Kuliah 3 Sistem Linier:
- Representasi sinyal waktu-diskrit sebagai impuls
- Jumlahan konvolusi
- Representasi sinyal waktu-kontinu sebagai impuls
- Integrasi konvolusi
yepe-kuliah sinyal dan sistem 2013-a_file_2013-04-22_084315_yuliman_purwanto_...rtrialgi15
Materi kuliah sinyal dan sistem 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
UNTUK DOSEN Materi Sosialisasi Pengelolaan Kinerja Akademik DosenAdrianAgoes9
sosialisasi untuk dosen dalam mengisi dan memadankan sister akunnya, sehingga bisa memutakhirkan data di dalam sister tersebut. ini adalah untuk kepentingan jabatan akademik dan jabatan fungsional dosen. penting untuk karir dan jabatan dosen juga untuk kepentingan akademik perguruan tinggi terkait.
2. Outline
2
Definisi Sinyal & Sinyal dalam kehidupan kita
Klasifikasi Sinyal
Sinyal waktu kontinyu & Sinyal waktu Diskret
Sinyal Periodik & Aperiodik
Sinyal Genap & Sinyal Ganjil
Sinyal Deterministik dan Acak
Sinyal-sinyal Dasar
Operasi Dasar
3. Definisi Sinyal
3
Sinyal pada umumnya menggambarkan berbagai fenomena fisik.
Berbagai contoh sinyal dalam kehidupan sehari-hari : arus atau tegangan dalam
rangkaian elektrik, suara, suhu, tekanan udara, kecepatan, debit air, sinyal biomedis
seperti EEG, ECG dlsb.
Dalam konteks hubungan sinyal dengan sistem, sinyal adalah masukan dari enviroment
ke dalam sistem dan keluaran dari sistem ke enviroment.
environment
SINYAL
INPUT SISTEM
SINYAL
OUTPUT
4. Definisi Sinyal
4
Perhatikan gambar dibawah, sebuah sistem rangkaian penyearah jembatan dengan
sinyal masukan adalah tegangan AC, dan sinyal keluaran berupa sinyal DC.
Dalam hal ini sinyal adalah masukan sistem dan output sistem yang direpresentasikan
sebagai perubahan tegangan terhadap waktu.
5. Definisi Sinyal
5
Gambar dibawah adalah sinyal ucapan dari kata “apa kabar” yang dilewatkan melalui
mikrofon sepanjang 1100 milidetik. Dalam hal ini, suara ucapan digambarkan
sebagai perubahan tekanan akustik terhadap waktu.
6. Definisi Sinyal
6
Selain sinyal satu dimensi, dalam sehari-hari, kita juga akan sering menjumpai sinyal
dua dimensi. Sebagai contoh adalah citra digital. Perhatikan sebuah citra
monokromatis. Citra monokromatis direpresentasikan oleh tingkat kecerahan
sebagai fungsi titik koordinat.
7. Definisi Sinyal
7
Secara metematis sinyal dinyatakan sebagai fungsi dari
variabel bebas. Sinyal dapat memiliki satu atau lebih dari
satu variabel bebas.
Sebagaimana contoh di atas, sinyal listrik memiliki satu
variabel bebas waktu, sedangkan sinyal citra memiliki
dua variabel bebas berupa titik koordinat.
Dalam banyak hal sinyal adalah fungsi waktu yang
merepresentasikan variabel fisik yang berkaitan dengan
sistem.
8. Definisi Sinyal
8
Dalam kuliah ini kita akan membatasi pembahasan pada
sinyal dengan satu variabel bebas berupa waktu.
Meskipun pada kenyataannya tidak seluruh variabel bebas
dinyatakan dengan waktu, seperti variasi tekanan udara
dan kelembaban terhadap ketinggian.
Waktu sebagai variabel bebas yang akan kita pelajari
dalam kuliah ini, mencakup waktu kontinyu dan waktu
diskret.
9. Representasi Sinyal
9
Selain dengan cara grafis seperti contoh-contoh di atas, sinyal dapat juga
direpresentasikan dengan persamaan matematis.
Contoh :
Untuk sinyal waktu kontinyu :
x(t) = 10 sin 2t
x(t) = 2t+7
Untuk sinyal waktu diskret :
x(n)=2n+3
y(n)=[1, 2, 3, 4, 3, 2, 1], keterangan : tanda ”_” adalah titik n=0.
<
≥
=
00
0
)(
t
tt
ty
<
≥
=
00
01
)(
n
n
ny
10. Klasifikasi Sinyal
10
Sinyal waktu kontinyu & Sinyal waktu Diskret
Sinyal Periodik & Aperiodik
Sinyal Genap & Sinyal Ganjil
Sinyal Deterministik & Sinyal Acak
11. Sinyal waktu kontinyu & Sinyal waktu
Diskret
11
Sinyal Waktu Kontinyu terdefinisi untuk setiap nilai pada sumbu waktu, sedangkan
Sinyal Waktu Diskret terdefinisi hanya pada nilai waktu diskret.
Dalam pembahasan kita, sumbu waktu untuk Sinyal Waktu Kontinyu menggunakan
simbol t, sedangkan untuk Sinyal Waktu Diskret menggunakan simbol n. Sehingga
representasi sinyal x untuk Sinyal Waktu Kontinyu dituliskan sebagai x(t) dan untuk
Sinyal Waktu Diskret dituliskan sebagai x(n).
Contoh Sinyal Waktu Kontinyu : Sinyal modulasi AM
12. Sinyal waktu kontinyu & Sinyal waktu
Diskret
12
Contoh Sinyal Waktu Dsikret :
Jumlah pelanggan tetap VoIP U.S
Sumber :Trend in the U.S communication equipment market :A wall
street perspective.
Communication Magazine, Vol 44.
Keterangan : 1Q03 = ¼ pertama tahun 2003
13. Sinyal Periodik dan Sinyal Aperiodik
Sinyal waktu kontinyu dinyatakan periodik jika dan hanya jika
x(t+kT)=x(t) untuk - ∞ < t < ∞,
dimana k adalah bilangan bulat.
T adalah perioda sinyal.
Sinyal waktu diskrit dinyatakan periodik jika dan hanya jika
x(n+kN)=x(n) untuk - ∞ < n < ∞,
dimana k adalah bilangan bulat.
N adalah perioda sinyal.
13
14. Sinyal Genap dan Sinyal Ganjil
14
Salah satu klasifikasi lain diperoleh dengan melihat kesimetrian sinyal pada waktu
balikan (reverse time). Sinyal x(t) atau x(n) dinyatakan sinyal genap jika :
x(-t)=x(t) dan x(-n)=x(n)
Jadi sinyal genap membentuk simteri dengan waktu balikannya.
Contoh : gambar& pers
15. Sinyal Genap dan Sinyal Ganjil
15
Sinyal x(t) atau x(n) dinyatakan sinyal ganjil jika :
x(-t)=-x(t) dan x(-n)=-x(n)
Jadi sinyal ganjil membentuk anti-simteri dengan waktu balikannya.
Contoh : gambar& pers
16. Sinyal Deterministik dan Stochastic
16
Sinyal determinisktik adalah sinyal yang keseluruhan nilainya dapat ditentukan
dengan suatu persamaan matematis.
Contoh : sinyal sinus, sinyal-sinyal dalam pembahasan MK ini selanjutnya adalah
sinyal deterministik.
Sinyal Stochastic jika nilai yang akan datang dari suatu sinyal tidak dapat ditentukan
secara pasti.
Contoh : noise tegangan dalam penguat, dll
17. Energi dan Daya Sinyal
17
Untuk sinyal waktu kontinyu :
Untuk sinyal waktu diskret :
∫∫
+∞
∞−−∞→
==
1
22
)()(lim dttxdttxE
T
TT
∫∫
+∞
∞−−∞→
==
1
22
)()(
2
1
lim dttxdttx
T
P
T
TT
;
∑∑
+∞
−∞=−=
∞→
==
n
N
Nn
N
nxnxE
22
)()(lim
∑∑
+∞
−∞=−=
∞→
=
−
=
n
N
Nn
N
nxnx
N
P
22
)()(
12
1
lim
;
29. Operasi-operasi Dasar
29
Operasi terhadap Sumbu Waktu
Pergeseran sumbu waktu
X(t+t0) geser ke kiri sejauh t0
X(t-t0) geser ke kanan sejauh t0
Pencerminan
X(-t) pencerminan terhadap sumbu vertikal
Penskalaan waktu (kompresi-ekspansi)
X(at) jika |a|>1 Kompresi
jika |a|<1 ekspansi
±±=±±
a
b
tafbatf )(
±±=±±
a
b
nafbanf )(
32. Outline (bagian 1)
32
Definisi Sistem
Interkoneksi Sistem
Klasifikasi Sistem :
Sistem Memory vs. Memoryless
Kausalitas
Stability and Invertibility
Linearity
Time-Invariance
Superposisi pada Sistem LTI
33. Definisi Sistem
33
Sistem: Black box yang memetakan sinyal input menjadi sinyal
output.
