Il documento tratta delle disequazioni numeriche intere di 1° grado in una incognita, spiegando la notazione e le proprietà fondamentali. Vengono analizzati i principi di equivalenza e le conseguenze relative, illustrando come risolvere diverse disequazioni con esempi pratici. Infine, si presentano esercizi e soluzioni per comprendere meglio l'applicazione delle regole e dei metodi descritti.

1. LE DISEQUAZIONI NUMERICHE INTERE
DI 1° GRADO IN UNA INCOGNITA
TEORIA IN BREVE
I simboli matematici che permettono di rappresentare una disuguaglianza sono
 MAGGIORE  MAGGIORE O UGUALE
 MINORE  MINORE O UGUALE
LE DISUGUAGLIANZE NUMERICHE
Proprietà delle disuguaglianze valide per tutti i numeri:
 Monotonia dell’addizione:
Se un numero A è minore di un altro numero B allora addizionando un terzo numero K ad entrambi
mantengo la disuguaglianza:
BA  KBKA 
Per esempio: 94   6964  infatti 1510 
 Moltiplicazione per un numero positivo:
Se un numero A è minore di un altro numero B allora moltiplicando entrambi per un terzo numero K
positivo mantengo la disuguaglianza:
BA  KBKA 
Per esempio: 63  5653  infatti 3015 
 Moltiplicazione per un numero negativo:
Se un numero A è minore di un altro numero B allora moltiplicando entrambi per un terzo numero K
negativo cambia il verso della disuguaglianza:
BA  KBKA 
Per esempio: 72      2722  infatti 144 
LE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO
Una disequazione è una disuguaglianza fra due espressioni letterali per la quale si vuole stabilire quali
valori di una o più lettere rendono vera la disuguaglianza.
Tutti i valori che soddisfano una disequazione costituiscono l’insieme delle soluzioni della disequazione,
che può essere rappresentato in diversi modi.
ESEMPIO: L’insieme della disequazione x – 3 > 0 è x > 3 che può essere rappresentato da una semiretta:
Per risolvere le disequazioni useremo i principi di equivalenza e le conseguenze (principio del trasporto),
trasformando la disequazione data in disequazioni equivalenti via via più semplici.
Rispetto ai principi di equivalenza delle equazioni cambia solo il 2° principio, se si moltiplicano o dividono i
due membri per uno stesso numero NEGATIVO. In questo caso infatti bisogna cambiare il verso della
disuguaglianza.
ESEMPIO: 5 – x > 3  – x > 3 – 5  – x > – 2 e moltiplicando i due membri per –1 si ha: x < 2

2. ESERCIZI: Risolviamo le seguenti disequazioni numeriche intere:
253 x trasporto il – 5 al 2° membro (cambiandogli il segno!):
523 x risolvo i monomi simili
33 x applico il 2° principio di equivalenza dividendo i due membri per 3:
1x
1534  xx trasporto il – 3 al 2° membro ed il 5x al 1° (cambiandogli il segno!):
3154  xx risolvo i monomi simili
4 x moltiplico i due membri per – 1 (e cambio il verso della disuguaglianza):
4x
xx 72  trasporto il – 2 al 2° membro ed il 7x al 1° (cambiandogli il segno!):
27  xx risolvo i monomi simili
26  x divido i due membri per – 6 (e cambio il verso della disuguaglianza):
3
1
6
2


x
3
1
x
   3215  xx risolvo le moltiplicazioni in modo da eliminare le parentesi:
6255  xx trasporto il – 5 al 2° membro ed il 2x al 1° (cambiandogli il segno!):
5625  xx risolvo i monomi simili
13 x divido i due membri per 3:
3
1
x
    xxxxx 43224  risolvo le in modo da eliminare le parentesi tonde:
 xxxxx 43284  risolvo le in modo da eliminare la parentesi quadra:
xxxxx 43284  trasporto i termini numerici al 2° membro ed i termini in x al 1° :
83424  xxxxx risolvo i monomi simili
110  ho ottenuto una disuguaglianza numerica verificata sempre col < da tutti i numeri reali.
La disequazione risulta quindi INDETERMINATA.

3. 


















2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
3
xxx risolvo le moltiplicazioni in modo da eliminare le parentesi:
4
1
2
1
2
2
2
4
3
2
3
1
1



 xxx trasporto i termini numerici al 2° membro ed i termini in x al 1°:
4
3
4
1
1
2
1
2
2
3
 xxx moltiplico tutti i termini per il minimo comune denominatore 4
314286  xxx risolvo i monomi simili
20  poiché la disuguaglianza numerica ottenuta è falsa, la disequazione è IMPOSSIBILE.














2
1
3
2
3
2
2
1
10
3
xx
x
risolvo le moltiplicazioni in modo da eliminare le parentesi:
3
1
3
1
6
2
3
2
6
2
2
1
10
3







xx
x
moltiplico tutti i termini per il minimo comune denominatore 30
1020101593  xxx risolvo i monomi simili
10201918  xx trasporto i termini numerici al 2° membro ed i termini in x al 1°:
19102018  xx risolvo i monomi simili
92  x divido i due membri per – 2:
2
9
2
2





x
2
9
x .
   2
3
1
3
1
3
1
4
13
9
4
2















 
 xxx
x
x risolvo le parentesi tonde:
 
3
2
3
1
2
3
1
3
2
9
1
1
4
3
9
4 22




 xxxxxxx risolvo la parentesi tonde:
3
2
3
1
2
3
1
3
2
9
1
4
3
4
3
9
4 22




 xxxxxxx risolvo la parentesi quadra:
3
2
3
1
2
3
1
3
2
9
1
3
1
3
1
9
4 22
 xxxxxxx moltiplico tutti i termini per il m.c.d. 9
631893619334 22
 xxxxxxx trasporto:
136331896934 22
 xxxxxxx risolvo i monomi simili
12  x divido i due membri per – 2 e cambio la disuguaglianza:
2
1
x

4. i
i
Da Bergamini Trifone Barozzi – Matematica vol 1 – Esercizi per il recupero - Zanichelli