Il calcolo-combinatorio

Il calcolo combinatorio
L’arte del contare
prof. Grazia Cotroni18 aprile 2016

IntroduzioneIl calcolo combinatorio L'arte di contare
In quanti modi può accadere un evento?
Quanti …
Il calcolo combinatorio si occupa di
determinare (contare) quanti sono i
raggruppamenti che si possono fare con
n oggetti di un insieme finito, secondo
determinate regole.

Calcolo combinatorio
Prodotto cartesiano
𝑚 ∙ 𝑛
Permutazioni semplici
𝑛!
Permutazioni con ripetizioni
𝑛!
𝑚1! ∙ 𝑚2!
Disposizioni semplici
𝑛!
𝑛 − 𝑘 !
Disposizioni con ripetizioni
𝑛 𝑘
Combinazione
semplice
𝑛
𝑘
=
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
Combinazione
con ripetizione
(poco frequente)
Tutti i sottoinsiemi di un
insieme con n elementi
2 𝑛

Primo modello
Il Giulia si alza la mattina e apre
l’armadio per vestirsi e andare al
lavoro. Nel guardaroba trova 2 giacche,
3 borse, 2 paia di pantaloni (tutti i capi
sono diversi tra loro) e nella scarpiera 4
paia di scarpe. Quante possibilità di
scelta ha?
Questo modello si chiama PRODOTTO
CARTESIANO

Il calcolo combinatorio L'arte di contare
𝑟𝑖𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑡𝑜 = 2 ∙ 3 ∙ 2 = 12

Primo modello
Esempi:
1. In quanti modi posso ordinare il pranzo in un ristorante che nel
menù propone 3 primi, 5 secondi e 4 dessert?
2. In una libreria vi sono 20 libri di narrativa, 15 di carattere scientifico
e 12 polizieschi. Si vuol scegliere una terna di libri, uno per tipo, in
quanti modi è possibile scegliere?
3. In una classe vi sono 12 ragazze e 16 ragazzi. In quanti modi si
possono scegliere un ragazzo e una ragazza come rappresentanti di
classe?
4. Un professore prepara un testo d’esame su argomenti A, B, C. Ha un
elenco di esercizi tra i quali scegliere: 10 esercizi per l’argomentoA,
15 per l’argomento B, 20 per l’argomentoC. Ogni tema d’esame
deve consistere di tre esercizi, uno per ogni argomento. Quanti
possibili testi d’esame può preparare?
5. Parrucchiera: tagli, colore e messa in piega
Nota bene:
Gli insiemi da cui scegliere le alternative sono diversi

SECONDO
MODELLO
Ho 5 libri e li voglio mettere su una mensola in libreria, in
quanti modi posso metterli?
Questo modello si chiama PERMUTAZIONE SEMPLICE
Nota bene:
L’ordine conta e non ci sono ripetizioni

Le permutazioni
Le "PERMUTAZIONI DI n OGGETTI" sono tutte le n-uple ordinate
costruibili utilizzando, senza ripetizione, quegli oggetti;
Esempio: Quanti sono gli anagrammi della parola PARCO
La funzione fattoriale può anche essere definita in modo ricorsivo:
!nPn 
120!55 P






0se)!1(
0se1
!
nnn
n
n

Esempi:
1. Quattro squadre partecipano ad un torneo, quante sono le
possibili classifiche finali?
2. Quanti sono gli anagrammi della parola UNO?
3. Domani sei a rischio di essere interrogato in tre materie:
italiano, matematica e Inglese: essendo la fine del
quadrimestre ed avendo tre ore di tempo decidi di studiare
ogni materia per 1 ora; in quanti modi puoi "permutare" le
materie?
4. Quanti numeri diversi di 5 cifre posso formare con le cifre
1,2,3,4,5 ?
5. Trovare in quanti modi diversi possono uscire i 90 numeri
della tombola

Attenzione:
•

Le permutazioni
Permutazioni di n oggetti non tutti diversi
Possiamo pensare alle "PERMUTAZIONI DI n OGGETTI NON
TUTTI DIVERSI“.
Presi n oggetti, dei quali m<n uguali fra loro, e gli altri tutti diversi
l’uno dall’altro e dai precedenti, quante n-uple ordinate
distinguibili potremo costruire utilizzando quegli n oggetti?
Esempio:
Abbiamo 3 palline bianche identiche fra loro, 6 palline rosse
identiche fra loro e 5 palline verdi tutte identiche fra loro, quante
sequenze distinguibili potremo costruire con questi 3+6+5=14
oggetti?
!5!6!3
!14
!!!
!
321 



mmm
n
Pn
!
!
m
n
Pn 

Esempi di permutazioni con
ripetizioni
1. Un’insegnante ha 25 ragazzi in classe e vuole
interrogarne 4. In quanti possibili modi può sceglierli?

