Corso di potenziamento al Liceo scientifico di Carsoli. Partecipanti: i ragazzi delle classi quinte e l'ins. Grazia Cotroni

1. Elementi di calcolo
delle probabilità
Docente Grazia Cotroni

2. La parte della matematica che studia gli avvenimenti
legati al caso, al fine di stabilire quale possibilità di
verificarsi hanno tali avvenimenti, prende il nome di
CALCOLO DELLE PROBABILITA’
Essa nacque nel ‘600 per merito di Blaise Pascal, che iniziò ad occuparsi di
alcune questioni connesse al gioco d’azzardo; in seguito si occuparono di
questo settore, studiosi come FERMAT, NEWTON, LEIBNITZ e LAPLACE

3. Gli avvenimenti che hanno risultato incerto,
perché sono legati al caso, si dicono
AVVENIMENTI CASUALI o ALEATORI
Ogni possibile risultato di un avvenimento
casuale si dice
EVENTO SEMPLICE o ELEMENTARE

4. Tutti gli eventi semplici che possono verificarsi come risultato di
un avvenimento casuale, si dicono CASI POSSIBILI
dell’avvenimento casuale
Se tutti i casi possibili hanno la stessa possibilità di verificarsi si
dicono UGUALMENTE PROBABILI
Se si considera uno degli eventi semplici di un avvenimento
casuale, fra tutti i casi possibili, quelli che verificano l’evento
considerato, si dicono
CASI FAVOREVOLI

5. DEFINIZIONE CLASSICA di PROBABILITA’
In un avvenimento casuale la probabilità p(E) di un evento semplice E è il
rapporto fra il numero dei casi favorevoli all’evento E e il numero di casi
possibili, purchè siano tutti egualmente possibili
𝑃(𝐸) =
𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑖
𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖

6. Se un evento si verifica sempre, si dice CERTO
e la sua probabilità vale 1
Se un evento non si verifica mai, si dice IMPOSSIBILE
e la sua probabilità vale 0
La probabilità di un evento quindi è sempre un numero
compreso fra 0 ed 1 : 0 ≤ 𝑃(𝐸) ≤ 1
N.B.:
La probabilità può anche essere espressa in forma
percentuale moltiplicando per 100 il suo valore
numerico

7. Esercizi:
1. Qual è la probabilità che lanciando il dado esca 6?
𝑃 𝑒𝑠𝑐𝑒 6 =
1
6
2. Qual è la probabilità che lanciando una moneta esca croce?
𝑃 𝑒𝑠𝑐𝑒 𝑐𝑟𝑜𝑐𝑒 =
1
2

8. Esercizi:
1. Vengono lanciati due dadi. Qual è la probabilità di ottenere lo
stesso numero con entrambi?
I casi possibili sono: 62 = 36
I casi favorevoli sono 6
Quindi:
𝑃 𝑒𝑠𝑐𝑒 𝑙𝑜 𝑠𝑡𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 =
6
36
=
1
6

9. Esercizi:
1. Vengono lanciati due dadi. Qual è la probabilità di ottenere come
somma 4?
I casi possibili sono: 62 = 36
I casi favorevoli sono 3
Quindi:
𝑃 𝑒𝑠𝑐𝑒 𝑙𝑜 𝑠𝑡𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 =
3
36
=
1
12
cioè 8,3%

10. Eventi compatibili e
incompatibili
Compatibili: se possono accadere contemporaneamente
Incompatibili: se non possono accadere contemporaneamente

11. Teorema della probabilità totale
Siano A e B due eventi diversi tra loro allora
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
Probabilità che si
verifichi uno dei due
eventi
Probabilità che si verifichi
contemporaneamente i
due eventi
Osservazione: se gli eventi sono incompatibili allora 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0

12. Esercizi:
1. Qual è la probabilità che lanciando un dado esca 3 oppure 4?
A= esce 3
B= esce 4
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
1
6
+
1
6
− 0 =
2
6
=
1
3
2. Qual è la probabilità che lanciando un dado esca un numero pari o
un multiplo di 3?
A=esce un numero pari
B=esce un multiplo di 3
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
3
6
+
2
6
−
1
6
=
4
6
=
2
3

13. Esercizi:
1. Qual è la probabilità che lanciando contemporaneamente due dadi
esca almeno un 6?
A= esce 6 nel primo dado
B= esce 6 nel secondo dado
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
1
6
+
1
6
−
1
6
∙
1
6
=
2
6
−
1
36
=
11
36

14. Eventi dipendenti e indipendenti
Eventi indipendenti: se il fatto che si verifichi (o
meno) il primo evento NON altera la probabilità che
esca il secondo evento
Eventi dipendenti: se il fatto che si verifichi (o meno)
il primo evento altera la probabilità che esca il secondo
evento