Sistem Waktu Diskret: y[n] = H[x(n)]
Sistem Waktu Kontiunyu: y(t) = H(x(t))
H
x[n] y[n]
H
x(t) y(t)
34. Interkonneksi Sistem
34
Hubungan serial (Cascade): y(t) = H2( H1( x(t) ) )
Contoh: radio receiver diikuti oleh amplifier
Parallel Connection: y(t) = H2( x(t) ) + H1( x(t) )
Contoh: line telepon terhubung parallel dengan microphone telepon
H1
x(t)
H2
y(t)
H1
x(t) y(t)
H2
+
36. Sistem Memory vs. Memoryless
36
Sistem Memoryless (static): Output sistem y(t) bergantung hanya
pada intput pada waktu t,
y(t) adalah fungsi x(t)
Sistem Bermemori (dynamic): Output sistem y(t) bergantung pada
input sebelum atau sesudah waktu t (current time t),
y(t) fungsi x(τ) dimana -∞ < τ <∞.
37. Sistem Memory vs. Memoryless
37
Contoh:Tentukan apakah dibawah ini sistem bermemori atau tak bermemori
resistor: y(t) = R x(t)
capacitor:
satu unit delayer: y[n] = x[n-1]
accumulator:
∫∞−
=
t
dx
C
ty ττ)(
1
)(
∑−∞=
=
n
k
kxny ][][
38. Kausalitas
Sistem kausal jika keluaran pada saat n=n0 hanya bergantung
pada harga-harga dari masukan n≤n0 (sebelumnya dan
sekarang), dengan kata lain h(n)=0 untuk n<0.
h(n) = respon impuls
Sistem yang dapat direalisasikan harus kausal
38
39. Stabilitas dan Invertibilitas
39
Stabilitas: Sistem stabil jika memberikan keluaran terbatas untuk masukan yang
terbatas (bounded-input/bounded-output)-BIBO.
Jika |x(t)| < k1, maka |y(t)| < k2.
Contoh:
∫=
t
dttxty
0
)()( ][100][ nxny =
40. Stabilitas dan Invertibilitas
40
Invertibilitas: Sistem invertible jika input yang berbeda menghasilkan output yang
berbeda. Jika sistem invertible,maka ada sistem “inverse” yang dapat mengkonversi
output asli sistem menjadi input asli sistem.
Contoh:
Sistem
x(t) Sistem
Inverse
w(t)=x(t)y(t)
41. Stabilitas dan Invertibilitas
41
Contoh:
)(
4
1
)(
)(4)(
tytw
txty
=
=
]1[][][
][][
−−=
= ∑−∞=
nynynw
kxny
n
k
dt
tdy
tw
dttxty
t
)(
)(
)()(
=
= ∫∞−
42. Linearitas
42
Sistem linier jika memenuhi sifat:
additivitas: x(t) = x1(t) + x2(t) y(t) = y1(t) + y2(t)
homogeneitas (atau scaling): x(t) = a x1(t) y(t) = a y1(t), dengan a
konstanta complex.
Dua sifat tersebut dapat dikombinasi menjadi satu sifat:
Superposition:
x(t) = a x1(t) + b x2(t) y(t) = a y1(t) + b y2(t)
x[n] = a x1[n] + b x2[n] y[n] = a y1[n] + b y2[n]
44. Time-Invariance
44
Sistem time-invariant jika delay (time-shift) pada sinyal input
menyebebkan delay yang sama besar (time-shift) pada sinyal ouput.
x(t) = x1(t-t0) y(t) = y1(t-t0)
x[n] = x1[n-n0] y[n] = y1[n-n0]
Periksalah sistem dibawah apakah time-invariant:
][][ nnxny =
)2()( txty =
)(sin)( txty =
45. Superposisi dalam Sistem LTI
45
Dalam sistem LTI:
Respons sistem y(t) untuk sinyal input x(t)
Sangat mungkin menggambarkan respons sistem untuk sejumlah
sinyal input x1(t) yang dapat diperoleh dengan “scaling” atau “time-
shifting” dari sinyal input x(t),
contoh :
x1(t) = a0x(t-t0) + a1x(t-t1) + a2x(t-t2) + …
y1(t) = a0y(t-t0) + a1y(t-t1) + a2y(t-t2) + …
46. Superposisi in Sistem LTI (cont’d)
46
Latihan: Diberikan respon y(t) pada sistem LTI untuk sinyal input x(t) di bawah, carilah
response sistem untuk sinyal input x1(t) dan x2(t).
x(t) y(t)
2
1
t
1
-1 1
t
t
47. Superposisi in Sistem LTI (cont’d)
47
Latihan: Diberikan respon y(t) pada sistem LTI untuk sinyal input x(t) di bawah, carilah
response sistem untuk sinyal input x1(t) dan x2(t).
t
2
x1(t)
1 t
2
x2(t)
1
-1
3
4
1/2-1/2
49. Outline (bagian 2)
49
Representasi Sinyal sebagai Impuls
Response Impulse
Penurunan Konvolution Jumlah
Arti Konvolusi
Metoda Konvolusi Dua Sinyal
Penurunan Konvolusi Integral
50. Representasi Sinyal sebagai Impuls
50
Kita dapat merepresentasikan berbagai sinyal melalui
pen-sampling-an dengan unit impulse tergeser:
Disebut sebagai sifting (or shifting) property:
+−+
−++
+−++−+
=
...]2[]2[
]1[]1[][]0[
]1[]1[]2[]2[...
][
nx
nxnx
nxnx
nx
δ
δδ
δδ
∑
∞
−∞=
−=
k
knkxnx ][][][ δ
51. Response Impuls
51
Respons dari sistem ketika sinyal input adalah unit impulse δ(t)
disebut sebagai respons impulse, dan direpresentasikan oleh h(t).
Pada SWK : h(t) = H(δ(t))
Pada SWD : h[n] = H[δ[t]]
Sistem
H
δ(t) h(t)
Sistem
H
δ[n] h[n]
52. Penurunan Konvolution Jumlah
52
Pada SWD LTI, misal h[n] adalah respons impuls dari sistem H.
signal x[n] sebagai masukan H.
tulis x[n] dalam bentuk representasi unit impulses:
Maka sinyal output y[n] menjadi:
∑
∞
−∞=
−=
k
knkxnx ][][][ δ
−== ∑
∞
−∞=k
knkxHnxHny ][][]][[][ δ
53. Penurunan Konvolution Jumlah (cont’d)
53
Karena additivitas pada sistem LTI :
Karena homogenitas pada sistem LTI :
Karena time-invariance pada sistem LTI:
[ ]∑
∞
−∞=
−=
k
knkxHny ][][][ δ
[ ]∑
∞
−∞=
−=
k
knHkxny ][][][ δ
∑
∞
−∞=
−=
k
knhkxny ][][][
54. Arti Konvolusi
54
Persamaan disebut sebagai konvolusi jumlah
(convolution sum) atau superposition sum, dan direpresentasikan oleh:
Perlu dicatat bahwa ini bukan perkalian antara x[n] dan h[n].
Secara Visual konvolusi berarti :
Cerminkan h[k]
Geser h[k] untuk seluruh nilai n yang mungkin, sampai melewati
x[n].
∑
∞
−∞=
−=
k
knhkxny ][][][
][*][][ nhnxny =
55. Penurunan Konvolusi Integral
55
Pada sistem waktu kontinyu LTI H, misal h(t) adalah respons impulse
sistem.
signal x(t) sebagai masukan H.
Tulis “staircase approximation” untuk x(t) dalam bentuk unit impulse:
dimana .
∑
∞
−∞=
∆ ∆∆−∆=
k
ktkxtx )(][)(ˆ δ
∆<≤
∆=∆
laint
t
t
,0
0,
1
)(δ
56. Penurunan Konvolusi Integral (cont’d)
56
Maka, sinyal output signal y(t) menjadi :
Karena additivitas pada sistem LTI :
Karena homogenitas pada sistem LTI :
∆∆−∆== ∑
∞
−∞=
∆
k
ktkxHtxHty )(][))(ˆ()(ˆ δ
( )∑
∞
−∞=
∆ ∆∆−∆=
k
ktkxHty )(][)(ˆ δ
( )∑
∞
−∞=
∆ ∆∆−∆=
k
ktHkxty )(][)(ˆ δ
57. Penurunan Konvolusi Integral (cont’d)
57
Karena time-invariance pada sistem LTI :
dimana adalah staircase approximation dari h(t).
∑
∞
−∞=
∆∆−∆=
k
kthkxty )(ˆ][)(ˆ
)(ˆ th
58. 58
Pada kasus diatas penjumlahan didekati
konvolusi integral dibawah:
0→∆
)(*)()(
)()()(
)(ˆ][lim)(ˆlim)(
00
thtxty
dthxty
kthkxtyty
k
=
−=
∆∆−∆==
∫
∑
∞
∞−
∞
−∞=
→∆→∆
τττ
62. Causality
62
Sistem kausal jika output hanya bergantung hanya pada
sinyal input saat ini dan sebelumnya.
