SlideShare a Scribd company logo

Asal Usul Bilangan Euler e

•
•
rukmono budi utomo
rukmono budi utomo

Bilangan Euler

Science
1 of 45
Download to read offline
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Bilangan Euler(e) Rukmono Budi Utomo 30115301 Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat March 5, 2016 Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Asal Usul Bilangan Euler e 1 1. Bilangan Euler 2 2. Asal-Usul Bilangan e 3 3. Identitas Euler 4 4. Referensi Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Asal Usul Bilangan Euler e Bilangan Euler atau e = 2, 7182818284... merupakan suatu konstanta dalam matematika dan merupakan basis dari logaritma Natural. Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Asal Usul Bilangan Euler e Bilangan Euler atau e = 2, 7182818284... merupakan suatu konstanta dalam matematika dan merupakan basis dari logaritma Natural. Bilangan e ini sering juga disebut sebagai konstanta Napier, seorang atas ahli matematika Skotlandia yang merumuskan konsep logaritma untuk pertama kali. Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Asal Usul Bilangan Euler e Bilangan Euler atau e = 2, 7182818284... merupakan suatu konstanta dalam matematika dan merupakan basis dari logaritma Natural. Bilangan e ini sering juga disebut sebagai konstanta Napier, seorang atas ahli matematika Skotlandia yang merumuskan konsep logaritma untuk pertama kali. Sama seperti bilangan Pi (π) dan golden rasio (φ), bilangan e adalah bilangan tak berhingga desimal. Hal ini dikarenakan bilangan e merupakan hasil limit tak hingga dari fungsi f (x) = (1 + x) 1 x atau secara matematis dapat dituliskan sebagai e = lim x→∞ 1 + 1 x x Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Asa-Usul Bilangan e Bilangan e awalnya ditemukan oleh John Napier pada tahun1918, seorang ahli matematika berkebangsaan Skotlandia ketika ia merumuskan konsep logaritma Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Asa-Usul Bilangan e Bilangan e awalnya ditemukan oleh John Napier pada tahun1918, seorang ahli matematika berkebangsaan Skotlandia ketika ia merumuskan konsep logaritma Pada tahun 1647 Saint-Vincent menghitung daerah di bawah hiperbola persegi panjang. Saint-Vincent berusaha merumuskan hubungan antara daerah di bawah hiperbola persegi panjang dengan logaritma hasil penelitian John Napier. Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Asa-Usul Bilangan e Bilangan e awalnya ditemukan oleh John Napier pada tahun1918, seorang ahli matematika berkebangsaan Skotlandia ketika ia merumuskan konsep logaritma Pada tahun 1647 Saint-Vincent menghitung daerah di bawah hiperbola persegi panjang. Saint-Vincent berusaha merumuskan hubungan antara daerah di bawah hiperbola persegi panjang dengan logaritma hasil penelitian John Napier. Pada 1661 Huygens memahami hubungan antara hiperbola persegi panjang dan logaritma. Huygen memeriksa secara eksplisit hubungan antara daerah di bawah persegi panjang hiperbola yx = 1 dan logaritma. Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Huygens menemukan suatu konstanta sedemikian rupa sehingga daerah di bawah hiperbola persegi panjang dari 1 sampai konstanta tersebut sama dengan 1. Bilangan tersebut merupakan cikal bakal munculnya bilangan e Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Huygens menemukan suatu konstanta sedemikian rupa sehingga daerah di bawah hiperbola persegi panjang dari 1 sampai konstanta tersebut sama dengan 1. Bilangan tersebut merupakan cikal bakal munculnya bilangan e Pada 1683 Jacob Bernoulli memandang masalah bunga majemuk kontinyu. Bernoulli mencoba untuk menemukan batas dari suatu fungsi f (x) = (1 + 1 x )x untuk x cenderung membesar dan menuju tak hingga e = lim x→∞ 1 + 1 x x Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Bernoulli menggunakan teorema binomial untuk menunjukkan bahwa batas dari nilai limit tersebut harus terletak antara 2 dan 3 sehingga dan merupakan pendekatan atas bilangan e pertama kalinya Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Bernoulli menggunakan teorema binomial untuk menunjukkan bahwa batas dari nilai limit tersebut harus terletak antara 2 dan 3 sehingga dan merupakan pendekatan atas bilangan e pertama kalinya Jacob Bernoulli juga merupakan orang pertama kali memahami bahwa fungsi log adalah kebalikan dari fungsi eksponensial. Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Bernoulli menggunakan teorema binomial untuk menunjukkan bahwa batas dari nilai limit tersebut harus terletak antara 2 dan 3 sehingga dan merupakan pendekatan atas bilangan e pertama kalinya Jacob Bernoulli juga merupakan orang pertama kali memahami bahwa fungsi log adalah kebalikan dari fungsi eksponensial. Pada tahun 1683 Leibniz menulis surat kepada Huygens dan memberikan suatu notasi atas konstanta dari penelitian Huygens yakni b (dan bukan e) Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Notasi b Leibniz bertahan sampai dengan tahun1731 sampai akhirnya notasi e muncul dan menggantikan b dalam sebuah surat Euler kepada Goldbach. Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Notasi b Leibniz bertahan sampai dengan tahun1731 sampai akhirnya notasi e muncul dan menggantikan b dalam sebuah surat Euler kepada Goldbach. Pada tahun 1748 Euler menerbitkan salah satu karya fenomenalnya yang berjudul Introductio di analysin infinitorum. Dalam karya tersebut Euler menunjukkan bahwa e = 1 + 1 1! + 1 2! + 1 3! + · · · atau dalam bentuk limit dapat dituliskan sebagai e = lim x→∞ 1 + 1 x x Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakan simbol e untuk menggantikan notasi b Libniz. Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakan simbol e untuk menggantikan notasi b Libniz. Ada yang berpendapat bahwa notasi e yang dikemukakan oleh Euler merupakan huruf awal dari namanya, namun ada juga yang berpendapat bahwa huruf e yang dikemukakan oleh Euler merupakan singkatan dari eksponensial. Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakan simbol e untuk menggantikan notasi b Libniz. Ada yang berpendapat bahwa notasi e yang dikemukakan oleh Euler merupakan huruf awal dari namanya, namun ada juga yang berpendapat bahwa huruf e yang dikemukakan oleh Euler merupakan singkatan dari eksponensial. Faktanya notasi e lebih dikenal dengan bilangan Euler baik karena notasi e tersebut muncul dari surat yang ditulisnya kepada Golbach tahun 1731 atau karena Euler yang pertama kali merumuskan bentuk matematis e dalam karya Introductio di analysin infinitorum miliknya Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakan simbol e untuk menggantikan notasi b Libniz. Ada yang berpendapat bahwa notasi e yang dikemukakan oleh Euler merupakan huruf awal dari namanya, namun ada juga yang berpendapat bahwa huruf e yang dikemukakan oleh Euler merupakan singkatan dari eksponensial. Faktanya notasi e lebih dikenal dengan bilangan Euler baik karena notasi e tersebut muncul dari surat yang ditulisnya kepada Golbach tahun 1731 atau karena Euler yang pertama kali merumuskan bentuk matematis e dalam karya Introductio di analysin infinitorum miliknya Jikapun ada yang mengenalnya sebagai bilangan John Napieritu, hal demikian dikarenakan atas jasanya memperkenalkan konsep logaritma pertama kali. Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Identitas Euler Euler merumuskan suatu hubungan persamaan fenomenal yakni eiθ = cos θ + i sin θ Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Identitas Euler Euler merumuskan suatu hubungan persamaan fenomenal yakni eiθ = cos θ + i sin θ Bukti Menurut Euler e = lim x→∞ 1 + 1 x x Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Identitas Euler Euler merumuskan suatu hubungan persamaan fenomenal yakni eiθ = cos θ + i sin θ Bukti Menurut Euler e = lim x→∞ 1 + 1 x x Analog dengan hal tersebut ex = lim n→∞ 1 + x n n Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Untuk x = z diperoleh ez = lim n→∞ 1 + z n n Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Untuk x = z diperoleh ez = lim n→∞ 1 + z n n karena z = x + iy adalah suatu fungsi imaginer, maka diperoleh bentuk ex+iy = lim n→∞ 1 + x + iy n n Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Untuk x = z diperoleh ez = lim n→∞ 1 + z n n karena z = x + iy adalah suatu fungsi imaginer, maka diperoleh bentuk ex+iy = lim n→∞ 1 + x + iy n n atau dapat ditulis ex+iy = lim n→∞ 1 + x n + i y n n · · · (∗1) Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Dari (∗1) dapat diperoleh ex+iy = lim n→∞ 1 + x n + i y n n atau dapat dituliskan kembali sebagai Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Dari (∗1) dapat diperoleh ex+iy = lim n→∞ 1 + x n + i y n n atau dapat dituliskan kembali sebagai ex+iy = lim n→∞ 1 + 2x n + x2 n2 + y2 n2 n 2 Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Dari (∗1) dapat diperoleh ex+iy = lim n→∞ 1 + x n + i y n n atau dapat dituliskan kembali sebagai ex+iy = lim n→∞ 1 + 2x n + x2 n2 + y2 n2 n 2 pada akhirnya akan diperoleh ex+iy = e lim n→∞ 1+ 2x n +x2 n2 +y2 n2 n 2 Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Dari (∗1) dapat diperoleh ex+iy = lim n→∞ 1 + x n + i y n n atau dapat dituliskan kembali sebagai ex+iy = lim n→∞ 1 + 2x n + x2 n2 + y2 n2 n 2 pada akhirnya akan diperoleh ex+iy = e lim n→∞ 1+ 2x n +x2 n2 +y2 n2 n 2 atau |ex+iy | = e Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Dengan mengingat kordinat polar zn = rn(cosθ + i sin), tanθ = y x atau θ = arctany x dan berdasarkan Teorema De Moivre diperoleh zn = rn(cos nθ + i sin nθ), dan arg(zn) = nθ atau arg(zn) = n arctan y x Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Dengan mengingat kordinat polar zn = rn(cosθ + i sin), tanθ = y x atau θ = arctany x dan berdasarkan Teorema De Moivre diperoleh zn = rn(cos nθ + i sin nθ), dan arg(zn) = nθ atau arg(zn) = n arctan y x berdasarkan hal tersebut, persamaan (∗1) dapat dituliskan kembali sebagai arg ex+iy = lim n→∞ n arctan y n 1 + x n Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Dengan mengingat kordinat polar zn = rn(cosθ + i sin), tanθ = y x atau θ = arctany x dan berdasarkan Teorema De Moivre diperoleh zn = rn(cos nθ + i sin nθ), dan arg(zn) = nθ atau arg(zn) = n arctan y x berdasarkan hal tersebut, persamaan (∗1) dapat dituliskan kembali sebagai arg ex+iy = lim n→∞ n arctan y n 1 + x n atau arg ex+iy = lim n→∞ n arctan y n+x y n+x y n+x · · · (∗2) Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan karena lim t→∞ arctan 1 t 1 t = lim t→∞ 1 1 + 1 t2 yang menghasilkan nilai 1, maka diperoleh Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan karena lim t→∞ arctan 1 t 1 t = lim t→∞ 1 1 + 1 t2 yang menghasilkan nilai 1, maka diperoleh arg ex+iy = lim n→∞ yn n+x Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan karena lim t→∞ arctan 1 t 1 t = lim t→∞ 1 1 + 1 t2 yang menghasilkan nilai 1, maka diperoleh arg ex+iy = lim n→∞ yn n+x atau dapat dituliskan kembali sebagai arg ex+iy = y . . . (∗3) Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Dengan mengingat bahwa z = r(cosθ + i sin θ) dengan r = |z| dan θ = arg(z), diperoleh z = |z|[cos(arg(z) + i sin(arg(z))]...(∗4) Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Dengan mengingat bahwa z = r(cosθ + i sin θ) dengan r = |z| dan θ = arg(z), diperoleh z = |z|[cos(arg(z) + i sin(arg(z))]...(∗4) ambil z = ex+iy , sehingga (∗4) dapat dituliskan kembali sebagai z = |ex+iy |[cos(arg(ex+iy ) + i sin(arg(ex+iy ))]...(∗5) Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Dengan mengingat bahwa z = r(cosθ + i sin θ) dengan r = |z| dan θ = arg(z), diperoleh z = |z|[cos(arg(z) + i sin(arg(z))]...(∗4) ambil z = ex+iy , sehingga (∗4) dapat dituliskan kembali sebagai z = |ex+iy |[cos(arg(ex+iy ) + i sin(arg(ex+iy ))]...(∗5) substitusikan (∗2) dan (∗3) pada (∗5), sehingga diperoleh ex+iy = ex (cos y + i sin y) atau eiy = (cos y + i sin y) Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Dengan mengingat bahwa z = r(cosθ + i sin θ) dengan r = |z| dan θ = arg(z), diperoleh z = |z|[cos(arg(z) + i sin(arg(z))]...(∗4) ambil z = ex+iy , sehingga (∗4) dapat dituliskan kembali sebagai z = |ex+iy |[cos(arg(ex+iy ) + i sin(arg(ex+iy ))]...(∗5) substitusikan (∗2) dan (∗3) pada (∗5), sehingga diperoleh ex+iy = ex (cos y + i sin y) atau eiy = (cos y + i sin y) Dengan mengingat bahwa y = θ, maka diperoleh eiθ = (cos θ + i sin θ)Q.E.D Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Akibat Identitas Euler Akibat dari Identitas Euler menghasilkan persamaan eiπ + 1 = 0 Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Akibat Identitas Euler Akibat dari Identitas Euler menghasilkan persamaan eiπ + 1 = 0 Bukti Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Akibat Identitas Euler Akibat dari Identitas Euler menghasilkan persamaan eiπ + 1 = 0 Bukti Dari identitas Euler, dapat ditemukan hubungan sebagai berikut eiπ = cos π + i sin π = −1 + 0 = −1 Dengan demikian eiπ + 1 = 0 Q.E.D Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Referensi www.id.wikipedia.org(Bilangan Euler) Dikutip tanggal 3 maret 2016 pukul 14.15 wib www.id.wikipedia.org(Identitias Euler) Dikutip tanggal 3 maret 2016 pukul 14.16 wib www.mathematics.blogspot.com Dikutip tanggal 5 maret 2016 Gazali, Wikaria. Penurunan Rumus Euler, makalah Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)

