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Le derivate (sintesi)

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Le derivate (sintesi)

  1. 1. 1. Il rapporto incrementale2. La derivata di una funzione3. Il significato geometrico della derivata 1
  2. 2. Consideriamo la funzioneIl rapporto y = x2+1 e un punto del suoincrementale grafico A(3; 10)  f(3)= 32+1 = 10 Incrementando l’ascisse di 0,1 si ottiene il punto B di coordinate: xB=3+0,1=3,1  yB= f(xB) = 3,12+1=10,61 Chiamiamo xB - xA= 0,1 l’incremento di x e yB - yA=10,61-10 = 0,61 l’incremento di y.y B − y A 10,61 − 10 = = 6,1 Il rapporto tra questi duexB − x A 3,1 − 3 valori sarà chiamato 2
  3. 3. Coefficiente angolare Consideriamo la rettadella retta passante per passante per AB e calcoliamoAB la sua equazione. La retta ottenuta ha coefficiente angolare uguale al rapporto incrementale Ricordiamo che … l’equazione esplicita della retta è y = mx + q m è chiamato coefficiente angolare della retta yB − y A m= ⇒ xB − x A y − y A = m( x − x A ) ⇒ y − 10 = 6,1( x − 3) ⇒ y = 6,1x − 18,3 + 10 ⇒ y = 6,1x − 8,3 3
  4. 4. Definizione di rapporto Data una funzione y=f(x),incrementale definita in un intervallo [a; b], e due numeri reali c e c + h interni all’intervallo, si chiama rapporto incrementale di f (relativo a c), il numero f ( c + h ) − f (c ) h Infatti se consideriamo A(c; f(c)) B(c+h; f(c+h)) xB = c + h yB = f(xB)= f(c + h) Si ottiene y B − y A f ( c + h ) − f (c ) f ( c + h ) − f (c ) = = xB − x A c+h−c h 4
  5. 5. Esempio. Calcoliamo il rapporto incrementale della funzione y = 2x2 - 3x relativo al suo punto A di ascissa 1. Applichiamo la formula e troviamo f ( c + h ) − f (c) f ( 1 + h ) − f (1 ) = h h f (1 + h) = 2(1 + h) 2 − 3 1 + h) = 2(1 + 2h + h 2) − 3 − 3h = ( = 2 + 4h + 2h 2 − 3 − 3h = 2h 2 + h − 1 f (1 = 2 ⋅ 12 − 3 ⋅ 1 = −1 ) f (1 + h) − f (1 = 2h 2 + h − 1 + 1 = 2h 2 + h ) f ( c + h ) − f (c) f ( 1 + h ) − f (1 ) 2h 2 + h h(2h + 1 ) = = = = 2h + 1 h h h hIn generale, il valore del rapporto incrementale dipende dal valore di h.Nell’esempio, se h=0,2 il rapporto incrementale vale 2(0,2)+1=1,4… 5 conh=0,1 allora il rapporto vale 1,2
  6. 6. Esercizio. Calcola il rapporto incrementale della funzionenel punto c = -1 e con h = 0,25 2x +1 f ( x) = x f ( c + h ) − f (c) c = −1 h = 0,25 c + h = −0,75 h 2( −0,75) + 1 − 1,50 + 1 − 0,50 50 2 f ( −0,75) = = = = = − 0,75 − 0,75 − 0,75 75 3 2( −1) + 1 − 2 + 1 f ( −1) = = =1 −1 −1 2 1 −1 − 3 = 3 =− 1 ⋅4 =− 4 0,25 1 3 3 4 6
  7. 7. 2x + 1 f ( x) = x  2A(− 1; 1) B − 0,75;   3 4c = − 1 h = 0,25 c + h = − 0,75 m=− 3 4y − 1 = − ( x + 1) 3 7