Sistem LTI Kausal:
Karena kausalitas h[n-k] harus nol untuk k>n.
Shg, n-k<0 untuk sistem LTI kausal.
Maka h[n]=0 untuk n<0.
∑
∞
−∞=
−=
k
knhkxny ][][][
63. Causality (cont’d)
63
Maka konvolusi jumlah untuk sistem LTI kausalmenjadi:
Sama halnya, konvolusi integral untuk sistem LTI kausal:
Maka jika sistem kausal, respons impulse nol untuk nilai waktu negatif
dan gunakan persamaan konvolusi yang lebih sederhana seperti di atas
∑∑
∞
=−∞=
−=−=
0
][][][][][
k
n
k
knxkhknhkxny
∫∫
∞
∞−
−=−=
0
)()()()(][ ττττττ dtxhdthxny
t
64. Step Response
64
Unit Step Response: Keluaran sistem ketika diberikan masukan
sinyal step.
Direpresentasikan oleh oleh s[n] atau s(t).
Seluruh karakteristiknya pada sistem LTI serupa dengan Respons
Unit Impulse.
Sistem
H
δ(t) h(t)
Sistem
H
u(t) s(t)
65. Step Response dan Impulse Response
65
Hubungan Respons Step dan Respons Impulse:
Exercise: buktikan hubungan persamaan di atas.
)('
)(
)(
)()(
]1[][][
][][
ts
dt
tds
th
dhts
nsnsnh
khns
t
n
k
==
=
−−=
=
∫
∑
∞−
−∞=
ττ
68. Teorema Pencuplikan (Sampling Theorem)
68
Sampling adalah suatu proses mengubah sinyal kontinu menjadi
sinyal diskrit; sedangkan rekonstruksi adalah proses sebaliknya
Sampling Theorem: Suatu sinyal waktu kontinu, x(t) dapat
direkonstruksi secara unik dari cuplikannya, xs(t), jika dipenuhi
dua kondisi:
1. x(t) harus memiliki pita terbatas dengan frekuensi maximum
ωM
Contoh :
Apkh x(t)=e-30t
u(t) band-limited, maksudnya, apkh
|X(ω)|=0 for |ω|>ωM? Why or why not?
Apkh x(t)=sinc(t) band -limited? Why or why not?
69. Teorema Pencuplikan (Sampling Theorem)
69
1. x(t) harus memiliki pita terbatas dengan
frekuensi maximum ωM
Contoh :
Apkh x(t)=e-30t
u(t) band-limited, maksudnya, apkh
|X(ω)|=0 for |ω|>ωM? Why or why not?
Apkh x(t)=sinc(t) band -limited? Why or why
not?
70. Sampling Theorem (continued)
70
2. Sampling frequency ωs dari xs(t) harus lebih besar sama
dengan 2ωM, atau ωs ≥ 2ωM.
Kondisi kedua ini dikenal sbg Kriteria Nyquist
ωs disebut Frekuensi Nyquist yaitu sampling frequency
(Frekuensi pencuplikan) terkecil yang mungkin agar dapat
diperoleh kembali sinyal analog asli dari hasil cuplikannya
71. Pencuplikan Ideal (Rentetan Impulse)
71
Pencuplikan sinyal waktu kontinu x(t) dpt dilakukan dgn
mendapatkan nilai-nilainya pada waktu-waktu periodik x(kT) dimana
T is the sampling period.
Idealnya dapat dilakukan dg mengalikan x(t) dengan rentetan impuls
yang punya periode T:
Dari sifat sampling:
)()()( tptxtxs =
∑
∞
−∞=
−=
k
kTttp )()( δ
∑
∞
−∞=
−=
k
s kTtkTxtx )()()( δ
72. Pencuplikan Ideal (Rentetan Impulse)
72
Dari sifat multiplikasi diketahui :
Dan
Misalkan x(t) adalah band-limited dg maximum
frequency ωM dan dg bentuk triangular, sketsa
spektrum frekuensi Xs(jω) untuk 2 kasus: ωs>2ωMdan
ωs<2ωM adalah sbb :
∫
+∞
∞−
−= θθωθ
π
ω djPjXjXs ))(()(
2
1
)(
∑
+∞
−∞=
−=
k
sk
T
jP )(
2
)( ωωδ
π
ω
75. Pencuplikan Ideal (cont’d)
75
Berapakah frekuensi cutoff ωc terbaik dari LPF untuk
merekonstruksi x(t) dari xs(t).
Latihan: Berapakah Frekuensi Nyquist untuk signals:
x(t)=2cos(40t)
x(t)=sinc(t)
76. Pencuplikan Ideal (cont’d)
76
Latihan : Anggap x(t) periodik dengan periode TM.
Tuliskan kriteria Nyquist ωs>2ωM dalam bentuk periode
Ts dan TM.
Latihan : Sample x(t)=cos(ωMt) as ωs=2ωM.
77. Rekonstruksi dengan Interpolasi
77
Suatu samples (cuplikan) xs(t) dari sebuah sinyal analog x(t) dilewatkan melalui
LPF ideal denganfrekuensi cutoff ωc=ωs/2.
Bagaimana bentuk korespondensi time-domain untuk operasi ini?
Operasi disebut interpolasi band-limited
LPF
h(t)
xs(t) xr(t)
78. 78
Carilah rumus interpolasi utk mendapatkan xr(t).
Similarly, obtain the two easier-to-implement
interpolation formulas for xr(t) by using
Zero-Order-Hold
First-Order-Hold (Linear Interpolation)
79. Aliasing (Under-sampling)
79
Apa yg terjadi bila frekuensi sampling lebih kecil dari Frekuensi
Nyquist, ωs<2ωM?
Sinyal asli x(t) tak bisa diperoleh dari xs(t) krn ada “overlap” yang
tak diinginkan di Xs(ω).
Akibatnya sinyal hasil rekonstruksi l xr(t) berbeda dengan x(t),
dan disebut sebagai aliasing atau under-sampling.
80. 80
Latihan: Utk x(t)=cos(ωMt), cupliklah dgn
frekuensi:
ωs=3ωM
ωs=3ωM/2
ωs=ωM
(a) Gambarkan sinyal cuplikanl xs(t) dan its
spektrum frekuensinya.
(b) Jika terjadi aliasing , brpkh frekuensi
maximum dari aliasing.
82. Deret Fourier Waktu Kontinu (DFWK)
82
[ ]∑
+∞
=
Ω⋅−Ω⋅+=
1k
kk0 t)(ksinbt)(kcosaax(t)
a0, ak, bk : Fourier coefficients.
k: harmonic number,
T: period, Ω = 2π/TFor all t but discontinuitiesFor all t but discontinuities
∫⋅=
T
0
0 s(t)dt
T
1
a
∫ Ω⋅⋅=
T
0
k dtt)sin(ks(t)
T
2
b-
∫ Ω⋅⋅=
T
0
k dtt)cos(ks(t)
T
2
a
(signal average over a period, i.e. DC term &
zero-frequency component.)
analysis
analysis
synthesis
synthesis
83. Deret Fourier Waktu Kontinu (DFWK)
83
∑
∞
∞=
Ω
⋅=
-k
T
t
jk
k ecx(t)synthesis
synthesis
dt
Tt
t
k
∫
+ Ω
−
⋅=
0
0
T
t
j
k ex(t)
T
1
c
DFS defined as:DFS defined as:
analysis
analysis
Deret Fourier Bentuk Eksponensial Kompleks
Bentuk ini lebih memberikan
banyak informasi, karena
koefisien Fourier dinyatakan
secara eksplisit
r
θ
a
b
θ = arctan(b/a)
r = a2
+ b2
z = r e
jθ
( ) ( )kbjka
2
1
kbjka
2
1
kc −⋅−−⋅=⋅+⋅=
0a0c =
Link to FS real coeffs.Link to FS real coeffs.