Combinatori
a in formule
ATTENZIONE
Esistono anche le "PERMUTAZIONI CICLICHE DI n OGGETTI".
Una "permutazione ciclica di n oggetti"è "uno dei modi in cui tali
oggetti possono essere disposti intorno ad un tavolo circolare,
come se fossero giocatori di carte".
E' evidente che la situazione a d
b c
coincide, in questo contesto, con ciascuna delle seguenti:
d c c b b a
a b d a c d
Esempio: In quanti modi si possono disporre 5 giocatori di carte
intorno a un tavolo? 4! = 24
)!1(
!
 n
n
n
Pn

terzo modello
Tra 22 ragazzi occorre scegliere una
delegazione composta da due, uno
che parlerà con il preside e uno con
la supplente. Quanti possibili gruppi
possiamo formare?
Questo modello si chiama
DISPOSIZIONE SEMPLICE.
Nota bene:
Gli elementi si prendono dallo stesso insieme, non ci possono essere
ripetizioni, il numero di elementi del’insieme dice quanti fattori dovrò avere

Combinatori
a in formule
Le disposizioni
Supponiamo di avere n oggetti distinti (ad es: n palline numerate
progressivamente da 1 a n, oppure n lettere dell'alfabeto, ... ).
Sia ora k un intero, k ≤ n.
Le k-uple (configurazioni con k elementi) ORDINATE che si possono
costruire utilizzando (senza ripetizione) k fra gli n oggetti dati sono
anche dette "le DISPOSIZIONI degli n elementi di classe k”.
Esempio: Se ho 10 ragazzi, in quanti modi posso scegliere: un portiere,
un arbitro e un raccattapalle?
   
)!(
!
)!(
)!()1(1
)1(1
,
,
kn
n
D
kn
knknnn
knnnD
kn
kn







720
!7
!78910
!7
!10
)!310(
!10
3,10 



D

terzo modello
Esempi:
1. In quanti modi una associazione composta da 9 membri può nominare
un presidente, un vice e un segretario cassiere?
2. In una comitiva vi sono 8 ragazzi, in quanti modi si possono scegliere un
capo e un vice?
3. Il responsabile di una rete televisiva deve stabilire la programmazione
in prima serata della prossima settimana. In prima serata la sua rete
trasmette sempre un ﬁlm e in magazzino ci sono 30 ﬁlm. In quanti modi
può fare la sua scelta?
4. Quante sono le terne che possono uscire in un'estrazione su una ruota
del lotto?

Quarto modello
Ho un alfabeto composto da 3
simboli, ad esempio 1,2,X e una
sequenza di 14 caratteri da
riempire nella schedina del
totocalcio. Quante schedine
dovrei riempire per essere sicura
di vincere?
314

Combinatori
a in formule
Le disposizioni con ripetizione
Si parla di "DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE" quando uno stesso
oggetto, nella k-upla ordinata, può essere ripetuto più di una volta.
In questo caso, non deve essere necessariamente k ≤ n.
Il numero delle disposizioni con ripetizione di n oggetti, presi a k a k, si
indica col simbolo
Esempio: Se si lanciano 10 monete (o anche: se si lancia una moneta 10
volte) quanti sono gli esiti possibili?
k
kn nD ,
1024210
10,2 D

QUINTO
MODELLO
•

Le combinazioni
Le k-uple NON ORDINATE che si possono costruire utilizzando (senza ripetizione) k fra n gli
oggetti dati sono anche dette
"le COMBINAZIONI degli n oggetti dati di classe k".
tale passaggio è possibile anche per k = n ricordando che 0! =1
DA RICORDARE
• Disposizioni: configurazioni ordinate
• Combinazioni: configurazioni non ordinate
Esempio: Giocando a briscola, quante sono le possibili “mani” all’inizio del gioco per un
giocatore?
)!(!
!
!
,
,
knk
n
k
D
C kn
kn


