Il documento discute il concetto di probabilità attraverso esempi pratici, come la probabilità che il sole sorga domani e il calcolo delle probabilità di estrarre palline colorate da un sacchetto. Viene spiegato che la probabilità è un valore compreso tra 0 (evento impossibile) e 1 (evento certo) e vengono presentati diversi esempi di eventi compatibili e incompatibili. Infine, il documento introduce situazioni più complesse di calcolo della probabilità e problemi pratici, come il gioco di Monty Hall.

1. Calcolo della probabilità

3. Cosa mi dice che domani il Sole sorgerà?
Un ragionamento di tipo induttivo, che
parte da osservazioni e cerca di stabilire
regole universali.
Consideriamo i due eventi:
1 il Sole sorgerà
2 il Sole non sorgerà
Metto in un sacchetto una pallina bianca
(sorge) ed una nera (non sorge).
Ho una possibilità su 2 che il Sole sorga.
La probabilità è ovunque, ma pochi se ne accorgono.

4. Il Sole è sorto. Aggiungo una pallina
bianca nel sacchetto. Ora ho 2 palline
bianche su 3. la probabilità che il Sole
sorga domani è maggiore di quella
stimata ieri sera.
Ogni sera mi porrò la stessa domanda …
Stiamo a vedere che succede.

5. Il Sole è sempre sorto. Nel sacchetto ci
sono ormai 29200 palline bianche e una
sola nera. Domani il Sole sorgerà
nuovamente, ne sono quasi certo.
Sono passati 80 anni, 29200 giorni.

6. Accidenti alla probabilità! Ormai credevo
di essere immortale. Ogni sera prima di
addormentarmi mi sono chiesto «domani
sarò ancora vivo? Ho accumulato 41245
palline bianche ed ora eccomi qua!!!»
AndrewRed
1902 - 2015
Eh Eh!

7. La probabilità P(E) di un evento E è il rapporto tra il numero n di casi favorevoli al verificarsi di E e
il numero N dei casi possibili. In formula:
P(E) = n / N
Es. in un sacchetto ci sono 8 palline gialle, 4 palline verdi e 13 palline rosse. Qual è la probabilità di
pescare una pallina gialla, estraendo una sola pallina? Quale quella di pescare una pallina verde?
Quale quella di pescarne una rossa?
P ( ) = 8 / 25 oppure moltiplicandoper cento otteniamo la probabilità
in percentuale 800/25 = 32 %
P ( ) = 4 / 25 = 400/25 = 16 %
P ( ) = 13 / 25 = 1300/25 = 52 %
Torniamo ad argomenti di interesse scolastico, bleah!

8. Riflettiamo. Se sommiamo le probabilità di tutti gli eventi, cosa otteniamo?
Riprendiamo l’esempio di prima:
( ) + P ( ) + P ( ) = 8 / 25 + 4 / 25 + 13 / 25 = 25 / 25 = 1
Ora, qual è la probabilità di pescare una pallina blu?
Non essendoci palline blu nel sacchetto, la probabilità è nulla P ( ) = 0 / 25 = 0
In casi come questosi parla di EVENTOIMPOSSIBILE.
Qual è invece la probabilità di pescare una pallina colorata?
Nel sacchetto ci sono solo palline colorate; la probabilità è 1 oppure 100%.
In questocaso si parladi EVENTOCERTO!
Quindi 0  P ( E )  1

9. La probabilità di un evento è quindi compresa tra 0 = evento impossibile e
1 = evento certo.
Chiamiamo un evento improbabile se 0 < P ( E ) < 0,5
evento incerto se P ( E ) = 0,5
evento probabile se 0,5 < P ( E ) < 1
Evento
impossibile
Evento
incerto
Evento
certo
Evento improbabile Evento probabile
0 0,5 1

10. A volte può essere comodo valutare la possibilità che un evento NON si verifichi,
in questo caso si parla di EVENTO COMPLEMENTARE.
P ( non E ) = 1 – P ( E )
Lo SPAZIO CAMPIONARIO è l’insieme di tutti i possibili eventi.
Prendiamo un dado dodecaedrico (12 facce):
Spazio campionario = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
P ( x > 14 ) = 6 / 20
P ( x  14 ) = P ( non x > 14 ) = 1 – 6 / 20 = 14 / 20

11. Tipi di problemi che possiamo risolvere per esercitarci con le probabilità.

12. Con un dado tutto è semplice, ma con due?
Puoi aiutarti con una tabella. Prendiamo un
dado tetraedrico (4 facce) per comodità.
I casi possibili sono 16.
Il punteggio con la probabilità più alta è 5.
P ( 5 ) = 4 / 16 = 1 / 4
E con un dato da 6 facce? E uno da 12?
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8

