(x) fungsi genap maka bn = 0 ; sehingga yang muncul hanya
suku-suku yang mengandung cosinus saja atau suku-suku dari an.
Deret fourier dari fungsi ganjil:
Jika f(x) fungsi ganjil maka an = 0 ; sehingga yang muncul hanya suku-
suku yang mengandung sinus saja atau suku-suku dari bn.
Deret sinus dan cosinus setengah jangkauan adalah suatu deret Fourier
yang hanya mengandung suku sinus atau cosinus saja. Apabila diinginkan deret
setengah jangkauan yang sesuai dengan fungsi yang diberikan, fungsi yang
dimaksud biasanya hanya diberikan dalam setengah interval adari (-L;L) yaitu
pada interval (0;L) saja. Setengah lainya yaitu (-L,0) ditentukan berdasarkan
penjelasan fungsinya genap atau ganjil.
Deret sinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan :
15

16. f(x) fungsi ganjil
Deret Cosinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan:
f(x) fungsi genap
Penyelesaian contoh gambar 10.8
16
(4-8)
(4-9)

17. 17

18. Contoh:
Ekspansikan f (x) = x ; 0 < x < 2 ke dalam :
a. deret sinus setengah jangkauan
b. deret cosinus setengah jangkauan
Penyelesaian :
a. deret sinus setengah jangkauan
f (x) = x ; 0 < x < 2 diperluas dalam bentuk fungsi ganjil sepanjang
interval-2 < x < 2
(dengan periode 4), sebagai berikut:
Sehingga :
an = 0
Jadi deret sinus:
18

19. b. Deret cosinus
setengah
jangkauan
f (x) = x ; 0 < x < 2 diperluas dalam bentuk fungsi ganjil sepanjang interval-
2 < x < 2 (dengan periode 4), sebagai berikut:
an = 0
19

20. bn = 0
Jadi deret cosinus
Jawaban
20