9880
6!37
!37383940
!3!37
!40
3,40 




C

Combinatori
a in formule
Il coefficiente binomiale
I numeri
vengono anche detti “coefficienti binomiali”
Il coefficiente binomiale risponde alla domanda:
"dati n oggetti, in quanti modi ne posso scegliere k?"
Proprietà









k
n
knk
n
C kn
)!(!
!
,
1
11
;;1;
1
;
1
;1
0













 












































k
n
k
n
k
n
kn
n
k
n
n
n
n
n
n
n
nn

Il binomio di Newton
Si chiama "binomio di Newton" la formula per lo sviluppo dell'n-esima
potenza di un binomio.
La formula è:
 
1210
1221 nnnnnn
b
n
n
ba
n
n
ba
n
ba
n
a
n
ba 






























 


Combinatori
a in formule
Il binomio di Newton
Dimostrazione della formula.
(a+b)n = (a+b)(a+b) .... (a+b) dove a secondo membro abbiamo n fattori.
Facciamo la moltiplicazione scegliendo, da ciascun fattore (a+b), o il
termine a, o il termine b, in tutti i modi possibili, per poi sommare
algebricamente i prodotti così ottenuti.
Ora, se io scelgo, ad esempio, k volte il fattore b e n-k volte il fattore a,
avrò il monomio an-kbk
Quante volte comparirà, questo monomio, nella somma finale?
Perché il coefficiente binomiale conta in quanti modi dati n oggetti
(fattori) ne posso selezionare k (il termine b).
 
1210
1221 nnnnnn
b
n
n
ba
n
n
ba
n
ba
n
a
n
ba 






























 







k
n

esercizi
1. Siano A, B, C, … I, L 10 punti del piano a 3 a 3 non
allineati. Quanti sono i triangoli aventi 3 dei punti come
vertice? Quanti di questi triangoli hanno A come vertice?
2. In una classe ci sono 7 ragazze e 10 ragazzi. Bisogna
scegliere 3 ragazze e 6 ragazzi per formare una
rappresentativa della classe. In quanti modi si può fare?

PROBLEMI DI CALCOLO COMBINATORIO
DATI ALLA MATURITA’
•

Problemi di calcolo combinatorio
dati alla maturità
Maturità 2005 sessione suppletiva
Le parti letterali dei termini dello sviluppo del binomio
𝑎 + 𝑏 10, ordinati secondo le potenze decrescenti di a e
crescenti di b, sono rispettivamente: 𝑎10, 𝑎9b, 𝑎8 𝑏2, 𝑎7 𝑏3,
𝑎6 𝑏4, 𝑎5 𝑏5, 𝑎4 𝑏6, 𝑎3 𝑏7, 𝑎2 𝑏8, 𝑎𝑏9, 𝑏10. Elencare i loro
coefficienti e giustificare in modo esauriente la risposta.
Maturità 2001
Dimostra che per ogni n e k si ha
𝑛
𝑘
=
𝑛 − 1
𝑘
+
𝑛 − 1
𝑘 − 1
Maturità 2005
Calcolare quante sono le possibili «cinquine» che si possono
estrarre da un’urna contenente i numeri naturali da 1 a 90,
ognuna delle quali comprenda però i tre numeri 1, 2 e 3.

Problemi nella maturità
Maturità 2005
Come si definisce 𝑛! E quale ne è il significato nel calcolo combinatorio? Qual è il suo legame
con i coefficienti binomiali? Perché?
Maturità 2003
Si consideri una data estrazione in una data ruota del lotto. Calòcolare quante sono le possibili
cinquine che contengono i numeri 1 e 90.
Maturità 2004 sessione straordinaria
Alla finale dei 200 m piani partecipano 8 atleti fra i quali figurano i nostri amici Antonio e
Piero. Calcolare il numero dei possibili ordini di arrivo che registrino i nostri due amici fra i
primi 3 classificati
Maturità 2004 sessione straordinaria
In una classe di 25 alunni bisogna estrarre a sorte una rappresentanza di 3 elementi. Calcolare
quante sono le possibili terne di rappresentanti.

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