Recommended

Deret Fourier
Deret FourierDeret Fourier
Deret FourierKelinci Coklat
 
Transformasi Laplace (bag.1)
Transformasi Laplace (bag.1)Transformasi Laplace (bag.1)
Transformasi Laplace (bag.1)Heni Widayani
 
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
 
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.pptAljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.pptrahmawarni
 
6 Divergensi dan CURL
6 Divergensi dan CURL6 Divergensi dan CURL
6 Divergensi dan CURLSimon Patabang
 
Pertemuan 3 turunan dan aturan rantai
Pertemuan 3 turunan dan aturan rantaiPertemuan 3 turunan dan aturan rantai
Pertemuan 3 turunan dan aturan rantaiSenat Mahasiswa STIS
 
integral fungsi kompleks
integral fungsi kompleksintegral fungsi kompleks
integral fungsi kompleksmarihot TP
 
Modul 2 pd linier orde n
Modul 2 pd linier orde nModul 2 pd linier orde n
Modul 2 pd linier orde nAchmad Sukmawijaya
 

Recommended

Deret Fourier
Deret FourierDeret Fourier
Deret FourierKelinci Coklat
 
Transformasi Laplace (bag.1)
Transformasi Laplace (bag.1)Transformasi Laplace (bag.1)
Transformasi Laplace (bag.1)Heni Widayani
 
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
 
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.pptAljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.pptrahmawarni
 
6 Divergensi dan CURL
6 Divergensi dan CURL6 Divergensi dan CURL
6 Divergensi dan CURLSimon Patabang
 
Pertemuan 3 turunan dan aturan rantai
Pertemuan 3 turunan dan aturan rantaiPertemuan 3 turunan dan aturan rantai
Pertemuan 3 turunan dan aturan rantaiSenat Mahasiswa STIS
 
integral fungsi kompleks
integral fungsi kompleksintegral fungsi kompleks
integral fungsi kompleksmarihot TP
 
Modul 2 pd linier orde n
Modul 2 pd linier orde nModul 2 pd linier orde n
Modul 2 pd linier orde nAchmad Sukmawijaya
 
Bilangan kompleks
Bilangan kompleks Bilangan kompleks
Bilangan kompleks UIN Arraniry
 
Teorema green dalam bidang
Teorema green dalam bidangTeorema green dalam bidang
Teorema green dalam bidangokti agung
 
Power point limit fungsi
Power point limit fungsiPower point limit fungsi
Power point limit fungsiABU RAHMAN
 
Modul persamaan diferensial 1
Modul persamaan diferensial 1Modul persamaan diferensial 1
Modul persamaan diferensial 1Maya Umami
 
Kalkulus 2 bab. Aplikasi Integral Rangkap Dua (Menghitung Pusat Massa)
Kalkulus 2 bab. Aplikasi Integral Rangkap Dua (Menghitung Pusat Massa)Kalkulus 2 bab. Aplikasi Integral Rangkap Dua (Menghitung Pusat Massa)
Kalkulus 2 bab. Aplikasi Integral Rangkap Dua (Menghitung Pusat Massa)Neria Yovita
 
Turunan Fungsi Kompleks
Turunan Fungsi KompleksTurunan Fungsi Kompleks
Turunan Fungsi KompleksRochimatulLaili
 
Metode Numerik Trapesium
Metode Numerik TrapesiumMetode Numerik Trapesium
Metode Numerik TrapesiumWahyu Priyanti
 
Bilangan kompleks lengkap
Bilangan kompleks lengkapBilangan kompleks lengkap
Bilangan kompleks lengkapagus_budiarto
 
Bab 8. Fungsi Transenden ( Kalkulus 1 )
Bab 8. Fungsi Transenden ( Kalkulus 1 )Bab 8. Fungsi Transenden ( Kalkulus 1 )
Bab 8. Fungsi Transenden ( Kalkulus 1 )Kelinci Coklat
 
Pertemuan 02 teori dasar himpunan
Pertemuan 02 teori dasar himpunanPertemuan 02 teori dasar himpunan
Pertemuan 02 teori dasar himpunanFajar Istiqomah
 
Soal dan pembahasan integral permukaan
Soal dan pembahasan integral permukaanSoal dan pembahasan integral permukaan
Soal dan pembahasan integral permukaanUniversitas Negeri Padang
 
Integral Garis
Integral GarisIntegral Garis
Integral GarisKelinci Coklat
 
DERET PANGKAT & METODE DERET PANGKAT
DERET PANGKAT & METODE DERET PANGKATDERET PANGKAT & METODE DERET PANGKAT
DERET PANGKAT & METODE DERET PANGKATyuni dwinovika
 
Integral Lipat Tiga
Integral Lipat TigaIntegral Lipat Tiga
Integral Lipat TigaKelinci Coklat
 
4.hukum gauss
4.hukum gauss4.hukum gauss
4.hukum gaussMuhammad Nur Fikri
 
Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )
Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )
Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )Kelinci Coklat
 
Teknik teknik pengintegralan
Teknik teknik pengintegralanTeknik teknik pengintegralan
Teknik teknik pengintegralanAzzam Muhammad
 
Pengenalan Persamaan Differensial Parsial
Pengenalan Persamaan Differensial ParsialPengenalan Persamaan Differensial Parsial
Pengenalan Persamaan Differensial ParsialSCHOOL OF MATHEMATICS, BIT.
 
Aljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabarAljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabarmaman wijaya
 
Turunan numerik
Turunan numerikTurunan numerik
Turunan numerikBobby Chandra
 
Fungsi phi dan teorema euler
Fungsi phi dan teorema eulerFungsi phi dan teorema euler
Fungsi phi dan teorema eulervionk
 
Bab4 jaringan komputer
Bab4 jaringan komputerBab4 jaringan komputer
Bab4 jaringan komputerAgung Sakepris
 

More Related Content

What's hot

Bilangan kompleks
Bilangan kompleks Bilangan kompleks
Bilangan kompleks UIN Arraniry
 
Teorema green dalam bidang
Teorema green dalam bidangTeorema green dalam bidang
Teorema green dalam bidangokti agung
 
Power point limit fungsi
Power point limit fungsiPower point limit fungsi
Power point limit fungsiABU RAHMAN
 
Modul persamaan diferensial 1
Modul persamaan diferensial 1Modul persamaan diferensial 1
Modul persamaan diferensial 1Maya Umami
 
Kalkulus 2 bab. Aplikasi Integral Rangkap Dua (Menghitung Pusat Massa)
Kalkulus 2 bab. Aplikasi Integral Rangkap Dua (Menghitung Pusat Massa)Kalkulus 2 bab. Aplikasi Integral Rangkap Dua (Menghitung Pusat Massa)
Kalkulus 2 bab. Aplikasi Integral Rangkap Dua (Menghitung Pusat Massa)Neria Yovita
 
Metode Numerik Trapesium
Metode Numerik TrapesiumMetode Numerik Trapesium
Metode Numerik TrapesiumWahyu Priyanti
 
