Coniche st

 BREVE STORIA DELLE CONICHE
 PROPRIETA’:
Circonferenza Ellisse
Parabola Iperbole
 LA COSTRUZIONE DELLE CONICHE
Circonferenza ellisse
Parabola iperbole

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

Con il termine CONICA si indica la curva che si ottiene come sezione tra un cono
indefinito e un piano che non passa per il vertice del cono stesso.
Indichiamo con β l’angolo formato dal piano con l’asse del cono, e con α l’angolo
formato dall’asse con la retta generatrice del cono.
Se:
β > α
β = 90°
β = α
β < α
L’equazione generale di una conica è: axax22
+by+by22
+cxy+dx+ey+f=+cxy+dx+ey+f=0
a , b , c , d , e , f ∈ R
Ellisse
Circonferenza
Parabola
Iperbole

Circonferenza
β = 90°
Ellisse
β > α
Parabola
β = α
Iperbole
β < α
circonferenza ellisse
parabola
iperbole

LA CIRCONFERENZA DA UNA SEZIONE CONICA
• La circonferenza si ottiene sezionando
un cono con un piano perpendicolare
all’asse di rotazione del cono .

Definizione
Equazione
Casi particolari
Formule

Luogo geometrico dei punti P del piano aventi dal
punto fisso C , centro, distanza uguale al raggio, r.

xx22
+ y+ y22
+ ax + by + c = 0+ ax + by + c = 0
a , b , c ∈ R

xx22
+ y+ y22
+ ax + by + c = 0+ ax + by + c = 0
a, b, ca, b, c ∈∈ RR
centro:centro: C (a/2C (a/2 ;; b/2)b/2) raggio:raggio: r =r =

x2
+ y2
= r2
C(α;β)
O
x2
+ y2
+ ax + by = 0
.
C(α;α)
x2
+ y2
+ ax + ay+c = 0
O

L’ ELLISSE
DA UNA SEZIONE CONICA
• L’ellisse si ottiene sezionando
un cono con un piano inclinato
rispetto all’asse di rotazione del
cono di un angolo maggiore di
quello della retta generatrice del
cono.

Definizione
Equazione
Grafici
Formule
Ellisse traslata

Luogo geometrico dei punti P del piano per i
quali è costante la somma delle distanze da
due punti fissi F1e F2, detti fuochi.
PF1+ PF2= k k ∈∈ RR++
y
x

xx22
yy22
+ = 1+ = 1
aa22
bb22
aa: semiasse maggiore
bb: semiasse minore
cc:: F1F2 / 2
Caso in cui l’asse focale è l’asse x:
y
x

Equazione dell’ellisse con assi || agli assi cartesiani e
traslata di vettore V(α; β).
(x - α)2
(y - β)2
a2
b2
vettore V (α; β) ≡ centro C (α; β)
vertici: A’
(α±a ; β) B’
(α ; β±b)
fuochi:
a>b F1(α+c ; β) ; F2(α-c ; β) ; c2
=a2
+b2
a<b F1(α ; β+c) ; F2(α ; β-c) ; c2
=b2
-a2
+ =1
y
x

C(0;0) a>b
C(0;0) b>a
y
x
y
x

L’eccentricità di un ellisse è il rapporto
costante tra la semidistanza focale e il
semiasse maggiore.
0<e<1 ⇒ ellisse
a2
= b2
+ c2
Fuochi:a>b ⇒ F1(-√a2
-b2
; 0) F2(√a2
-b2
; 0) eccentricità:
c/a
a<b ⇒ F1(0 ; -√b2
-a2
) F2(0 ; √b2
-a2
) eccentricità: c/b
Intersezioni: ∩ asse x ⇒ A (±a;0) ∩ asse y ⇒ B(0;±b)

LA PARABOLA
• La parabola si ottiene
sezionando un cono con un
piano inclinato rispetto all’asse di
rotazione del cono di un angolo
uguale a quello della retta
generatrice del cono.