  8. 8. Esercizio. Calcola il rapporto incrementale della funzionenel punto c = -3 e con h generico.f ( x) = x 2 − 4 x + 8f ( c + h ) − f (c ) c = − 3 h generico c + h = − 3 + h hf (− 3 + h) = (− 3 + h) 2 − 4(− 3 + h) + 8 = 9 − 6h + h 2 + 12 − 4h + 8 = h 2 − 10h + 29f (− 3) = (− 3) 2 − 4(− 3) + 8 = 9 + 12 + 8 = 29f ( c + h ) − f (c) h 2 − 10h + 29 − 29 h(h − 10) = = = h − 10 h h h 8
  9. 9. Esercizio. Calcola il rapporto incrementale della funzione inun punto generico c e un incremento generico h. f ( x) = x 2 − 2 x f ( c + h ) − f (c ) c e h generici h f (c + h) = (c + h) 2 − 2(c + h) = c 2 + 2ch + h 2 − 2c − 2h f (c) = c 2 − 2c f ( c + h ) − f (c) c 2 + 2ch + h 2 − 2c − 2h − c 2 + 2c = = h h h 2 + 2hc − 2h h(h + 2c − 2) = = h + 2c − 2 h h 9
  10. 10. Il rapporto incrementale Il rapporto incrementale si indica in generale con i simboli∆y f (c + h) − f (c) =∆x h 10
  11. 11. La derivata di una funzione f (c + h) − f (c)f (c) = lim h→0 h 11
  12. 12. Significato geometrico della derivataLa derivata di f in un punto crappresenta il coefficienteangolare della retta tangenteal grafico di f nel suo punto diascissa c. 12
  13. 13. Significato geometrico delladerivataQuando h  0la retta secante stende allatangente t 13
  14. 14. Il calcolo della derivata in un punto particolare f ( c + h ) − f (c ) f (c) = lim con f ( x) = x 2 − 1 e c = 3 h →0 h f ( 3 + h ) − f (3) f (3) = lim = h →0 hlim ( 3 + h ) 2 − 1 − (9 − 1) =h →0 h 9 + 6h + h 2 − 1 − 8lim =h →0 h h 2 + 6h h(h + 6)lim = lim =6h →0 h h →0 h 18
  15. 15. f ( x) = x 2 − 1 A(3 ; 8) x A = 3 y A = 8 f (3) = 6fascio di rette y − y A = m( x − x A ) m = f (3) = 6retta tangente y − 8 = 6( x − 3) 19
  16. 16. Il calcolo della derivata in un puntogenerico f ( c + h ) − f (c ) f (c) = lim con f ( x) = 3 x 2 − 4 x h →0 h f ( c + h ) − f (c ) f (c) = lim = h →0 h lim 3 ( c + h ) 2 − 4(c + h) − (3c 2 − 4c) = h →0 h 3c 2 + 6ch + 3h 2 − 4c − 4h − 3c 2 + 4c lim = h →0 h 3h 2 + 6ch − 4h h(3h + 6c − 4) lim = lim = h →0 h h →0 h lim(3h + 6c − 4) = 6c − 4 h →0 20
  17. 17. F’ (c) = 6c - 4 è la derivatadella funzione f(x) = 3x2 - 4x .Al variare di c si ottengono icoefficienti angolari dellerette tangenti nel punto c. f ( x ) = 3 x 2 − 4 x f ( c ) = 6c − 4 ⇒ f ( x ) = 6 x − 4 Se x = 2 y = f (2) = 12 − 8 = 4 f (2) = 6(2) − 4 = 8 La retta tangente in (2; 4) è y - 4 = 8(x - 2) Se x = −1 y = f (−1) = 7 f (−1) = 6(−1) − 4 = −10 La retta tangente in (-1;7) è y - 7 = -10(x + 1) 21