Bilangan kompleks lengkap
Bilangan kompleks lengkapBilangan kompleks lengkap
Bilangan kompleks lengkapagus_budiarto
 
Bab 8. Fungsi Transenden ( Kalkulus 1 )
Bab 8. Fungsi Transenden ( Kalkulus 1 )Bab 8. Fungsi Transenden ( Kalkulus 1 )
Bab 8. Fungsi Transenden ( Kalkulus 1 )Kelinci Coklat
 
Pertemuan 02 teori dasar himpunan
Pertemuan 02 teori dasar himpunanPertemuan 02 teori dasar himpunan
Pertemuan 02 teori dasar himpunanFajar Istiqomah
 
DERET PANGKAT & METODE DERET PANGKAT
DERET PANGKAT & METODE DERET PANGKATDERET PANGKAT & METODE DERET PANGKAT
DERET PANGKAT & METODE DERET PANGKATyuni dwinovika
 
Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )
Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )
Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )Kelinci Coklat
 
Teknik teknik pengintegralan
Teknik teknik pengintegralanTeknik teknik pengintegralan
Teknik teknik pengintegralanAzzam Muhammad
 
Aljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabarAljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabarmaman wijaya
 

What's hot (20)

Bilangan kompleks
Bilangan kompleks Bilangan kompleks
Bilangan kompleks
 
Teorema green dalam bidang
Teorema green dalam bidangTeorema green dalam bidang
Teorema green dalam bidang
 
Power point limit fungsi
Power point limit fungsiPower point limit fungsi
Power point limit fungsi
 
Modul persamaan diferensial 1
Modul persamaan diferensial 1Modul persamaan diferensial 1
Modul persamaan diferensial 1
 
Kalkulus 2 bab. Aplikasi Integral Rangkap Dua (Menghitung Pusat Massa)
Kalkulus 2 bab. Aplikasi Integral Rangkap Dua (Menghitung Pusat Massa)Kalkulus 2 bab. Aplikasi Integral Rangkap Dua (Menghitung Pusat Massa)
Kalkulus 2 bab. Aplikasi Integral Rangkap Dua (Menghitung Pusat Massa)
 
Turunan Fungsi Kompleks
Turunan Fungsi KompleksTurunan Fungsi Kompleks
Turunan Fungsi Kompleks
 
Metode Numerik Trapesium
Metode Numerik TrapesiumMetode Numerik Trapesium
Metode Numerik Trapesium
 
Bilangan kompleks lengkap
Bilangan kompleks lengkapBilangan kompleks lengkap
Bilangan kompleks lengkap
 
Bab 8. Fungsi Transenden ( Kalkulus 1 )
Bab 8. Fungsi Transenden ( Kalkulus 1 )Bab 8. Fungsi Transenden ( Kalkulus 1 )
Bab 8. Fungsi Transenden ( Kalkulus 1 )
 
Pertemuan 02 teori dasar himpunan
Pertemuan 02 teori dasar himpunanPertemuan 02 teori dasar himpunan
Pertemuan 02 teori dasar himpunan
 
Soal dan pembahasan integral permukaan
Soal dan pembahasan integral permukaanSoal dan pembahasan integral permukaan
Soal dan pembahasan integral permukaan
 
Integral Garis
Integral GarisIntegral Garis
Integral Garis
 
DERET PANGKAT & METODE DERET PANGKAT
DERET PANGKAT & METODE DERET PANGKATDERET PANGKAT & METODE DERET PANGKAT
DERET PANGKAT & METODE DERET PANGKAT
 
Integral Lipat Tiga
Integral Lipat TigaIntegral Lipat Tiga
Integral Lipat Tiga
 
4.hukum gauss
4.hukum gauss4.hukum gauss
4.hukum gauss
 
Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )
Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )
Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )
 
Teknik teknik pengintegralan
Teknik teknik pengintegralanTeknik teknik pengintegralan
Teknik teknik pengintegralan
 
Pengenalan Persamaan Differensial Parsial
Pengenalan Persamaan Differensial ParsialPengenalan Persamaan Differensial Parsial
Pengenalan Persamaan Differensial Parsial
 
Aljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabarAljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabar
 
Turunan numerik
Turunan numerikTurunan numerik
Turunan numerik
 

Viewers also liked

Fungsi phi dan teorema euler
Fungsi phi dan teorema eulerFungsi phi dan teorema euler
Fungsi phi dan teorema eulervionk
 
Bab4 jaringan komputer
Bab4 jaringan komputerBab4 jaringan komputer
Bab4 jaringan komputerAgung Sakepris
 
Ayurveda for fall health
Ayurveda for fall healthAyurveda for fall health
Ayurveda for fall healthNeelam Toprani
 
Bab3 os untuk komputer_tunggal
Bab3 os untuk komputer_tunggalBab3 os untuk komputer_tunggal
Bab3 os untuk komputer_tunggalAgung Sakepris
 
The Three Little Aviator Pigs By Brad Hatcher
The Three Little Aviator Pigs By Brad HatcherThe Three Little Aviator Pigs By Brad Hatcher
The Three Little Aviator Pigs By Brad HatcherBrad Hatcher
 
Age of exploration
Age of explorationAge of exploration
Age of explorationNeutron428
 
～たり、～たりします
～たり、～たりします～たり、～たりします
～たり、～たりしますAlexanderSensei
 
From Problems to Preventive Care
From Problems to Preventive CareFrom Problems to Preventive Care
From Problems to Preventive Carefaultyadult7689
 
Tindak misioner dalam pemikiran St. Conforti
Tindak misioner dalam pemikiran St. ConfortiTindak misioner dalam pemikiran St. Conforti
Tindak misioner dalam pemikiran St. ConfortiMisionaris Xaverian
 
CS201- Introduction to Programming- Lecture 18
CS201- Introduction to Programming- Lecture 18CS201- Introduction to Programming- Lecture 18
CS201- Introduction to Programming- Lecture 18Bilal Ahmed
 
CS101- Introduction to Computing- Lecture 34
CS101- Introduction to Computing- Lecture 34CS101- Introduction to Computing- Lecture 34
CS101- Introduction to Computing- Lecture 34Bilal Ahmed
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTrukmono budi utomo
 
Tugas Metode numerik newton Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode numerik newton Pendidikan Matematika UMTTugas Metode numerik newton Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode numerik newton Pendidikan Matematika UMTrukmono budi utomo
 

Viewers also liked (20)

Fungsi phi dan teorema euler
Fungsi phi dan teorema eulerFungsi phi dan teorema euler
Fungsi phi dan teorema euler
 
Bab4 jaringan komputer
Bab4 jaringan komputerBab4 jaringan komputer
Bab4 jaringan komputer
 
:3
:3:3
:3
 
Ayurveda for fall health
Ayurveda for fall healthAyurveda for fall health
Ayurveda for fall health
 
Bab3 os untuk komputer_tunggal
Bab3 os untuk komputer_tunggalBab3 os untuk komputer_tunggal
Bab3 os untuk komputer_tunggal
 