85. DFWD
85
Diskret square wave.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k
0 2 4 5 6 7 8 9 10 n
θk
ck
am
plitude
am
plitude
phase
phase
-5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n
0 L N
s[n]
1
86. Fourier analysis - tools
86
Input Time Signal Frequency spectrum
∑
−
=
−
⋅=
1N
0n
N
nkπ2
j
k ex[n]
N
1
c~
Discrete
DiscreteDFSDFSPeriodic
(period T)
ContinuousDTFT
Aperiodic
DiscreteDFTDFT
nfπ2j
n
ex[n]X(f) −
+∞
−∞=
⋅= ∑
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 2 4 6 8 10 12
time, tk
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
time, tk
∑
−
=
−
⋅=
1N
0n
N
nkπ2
j
k ex[n]
N
1
c~
**
**
Calculated via FFT
**
dtex(t)X(f)
tfπj2−+∞
∞−∫ ⋅=
dtex(t)
T
1
c
T
0
tkj
k ∫
Ω−
⋅⋅=Periodic
(period T)
Discrete
ContinuousFTFTAperiodic
FSFS
Continuous
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
time, t
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 2 4 6 8 10 12
time, t
Note: j =√-1, ω = 2π/T, s[n]=s(tn), N = No. of samples
87. FS convergence
87
s(t) piecewise-continuous;
s(t) piecewise-monotonic;
s(t) absolutely integrable , ∞<∫
T
0
dts(t)
(a)
(b)
(c)
Dirichlet conditions
In any period:
Example:
square wave
T
(a) (b)
T
s(t)
(c)
if s(t) discontinuous then |ak|
<M/k for large k (M>0)
Rate of convergenceRate of convergence
88. Sifat-sifat Deret Fourier
88
Diberikan dua sinyal periodik dengan period T dan fundamental frequency
ω0=2π/T sama:
Linearity:
Time-Shifting:
Time-Reversal (Flip):
Time-Scaling:
k
k
bty
atx
↔
↔
)(
)(
kk BbAatBytAxtz +↔+= )()()(
00
)()( 0
tj
keattxtz ω−
↔−=
katxtz −↔−= )()(
0,)()( >↔= αα katxtz
89. Sifat-sifat Deret Fourier (cont’d)
89
Differentiation:
Integration:
Dekomposisi Genap-Ganjil dari Sinyal Real:
Multiplication:
kajk
dt
tdx
tz 0
)(
)( ω↔=
0,
1
)()( 0
0
=↔= ∫∞−
aa
jk
dttxtz k
t
ω
}{)}({)(
}{)}({)(
k
k
amjtxOddtz
aetxEventz
ℑ↔=
ℜ↔=
∑
∞
−∞=
−=↔=
l
lklkk babatytxtz *)()()(
90. Tabel FS properties
90
Time FrequencyTime Frequency
Homogeneity a·s(t) a·S(k)
Additivity s(t) + u(t) S(k)+U(k)
Linearity a·s(t) + b·u(t) a·S(k)+b·U(k)
Time reversal s(-t) S(-k)
Multiplication * s(t)·u(t)
Convolution * S(k)·U(k)
Time shifting
Frequency shifting S(k - m)
∑
∞
−∞=
−
m
m)U(m)S(k
td)t
T
0
u()ts(t
T
1
∫ ⋅−⋅
S(k)e T
tk2π
j
⋅
⋅
−
s(t)T
tm2π
j
e ⋅
+
)ts(t −
92. Outline
92
Time Domain vs. Frequency Domain
Hubungan Deret Fourier dan Transform Fourier
Sifat-sifat Fourier Transform
Exercises
93. Time Domain vs. Frequency Domain
93
Analisis Fourier (Deret atau Transform) merupakan jalan untuk menentukan kandungan
frequency dari sinyal yang diberikan, yakni memindahkan dari domain waktu ke domain
frequency.
Selalu mungkin untuk mengembalikan dari domain frequency ke domain waktu, melalui
Penjumlahan Deret Fourier atau Inverse Fourier Transform.
Diberikan sinyal x(t) dalam domain waktu, koefisien Fouriernya (ak) or Fourier
Transform-nya (X(ω)) disebut “frequency (or line) spectrum”.
Jika ak atau X(ω) complex, maka frequency spectrum dinyatakan dengan magnitude (|ak|
atau |X(ω)|) dan phase (∠ak atau ∠X(ω))
θωω
ω θ
=∠=
=
)()(
)(
XAX
AeX j
94. Hubungan Deret dan Transform Fourier
94
Perhatikan sinyal periodik x(t):
Kita dapatkan koefisien Fourier x(t) adalah:
≠
=
=
0
0
)sin(
,
2
10
1
k
k
k
Tk
T
T
ak
π
ω
x(t)
t
-T1 0 T1 T-T
95. Hubungan Deret dan Transform Fourier
95
Sketch ak on the k-axis:
Plot membentuk fungsi sinc diskret.
Untuk setiap nilai k, sinyal x(t) memiliki komponen periodik
dengan weight ak, menunjukkan frequency content dari sinyal x(t).
ak
k
-2 -1 0 1 2
2T1/T
96. Hubungan Deret dan Transform Fourier
(cont’d)
96
Sekarang, sket ak on ω-axis:
Pada ω-axis, jarak antara dua aksyang berurutan adalah ω0=2π/T,
frekuensi fundamental.
ak
ω
-2ω0 -ω0 0 ω0 2ω0
2T1/T
97. Hubungan Deret dan Transform Fourier
(cont’d)
97
Pada perioda T∝, frekuensi fundamental ω00. Sehingga, jarak antara dua
aks yang berurutan menjadi nol, dan sket akmenjadi kontinu, ini disebut
Transform Fourier.
Pada sisi lain, saat T∝, sinyal x(t) menjadi aperiodik dan mempunyai
bentuk :
Hal ini berarti Transformasi Fourier dapat merepresentasikan sinya apriodik
pada domin frekuensi.
x(t)
t
-T1 0 T1
98. Transform Fourier Waktu Kontinu
Transisi dari DFWK keTFWK
fF=1/TF
∑
∞
∞=
Ω
⋅=
-k
T
t
jk
k ecx(t)
∑
∞
∞=
∆
⋅=
-k
t)(2j
e][Xx(t) f
k π
98
∆f=fF=1/TF
∑ ∫
∞
∞=
∆
+
∆−
⋅
⋅=
-k
t)(2j
0
0
)(2j
F
ee)x(
T
1
x(t) f
Tt
t
fk
F
d πτπ
ττ
Transisi dari DFWK ke TFWK dicapai dengan
pendekatan
“sinyal aperiodik dapat dipandang sebagai
sinyal periodik dengan perioda infinity”
99. Transform Fourier Waktu Kontinu
fd f
T
T
fk
F
F
∆⋅
⋅= ∑ ∫
∞
∞=
∆
−
∆−
-k
t)(2j
2/
2/
)(2j
ee)x(x(t) πτπ
ττ
fd f
T
T
fk
T
F
F
F
∆⋅
⋅= ∑ ∫
∞
∞=
∆
−
∆−
∞→
-k
t)(2j
2/
2/
)(2j
ee)x(limx(t) πτπ
ττ
∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
−
⋅
⋅= dfd ff t2j2j
ee)x(x(t) πτπ
ττ
99
102. Konvergensi TFWK
102
Samahalnya dengan Deret Fourier, kondisi konvergen
Diterapkan untuk Fourier Transform:
Sinyal harus absolutely integrable
Pada interval waktu terbatas, sinyal haruslah memiliki maxima and
minima berhingga
Pada interval waktu terbatas, sinyal haruslah memiliki jumlah
diskontinu berhingga.
∞<∫
∞
∞−
dttx )(
109. Transformasi Fourier pada Sinyal Periodik
109
Beberapa sinyal periodik, integral Transformasi Fourier mungkin tidak dapat
menyelesaikannya. Namun, ada cara yang mudah untuk menentukan
Transformasi Fourier pada sinyal periodik:
Untuk sinyal periodik x(t), Deret Fourier :
dimana .
Maka, Transformasi Fourier x(t) adalah:
merupakan deretan impulse dengan magnituda 2πak, dimana ω0 adalah frekuensi
fundamental dari x(t).
∑
∞
−∞=
=
k
tjk
keatx 0
)( ω
∫
−
=
T
tjk
k dtetx
T
a 0
)(
1 ω
∑
∞
−∞=
−=
k
k kaX )(2)( 0ωωδπω
110. Inverse Fourier Transform
110
Kita dapat merekonstruksi sinyal asli x(t) jika diberikan frequency
content, yakni Transformasi Fourier.
Sehingga, Jika diketahui Transformasi Fourier X() dari sinyal x(t),
sinyal x(t) dapat dihitung melalui persamaan Inverse Fourier :
Exercise: Solve Text Problems 4.4 (b) and 4.22 (c).
∫
∞
∞−
= ωω
π
ω
deXtx tj
)(
2
1
)(
111. Respons Frequency
111
Sepertihalnya Respons Impuls h(t) pada sistem LTI, frequency response H(ω) pada
sistem LTI merupakan karakteristik perilaku sistem.