Definizione
Equazione
Formule
Casi particolari
concavità

Si dice parabola di fuoco F e direttrice d il luogo geometrico dei
punti P del piano equidistanti da F e da d.
d
F
∧
>x
y

y=ax2
+bx+c
x=ay2
+by+c
∧
>x
y
∧
>x
y

y=ax2
+bx+c x=ay2
+by+c
vertice V
(-b/2a ; -∆/4a) (-∆/4a ; -b/2a)
fuoco F
(-b/2a ; (1-∆)/4a) ((1-∆)/4a ; -b/2a)
direttrice d
y=-((1+∆)/4a) x=-((1+∆)/4a)
equazione asse
x=-b/(2a) y=-b/(2a)
n segmento parabolico è uguale ai ⅔ dell'area del rettangolo circoscritto a ta
Teorema di Archimede
L'area di un segmento parabolico è
uguale ai ⅔ dell'area del rettangolo
circoscritto a tale figura
.

b=0 y=ax2
+c c=0 y=ax2
+bx
c=0 e b=0 y=ax2
∧
>
x
y
∧
>
y
x
∧
x
y
>

a>0 a<0
x
y y
x
x
y y
x

L’ IPERBOLE
• L’iperbole si ottiene
sezionando un cono con un
piano inclinato rispetto
all’asse di rotazione del
cono di un angolo minore
di quello della retta
generatrice del cono.
Sezione iperbole

Definizione
Equazione
I. Equilatera
Formule
I. Traslata

Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante
la differenza delle distanze da due punti fissi F1 e F2 , detti
fuochi.
PF1- PF2 = k k ∈∈ RR++

xx22
yy22
- = +1- = +1
aa22
bb22
c = semidistanza F1 -F2
asse focale: 2c
I caso
II caso
xx22
yy22
- = -1- = -1
aa22
bb22

I caso: a > b Vertici: (± a ;0) fuochi: (±√a2
+b2
; 0)
II caso: a < b Vertici: (0 ; ±b) fuochi: (0 ; ±√a2
+b2
)
asintoti: y= ±(b/a) x
eccentricità e = c/a
e =0 ⇒ circonferenza
0<e<1 ⇒ ellisse
e>1 ⇒ iperbole

Iperbole equilatera: a=bIperbole equilatera: a=b
xx22
- y- y22
= -a= -a22
o xo x22
- y- y22
=a=a22
⇓⇓ ⇓⇓
asintoti:asintoti: y =y = ±± xx
c = a√2
e = √2

Iperbole traslataIperbole traslata
Traslazione di vettore: v ( α ;β )
I caso: vertici: (α ± a ; β ) fuochi: (α ± c ; β) e = c/a
II caso: vertici: (α ; β ± b ) fuochi: (α ; β ± c) e = c/b
asintoti: y - β = ± (b/a) (x- α)

Quadro riassuntivo
PARABOLA
y=ax2
+bx+c x=ay2
+by+c
vertice V
(-b/2a ; -∆/4a) (-∆/4a ; -b/2a)
fuoco F
(-b/2a ; (1-∆)/4a) ((1-∆)/4a ; -b/2a)
direttrice d
y=-((1+∆)/4a) x=-((1+∆)/4a)
equazione asse
x=-b/(2a) y=-b/(2a)
CIRCONFERENZA
xx22
+ y+ y22
+ ax + by + c = 0+ ax + by + c = 0 a, b, ca, b, c ∈∈ RR
Centro:Centro: C (a/2C (a/2 ;; b/2)b/2)
raggio:raggio: r =r =
ELLISSE
a2
= b2
+ c2;
Intersezioni: ∩ asse x A (±a;0) ∩ asse y B(0;±b)
vertici
(-a; 0), (a; 0), (0 ; -b), (0 ; b),
fuochi F
a>b a<b
(-√√ aa22
- b- b22
;;0), (+√√ aa22
- b- b22
;;0) (0;-√√ bb22
- a- a22
), (0;+√√ aa22
- b- b22
)
Eccentricità 0<e<1
e=c/a e= c/b
IPERBOLE
a2
+b2
= c2;
a>b a<b
vertici
(-a; 0), (a; 0), (0 ; -b), (0 ; b),
fuochi F
(-√√ aa22
+ b+ b22
;;0), (+√√ aa22
+ b+ b22
;;0) (0;-√√ bb22
+ a+ a22
), (0;+√√ aa22
+ b+ b22
)
Eccentricità e>1
e=c/a e= c/b
asintoti: y= ±(b/a) x
c-(b/2)-(a/2) 22

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