  18. 18. 2 2 2 2 2 4 2 4 8 4 Se x = y = f   = 3  − 4  = 3  − 4  = − = − 3 3 3 3 9 3 3 3 3 2 2 f   = 6 − 4 = 0 3 3 2 4 4  2 4 La retta tangente in  ; −  è y + = 0 x −  ⇒ y + = 0 3 3 3  3 3La retta tangentecalcolato in quest’ultimoesempio è parallelaall’asse delle x eindividua un puntoparticolare della funzione: 22un punto di minimo
  19. 19. Negli esempi rappresentati la retta tangente al grafico è orizzontaleed ha come equazione y = k, ossia il suo coefficiente angolare èuguale a 0.Quindi la derivata in quei punti è uguale a 0. m = f ‘ (x) = 0 minimo massimo punti di flessoI PUNTI STAZIONARIData una funzione y = f(x) e un punto x = c,se f ’(c) = 0, allora x = c si dice punto stazionarioo punto a tangenza orizzontale. 23
  20. 20. La derivata destra e la derivata sinistra f ( c + h ) − f (c ) la derivata f (c) = lim h →0 h f ( c + h ) − f (c ) la derivata destra f + (c) = lim h→0 + h f ( c + h ) − f (c ) la derivata sin istra f − (c) = lim− h →0 hUna funzione è derivabile in un intervallo [ a ; b ] :- è derivabile in tutti i punti interni dell’intervallo;- le derivate sono valori finiti;- la derivata destra è uguale alla derivata sinistra.Inoltre se una funzione è derivabile in un punto essa èanche continua in quel punto 24
  21. 21. Esempio in cui la derivata destra non èuguale alla derivata sinistraLa funzione valore assoluto non è derivabile nel punto x=0 25
  22. 22. Le derivate fondamentali  3Dk = 0 esempi → D3 = 0;   D −  = 0  4Dx n = nx n −1 esempi → Dx 4 = 4 x 3 ; Dx 7 = 7 x 6 ; Dx 2 = 2 x; Dx = 1   1 1 1 −1 1 − 1 1 1D x = Dx = x 2 = x 2 = 1 = 2 con x > 0 2 2 2 x 2x 2 1 1D = Dx −1 = −1x −1−1 = −x −2 = − 2 x x 1 2 1 1 3 −1 1 − 3 1 1Dn x = con x > 0, n ∈ N esempio → D 3 x = D x = x = 2 =  n n x n −1 3 3 33 x 2 3x 3 2 2 3 2 5 −1 2 − 5 2 2D x = Dx = x = x = 3 = 5 2 5 5 5 55 x 3 5x 5 26
  23. 23. Le derivate fondamentaliLe f . esponenziali e logaritmicheDa x = a x ln a      → esempi  D3 x = 3 x ln 3; De x = e x ln e = e x (ln e = 1 ) 1 1 1 1D log a x = log a e     → esempio  D log 2 x = log 2 e; D ln x = log e e = x x x xle f . trigonometricheD senx = cos xD cos x = − senx 1 sen 2 x + cos 2 x sen 2 x cos 2 xD tg x = = = + = 1 + tg 2 x cos 2 x cos 2 x cos 2 x cos 2 x 1D cotg x = − = −(1 + cotg 2 x) sen 2 xle f . inverse 1 1D arctg x = D arccotg x = − 1 + x2 1 + x2 1 1D arcsen x = D arccosen x = − 27 1 − x2 1 + x2
  24. 24. Le regole di derivazioneLa derivata del prodotto di una costante per unafunzione è uguale al prodotto della costante perla derivata della funzione [ ]D[ k ⋅ f ( x ) ] = k ⋅ f ( x )  esempio → D 3x 4 = 3 ⋅ 4 ⋅ x 3  3  3 D  x 6  = 6 x5 = 9 x5 2  2La derivata della somma di due funzioni è ugualealla somma delle derivate delle singole funzioniD[ f ( x ) + g ( x)] = f ( x ) + g ( x ) [ ]D x 5 − x 2 = Dx 5 − Dx 2 = 5 x 4 − 2 xD[ 2 x − 3 x 6 4 ] − 5 x + 4 = 2 Dx 6 − 3Dx 4 − 5Dx + D 4 = 12 x 5 − 12 x 3 − 5 28