Hubungan antara h(t) dan H(ω) secara sederhana:
Hal ini berguna ketika kita mencari output sistem LTI saat diberi input:
Melalui Transformasi Fourier, y(t) dapat dihitung dengan perkalian sederhana:
Y(ω) = H(ω)X(ω)
∫
∞
∞−
−
=↔ ωω ω
dethHth tj
)()()(
h(t) y(t)x(t)
112. Konvolution dan Perkalian
112
Konvolusi dalam domain waktu koresponden dengan
perkalian dalam domain frekuensi:
Demikain halnya, perkalian dalam domain waktu
koresponden dengan konvolusi dalam domain frequensi:
)()()(*)( ωω YXtytx ↔
∫
∞
∞−
−=↔ θθωθ
π
ωω
π
dYXYXtytx )()(
2
1
)(*)(
2
1
)()(
114. Deret Fourier Sinyal Waktu Diskrit
114
Tujuan :
Memindahkan sinyal waktu diskrit ke kawasan frekuensi
Sinyal periodik Spektral Diskrit
Sinyal aperiodik Spektral Kontinu
DFWD
TFWD
115. DERET FOURIER WAKTU DISKRIT
115
Bentuk Trigonometri
Sinyal periodik x(n) dengan perioda
x(n) = x(n+N)
Sinyal periodik bentuk sinusoida
x(n) = an cos (2πn/N)
x(n) = bn sin (2πn/N)
Frekuensi sudut sinyal periodik
ω ≡ 2πn/N radian
116. DERET FOURIER WAKTU DISKRIT
DFWD
Bandingkan dgn DFWK
∑
∞
=
++=
1
000 )sincos()(
k
kk tkbtkaanx ωω
∑
∞
=
Ω+Ω+=
1
000 )sincos()(
n
nn tnbtnaatx
116
117. DERET FOURIER WAKTU DISKRIT
Bentuk Eksponensial
,...2,1,0)(
1
0
0
±±== ∑
−
=
neanx
N
k
njk
k
ω
1,...,2,1,0)(
1
)(
1
0
0
−== ∑
−
=
−
Nkenx
N
ka
N
n
njkω
117
118. DERET FOURIER WAKTU DISKRIT
118
Jika
Jadi
N
k
j
k
N
N
j
N ewmakaew
ππ 22
=≅
1,...,2,1,0)(
1
,...2,1,0)(
1
0
1
0
−==
±±==
∑
∑
−
=
−
−
=
Nkwnx
N
a
nwanx
N
n
kn
Nk
N
k
kn
Nk
119. DERET FOURIER WAKTU DISKRIT
Bentuk DFWD cukup dianalisis 1 periode dari N=0 s/d N-
1 karena sifat ekponensial
dimana k=integer sejumlah N dai 0 s/d N-1
[ ] 12
2
0
==
= kj
N
N
k
jNjk
eee π
π
ω
119
120. DERET FOURIER WAKTU DISKRIT
120
Untuk N=8 Integer k juga
merepresentasikan frekuensi
sudut ω0
Jadi ak merepresentasikan
spektral SWD
121. DERET FOURIER WAKTU DISKRIT
121
Latihan
Gambarkan koefisien fourier diskrit dari SWD dgn perioda 8
sbb:
n
0 1
x(n)
7
122. DERET FOURIER WAKTU DISKRIT
Respon Steady State thd bbrp input sinusoida
Cari Lq (operator q)
Respon steady state input ekponensial
Jika input sinusoid maka diubah dulu ke bentuk eksponensial
nj
Aenx 0
)( ω
=
( )
( ) 0
)()( ωj
eqss nx
qD
qN
ny =
=
122
123. KONVERGENSI DERET FOURIER
123
Suatu sinyal periodik tidak dapat direpresentasikan sebagai deret
Fourier jika :
Sinyal tidak dapat diintegralkan secara absolut pada setiap periode
Dalam setiap interval waktu yang terbatas, sinyal mempunyai variasi
yang tidak terbatas
Dalam setiap interval waktu terbatas , sinyal mempunyai jumlah
diskontiniu yang tak terbatas.
Akan tetapi sinyal yang demikian adalah sinyal yang tidak
realistik, sehingga konvergensi bukan merupakan hal yang
penting dalam hal ini.
124. SIFAT-SIFAT DERET FOURIER
Dua sinyal periodik dgn periode N dan
fundamental frequency ω0=2π/N:
Linearitas:
k
k
bny
anx
↔
↔
)(
)(
kk BbAanBynAxtz +↔+= )()()(
124
131. TIME DOMAIN vs. FREQUENCY
DOMAIN
131
Analisa Fourier (Deret atau Transformasi) adalah cara
mendapatkan content frekuensi dari sinyal, antara lain
berpindah dari time-domain ke frequency domain.
Selalu dimungkinkan untuk kembali dari frequency-
domain ke time-domain.
132. KONVERGENSI TRANSFORMASI
FOURIER
132
Sama dengan Deret Fourier, maka suatu sinyal aperiodik
dapat diTransformasi Fourier jika :
Sinyal dapat diintegralkan secara absolut pada setiap periode
Dalam setiap interval waktu yang terbatas, sinyal mempunyai
variasi yang terbatas
Dalam setiap interval waktu terbatas , sinyal mempunyai
jumlah diskontiniu yang terbatas.
133. TRANSFORMASI FOURIER WAKTU
DISKRIT
133
Digunakan jika sinyal waktu diskrit tidak periodik atau
merupakan deretan terbatas
Dengan TFWD dapat ditentukan spektral diskritnya
TFWD diturunkan dari DFWD dimana periodanya menuju
tak terhingga
135. SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI
FOURIER WAKTU DISKRIT
135
- Periodik
Linieritas
Pergeseran waktu dan frekuensi
Penskalaan waktu dan frekuensi
Differensiasi dan penjumlahan
Teorema Parseval
Konvolusi
Konvolusi Periodik
136. SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER
WAKTU DISKRIT
Periodisitas
Transformasi FourierWaktu Diskrit selalu
periodik dalam ω dengan periode 2π
136
( )
( )ωπω jj
eXeX =+
)( 2
146. LATIHAN SOAL
146
Suatu sistem kausal LTI
dimana x[n] dan y[n] adalah input dan output sistem
( a ) Cari Respon Frekuensi Sistem
( b ) Cari Impuls Respon Sistem
147. LATIHAN SOAL
147
Suatu sistem kausal LTI
a. Cari Respon Frekuensi sistem
b. Cari Respon Impuls Sistem
c. Gambarkan Respon Magnituda
d. Gambarkan Respon Fasa
149. TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT
149
Jadi TFD berguna untuk mentransformasikan sinyal aperiodik
ke spektrum diskrit
Jika TFD dianalisa dengan menggunakan DFWD sinyal dibuat
seolah-olah periodik
Jika TFD dianalisa dengan menggunakan TFWD
Hubungan TFD dengan TFWD
=Ω= =Ω
N
k
XXkX
N
π
π
2
)()( 2
151. 151
Pada analisis transien, rangkaian selalu dihadapkan dengan
bilangan kompleks σ + jω. Sedangkan Transformasi Fourier
Waktu Kontinyu (TFWK) hanya bekerja dalam daerah ω
(kondisi steady sate).
Transformasi Laplace, seperti halnya (TFWK) yang
mentransformasikan sinyal di kawasan waktu ke kawasan
frekuensi (dalam frekuensi kompleks).
156. 156
Maka X(s) dijamin ada bila :
∼ ∼
∫ │x(t) e-σt
dt = ∫ x(t) e│ │ │ -σt
dt terbatas
-∼ -∼
Sebagai contoh :
x(t) = A. eαt
, untuk t > 0
= A. eβt
, untuk t < 0 , dimana A, α, β adalah bilangan
riil.