13. 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
P ( 7 ) = 6 / 36 = 1 / 6 P ( 13 ) = 12 / 144 = 1 / 12

14. Che ne dici? I punteggi con la probabilità maggiore
si trovano sulla diagonale e la loro
probabilità è l’inverso del numero delle
facce. Il loro valore è il successivo del
punteggio più alto del singolo dado.
Es. dado tetraedrico 4 facce
punteggio più probabile 4 + 1 = 5
P ( 5 ) = 1 / 4
dado cubico 6 facce
punteggio più probabile 6 + 1 = 7
P ( 7 ) = 1 / 6
dado dodecaedrico 12 facce
punteggio più probabile 12 + 1 = 13
P ( 13 ) = 1 / 12
Quindi possiamo estendere queste
considerazioni ai dadi ottaedrici e
a quelli icosaedrici.
dado ottaedrico 8 facce
punteggio più probabile 8 + 1 = 9
P ( 9 ) = 1 / 8
dado icosaedrico 20 facce
punteggio più probabile 20 + 1 = 21
P ( 21 ) = 1 / 20
Il numero di casi
possibili è il
quadrato del
numero di facce:
4^2 = 16
6^2 = 36
8^2 = 64
12^2 = 144
20^2 = 400

15. E con tre dadi? Potrei costruire una tabella
tridimensionale. Nel caso del dado a
forma di tetraedro sarebbe … un po’
complesso!!!
1 2 3 41
23
4
1
2
3
4
Si ottengono in questo modo 64 caselle cubiche (4^3) che
rappresentato il numero dei punteggi possibili.
1
11
3 Punteggio minimo
4
44
12 Punteggio massimo
E se usassimo un albero?

16. Sì, però lanciamo tre monete. Testa o croce?
T C T C T C T C
T C T C
T C
I casi possibili sono 8, ovvero 2^3 e sono:
TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC
Nel caso del lancio di tre dadi con 4 facce, 4^3 = 64 come visto prima.

17. Una partita a pari e dispari?
OK, lo zero non vale!
Gioco pari …
2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
Qualcuno fa il furbo. Ci sono 13 numeri
pari e 12 dispari!
P ( pari ) = 13 /25 > 1 / 2
Va bene, con lo zero i casi possibili
salgono a 36 e i punteggi pari sono 18
così come quelli dispari.
P ( pari) = 18 / 36 = 1 / 2

18. Ancora un paio di cosette …
Due eventi si dicono incompatibili se non si possono verificare
contemporaneamente … se l’uno esclude l’altro, insomma.
Ad esempio, se abbiamo un sacchetto con delle palline colorate ed
estraggo una pallina. Se ne afferro una gialla, non ne potrò aver
pescata una verde, giusto?
E dimmi, qual è la probabilità di
pescare una pallina gialla o una rossa?
Sommo P ( ) e P ( ), ho verificato con l’alberello e funziona.
P ( ) + P ( ) = 3 / 10 + 5 / 10 = 8 / 10
In generale P ( E1 o E2) = P ( E1 ) + P ( E2 )
se E1 e E2 sono eventi incompatibili

19. Due eventi si dicono compatibili se si possono verificare
contemporaneamente … se l’uno NON esclude l’altro.
Ad esempio, se lanciamo un dado e ci chiediamo quale sia la
probabilità che esca un punteggio superiore a 3 o un numero pari.
C’è intersezione.
2
4
6
5
pari
Maggiori di 3
Si deve sottrarre l’intersezione.
P ( x = 2n o x > 3) = P ( x = 2n ) + P (x>3) – P (x = 2n e x > 3)
= 3 / 6 + 3 / 6 – 2 / 6 = 4 / 6.
In generale: P ( E1 o E2) = P ( E1 ) + P ( E2 ) – P (E1 )  P ( E2 )
se E1 e E2 sono eventi compatibili

20. Passiamo a qualcosa di più complesso. Riduciamo a 5 le palline.
Dimmi, qual è la probabilità di pescare una pallina gialla e una
rossa in due estrazioni successive?
Ci sono 2 casi. Nel primo getto via la prima pallina pescata come
rappresentato a sinistra.
P ( e ) = 4 / 12 = 1 / 3 indipendentemente dall’ordine
Nel secondo rimetto la pallina nel sacchetto (sotto).
P ( e ) = 4 / 16 = 1 / 4 indipendentemente dall’ordine