  25. 25. Le regole di derivazioneLa derivata del prodotto di due funzioni è ugualealla somma della derivata della prima funzioneper la seconda funzione non derivata con la primafunzione non derivata per la seconda derivataD[ f ( x ) ⋅ g ( x)] = f ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ( x ) [ ]D x x = Dx ⋅ x + x ⋅ D x = 1⋅ x + x ⋅ 2 x = x+ x 3 = 2 2 x 1D[ x ⋅ sen x ] = Dx ⋅ sen x + x ⋅ Dsen x = sen x + x ⋅ cos x 29
  26. 26. Le regole di derivazioneLa derivata del quoziente di due funzioni è uguale a una frazione cheha:• Per numeratore la differenza fra la derivata della funzione alnumeratore per la funzione al denominatore e la funzione alnumeratore per la derivata della funzione al denominatore• Per denominatore il quadrato della funzione al denominatore  f ( x)  f ( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ( x)D = g ( x)   [ g ( x) ] 2  ( x 2 − 4)  2 x ⋅ ( 2 x + 5) − ( x 2 − 4) ⋅ 2 4 x 2 + 10 x − 2 x 2 + 8 2 x 2 + 10 x + 8D = = =  ( 2 x + 5)  ( 2 x + 5) ( 2 x + 5) ( 2 x + 5) 2 2 2 30
  27. 27. 31
  28. 28. 32
  29. 29. [ ]D[ k ⋅ f ( x ) ] = k ⋅ f ( x )  esempio→ D 3x 4 = 3 ⋅ 4 ⋅ x 3  [ ]D[ f ( x ) + g ( x)] = f ( x ) + g ( x )  esempio → D x 5 − x 2 = Dx 5 − Dx 2 = 5 x 4 − 2 x D[ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] = f ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ( x ) [ ] esempio → D x x = Dx ⋅ x + x ⋅ D x = 1⋅ x + x ⋅  2 x 1 = x+ x 3 = 2 2 xD[ f ( x ) ] = n ⋅ [ f ( x ) ] ⋅ f ( x) n n −1  [ 2 ] esempio → D[ ( x + 2) ] = 3 ⋅ ( x + 2) ⋅ D( x + 2) = 3 ⋅ ( x + 2) ⋅ 1 = 3( x + 2) 3 2 2  1  f ( x)  1  2D  = − 2  esempio → D    =−  f ( x)  f ( x)  ( 2 x + 5)  ( 2x + ) 2  g ( x)  f ( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ( x)D = 33  f ( x)  g 2 ( x)
  30. 30. [ ]D[ k ⋅ f ( x ) ] = k ⋅ f ( x )  esempio→ D 3x 4 = 3 ⋅ 4 ⋅ x 3  [ ]D[ f ( x ) + g ( x)] = f ( x ) + g ( x )  esempio → D x 5 − x 2 = Dx 5 − Dx 2 = 5 x 4 − 2 x D[ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] = f ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ( x ) [ ] esempio → D x x = Dx ⋅ x + x ⋅ D x = 1⋅ x + x ⋅  2 x 1 = x+ x 3 = 2 2 xD[ f ( x ) ] = n ⋅ [ f ( x ) ] ⋅ f ( x) n n −1  [ 2 ] esempio → D[ ( x + 2) ] = 3 ⋅ ( x + 2) ⋅ D( x + 2) = 3 ⋅ ( x + 2) ⋅ 1 = 3( x + 2) 3 2 2  1  f ( x)  1  2D  = − 2  esempio → D    =−  f ( x)  f ( x)  ( 2 x + 5)  ( 2x + ) 2  g ( x)  f ( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ( x)D = 34  f ( x)  g 2 ( x)
  31. 31. 35

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