Maka : konvergen untuk α < σ < β
157. 157
Contoh soal :
Carilah Transformasi Laplace dari
x(t) = 3. e-2t
u(t) + 4 et
u(-t)
0 ∼
X(s) = ∫ 4. e-(s-1)t
dt + ∫3.e-(s+2)t
dt
-∼ 0
Konvergen Konvergen
Untuk σ > -2 Untuk σ < 1
Maka : X(s) = 3/(s+2) – 4/(s-1) konvergen untuk -2 < σ < 1
158. TRANSFORMASI LAPLACE SATU SISI [TLSS]
158
Definisi : diberikan suatu sinyal x(t) kausal, maka :
∼
X(s) = ∫ x(t) e-st
dt
0
σ+jΩ
x(t) =(1/2 j) ∫ X(s) eΠ st
ds
σ-jΩ
Konvergensi TLSS jika :lim e-σt x(t) = 0
s→ ∼
159. TRANSFORMASI LAPLACE BEBERAPA
SINYAL
159
a). Sinyal impuls δ(t)
∼
₤[δ(t)] = ∫ δ(t) e-st
dt
0
Ingat : δ(t) = 1 , t = 0
= 0 , t lainnya
Begitu pula e-st
δ(t) = 1 , t = 0
= 0 , t lainnya
Sehingga :
∼
₤[δ(t)] = ∫ δ(t) e-st dt
0
161. 161
c). Sinyal Ramp [t.u(t)]
∼
₤[t.u(t)] = ∫ t. u(t) e-st
dt
0
Untuk t ≥ 0 maka t. u(t) = t
Sehingga :
∼
₤[t.u(t)] = ∫ t e-st
dt
0
Ingat : ∼
∫ xn
.e-st
dx = (n!)/(an+1
)
0
Untuk a > 0 dan n > 0
₤[t.u(t)] = 1 !/(s1+1
) = 1/s2
162. 162
Dengan cara yang sama :
∼ ∼
₤[tn
.u(t)] = ∫ tn
. u(t) e-st
dt = ∫ tn
. e-st
dt
0 0
₤[tn
.u(t)] = n !/(sn+1
)
₤[tn-1
.u(t)/(n-1)!] = 1/sn
163. 163
d) Sinyal Eksponensial
Bila f(t) = u(t) F(s) = 1/s→
Maka [e₤ -at
.u(t)] = F(s+a)
Jadi : [e₤ -at
.u(t)] = 1/(s+a)
Begitu pula untuk sinyal berikut ini :
₤[(1- e-at
) u(t)] = [u(t)] - [e₤ ₤ -at
) u(t)
= 1/s - 1/(s+a)
₤[(1- e-at
) u(t)] = a/[s(s+a)]
164. 164
Dengan cara yang sama :
₤[(t. e-at
) u(t)] = 1/(s+a)2
Dan
₤[(tn-1
. e-at
) u(t)/(n-1)!] = 1/(s+a)n
165. 165
e). Sinyal sinusoidal dan cosinusoidal
₤[sin Ωt u(t)] = [u(t).(e₤ jΩt
– e-jΩt
)/2j]
= (1/2j) { [e₤ jΩt
u(t)] – [e₤ -jΩt
u(t)]}
= (1/2j) [1/(s-jΩ) - 1/(s+jΩ)]
₤[sin Ωt u(t)] = Ω/(s2
+ Ω2
)
Dengan cara yang sama :
₤[cos Ωt u(t)] = s/(s2
+ Ω2
)
₤[ e-at
sin Ωt u(t)] = Ω/[(s+a)2
+ Ω2
]
₤[ e-at
cos Ωt u(t)] = (s+a)/[(s+a)2
+ Ω2
]
167. 167
b). Pergeseran waktu
Jika [x(t) u(t)] = X(s)₤
maka [x(t- ) u(t- )] = e₤ τ τ -sτ
X(s) , τ > (Buktikan)
Sehingga dapat ditabelkan sebagai berikut :
x(t) X(s)
(t- )δ τ e-sτ
u(t- )τ e-sτ
(1/s)
(t- ) u(t- )τ τ e-sτ
(1/s2
)
(t- )τ n
u(t- )τ e-sτ
(n!/sn+1
)
e-a(t- )τ
u(t- )τ e-sτ
[1/(s+a)]
168. 168
Pasangan sinyal dalam kawasan waktu dan sinyal dalam kawasan
frekuensi pada tabel di atas merupakan pasangan transformasi
Laplace.
Sehingga bila diketahui dalam sinyal dalam kawasan frekuensi maka
dapat dicari sinyal dalam kawasan waktu, walaupun belum dibahas
Invers Transformasi Laplace.
174. 174
e). Diferensiasi Waktu
∼
₤[dx(t)/dt] = ∫ e-st
dx(t)/dt. dt
0
b b b
Ambil u = e-st dan dv = dx(t) serta ingat ∫u dv = uv - ∫ v.du │
a a a
du = -s e-st
dt dan v = x(t) sehingga :
∼ ∼
₤[dx(t)/dt] = e-st
x(t) + s ∫ x(t) e-st dt│
0 0
₤[dx(t)/dt] = s. X(s) – x(0-)
176. 176
f). Integrasi Waktu
t
Jika [f(t)] = F(s) maka [∫f(t) dt] = F(s)/s₤ ₤
0
t ∼ t
Ingat [∫f(t) dt] = ∫ [ ∫ f(t) dt] e-st dt₤
0 0 0
t
Ambil u = ∫ f(t) dt du = f(t) dt→
0
dv = e-st
dt v = -(1/s) e→ -st
178. 178
g). Periodisitas
Bila xp(t) adalah sinyal periodik dan x1(t) adalah sinyal periode pertama
dari xp(t) dan [ x₤ 1(t)]= X1(s) maka :
₤[xp(t)] = [1/(1-e-Ts
)] X1(s) dengan T adalah periode
Hal ini dapat lebih dijelaskan sebagai berikut :
Suatu fungsi periodik f(t) = f1(t) + f2(t) + .....
Dengan f1(t) adalah sinyal periode pertama
f2(t) adalah sinyal periode kedua
dan seterusnya.
180. 180
h). Teorema Nilai Awal dan Nilai Akhir
Digunakan untuk memudahkan mencari solusi suatu kondisi awal ( t =0) dan kondisi akhir ( t = ∼)
dari suatu fungsi waktu melalui suatu fungsi frekuensi (s).
Teorema Nilai Awal
∼
∫[(dx(t)/dt] e-st
dt = s X(s) – x(0)
0
∼
s → ∼ : limit ∫[dx(t)/dt] e-st
dt = limit [s X(s)] – x(0)
0 s →∼
= limit [s X(s)] – x(0)
s→ ∼
x(0) = limit x(t) = limit s X(s)
t 0 s→ →∼
182. 182
i). Konvolusi Dua Sinyal
Bila x1(t) dan x2(t) mempunyai harga =0 , untuk t < 0
∼ ∼
Dan y(t) = x1(t) * x2(t) = ∫ x1( ) * xτ 2(t- ) d = ∫ xτ τ 1(t- ) * xτ 2( ) dτ τ
0 0
∼ ∼
Maka Y(s) = [y(t)] = ∫ [ ∫ x1( ) x2(t- ) d ] e₤ τ τ τ -st
dt
0 0
Ambil = t – :η τ
∼ ∼
Y(s) = ∫ x1(τ) [ ∫ x2(η) e-sη
dη] e-sη
dτ
0 0
Y(s) = X1(s). X2(s)
183. 183
j). Perkalian dengan t
Jika [f(t)] = F(s) maka [t. f(t)] = -dF(s)/ds₤ ₤
Dan secara umum dapat dituliskan sebagai :
₤[tn. f(t)] = (-1)n
dn
F(s)/ds
k). Pembagian dengan t
∼
Jika [f(t)] = F(s) maka [f(t)/t] = ∫ F(s) ds₤ ₤
0
184. Latihan
184
Carilah nilai awal dan nilai akhir dari :
1). X(s) = (s+10)/(s2
+3s+2)
2). A(s) = 1/(s+10)
3). Y(s) = 1/s
4). F(s) = s/(s+10)
186. Transformasi Sumber Ideal
186
Transformasi Laplace fungsi kawasan waktu :
V(s) = [v₤ (t)] dan I(s) = [i(t)]₤
Dengan v(t) adalah sumber tegangan ideal dan i(t) adalah sumber arus
ideal.
190. Transformasi Elemen Pasif linear
190
Untuk masing-masing elemen pasif, rasio tegangan terminal
terhadap arus yang mengalir disebut IMPEDANSI Z.
Sedangkan kebalikan impedansi disebut dengan ADMITANSI
Y.
Dalam domain s dituliskan :
Z(s) = V(s)/I(s) Volt/Ampere atau Ohm (Ω)
Y(s) = I(s)/V(s) Ampere/Volt atau Siemens (S)
191. Transformasi Resistor
191
Karakteristik terminal resistor dalam domain waktu :
R = v(t)/i(t)
v(t) = R. i(t)
i(t) = (1/R). v(t) = G. v(t)
Setelah ditransformasi Laplace :
V(s) = R. I(s)
I(s) = G. V(s)
Dari persamaan-persamaan di atas didapat :
ZR(s) = R (Ω)
YR(s) = G (S)
192. 192
Rangkaian di kawasan waktu dan di kawasan frekuensi (model impedansi dan model
admitansi) dapat ditunjukkan pada gambar berikut :
a). Rangkaian kawasan waktu b). Model Impedansi c). Model Admitansi
193. Transformasi Kapasitor
193
t
v(t) = (1/C) ∫ i(t) dt + v(t0)
t0
i(t) = C. d v(t)/dt
Transformasi Laplace :
V(s) = I(s)/(C.s) + v(t0)/s
I(s) = C[s.V(s) – v(t0)] = C.s.V(s) – C. v(t0)
194. 194
Kondisi awal pada persamaan di atas bila dibuat = nol, maka :
V(s) = I(s)/(C.s)
I(s) = C.s.V(s)
Sehingga dapat dituliskan :
Zc(s)= 1/(C.s) (Ω)
Yc(s)= C.s (S)
198. 198
Impedansi tersebut diseri dengan sumber tegangan v(0)/s = 5/s V.sec
Sehingga dapat digambarkan model seri sebagai berikut :
Admitansi Y(s) = C.s = 2,5 10-6
. s (S),
diparalel dengan sumber arus C.v(0) = (2,5 x 10-6
F).(5V) = 12,5 mikro
Ampere.sec
Sehingga dapat digambarkan model paralel sebagai berikut :
202. Contoh Soal
202
Tentukan model seri dan model paralel dari induktor 20 mH dengan
arus awal 0,3 A.
