Introduzione calcolo integrale

1. INTRODUZIONEAL
CALCOLO
INTEGRALE
5ATC–5BTC2016/17
Versione del 13/11/2016

2. Quadratura
Introduzionealcalcolointegrale
Uno dei problemi che ha impegnato i matematici sin dall’antichità è quello di calcolare le aree.
Se cerchiamo nel vocabolario il termine «Quadratura>> troviamo «ridurre a forma quadrata>> …
<<nella geometria elementare […] consiste nella costruzione di un quadrato di area uguale a quella
della figura data>>.
Nell’antichità si cercava di risolvere questo problema con la sola riga e compasso; ma ben presto (ad
esempio davanti al cerchio) si intuì che questa operazione non sempre era possibile.
Per risolvere questa situazione si iniziarono a cercare nuovi metodi.
Già nel III secolo a.C. Archimede (sfruttando gli studi di Eudosso 408-355 a.C.) affrontò il calcolo
di alcune aree utilizzando un metodo detto di <<esaustione>>. [Torneremo su questo metodo.]
L’idea è quella di inscrivere (e circoscrivere) nella figura della quale vogliamo calcolare l’area,
una successione di figure delle quali già conosciamo il metodo per il calcolo dell’area.
Il lavoro di Archimede sarà la base di partenza per quello che oggi si chiama calcolo integrale e
che vedrà la luce solo nel Seicento.
Dovremo invece attendere il XIX secolo per essere certi che la quadratura del cerchio con riga
e compasso è impossibile.

3. Quadriamo la parabola
Iniziamo con un esempio: vogliamo calcolare l’area della superficie
in figura delimitata da:
• l’asse x,
• la retta x=b
• e la porzione della parabola.
Tale superficie è detto anche segmento di parabola e può essere
descritto:
{(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑐ℎ𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑒 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥2}
L’idea è quella di «piastrellare» questa superficie con
dei rettangoli.
Introduzionealcalcolointegrale–Quadriamolaparabola

4. Quadriamo la parabola – un caso con «i numeri»
Introduzionealcalcolointegrale–Quadriamolaparabola(casonumerico)
Per semplificarci la vita iniziamo con un caso numerico: ovvero vogliamo calcolare l’area del segmento di parabola
𝑦 = 𝑥2
delimitato da x=0 e x=4
Partiamo dal nostro intervallo I=[0,4] e divisiamolo
in n=10 sottoinvervalli di ampiezza
4
10
(equispaziati)
𝐼 𝑘 = 𝑥 𝑘−1, 𝑥 𝑘
0
Per creare la nostra piastrellatura costituta da rettangoli occorre decidere:
• Se le basi dei nostri rettangoli saranno tutte uguali
• Quanti rettangoli costruire
1
Per semplicità decidiamo che le basi saranno tutte uguali.
Dunque se fissiamo il numero n di rettangoli da costruire, ad esempio 10,
ciascuna base risulterà essere
4−0
10
2
Osserviamo:
• Indichiamo ogni sottointervallo con 𝐼1, 𝐼2, … , 𝐼10.
• Ogni sottointervallo è individuato dai suoi
estremi: 𝐼1 = 0, 𝑥1 ; 𝐼2 = 𝑥1, 𝑥2 … e il k-esimo
sottointervallo sarà 𝐼 𝑘 = 𝑥 𝑘−1, 𝑥 𝑘

5. Quadriamo la parabola – un caso con «i numeri»
Introduzionealcalcolointegrale–Quadriamolaparabola(casonumerico)
Costruiamo i rettangoli «dentro» il segmento di parabola
Su ciascun sottointervallo costruiamo un rettangolo che avrà:
• per base il sottointervallo di ampiezza Δ𝑥
• e per altezza il valore «minimo» assunto dalla parabola nel sottointervallo.
𝐼 𝑘 = 𝑥 𝑘−1, 𝑥 𝑘
Osserviamo:
• Indichiamo l’ampiezza di ogni sottointervallo con il simbolo Δ𝑥 (e la chiameremo passo o step). Δ𝑥 =
4−0
10
= 0,4
• Individuare i sottointervalle equivale a creare una successione di punti:
{𝑥0 = 0; 𝑥1 = Δ𝑥; 𝑥2 = 2Δ𝑥; … . ; 𝑥10 = 4} e dunque il punto 𝒙 𝒌 = 𝒌 ∙ 𝜟𝒙
3
Come calcolare l’altezza di ciascun rettangolo?
a) Abbiamo osservato che ogni estremo 𝑥𝑖 = (𝑖) ∙ Δ𝑥 con 𝑖 = 0,1,2, … 10
b) Il primo rettangolo su 𝐼1 = 𝑥0, 𝑥1 ha altezza = 𝑓 𝑥0 = 𝑓 0 = 0
c) Il secondo rettangolo su 𝐼2 = 𝑥1, 𝑥2 ha altezza = 𝑓 𝑥1 = 0,4 2
… Possiamo concludere che il rettangolo sull’intervallo 𝐼 𝑘 = [𝑥 𝑘−1, 𝑥 𝑘] ha altezza 𝒇 𝒙 𝒌−𝟏 =
= 𝑓 𝑘 − 1 ∙ Δ𝑥 = 𝒌 − 𝟏 ∙ 𝜟𝒙
𝟐
con 𝑘 = 1,2, , , , 10

