1. Dokumen menjelaskan tentang integral fungsi rasional, yaitu fungsi yang merupakan rasio antara dua polinom. 2. Terdapat beberapa bentuk kasus integral fungsi rasional tergantung pada faktor penyebutnya, seperti faktor linier yang berbeda, faktor kuadrat yang berbeda, atau faktor yang berulang. 3. Untuk menghitung integralnya, fungsi rasional harus diubah menjadi pecahan sederhana terlebih dahulu

1. INTEGRAL FUNGSI RASIONAL 2009
Writing by FIDA@T.Informatika ‐ UMP Halaman 1
INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
Jika deketahui suatu fungsi
)(
)(
)(
xg
xf
xF = dimana f(x) dan g(x) merupakan polinom (suku
banyak) maka fungsi F(x) disebut sebagai fungsi pecahan rasional. Jika derajat dari f(x)
lebih kecil daripada derajat g(x), maka F(x) disebut fungsi rasional sebenarnya (proper
rational function), sebaliknya jika derajat dari f(x) lebih besar daripada derajat g(x), maka
F(x) disebut fungsi rasional tak sebenarnya (improper rational function).
Suatu fungsi rasional tak sebenarnya selalu dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari
suatu polinom dan suatu fungsi yang sebenarnya dengan melakukan operasi pembagian
biasa.
Misalnya,
12
3
+x
x
1
)1(
2
2
+
−+
=
x
xxx
11
)1(
22
2
+
−
+
+
=
x
x
x
xx
12
+
−=
x
x
x
Untuk menghitung integral fungsi pecahan rasional yang sebenarnya, harus diusahakan
fungsi tersebut sebagai fungsi penjumlahan pecahan sederhana (partial fraction), dimana
penyebutnya berbentuk (ax + b)n
atau (ax2
+ bx + c)n
, dengan n bilangan bulat positif.
Bentuk dari pecahan sederhana tersebut tergantung pada faktor g(x), penyebut fungsi
tersebut.
Beberapa bentuk kasus g(x) adalah sebagai berikut :
1. Faktor-faktor linier yang berbeda
Bentuk g(x) adalah :
g(x) = (a1x + b1)(a2x + b2)…(anx + bn).
dengan bentuk g(x) tersebut, maka F(x) dapat dibentuk seperti berikut :
nn
n
bxa
A
bxa
A
bxa
A
xF
+
++
+
+
+
= ...)(
22
2
11
1
2. Faktor-faktor linier yang berulang
Jika pada g(x) terdapat (ax + b) berulang sebanyak m kali, misalnya
g(x) = (ax + b)m
, maka

2. INTEGRAL FUNGSI RASIONAL 2009
Writing by FIDA@T.Informatika ‐ UMP Halaman 2
m
m
bax
A
bax
A
bax
A
xF
)(
...
)(
)( 2
21
+
++
+
+
+
=
3. Faktor kuadrat yang berbeda
Dalam kasus ini, g(x) berbentuk
g(x) = (a1x2
+ b1x + c1) (a2x2
+ b2x + c2) ... (anx2
+ bnx + cn)
maka
nnn
nn
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
xF
++
+
++
++
+
+
++
+
= 2
22
2
2
22
11
2
1
11
...)(
4. Faktor kuadrat yang berulang
Jika terdapat faktor kuadrat yang berulang m kali pada g(x), misalnya g(x) = (ax2
+ bx + c)m
, maka :
m
mm
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
xF
)(
...
)()(
)( 222
22
2
11
++
+
++
++
+
+
++
+
=
Contoh :
∫ +
= dx
x
x
I
1
.1 2
3
Pada inregral ini, integrand merupakan fungsi rasional tak sebenarnya, dan
berdasarkan pada yang telah dibahas di atas, maka
∫ +
dx
x
x
12
3
∫ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−= dx
x
x
x
12 ∫ ∫ +
−= dx
x
x
dxx
12 ∫ +
−= dx
x
x
x
12
1
2
2
untuk menyelesaikan ∫ +
dx
x
x
12
digunakan metode substitusi, yaitu misalnya
u = x2
+1, maka du = 2x dx, sehingga
x
du
dx
2
=
dengan demikian, ∫ +
dx
x
x
12 ∫=
x
du
u
x
2
. ∫=
u
du
2 ∫=
u
du
2
1
Cu += ln
2
1
Cx ++= 1ln
2
1 2
Jadi ∫ +
dx
x
x
12
3
∫ +
−= dx
x
x
x
12
1
2
2
Cxx ++−= 1ln
2
1
2
1 22