15. Esercizi:
1. Qual è la probabilità che lanciando un dado e una moneta esca un
4 e una testa?
𝑃 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜 4 𝑒 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑎 =
𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑖
𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖
=
1
12
Cioè =
1
6
∙
1
2

16. Teorema
Se due eventi A e B sono indipendenti allora
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵

17. Esercizi:
1. In una classe ci sono 20 alunni, 12 femmine e 8 ragazzi. La prof
ne sceglie 2 random da interrogare, Qual è la probabilità che
escano 2 ragazze?
𝑃 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜 2 𝑟𝑎𝑔𝑎𝑧𝑧𝑒 =
𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑖
𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖
=
12
2
20
2
=
12!
2! ∙ 10!
20!
2! ∙ 18!
=
12 ∙ 11
20 ∙ 19
Probabilità di scegliere una ragazza
Probabilità di scegliere una ragazza sapendo che né è già
uscita una

18. Teorema
Se A e B sono due eventi dipendenti allora
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵|𝐴
Probabilità che si
verifichino
entrambi gli eventi
Probabilità
che si
verifichi
l’evento A
Probabilità che si
verifichi l’evento B
sapendo che si è
verificato l’evento A

19. Eventi incompatibili Eventi compatibili
Eventi indipendenti Eventi dipendenti
Eventi

20. Prove ripetute
Problema:
Lancio 10 volte una moneta. È più probabile che io ottenga 10 volte croce
oppure 4 volte testa e 6 volte croce?
10 croci =
1
2
∙
1
2
∙
1
2
∙
1
2
∙
1
2
∙
1
2
∙
1
2
∙
1
2
∙
1
2
∙
1
2
=
1
2
10
10 volte croce
4 volte testa e 6 volte croce =
1
2
∙
1
2
∙
1
2
∙
1
2
∙
1
2
∙
1
2
∙
1
2
∙
1
2
∙
1
2
∙
1
2
=
1
2
10
4 volte testa 6 volte croce
Qualcosa non convince…

21. T T T T C C C C C C
T C T C T C T C C C
…..
In quanti modi posso formare questa sequenza:
10
4
=
10!
4! ∙ 6!
= 210
𝑃 4 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑒 6 𝑐𝑟𝑜𝑐𝑖 =
10
4
∙
1
2
10
≫≫ 𝑃 10 𝑐𝑟𝑜𝑐𝑖 =
1
2
10

22. Problema:
Lancio 6 volte un dado. Qual è la probabilità di ottenere come risultato 1
esattamente 4 volte?
1 1 1 1 x x
1 x 1 x 1 1
x x 1 1 1 1
….
𝑃 4 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 1 𝑖𝑛 6 𝑙𝑎𝑛𝑐𝑖 =
6
4
1
6
4
1 −
1
6
2
6 - 4

23. Formula di Bernoulli
Consideriamo un «esperimento» in cui un certo evento
abbia una probabilità p di realizzarsi. Ripetiamo
l’esperimento n volte. Qual è la probabilità che
l’esperimento si realizzi k volte?
𝑃 𝐸 𝑠𝑖 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑘 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 𝑠𝑢 𝑛 =
𝑛
𝑘
𝑝 𝑘 1 − 𝑝 𝑛−𝑘

24. Esercizi esame di Stato
2011 PNI
In una classe ci sono 16 studenti, di cui 12 maschi. Qual è la
probabilità che scegliendone 3 a caso da interrogare si
scelgano 3 maschi?
Svolgimento:
Strada 1:
12
16
∙
11
15
∙
10
14
= 0,39
Strada 2:
𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑖
𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖
=
12
3
16
3
= 0,39

25. Esercizi esame di stato
2011 PNI:
Un tiratore ha la probabilità del 30% di centrare un certo bersaglio. Quante
volte deve sparare per avere una probabilità del 99% (o superiore) di colpire
il bersaglio almeno una volta sparando ripetutamente?
Svolgimento:
P(colpisce il bersaglio almeno una volta)=1-P(non lo colpisce mai)=
1 −
𝑛
0
3
10
0
1 −
3
10
𝑛
= 1 −
7
10
𝑛
Ma P(almeno una volta)≥
99
100
e poi risolvete la disequazione.

26. LA LEGGE DEI GRANDI NUMERI
(legge empirica del caso)
In una serie molto elevata di prove, effettuate tutte nelle
stesse condizioni, la probabilità sperimentale di un evento
assume un valore generalmente molto prossimo a quello della
probabilità classica e tale approssimazione aumenta
all’aumentare del numero delle prove