6. Quadriamo la parabola – un caso con «i numeri» - qualche calcolo
Introduzionealcalcolointegrale–Quadriamolaparabola(casonumerico)
Ora possiamo calcolare l’area di ogni rettangolo.
Possiamo procedere per ogni rettangolo, oppure considerare il
generico rettangolo sull’intervallo 𝐼 𝑘 = [𝑥 𝑘−1, 𝑥 𝑘] :
𝑥 𝑘−1
𝑓 𝑥 𝑘−1
𝑥 𝑘
Per calcolare l’area dell’insieme dei rettangoli (detto anche plurirettangolo) sommiamo:
𝑘=1
10
∆𝑥 3 ∙ 𝑘 − 1 2 = ∆𝑥 3
𝑘=1
10
𝑘 − 1 2 =
4
Area rettangolo:
𝒙 𝒌 − 𝒙 𝒌−𝟏 ∙ 𝒇 𝒙 𝒌−𝟏 = 𝜟𝒙 ∙ 𝒌 − 𝟏 ∙ 𝜟𝒙
𝟐
= ∆𝒙 𝟑
∙ 𝒌 − 𝟏 𝟐
Base xk − xk−1 = Δ𝑥
Altezza f(xk−1) = 𝑘 − 1 ∙ Δ𝑥
2
5
e poiché il nostro ∆𝑥=0.4
0,4 3
𝑘=1
10
𝑘 − 1 2 = 0,4 3(0 + 12 + 22 + ⋯ + 92)

7. Quadriamo la parabola – un caso con «i numeri» - l’area del plurirettangolo
Introduzionealcalcolointegrale–Quadriamolaparabola(casonumerico)
Cerchiamo, ad esempio con Google, se esiste una formula che mi permetta di
calcolare rapidamente la somma dei quadrati in parentesi…altrimenti procederemo
con la calcolatrice.
1 + 22 + ⋯ + 𝑛2 =
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
Per ulteriori informazioni ad esempio http://www.batmath.it/matematica/avista/somma_quadr/somma_quadr.htm
Concludiamo:
L’area del nostro plurirettangolo: 0,4 3
0 + 12
+ 22
+ ⋯ + 92
= 0,4 3
∙
9 9+1 2∙9+1
6
≅
18,24

8. Proposta di attività
Introduzionealcalcolointegrale–Attivitàproposte
Attività n. 1:
Anziché 10 sottointervalli decidiamo di costruire 20 sottointervalli [n=20]
a) Ripercorrere i passaggi precedenti
b) Individuare cosa si modifica e cosa rimane uguale (nei calcoli, ma anche nella sequenza di operazioni svolte)
c) Calcolare l’area del nuovo plurirettangolo.
Attività n. 2:
Ritorniamo ai 10 sottointervalli e decidiamo di costruire dei rettangoli che «contengono» il
segmento di parabola, come in figura
a) Ripercorrere i passaggi precedenti
b) Individuare cosa si modifica e cosa rimane uguale (nei calcoli, ma anche nella sequenza
di operazioni svolte)
c) Calcolare l’area del nuovo plurirettangolo.
Quesito:
Per i rettangoli «dentro» abbiamo scelto come altezza il valore assunto dalla parabola nell’estremo sinistro.
a) Perché siamo certi che in ogni intervallino (limitato e chiuso) esiste questo minimo?
b) Perché siamo certi che è nell’estremo sinistro?
c) Possiamo ripetere analoghe considerazioni per i rettangoli «fuori»?

9. Introduzionealcalcolointegrale–proposteattività
Attività n. 4:
a) Sempre per i rettangoli «dentro» anziché considerare un numero fissato di sottointervalli, lasciamo indicato
con n i sottointervalli. Provare a scrivere i passaggi ed i calcoli necessari a calcolare l’area del plurirettangolo.
b) Come potremmo modificare i passaggi trovati sopra nel caso in cui l’intervallo che consideriamo è [0,b] anziché
[0,4]?
c) Come potremmo modificare i passaggi trovati sopra nel caso in cui l’intervallo che consideriamo è [a,b]?
Attività n. 5:
Proviamo adesso a descrivere i passaggi (lasciamo indicati i calcoli se troppo complicati) nel caso volessimo
calcolare l’area dei sottografici indicati nella figura (b) e (c) sempre in I=[0,4]
Quesito:
Rispetto al procedimento e ai calcoli visti per la parabola quali sono gli elementi che si mantengono e quali quelli
che si modificano?