3. INTEGRAL FUNGSI RASIONAL 2009
Writing by FIDA@T.Informatika ‐ UMP Halaman 3
( )
∫ −−
+
= dx
xx
x
I
124
1
.2 2
bentuk g(x) pada integral di atas sesuai dengan bentuk kasus 1, karena
1242
−− xx = (x – 6)(x + 2) adalah 2 faktor linier yang berbeda.
Dari bentuk tersebut, maka
( )
124
1
)( 2
−−
+
=
xx
x
xF
)2)(6(
1
+−
+
=
xx
x
26
21
+
+
−
=
x
A
x
A
)2)(6(
)6()2( 21
+−
−++
=
xx
xAxA
)2)(6(
62 2211
+−
−++
=
xx
AxAAxA
)2)(6(
62 2121
+−
−++
=
xx
AAxAxA
)2)(6(
)62()( 2121
+−
−++
=
xx
AAxAA
)2)(6(
1
+−
+
=
xx
x
Dengan demikian, 1)62()( 2121 +=−++ xAAxAA sehingga :
A1 + A2 = 1 dan 2A1 – 6A2 = 1
⇔ A1 =1 - A2 2A1 – 6A2 = 1
2(1 - A2) – 6A2 = 1
2 – 2A2 – 6A2 = 1
2 – 8A2 = 1
2 – 1 = 8A2 8A2 = 1
8
1
2 =A
A1 + A2 = 1 1
8
1
1 =+A
8
7
8
1
11 =−=A
Jadi
( )
∫ −−
+
= dx
xx
x
I
124
1
2
dx
x
A
x
A
)
26
( 21
+
+
−
= ∫ dx
x
A
dx
x
A
26
21
+
+
−
= ∫∫
∫∫ +
+
−
= dx
x
dx
x )2(8
1
)6(8
7
, dengan menggunakan substitusi u = x – 6 dan v
= x + 2, maka du = dx dan dv = dx.
Sehingga ∫∫ +
+
−
dx
x
dx
x )2(8
1
)6(8
7
∫ ∫+=
v
dv
u
du
8
1
8
7
Cvu ++= ln
8
1
ln
8
7
Cxx +++−= 2ln
8
1
6ln
8
7

4. INTEGRAL FUNGSI RASIONAL 2009
Writing by FIDA@T.Informatika ‐ UMP Halaman 4
Soal :
∫ +−
+
= dx
xxx
x
I
44
)4(
.1 23
bentuk g(x) sesuai dengan kasus (2) yaitu mengandung faktor
linier yang berulang.
xxx 44 23
+− 22
)2(.)2( −=−= xxxx
dx
xx
x
dx
xxx
x
∫∫ −
+
=
+−
+
223
)2(
4
44
)4(
∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
+= dx
x
A
x
A
x
A
2
321
)2(2
∫ −
+−+−
= dx
xx
xAxxAxA
2
32
2
1
)2(
)2()2(
∫ −
+−++−
= dx
xx
xAxAxAAxAxA
2
32
2
211
2
1
)2(
244
∫ −
+−+−+
= dx
xx
AxAAAxAA
2
1321
2
21
)2(
4)24()(
Untuk menyelesaikan integrasi di atas perlu dicari faktor A1, A2, dan A3 seperti
berikut :
22
1321
2
21
)2(
4
)2(
4)24()(
−
+
=
−
+−+−+
xx
x
xx
AxAAAxAA
(A1+ A2) = 0
-(4 A1 + 2A2 - A3) = 1 ↔ -4 A1 - 2A2 + A3 = 1
4 A1 = 4
Dengan demikian diperoleh A1 = 1, A2 = -1, dan A3 = 3
Sehingga ∫ +−
+
dx
xxx
x
44
)4(
23 ∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
+= dx
x
A
x
A
x
A
2
321
)2(2
∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
−= dx
xxx 2
)2(
3
2
11
2
)2(
3
2 −
+
−
−= ∫∫∫ x
dx
x
dx
x
dx
∫ −
+−−= 2
)2(
32lnln
x
dx
xx dengan menggunakan substitusi u = x-2, maka
du = dx sehingga
C
x
C
u
CuCuduu
u
du
x
dx
+
−
−=+−=+−=+
−
===
−
−−−
∫∫∫ 2
11
1
1
)2(
112
22
Jadi ∫ +−
+
dx
xxx
x
44
)4(
23
C
x
xx
x
dx
xx +
−
−−−=
−
+−−= ∫ 2
3
2lnln
)2(
32lnln 2