Solusi :
Rangkaian tersebut dalam kawasan waktu adalah sebagai berikut :
Impedansinya sebesar : Z(s) = L.s = 20.10-3
s (Ω)
203. 203
Admitansinya sebesar : Y(s) = 1/(L.s) = 1/(20.10-3
.s) = 50/s (S)
Sumber tegangannya : L.i(0) = (20.10-3
)(0,3 A) = 6 mVsec
Sumber Arus : i(0)/s = 0,3/s A sec
Sehingga model paralel dan model seri dapat digambarkan sebagai berikut :
211. Invers Transformasi Laplace Satu Sisi
211
Untuk mengembalikan dari spektrum (kawasan frekuensi) ke
kawasan waktu
X(s) x(t)→
+jΩσ
x(t) (1/2j≡ Π) ∫ X(s) est ds
-jΩσ
212. Dapat diselesaikan melalui definisi di atas atau melihat pasangan TLSS-
nya.
Sinyal T.Laplace
δ(t) 1
u(t) 1/s
(tn
e-at
/n !) u(t) 1/[(s+a)n+1]
Cos Ωt u(t) s/[s2+Ω2]
Sin Ωt u(t) Ω /[s2+Ω2]
e-at
Cos Ωt u(t) (s+a)/[(s+a)2+Ω2]
e-at
Sin Ωt u(t) Ω /[(s+a)2+Ω2]
212
221. f). Metode Grafis
221
Untuk mengevaluasi koefisien parsiil dari X(s) dengan cara menggambarkan vektor
diagram semua pole-zero sistem.
Diketahui : X(s) = N(s)/D(s) = k[(s-z1)(s-z2)......(s-zm)]/[(s-p1)(s-p2)....(s-pn)]
Nilai dari X(s) di s=s1 :
X(s1) = k (perkalian jarak langsung setiap zero ke s1)/ (perkalian jarak langsung
setiap pole ke s1)
Evaluasi pole pk dari X(s)
Ak = (s-pk) X(s)│
s=pk
Ak = k (perkalian jarak langsung setiap zero ke pk)/(perkalian jarak langsung setiap
pole ke pk)
222. 222
Contoh :
X(s) = 12(s+1)(s+4)/[s(s+2)(s+1+j2)(s+1-j2)]
= A/s + B/(s+2) + (C+jD)/(s+1+j2) + (C-jD)/(s+1-j2)
Gambar semua pole dan zero :
Kemudian evaluasi koefisien C-jD, berarti mengevaluasi ke vektor s+1-j2
(letak pole di s = -1+j2). Hitung semua jarak dari setiap pole dan zero yang
ada terhadap titik -1+j2. Didapat :
C-jD = 12 (√13 ∠33,7o)( 2∠90o)/[( 4∠90o)( √5∠153,4o)( √5∠26,6o)]
= 4,32∠-146,3o
= -3,6 – j2,4
C+jD = -3,6 + j 2,4
Dengan cara yang sama didapat :
A = [(12) (1) (4)]/[(2) (√5)(√5)] = 4,6
B = [(12) (1∠180o ) (2)]/[(2∠180o )(√5) (√5)] = 2,4
229. 229
d). Analisis Sistem Waktu Kontinyu
Diberikan Sistem Waktu Kontinyu Linear Tak Berubah
Terhadap Waktu (SWK LTW) ditunjukkan dengan hubungan
Input dan Output sebagai berikut :
an
yn(t) +an-1
yn-1(t) +…+ a0y(t) = b0x(t) + ….+ bm
xm(t)
230. 230
Respons steady state : Y(s) = H(s). X(s)
↕
y(t) = -1 [H(s).X(s)]₤
Stabilitas Sistem SWK : H(s) = N(s)/D(s)
SWK stabil jika dan hanya jika :
a). Stabil dalam arti BIBO
b). Respons impuls secara mutlak terintegrasi
c). Limit h(t) = 0
t→∼
d). Akar riil D(s) < 0
e). Letak pole di sebelah kiri sumbu imajiner
234. Definisi Transformasi Z
234
Jika diberikan sinyal x(n) untuk SWD, maka transformasi Fourier Waktu
Diskrit (TFWD) dari x(n) dinyatakan oleh :
~
F [ x(n) ] = x (e-jωn
) = Σ x(n) e-jωn
-~
Transformasi Z dari sinyal atau deret waktu diskrit x(n) didefinisikan
sebagai :
~
TZ [ x(n) ] = X (z) = Σ x(n) z-n
-~
235. Contoh
235
Diberikan sinyal waktu diskrit x(n), yang mempunyai jumlah elemen
yang terbatas seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut ini :
0- 1
- 2
- 3 1 2
3 4
2
3
4
2
- 5
x ( n )
- 4
- 2
236. 236
Secara matematis gambar diatas dapat dinyatakan sebagai :
x(-3) = 2, x(-2) = -5, x(-1) = 3, x(0) = 0, x(1) = 4, x(2) = 2, x(3)
= -4, x(4) = -2
maka transformasi z dari x(n) akan diperoleh :
X(z) = 2z3
-5z2
+3z1
+4z-1
+2z-2
-4z-3
-2z-4
237. Hubungan TZ dengan TFWD
237
Untuk melihat hubungan antara transformasi z (TZ) dengan
tranformasi Fourier Waktu Diskrit(TFWD), maka dapat
kita lakukan dengan pengekspresian variabel komplek z
dalam bentuk polar, sebagai :
z = r ejω
~
X (r ejω
) = Σ[x (n) (r ejω
)]-n
-~
238. 238
yang dapat juga dituliskan sebagai :
~
X (r ejω
) = Σ[x (n) r-n
] e-jω
-~
Sedangkan TFWD dirumuskan sebagai :
~
X (ω) = Σ [ x (n) ] e-jω
-~
239. 239
Hubungan antara dua transformasi ini menunjukkan bahwa
TFWD merupakan TZ yang dievaluasi pada lingkaran satuan
dalam bidang z.
Definisi dapat diperluas :
~
h(n) H (z) =→ Σ h(n) z-n
-~
Untuk z = e-jωn
H (e→ -jω
).
240. 240
Jadi bila mempunyai respons impuls sistem h(n), dapat dicari
H(z), kemudian z diganti dengan ejω
didapat H (ejω
) (Respons
Frekuensi).
Dengan kata lain untuk menghitung respons frekuensi dapat
dilakukan melalui Transformasi Z.
241. Hubungan TZ dengan Transformasi
Laplace
241
Transformasi Z digunakan untuk sinyal waktu diskrit,
hubungannya dengan transformasi Laplace yaitu dengan
mensubstitusikan z = exp (sT)
Mengingat definisi Transformasi Laplace bilateral untuk sinyal
kontinyu x(t) didefinisikan sebagai :
~
₤[x(t)] = ∫x(t) e-st
dt
-~
242. 242
Pemetaan antara bidang s dan bidang z
Bidang s Mapping dengan Bidang z z=exp(sT)
Imaj (s) Imaj(z)
2/T
/T
0
-/T
-2/T
Riil (s) Riil (z)
Lingkaran
satuan
243. Transformasi Z Satu Sisi (TZSS)
243
Transformasi Z ,seperti halnya Transformasi laplace yang memiliki
transformasi satu sisi dan dua sisi.
Daerah konvergensi dari TZ bilateral dalam bidang z diberikan
dengan maksud bahwa TZ balik (Inverse Z-Transform) dapat
diperoleh.
