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Disequazioni Esponenziali


                    x
                a
Definizioni e proprietà
   Esponenziale:       ax    a ∈ ℜ+        x∈ℜ

   Proprietà:
   1. ax > 0       ∀x ∈ ℜ, a > 0

                                                    x'
   2. 0 < a < 1   allora    x<x ⇔a >a
                                    '       x




                                                    x'
   3.   a >1      allora     x<x ⇔a <a '       x
Disequazioni Esponenziali


Def. Le disequazioni esponenziali
sono quelle nelle quali l’incognita
compare ad esponente di una certa
espressione.
Soluzione
   Le disequazioni esponenziali si
    risolvono sfruttando le proprietà 1.2.3.
Es.1
       x
  1  < 32
   
  2
                    −5
         1    1
32 = 2 = −5 =  
      5


                         S = { x ∈ ℜ / x > −5}
        2     2
   x       −5
1 1
  < 
2 2


Applico 2
Es.2
    4 > 16
       x



       4 >4
       x      2

                  S = { x ∈ ℜ / x > 2}
Applico 3

       x>2
Es.3
    32 x +1 + 3 x − 1 < 0

    3 ⋅ 32 x + 3 x − 1 < 0

Cambio variabile         3x = z
    3z 2 + z − 1 < 0         →    − 1 − 13
                                       6
                                           <z<
                                               − 1 + 13
                                                    6
   Da z torno a x:


            − 1 − 13      − 1 + 13
                     <3 <
                       x


       <0
                 6
                s.v.
                               6
                                     ?
Problema….
   Dobbiamo trovare quel numero ? tale
    che:
                − 1 + 13
            3 =
             ?

                     6
Logaritmi
   Def.

           log a b = c ⇔ a = b
                           c


   Nel nostro caso:
    c
      − 1 + 13                       − 1 + 13
  3 =
   ?
                           ? = log 3
a          6           b                  6
?????
Definizione:
   Definizione: dati due numeri a,b
    strettamente positivi con a ≠ 1si
    definisce logaritmo in base a di b il
    numero c al quale si deve elevare a
    per ottenere b; si ha quindi:

           log a b = c ⇔ a = b
                          c
   Dalla definizine di logaritmo si ha:

          log a a = bb




           a   log a b
                         =b
   Allora un qualsiasi numero b può
    essere espresso attraverso il logaritmo
    in una qualsiasi base a>0 (diversa da
    1) utilizzando una delle due relazioni
    viste.
Dalla definizione di
logaritmo…….

Proprietà:

1.   log a 1 = 0          ∀a > 0, a ≠ 1


2. Se   0 < a <1        allora    x < x ' ⇔ log a x > log a x '
                                                            x, x ' > 0


3. Se   a >1   allora      x < x ' ⇔ log a x < log a x '
                                                           x, x ' > 0
4.   log a x + log a y = log a ( xy )        x, y > 0
                                x            x, y > 0
5.   log a x − log a y = log a ( )
                                y
6.   log a x p = p log a x                   x>0

               log c b
7.   log a b =               a > 0, a ≠ 1.b > 0, c > 0, c ≠ 1
               log c a
Alle disequazioni logaritmiche
   Def.: Le disequazioni logaritmiche
    sono quelle che contengono l’incognita
    nell’argomento di un logaritmo.
   Per risolverle occorre innanzitutto
    richieder la CDE del
    logaritmo(argomento strett.positivo),
    dopodichè si sfruttano le proprietà
    appena elencate.
Es.1

      log 1 x < −3
          2

CDE           x>0

Per def.di logaritmo

                          −3
                    1
    log 1 x < log 1          log 1 x < log 1 8
        2         2 2            2         2
La base è minore di
   uno, vale la 2.      log 1 x < log 1 8
   Allora passando          2           2
   dalla
   disuguaglianza tra
   logaritmi a quella
   tra i rispettivi             x>8     CDEok
   argomenti il verso
   della                S = { x ∈ ℜ / x > 8}
   disuguaglianza
   cambia verso.
Es.2
    log 2 x > 4

CDE:   x>0

(Per def log)

    log 2 x > log 2 (2)   4
log 2 x > log 2 16

poiché la base è maggiore di 1, passo
  alla disuguaglianza tra gli argomenti
(uso 3.)

  x > 16             S = { x ∈ ℜ / x > 16}
      CDEok
Es.3
            x2
    log 1     <0
         3
           x+3

   CDE:

    x + 3 ≠ 0
     2
     x >0
    x + 3
                    x > −3 ∧ x ≠ 0
    
x 2
                                                x2
  log 1     <0                           log 1     < log 1 1
        x+3                                  3 x+3       3
      3

    Passo agli argomenti             x2
       rovesciando la                   >1
       disuguaglianza:              x+3

                           1 + 13
−3< x <
        1 − 13   ∨   x>
                              2                      1 − 13     1 + 13 
           2                           S = − 3 < x <        ∨x>        
                                                        2          2 

   x > −3 ∧ x ≠ 0          CDEok
Proposta:

    log x + 4 ≤ 2
soluzione

       log x + 4 ≤ 2

   CDE:

     x+4≥0
                      x ≥ −4
     x+4 >0
la base del logaritmo è “e”, la base
  naturale, ed essendo e=2.7182…la
  disequazione di partenza può essere
  scritta come:


      log x + 4 ≤ log e      2
Da cui:


                 x + 4 ≤ e2
                              positivo
    positivo


Elevo al quadrato ambo i membri


          x ≤ e4 − 4
Ricordo la CDE e la combino
    con la soluzione appena
    trovata:



 x ≥ −4
                                 {                      }
                              S = x ∈ ℜ /− 4 < x ≤ e4 − 4
x ≤e −4
    4
Esercizi:

1)    log 3 ( x + 2) < 2
       log 1 ( x + 2) < 2
2)
                 3

     log 1 ( x 2 + 7) < −2
3)       4



4) log 1 x − 1 ≥ −1
             3

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Disequazioni esponenziali e logaritmiche

  • 2. Definizioni e proprietà  Esponenziale: ax a ∈ ℜ+ x∈ℜ  Proprietà:  1. ax > 0 ∀x ∈ ℜ, a > 0 x'  2. 0 < a < 1 allora x<x ⇔a >a ' x x'  3. a >1 allora x<x ⇔a <a ' x
  • 3. Disequazioni Esponenziali Def. Le disequazioni esponenziali sono quelle nelle quali l’incognita compare ad esponente di una certa espressione.
  • 4. Soluzione  Le disequazioni esponenziali si risolvono sfruttando le proprietà 1.2.3.
  • 5. Es.1 x   1  < 32   2 −5 1 1 32 = 2 = −5 =   5 S = { x ∈ ℜ / x > −5} 2 2 x −5 1 1   <  2 2 Applico 2
  • 6. Es.2  4 > 16 x 4 >4 x 2 S = { x ∈ ℜ / x > 2} Applico 3 x>2
  • 7. Es.3  32 x +1 + 3 x − 1 < 0 3 ⋅ 32 x + 3 x − 1 < 0 Cambio variabile 3x = z 3z 2 + z − 1 < 0 → − 1 − 13 6 <z< − 1 + 13 6
  • 8. Da z torno a x: − 1 − 13 − 1 + 13 <3 < x <0 6 s.v. 6 ?
  • 9. Problema….  Dobbiamo trovare quel numero ? tale che: − 1 + 13 3 = ? 6
  • 10. Logaritmi  Def. log a b = c ⇔ a = b c  Nel nostro caso: c − 1 + 13 − 1 + 13 3 = ? ? = log 3 a 6 b 6
  • 11. ?????
  • 12. Definizione:  Definizione: dati due numeri a,b strettamente positivi con a ≠ 1si definisce logaritmo in base a di b il numero c al quale si deve elevare a per ottenere b; si ha quindi: log a b = c ⇔ a = b c
  • 13. Dalla definizine di logaritmo si ha: log a a = bb a log a b =b
  • 14. Allora un qualsiasi numero b può essere espresso attraverso il logaritmo in una qualsiasi base a>0 (diversa da 1) utilizzando una delle due relazioni viste.
  • 15. Dalla definizione di logaritmo……. Proprietà: 1. log a 1 = 0 ∀a > 0, a ≠ 1 2. Se 0 < a <1 allora x < x ' ⇔ log a x > log a x ' x, x ' > 0 3. Se a >1 allora x < x ' ⇔ log a x < log a x ' x, x ' > 0
  • 16. 4. log a x + log a y = log a ( xy ) x, y > 0 x x, y > 0 5. log a x − log a y = log a ( ) y 6. log a x p = p log a x x>0 log c b 7. log a b = a > 0, a ≠ 1.b > 0, c > 0, c ≠ 1 log c a
  • 17. Alle disequazioni logaritmiche  Def.: Le disequazioni logaritmiche sono quelle che contengono l’incognita nell’argomento di un logaritmo.  Per risolverle occorre innanzitutto richieder la CDE del logaritmo(argomento strett.positivo), dopodichè si sfruttano le proprietà appena elencate.
  • 18. Es.1  log 1 x < −3 2 CDE x>0 Per def.di logaritmo −3 1 log 1 x < log 1   log 1 x < log 1 8 2 2 2 2 2
  • 19. La base è minore di uno, vale la 2. log 1 x < log 1 8 Allora passando 2 2 dalla disuguaglianza tra logaritmi a quella tra i rispettivi x>8 CDEok argomenti il verso della S = { x ∈ ℜ / x > 8} disuguaglianza cambia verso.
  • 20. Es.2 log 2 x > 4 CDE: x>0 (Per def log) log 2 x > log 2 (2) 4
  • 21. log 2 x > log 2 16 poiché la base è maggiore di 1, passo alla disuguaglianza tra gli argomenti (uso 3.) x > 16 S = { x ∈ ℜ / x > 16} CDEok
  • 22. Es.3 x2  log 1 <0 3 x+3  CDE: x + 3 ≠ 0  2  x >0 x + 3 x > −3 ∧ x ≠ 0 
  • 23. x 2 x2 log 1 <0 log 1 < log 1 1 x+3 3 x+3 3 3 Passo agli argomenti x2 rovesciando la >1 disuguaglianza: x+3 1 + 13 −3< x < 1 − 13 ∨ x> 2  1 − 13 1 + 13  2 S = − 3 < x < ∨x>   2 2  x > −3 ∧ x ≠ 0 CDEok
  • 24. Proposta:  log x + 4 ≤ 2
  • 25. soluzione log x + 4 ≤ 2  CDE:  x+4≥0  x ≥ −4  x+4 >0
  • 26. la base del logaritmo è “e”, la base naturale, ed essendo e=2.7182…la disequazione di partenza può essere scritta come: log x + 4 ≤ log e 2
  • 27. Da cui: x + 4 ≤ e2 positivo positivo Elevo al quadrato ambo i membri x ≤ e4 − 4
  • 28. Ricordo la CDE e la combino con la soluzione appena trovata: x ≥ −4 { } S = x ∈ ℜ /− 4 < x ≤ e4 − 4 x ≤e −4 4
  • 29. Esercizi: 1) log 3 ( x + 2) < 2 log 1 ( x + 2) < 2 2) 3 log 1 ( x 2 + 7) < −2 3) 4 4) log 1 x − 1 ≥ −1 3