The Three Little Aviator Pigs By Brad Hatcher
The Three Little Aviator Pigs By Brad HatcherThe Three Little Aviator Pigs By Brad Hatcher
The Three Little Aviator Pigs By Brad Hatcher
 
Age of exploration
Age of explorationAge of exploration
Age of exploration
 
～たり、～たりします
～たり、～たりします～たり、～たりします
～たり、～たりします
 
QCL-14-v3_[Cause-Effect Diagram]_[SIIB]_[Sandeep Majumder]
QCL-14-v3_[Cause-Effect Diagram]_[SIIB]_[Sandeep Majumder]QCL-14-v3_[Cause-Effect Diagram]_[SIIB]_[Sandeep Majumder]
QCL-14-v3_[Cause-Effect Diagram]_[SIIB]_[Sandeep Majumder]
 
Бэби офис
Бэби офисБэби офис
Бэби офис
 
From Problems to Preventive Care
From Problems to Preventive CareFrom Problems to Preventive Care
From Problems to Preventive Care
 
Tindak misioner dalam pemikiran St. Conforti
Tindak misioner dalam pemikiran St. ConfortiTindak misioner dalam pemikiran St. Conforti
Tindak misioner dalam pemikiran St. Conforti
 
CS201- Introduction to Programming- Lecture 18
CS201- Introduction to Programming- Lecture 18CS201- Introduction to Programming- Lecture 18
CS201- Introduction to Programming- Lecture 18
 
CS101- Introduction to Computing- Lecture 34
CS101- Introduction to Computing- Lecture 34CS101- Introduction to Computing- Lecture 34
CS101- Introduction to Computing- Lecture 34
 
Optimisasi
OptimisasiOptimisasi
Optimisasi
 
QCL-14-v3_[5S]_[SIIB]_[Sandeep Majumder]
QCL-14-v3_[5S]_[SIIB]_[Sandeep Majumder]QCL-14-v3_[5S]_[SIIB]_[Sandeep Majumder]
QCL-14-v3_[5S]_[SIIB]_[Sandeep Majumder]
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
 
Bab9 wan
Bab9 wanBab9 wan
Bab9 wan
 
Bilangan pi
Bilangan piBilangan pi
Bilangan pi
 
Tugas Metode numerik newton Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode numerik newton Pendidikan Matematika UMTTugas Metode numerik newton Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode numerik newton Pendidikan Matematika UMT
 

Similar to Asal Usul Bilangan Euler e

1 itu bilangan prima atau bilangan komposit
1 itu bilangan prima atau bilangan komposit1 itu bilangan prima atau bilangan komposit
1 itu bilangan prima atau bilangan kompositDidik Syam Nugraha
 

Similar to Asal Usul Bilangan Euler e (7)

Bilangan e
Bilangan eBilangan e
Bilangan e
 
Sejarah Phi (π)
Sejarah Phi (π)Sejarah Phi (π)
Sejarah Phi (π)
 
Euler
EulerEuler
Euler
 
Sejarah Bilangan Prima
Sejarah Bilangan PrimaSejarah Bilangan Prima
Sejarah Bilangan Prima
 
Makalah phi
Makalah phiMakalah phi
Makalah phi
 
Makalah phi
Makalah phiMakalah phi
Makalah phi
 
1 itu bilangan prima atau bilangan komposit
1 itu bilangan prima atau bilangan komposit1 itu bilangan prima atau bilangan komposit
1 itu bilangan prima atau bilangan komposit
 

More from rukmono budi utomo

metode numerik stepest descent dengan rerata aritmatika
metode numerik stepest descent dengan rerata aritmatikametode numerik stepest descent dengan rerata aritmatika
metode numerik stepest descent dengan rerata aritmatikarukmono budi utomo
 
metode numerik stepest descent dengan rerata aritmatika
metode numerik stepest descent dengan rerata aritmatikametode numerik stepest descent dengan rerata aritmatika
metode numerik stepest descent dengan rerata aritmatikarukmono budi utomo
 
Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMTrukmono budi utomo
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTrukmono budi utomo
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTrukmono budi utomo
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTrukmono budi utomo
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTrukmono budi utomo
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTrukmono budi utomo
 
Satuan acara perkuliahan Metode Numerik Pendidikan matematika UMT
Satuan acara perkuliahan Metode Numerik Pendidikan matematika UMTSatuan acara perkuliahan Metode Numerik Pendidikan matematika UMT
Satuan acara perkuliahan Metode Numerik Pendidikan matematika UMTrukmono budi utomo
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTrukmono budi utomo
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTrukmono budi utomo
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTrukmono budi utomo
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTrukmono budi utomo
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTrukmono budi utomo
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTrukmono budi utomo
 
Tugas Metode Numerik Newton 6 a1 Prodi pendidikan matematika UMT
Tugas Metode Numerik Newton 6 a1 Prodi pendidikan matematika UMTTugas Metode Numerik Newton 6 a1 Prodi pendidikan matematika UMT
Tugas Metode Numerik Newton 6 a1 Prodi pendidikan matematika UMTrukmono budi utomo
 
Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMTrukmono budi utomo
 
Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT rukmono budi utomo
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTrukmono budi utomo
 
Tugas Metode Numerik Golden ratio Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Golden ratio Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Golden ratio Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Golden ratio Pendidikan Matematika UMTrukmono budi utomo
 

More from rukmono budi utomo (20)

metode numerik stepest descent dengan rerata aritmatika
metode numerik stepest descent dengan rerata aritmatikametode numerik stepest descent dengan rerata aritmatika
metode numerik stepest descent dengan rerata aritmatika
 
metode numerik stepest descent dengan rerata aritmatika
metode numerik stepest descent dengan rerata aritmatikametode numerik stepest descent dengan rerata aritmatika
metode numerik stepest descent dengan rerata aritmatika
 
Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
 
Satuan acara perkuliahan Metode Numerik Pendidikan matematika UMT
Satuan acara perkuliahan Metode Numerik Pendidikan matematika UMTSatuan acara perkuliahan Metode Numerik Pendidikan matematika UMT
Satuan acara perkuliahan Metode Numerik Pendidikan matematika UMT
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
 
Tugas Metode Numerik Newton 6 a1 Prodi pendidikan matematika UMT
Tugas Metode Numerik Newton 6 a1 Prodi pendidikan matematika UMTTugas Metode Numerik Newton 6 a1 Prodi pendidikan matematika UMT
Tugas Metode Numerik Newton 6 a1 Prodi pendidikan matematika UMT
 
Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT
 
Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT
 
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT
 
Tugas Metode Numerik Golden ratio Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Golden ratio Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Golden ratio Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Golden ratio Pendidikan Matematika UMT
 

Recently uploaded

kekeruhan tss, kecerahan warna sgh pada laboratprium
kekeruhan tss, kecerahan warna sgh pada laboratpriumkekeruhan tss, kecerahan warna sgh pada laboratprium
kekeruhan tss, kecerahan warna sgh pada laboratpriumfebrie2
 
LKPD SUHU dan KALOR KEL4.pdf strategi pembelajaran ipa
LKPD SUHU dan KALOR KEL4.pdf strategi pembelajaran ipaLKPD SUHU dan KALOR KEL4.pdf strategi pembelajaran ipa
LKPD SUHU dan KALOR KEL4.pdf strategi pembelajaran ipaBtsDaily
 