21. E se volessi tenere in considerazione anche l’ordine di estrazione?
Allora le cose cambiano. Come prima, posso gettare via la prima
pallina pescata come rappresentato a sinistra.
P ( e ) = 2 / 12 = 1 / 6
Oppure rimetterla nel sacchetto (sotto).
P ( e ) = 2 / 16 = 1 / 8

22. Osservo che moltiplicando la probabilità di pescare la pallina gialla con quella di
pescare la pallina rossa ottengo proprio la probabilità cercata:
Caso «non rimetto la pallina estratta»:
P ( ) x P ( ) = 2 / 4 x 1 / 3 = 1 / 2 x 1 / 3 = 1 / 6 = P ( e )
Caso «rimetto la pallina estratta»:
P ( ) x P ( ) = 2 / 4 x 1 / 4 = 1 / 2 x 1 / 4 = 1 / 8 = P ( e )
Se non mi interessasse l’ordine, dovrei moltiplicare il risultato per 2 (x simmetria)
Lanciando 3 volte una moneta, qual è la probabilità che escano 2 teste e 1 croce nell’ordine?
Se le mie «intuizioni» sono corrette:
P ( T e T e C ) = 1 / 2 x 1 / 2 x 1 / 2 = 1 / 8
Indipendentemente dall’ordine
P ( T e T e C ) ‘ = 3 x 1 / 8
Ho moltiplicato per 3 = numero lanci
TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC
TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC

23. Voglio sapere la probabilità di estrarre da un mazzo di carte da 40 un re, un
cavallo di coppe, un fante e un’asse di denari o bastoni, reinserendo le carte di
volta in volta. Risolvere questo problema graficamente sarebbe piuttosto lungo,
calcoliamo le probabilità delle singole estrazioni.
P ( re ) = 4 / 40 = 1 / 10
P ( cavallo di coppe ) = 1 / 40
P ( fante ) = 4 / 40 = 1 / 10
P ( asse di denari o asse di bastoni ) = 2 / 40 = 1 / 20
P ( r , c , f , a ) = 1 / 10 x 1 / 40 x 1 / 10 x 1 / 20 = 1 / 80 000 in ordine
Non mi fosse interessato l’ordine avrei dovuto semplicemente moltiplicare
per il numero delle estrazioni, 4. quindi:
P ( r , c , f , a ) ‘ = 1 / 80 000 x 4 = 1 / 20 000 in disordine

24. Concludiamo con il caso in cui le carte una volta estratte siano messe da parte.
P ( re ) = 4 / 40 = 1 / 10
P ( cavallo di coppe ) = 1 / 39
P ( fante ) = 4 / 38 = 2 / 19
P ( asse di denari o asse di bastoni ) = 2 / 37
P ( r , c , f , a ) = 1 / 10 x 1 / 39 x 2 / 19 x 2 / 37 = 2 / 137 085 in ordine
Non mi fosse interessato l’ordine avrei
dovuto semplicemente moltiplicare per il
numero delle estrazioni, 4. quindi:
P ( r , c , f , a ) ‘ = 2 / 137 085 x 4 = 8 / 137 085
in disordine.
Interessante, no?

25. Per concludere, ti presento Monty Hall; questo conduttore televisivo ha proposto un
problema che è diventato famoso. Nel gioco sono mostrate 3 porte chiuse: dietro ad una di
esse si trova un’automobile, mentre ciascuna delle altre due nasconde una capra. Il giocatore
può scegliere una delle tre porte vincendo il premio corrispondente. Dopo che il giocatore ha
scelto una porta il conduttore, prima che la porta
indicata sia aperta, apre una delle due porte
rimaste e rivela la presenza di una capra.
Viene, quindi, chiesto al concorrente se vuole
cambiare la sua scelta. Cosa gli converrebbe fare?
Prima la probabilità di vincere
l’automobile era di 1 / 3. Ora è
di ½, ma è la stessa per
entrambe le porte, quindi …

26. Aspetta, non affrettare le conclusioni.
E osserva …
La soluzione può essere illustrata come segue.
Ci sono tre scenari possibili, ciascuno avente probabilità 1/3:
- Il giocatore sceglie la capra numero 1. Il conduttore sceglie l'altra capra, la numero 2.
Cambiando, il giocatore vince l'auto.
- Il giocatore sceglie la capra numero 2. Il conduttore sceglie l'altra capra, la numero 1.
Cambiando, il giocatore vince l'auto.
- Il giocatore sceglie l'auto. Il conduttore sceglie
una capra, non importa quale. Cambiando,
il giocatore trova l'altra capra e perde l’auto.
Ora ho capito !!!