244. 244
TZSS dari deretan x(n) didefinisikan sebagai :
~
X(z) = Σ x (n) z-n
-~
Untuk mempermudah notasi, TZSS dari deret x(n) dinotasikan
sebagai :
Z[x(n)] = X(z)
245. Pasangan TZSS
245
a. Deret Konstan
Jika diberikan deret konstan seperti berikut :
x(n) = A , n = 0, 1, 2, ...,~
TZ dari deret ini akan diberikan oleh :
~
X(z) = Σ x(n)z-n
= A( 1 + z-1
+ z-2
+ …)
-~
= A/(1-z-1
) = AZ/(z-1)
246. 246
Dalam kasus khusus, dimana | r | < 1, maka penjumlahan dari
deret akan konvergen untuk n = ∞. Sehingga dalam kasus ini
dapat diperoleh :
~
Σ rn
= 1/(1-r),konvergen untuk | r | < 1
-~
TZ dari deret konstan akan konvergen (mempunyai nilai
terbatas) jika | z| < 1, atau | z | > 1
248. 248
Satu hal lain yang menarik untuk diamati bahwa TZ dari
deret konstan mempunyai pole pada z = 1, dimana TL
dari fungsi unit step mempunyai pole pada s = 0
~
Jadi X(z) = Σ Az-n
=A/(1-z-1
)
-~
konvergen untuk |z-1
|<1 atau |z-1
|> 1
249. 249
b. Deret Eksponensial
Diberikan deret x(n) = A. rn
Sebuah deretan yang dibangkitkan dengan pencuplikan fungsi
eksponensial dari bentuk :
x(t) = A.eαt ,
dimana : r = eαT
TZ dari deret ini :
~ ~
X (z) = ΣAn
rz-n
= ΣA (r z-1
)n
n=0 n=0
= A/(1-rz-1
) =,AZ/(z-r) , |z| > |r|
250. 250
untuk r > 1 ROC|rz-1
|<1,maka |z|>|r| , ini berarti bahwa
ROC berada diluar lingkaran dengan jari-jari r dalam bidang
z
251. 251
C. Sinyal Impuls
Sinyal impuls satuan waktu diskrit dirumuskan sebagai :
x(n) = 1 , untuk n = 0
= 0, untuk n lainnya
TZ dari deret ini :
~
X (z) = Σ x(n) z-n
= 1
n=0
252. 252
d. Deret Sinusoidal
TZ dari deretan x(n) = A cos βn dan x(n) = A
sin βn
dapat diperoleh dari penurunan yang
ditunjukkan dibawah ini :
Z[A cos βn] =Z[(Aejβn
)/2 +(Ae-jβn
)/2]
X(z) = Az[z-cosβ]/[z2
-2z cosβ +1]
|z| > 1
253. 253
Deret Cosinus dan pole zero TZ-nya
n
Im [z ]
R e [z ]
lin g k a r a n
s a tu a n
β
254. 254
Dengan cara yang sama :
Z[A sin βn] =Z[(Aejβn
)/2 -(Ae-jβn
)/2]
X(z) = Az sinβ]/[z2
-2z cosβ +1]
|z| > 1
255. n
Im [ z ]
R e [ z ]
lin g k a r a n
s a t u a n
β
255
256. Sifat-sifat TZSS
256
a. Linieritas
Jika X1(z)=Z[x1(n)] ROC R1-<|z|< R1+;
X2(z)=Z[x2(n)] ROC R2-<|z|< R2+; dan X(z) = Z
[x(n)],
maka :
Z[α x1(n)+βx2(n)] = αX1(z) + β X2(z)
ROC dari hasilTZ ini diberikan oleh irisan ROC dari X1(z)
dan X2(z)
257. 257
b. Penggeseran
Jika : X(z) = Z [x(n)],
maka : Z[x(n+1)] = zX(z) – zx(0)
Hal ini sangat penting untuk menyelesaikan persamaan perbedaan
dan ini mirip dengan sifat pada TL untuk penurunan dari fungsi
waktu kontinyu.
Secara Umum :
Z[x(n-k)] = z-k
X(z)
258. 258
c.Perkalian dengan n
Jika : X(z) = Z [x(n)], maka :
Z[nx(n)] = -z dX(z)/dz
Bentuk umum :
Z[nm
x(n)] = (-z)m
dm
X(z)/dzm
259. 259
d.Perkalian dengan rn
Jika : X(z) = Z [x(n)], maka :
Z[rn
x(n)] = X(z/r)
e. Konvolusi
Jika X1(z) =Z [x1(n)]ROC R1- <|z| < R1+;
X2(z) =Z [x2(n)]ROC R2- <|z| < R2+;
~
Maka :X1(z). X2(z) = Z[Σ x1(k)] x2(n-k)]
k=0
260. 260
f.Teorema Nilai Awal
Jika : X(z) = Z [x(n)], maka :
x(0) = lim X(z)
z~
Penerapan
utama dari sifat ini adalah untuk menentukan nilai awal
x(0) secara langsung dari X(z), tanpa melakuakn evaluasi
inverse TZ.
261. 261
g.Teorema Nilai Akhir
Jika : Z [x(n)] = X(z) dan semua pole X(z) terletak didalam
lingkaran satuan, dengan pengecualian yang mungkin dari
pole yang sederhana pada z = 1, maka nilai X(n) pada
n~ diberikan oleh :
lim x(n) =lim [((z-1)/z).X(z)]
nx z1
262. Invers TZSS
262
a. Metoda penyesuaian koefisien dengan
pembagian terus menerus
~
Jika X (z) = Σan z-n
n=0
Maka :
x (n) = an untuk n=0,1,2,…
263. 263
b. Ekspansi Pecahan Parsial
Gagasan dibalik metode ini adalah mirip dengan yang
digunakan untuk mendapatkan invers TL.
X(z) diekspresikan sebagai fungsi rasional dari z, sehingga
merupakan perbandingan dari dua polynomial di dalam
z, invers transformasi Z didapat menggunakan
pendekatan partial fraction expansions
264. PasanganTZ
x(n) X(z) Keterangan
δ(n) 1
A.u(n) Az/(z-1) Pole pada z = 1
A.rn
Az/(z-r) Pole pada z =r
A.n.u(n) Az/(z-1)2 2 pole pada z =1
A cos βn Az[z- cos β]/[z2
-2z cosβ +1]
264
265. PasanganTZ
x(n) X(z) Keterangan
A sin βn Az sin βn/[z2
-2z cosβ +1]
A.n.rn
Arz/(z-1)2
A n2
Az(z+1)/(z-1)3
zrn
(C cosnθ-D sinnθ) (C+jD)z/(z-rejθ
) +
(C-jD)z/(z-re-jθ
)
A cos βn Az[z- cos βn]/[z2
-2z cosβ +1] n ≥ 0
265
267. 267
c. Integral Invers kompleks
Diberikan transformasi dari suatu deret x(n) adalah :
~
X (z) = Σx(n)z-n
; ROC R
n=-~
Kalikan X(z) dengan zk
/(2Π.j.z). dz dan mengintegrasikan
disekitar kurva tertutup C yang terletak seluruhnya
diantara daerah konvergensi R menghasilkan :
269. 269
Setiap kurva integral dapat kemudian dievaluasi dengan
mempergunakan Teorema integral Cauchy yang menyatakan
bahwa jika C melingkupi titik 0 dalam arah yang berlawanan
dengan arah jarum jam, sehingga :
(1/2jπ) ∫c zk-1
dz = 1, untuk k = 0
= 0, untuk k lainnya
Atau :
(1/2jπ) ∫c zn
dz = 1, untuk n = -1
= 0, untuk n lainnya
271. Aplikasi TZSS
271
a. Solusi persamaan perbedaan
Dengan menggunakan sifat :
Z [ x (n+1) ] = z X (z) – z x (0) pergeseran waktu
Jika steady state (tanpa kondisi awal)
z [ x (n) ] = x ( n-1)
z [ x (n) ] = x (n+1)
z [ x (n) ] = x (n-2)
Latihan :
y(n) - 1,5 y(n-1) + 0,5 y(n-2) = 0,25n
, n≥ 0 dimana
y(-1) = 4 dan y(-2) = 10
272. 272
b.Mencari respon impuls
Jika diberikan sistem seperti pada gambar berikut :
x (n) h(n) y(n)
Bila masukan x(n) = δ (n), maka keluaran y (n) = h (n)
X (z) H(z) Y (z)
273. 273
c. Analisis SWD
SWD – LTW kausal
any(n) + an-1 y(n-1) + … + an-py(n-p) =
anx(n) + bn-1 x (n-1) + … + bn-m x (n-m)
Fungsi transfer H(z) = Y(z)/X(z)
Y(z)[an+z-1
an-1+…+z-p
an-p]
= X(z) [bn+z-1
bn-1+…+z-m
bn-m]
H(z) = [bnzp
+bn-1zp-1
+…+bn-mzp-m
]/[anzp
+an-1zp-1
+…+an-p]
274. 274
Respon steady state
Y (z) = H (z) . X (z)
y (n) = ITZ [H (z) . X (z)]
Respon impuls h (n) H (z)
Stabilitas
SWD stabil jika dan hanya jika
stabil dalam arti BIBO
pole dari fungsi transfer berada dalam lingkaran satuan
lim|h(n)| = 0 untuk sembarang p > 1
n~
Besar / Magnitudo semua akar polinomial < 1
275. 275
d. Respons Sistem Terhadap Masukan Sinusoidal
x (n)=A cos(ω0n+θ) h(n) y(n)
Dalam kawasan Z : X (z) . H (z) = Y (z)
Misalkan masukan eksponensial x (n) = A ejωon
maka respons steady state sistem didapat dengan mengevaluasi Y(z) di
pole Z = ejωo
Jadi
H (z) = H (ejωo
) = | H (ejωo
) | / H (ejωo
)
Sehingga :
YssH (ejωo
) A ejωon
276. 276
Sistem linier maka Yss(n) adalah penjumlahan masing-
masing respons input sistem.
Yss(n) = H (ejωo
) ej(ωon+θ)
+ H (e) e-j(ωon+θ)
Yss(n) = A|H (ejωo
)|cos[ωon+θ+arg H(ejωo
)]
277. Transformasi Z Bilateral [TZB]
277
Definisi TZB untuk x (n) = 0, nЄ[-~,~]
~
X (z) =Σ x(n) z-n
n=-~
~ -1
= Σ x(n) z-n
+ Σ x(n) z-n
n=0 n=-~
278. Invers TZB
278
Invers TZB dapat dilakukan dengan teori Laurent dan teori
residu (sulit dievaluasi) dan metoda ekspansi parsial (lebih
mudah) dengan menggunakan tabel referensi pasangan TZB.