R6C-Kelompok 2-Sistem Rangka Pada Amphibi dan Aves.pptx
R6C-Kelompok 2-Sistem Rangka Pada Amphibi dan Aves.pptxR6C-Kelompok 2-Sistem Rangka Pada Amphibi dan Aves.pptx
R6C-Kelompok 2-Sistem Rangka Pada Amphibi dan Aves.pptxmagfira271100
 
TEMA 9 SUBTEMA 1 PEMBELAJARAN 1 KELAS 6.pptx
TEMA 9 SUBTEMA 1 PEMBELAJARAN 1 KELAS 6.pptxTEMA 9 SUBTEMA 1 PEMBELAJARAN 1 KELAS 6.pptx
TEMA 9 SUBTEMA 1 PEMBELAJARAN 1 KELAS 6.pptxSyabilAfandi
 
Materi Makna alinea pembukaaan UUD .pptx
Materi Makna alinea pembukaaan UUD .pptxMateri Makna alinea pembukaaan UUD .pptx
Materi Makna alinea pembukaaan UUD .pptxIKLASSENJAYA
 
Modul ajar IPAS Kls 4 materi wujud benda dan perubahannya
Modul ajar IPAS Kls 4 materi wujud benda dan perubahannyaModul ajar IPAS Kls 4 materi wujud benda dan perubahannya
Modul ajar IPAS Kls 4 materi wujud benda dan perubahannyaAnggrianiTulle
 
CASE REPORT ACUTE DECOMPENSATED HEART FAILURE 31 Desember 23.pptx
CASE REPORT ACUTE DECOMPENSATED HEART FAILURE 31 Desember 23.pptxCASE REPORT ACUTE DECOMPENSATED HEART FAILURE 31 Desember 23.pptx
CASE REPORT ACUTE DECOMPENSATED HEART FAILURE 31 Desember 23.pptxresidentcardio13usk
 
materi+kuliah-ko2-senyawa+aldehid+dan+keton.pdf
materi+kuliah-ko2-senyawa+aldehid+dan+keton.pdfmateri+kuliah-ko2-senyawa+aldehid+dan+keton.pdf
materi+kuliah-ko2-senyawa+aldehid+dan+keton.pdfkaramitha
 
Dampak Bioteknologi di Bidang Pertanian.pdf
Dampak Bioteknologi di Bidang Pertanian.pdfDampak Bioteknologi di Bidang Pertanian.pdf
Dampak Bioteknologi di Bidang Pertanian.pdfssuser4743df
 
Sistem Bilangan Riil (Pertidaksamaan linier)
Sistem Bilangan Riil (Pertidaksamaan linier)Sistem Bilangan Riil (Pertidaksamaan linier)
Sistem Bilangan Riil (Pertidaksamaan linier)ratnawijayanti31
 
Konsep Agribisnis adalah suatu kesatuan kegiatan meliputi salah satu atau ...
Konsep Agribisnis adalah suatu kesatuan kegiatan meliputi salah satu atau ...Konsep Agribisnis adalah suatu kesatuan kegiatan meliputi salah satu atau ...
Konsep Agribisnis adalah suatu kesatuan kegiatan meliputi salah satu atau ...laila16682
 

Recently uploaded (11)

kekeruhan tss, kecerahan warna sgh pada laboratprium
kekeruhan tss, kecerahan warna sgh pada laboratpriumkekeruhan tss, kecerahan warna sgh pada laboratprium
kekeruhan tss, kecerahan warna sgh pada laboratprium
 
LKPD SUHU dan KALOR KEL4.pdf strategi pembelajaran ipa
LKPD SUHU dan KALOR KEL4.pdf strategi pembelajaran ipaLKPD SUHU dan KALOR KEL4.pdf strategi pembelajaran ipa
LKPD SUHU dan KALOR KEL4.pdf strategi pembelajaran ipa
 
R6C-Kelompok 2-Sistem Rangka Pada Amphibi dan Aves.pptx
R6C-Kelompok 2-Sistem Rangka Pada Amphibi dan Aves.pptxR6C-Kelompok 2-Sistem Rangka Pada Amphibi dan Aves.pptx
R6C-Kelompok 2-Sistem Rangka Pada Amphibi dan Aves.pptx
 
TEMA 9 SUBTEMA 1 PEMBELAJARAN 1 KELAS 6.pptx
TEMA 9 SUBTEMA 1 PEMBELAJARAN 1 KELAS 6.pptxTEMA 9 SUBTEMA 1 PEMBELAJARAN 1 KELAS 6.pptx
TEMA 9 SUBTEMA 1 PEMBELAJARAN 1 KELAS 6.pptx
 
Materi Makna alinea pembukaaan UUD .pptx
Materi Makna alinea pembukaaan UUD .pptxMateri Makna alinea pembukaaan UUD .pptx
Materi Makna alinea pembukaaan UUD .pptx
 
Modul ajar IPAS Kls 4 materi wujud benda dan perubahannya
Modul ajar IPAS Kls 4 materi wujud benda dan perubahannyaModul ajar IPAS Kls 4 materi wujud benda dan perubahannya
Modul ajar IPAS Kls 4 materi wujud benda dan perubahannya
 
CASE REPORT ACUTE DECOMPENSATED HEART FAILURE 31 Desember 23.pptx
CASE REPORT ACUTE DECOMPENSATED HEART FAILURE 31 Desember 23.pptxCASE REPORT ACUTE DECOMPENSATED HEART FAILURE 31 Desember 23.pptx
CASE REPORT ACUTE DECOMPENSATED HEART FAILURE 31 Desember 23.pptx
 
materi+kuliah-ko2-senyawa+aldehid+dan+keton.pdf
materi+kuliah-ko2-senyawa+aldehid+dan+keton.pdfmateri+kuliah-ko2-senyawa+aldehid+dan+keton.pdf
materi+kuliah-ko2-senyawa+aldehid+dan+keton.pdf
 
Dampak Bioteknologi di Bidang Pertanian.pdf
Dampak Bioteknologi di Bidang Pertanian.pdfDampak Bioteknologi di Bidang Pertanian.pdf
Dampak Bioteknologi di Bidang Pertanian.pdf
 
Sistem Bilangan Riil (Pertidaksamaan linier)
Sistem Bilangan Riil (Pertidaksamaan linier)Sistem Bilangan Riil (Pertidaksamaan linier)
Sistem Bilangan Riil (Pertidaksamaan linier)
 
Konsep Agribisnis adalah suatu kesatuan kegiatan meliputi salah satu atau ...
Konsep Agribisnis adalah suatu kesatuan kegiatan meliputi salah satu atau ...Konsep Agribisnis adalah suatu kesatuan kegiatan meliputi salah satu atau ...
Konsep Agribisnis adalah suatu kesatuan kegiatan meliputi salah satu atau ...
 

Asal Usul Bilangan Euler e

  • 1. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Bilangan Euler(e) Rukmono Budi Utomo 30115301 Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat March 5, 2016 Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 2. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Asal Usul Bilangan Euler e 1 1. Bilangan Euler 2 2. Asal-Usul Bilangan e 3 3. Identitas Euler 4 4. Referensi Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 3. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Asal Usul Bilangan Euler e Bilangan Euler atau e = 2, 7182818284... merupakan suatu konstanta dalam matematika dan merupakan basis dari logaritma Natural. Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 4. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Asal Usul Bilangan Euler e Bilangan Euler atau e = 2, 7182818284... merupakan suatu konstanta dalam matematika dan merupakan basis dari logaritma Natural. Bilangan e ini sering juga disebut sebagai konstanta Napier, seorang atas ahli matematika Skotlandia yang merumuskan konsep logaritma untuk pertama kali. Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 5. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Asal Usul Bilangan Euler e Bilangan Euler atau e = 2, 7182818284... merupakan suatu konstanta dalam matematika dan merupakan basis dari logaritma Natural. Bilangan e ini sering juga disebut sebagai konstanta Napier, seorang atas ahli matematika Skotlandia yang merumuskan konsep logaritma untuk pertama kali. Sama seperti bilangan Pi (π) dan golden rasio (φ), bilangan e adalah bilangan tak berhingga desimal. Hal ini dikarenakan bilangan e merupakan hasil limit tak hingga dari fungsi f (x) = (1 + x) 1 x atau secara matematis dapat dituliskan sebagai e = lim x→∞ 1 + 1 x x Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 6. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Asa-Usul Bilangan e Bilangan e awalnya ditemukan oleh John Napier pada tahun1918, seorang ahli matematika berkebangsaan Skotlandia ketika ia merumuskan konsep logaritma Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 7. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Asa-Usul Bilangan e Bilangan e awalnya ditemukan oleh John Napier pada tahun1918, seorang ahli matematika berkebangsaan Skotlandia ketika ia merumuskan konsep logaritma Pada tahun 1647 Saint-Vincent menghitung daerah di bawah hiperbola persegi panjang. Saint-Vincent berusaha merumuskan hubungan antara daerah di bawah hiperbola persegi panjang dengan logaritma hasil penelitian John Napier. Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 8. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Asa-Usul Bilangan e Bilangan e awalnya ditemukan oleh John Napier pada tahun1918, seorang ahli matematika berkebangsaan Skotlandia ketika ia merumuskan konsep logaritma Pada tahun 1647 Saint-Vincent menghitung daerah di bawah hiperbola persegi panjang. Saint-Vincent berusaha merumuskan hubungan antara daerah di bawah hiperbola persegi panjang dengan logaritma hasil penelitian John Napier. Pada 1661 Huygens memahami hubungan antara hiperbola persegi panjang dan logaritma. Huygen memeriksa secara eksplisit hubungan antara daerah di bawah persegi panjang hiperbola yx = 1 dan logaritma. Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 9. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Huygens menemukan suatu konstanta sedemikian rupa sehingga daerah di bawah hiperbola persegi panjang dari 1 sampai konstanta tersebut sama dengan 1. Bilangan tersebut merupakan cikal bakal munculnya bilangan e Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 10. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Huygens menemukan suatu konstanta sedemikian rupa sehingga daerah di bawah hiperbola persegi panjang dari 1 sampai konstanta tersebut sama dengan 1. Bilangan tersebut merupakan cikal bakal munculnya bilangan e Pada 1683 Jacob Bernoulli memandang masalah bunga majemuk kontinyu. Bernoulli mencoba untuk menemukan batas dari suatu fungsi f (x) = (1 + 1 x )x untuk x cenderung membesar dan menuju tak hingga e = lim x→∞ 1 + 1 x x Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 11. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Bernoulli menggunakan teorema binomial untuk menunjukkan bahwa batas dari nilai limit tersebut harus terletak antara 2 dan 3 sehingga dan merupakan pendekatan atas bilangan e pertama kalinya Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 12. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Bernoulli menggunakan teorema binomial untuk menunjukkan bahwa batas dari nilai limit tersebut harus terletak antara 2 dan 3 sehingga dan merupakan pendekatan atas bilangan e pertama kalinya Jacob Bernoulli juga merupakan orang pertama kali memahami bahwa fungsi log adalah kebalikan dari fungsi eksponensial. Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 13. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Bernoulli menggunakan teorema binomial untuk menunjukkan bahwa batas dari nilai limit tersebut harus terletak antara 2 dan 3 sehingga dan merupakan pendekatan atas bilangan e pertama kalinya Jacob Bernoulli juga merupakan orang pertama kali memahami bahwa fungsi log adalah kebalikan dari fungsi eksponensial. Pada tahun 1683 Leibniz menulis surat kepada Huygens dan memberikan suatu notasi atas konstanta dari penelitian Huygens yakni b (dan bukan e) Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 14. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Notasi b Leibniz bertahan sampai dengan tahun1731 sampai akhirnya notasi e muncul dan menggantikan b dalam sebuah surat Euler kepada Goldbach. Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 15. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Notasi b Leibniz bertahan sampai dengan tahun1731 sampai akhirnya notasi e muncul dan menggantikan b dalam sebuah surat Euler kepada Goldbach. Pada tahun 1748 Euler menerbitkan salah satu karya fenomenalnya yang berjudul Introductio di analysin infinitorum. Dalam karya tersebut Euler menunjukkan bahwa e = 1 + 1 1! + 1 2! + 1 3! + · · · atau dalam bentuk limit dapat dituliskan sebagai e = lim x→∞ 1 + 1 x x Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 16. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakan simbol e untuk menggantikan notasi b Libniz. Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 17. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakan simbol e untuk menggantikan notasi b Libniz. Ada yang berpendapat bahwa notasi e yang dikemukakan oleh Euler merupakan huruf awal dari namanya, namun ada juga yang berpendapat bahwa huruf e yang dikemukakan oleh Euler merupakan singkatan dari eksponensial. Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 18. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakan simbol e untuk menggantikan notasi b Libniz. Ada yang berpendapat bahwa notasi e yang dikemukakan oleh Euler merupakan huruf awal dari namanya, namun ada juga yang berpendapat bahwa huruf e yang dikemukakan oleh Euler merupakan singkatan dari eksponensial. Faktanya notasi e lebih dikenal dengan bilangan Euler baik karena notasi e tersebut muncul dari surat yang ditulisnya kepada Golbach tahun 1731 atau karena Euler yang pertama kali merumuskan bentuk matematis e dalam karya Introductio di analysin infinitorum miliknya Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 19. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakan simbol e untuk menggantikan notasi b Libniz. Ada yang berpendapat bahwa notasi e yang dikemukakan oleh Euler merupakan huruf awal dari namanya, namun ada juga yang berpendapat bahwa huruf e yang dikemukakan oleh Euler merupakan singkatan dari eksponensial. Faktanya notasi e lebih dikenal dengan bilangan Euler baik karena notasi e tersebut muncul dari surat yang ditulisnya kepada Golbach tahun 1731 atau karena Euler yang pertama kali merumuskan bentuk matematis e dalam karya Introductio di analysin infinitorum miliknya Jikapun ada yang mengenalnya sebagai bilangan John Napieritu, hal demikian dikarenakan atas jasanya memperkenalkan konsep logaritma pertama kali. Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 20. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Identitas Euler Euler merumuskan suatu hubungan persamaan fenomenal yakni eiθ = cos θ + i sin θ Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 21. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Identitas Euler Euler merumuskan suatu hubungan persamaan fenomenal yakni eiθ = cos θ + i sin θ Bukti Menurut Euler e = lim x→∞ 1 + 1 x x Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 22. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Identitas Euler Euler merumuskan suatu hubungan persamaan fenomenal yakni eiθ = cos θ + i sin θ Bukti Menurut Euler e = lim x→∞ 1 + 1 x x Analog dengan hal tersebut ex = lim n→∞ 1 + x n n Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 23. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 24. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Untuk x = z diperoleh ez = lim n→∞ 1 + z n n Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 25. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Untuk x = z diperoleh ez = lim n→∞ 1 + z n n karena z = x + iy adalah suatu fungsi imaginer, maka diperoleh bentuk ex+iy = lim n→∞ 1 + x + iy n n Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 26. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Untuk x = z diperoleh ez = lim n→∞ 1 + z n n karena z = x + iy adalah suatu fungsi imaginer, maka diperoleh bentuk ex+iy = lim n→∞ 1 + x + iy n n atau dapat ditulis ex+iy = lim n→∞ 1 + x n + i y n n · · · (∗1) Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 27. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 28. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Dari (∗1) dapat diperoleh ex+iy = lim n→∞ 1 + x n + i y n n atau dapat dituliskan kembali sebagai Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 29. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Dari (∗1) dapat diperoleh ex+iy = lim n→∞ 1 + x n + i y n n atau dapat dituliskan kembali sebagai ex+iy = lim n→∞ 1 + 2x n + x2 n2 + y2 n2 n 2 Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 30. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Dari (∗1) dapat diperoleh ex+iy = lim n→∞ 1 + x n + i y n n atau dapat dituliskan kembali sebagai ex+iy = lim n→∞ 1 + 2x n + x2 n2 + y2 n2 n 2 pada akhirnya akan diperoleh ex+iy = e lim n→∞ 1+ 2x n +x2 n2 +y2 n2 n 2 Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 31. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Dari (∗1) dapat diperoleh ex+iy = lim n→∞ 1 + x n + i y n n atau dapat dituliskan kembali sebagai ex+iy = lim n→∞ 1 + 2x n + x2 n2 + y2 n2 n 2 pada akhirnya akan diperoleh ex+iy = e lim n→∞ 1+ 2x n +x2 n2 +y2 n2 n 2 atau |ex+iy | = e Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 32. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Dengan mengingat kordinat polar zn = rn(cosθ + i sin), tanθ = y x atau θ = arctany x dan berdasarkan Teorema De Moivre diperoleh zn = rn(cos nθ + i sin nθ), dan arg(zn) = nθ atau arg(zn) = n arctan y x Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 33. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Dengan mengingat kordinat polar zn = rn(cosθ + i sin), tanθ = y x atau θ = arctany x dan berdasarkan Teorema De Moivre diperoleh zn = rn(cos nθ + i sin nθ), dan arg(zn) = nθ atau arg(zn) = n arctan y x berdasarkan hal tersebut, persamaan (∗1) dapat dituliskan kembali sebagai arg ex+iy = lim n→∞ n arctan y n 1 + x n Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 34. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Dengan mengingat kordinat polar zn = rn(cosθ + i sin), tanθ = y x atau θ = arctany x dan berdasarkan Teorema De Moivre diperoleh zn = rn(cos nθ + i sin nθ), dan arg(zn) = nθ atau arg(zn) = n arctan y x berdasarkan hal tersebut, persamaan (∗1) dapat dituliskan kembali sebagai arg ex+iy = lim n→∞ n arctan y n 1 + x n atau arg ex+iy = lim n→∞ n arctan y n+x y n+x y n+x · · · (∗2) Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 35. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan karena lim t→∞ arctan 1 t 1 t = lim t→∞ 1 1 + 1 t2 yang menghasilkan nilai 1, maka diperoleh Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 36. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan karena lim t→∞ arctan 1 t 1 t = lim t→∞ 1 1 + 1 t2 yang menghasilkan nilai 1, maka diperoleh arg ex+iy = lim n→∞ yn n+x Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 37. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan karena lim t→∞ arctan 1 t 1 t = lim t→∞ 1 1 + 1 t2 yang menghasilkan nilai 1, maka diperoleh arg ex+iy = lim n→∞ yn n+x atau dapat dituliskan kembali sebagai arg ex+iy = y . . . (∗3) Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 38. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Dengan mengingat bahwa z = r(cosθ + i sin θ) dengan r = |z| dan θ = arg(z), diperoleh z = |z|[cos(arg(z) + i sin(arg(z))]...(∗4) Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 39. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Dengan mengingat bahwa z = r(cosθ + i sin θ) dengan r = |z| dan θ = arg(z), diperoleh z = |z|[cos(arg(z) + i sin(arg(z))]...(∗4) ambil z = ex+iy , sehingga (∗4) dapat dituliskan kembali sebagai z = |ex+iy |[cos(arg(ex+iy ) + i sin(arg(ex+iy ))]...(∗5) Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 40. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Dengan mengingat bahwa z = r(cosθ + i sin θ) dengan r = |z| dan θ = arg(z), diperoleh z = |z|[cos(arg(z) + i sin(arg(z))]...(∗4) ambil z = ex+iy , sehingga (∗4) dapat dituliskan kembali sebagai z = |ex+iy |[cos(arg(ex+iy ) + i sin(arg(ex+iy ))]...(∗5) substitusikan (∗2) dan (∗3) pada (∗5), sehingga diperoleh ex+iy = ex (cos y + i sin y) atau eiy = (cos y + i sin y) Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 41. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi lanjutan Dengan mengingat bahwa z = r(cosθ + i sin θ) dengan r = |z| dan θ = arg(z), diperoleh z = |z|[cos(arg(z) + i sin(arg(z))]...(∗4) ambil z = ex+iy , sehingga (∗4) dapat dituliskan kembali sebagai z = |ex+iy |[cos(arg(ex+iy ) + i sin(arg(ex+iy ))]...(∗5) substitusikan (∗2) dan (∗3) pada (∗5), sehingga diperoleh ex+iy = ex (cos y + i sin y) atau eiy = (cos y + i sin y) Dengan mengingat bahwa y = θ, maka diperoleh eiθ = (cos θ + i sin θ)Q.E.D Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 42. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Akibat Identitas Euler Akibat dari Identitas Euler menghasilkan persamaan eiπ + 1 = 0 Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 43. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Akibat Identitas Euler Akibat dari Identitas Euler menghasilkan persamaan eiπ + 1 = 0 Bukti Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 44. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Akibat Identitas Euler Akibat dari Identitas Euler menghasilkan persamaan eiπ + 1 = 0 Bukti Dari identitas Euler, dapat ditemukan hubungan sebagai berikut eiπ = cos π + i sin π = −1 + 0 = −1 Dengan demikian eiπ + 1 = 0 Q.E.D Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)
  • 45. 1. Bilangan Euler 2. Asal-Usul Bilangan e 3. Identitas Euler 4. Referensi Referensi www.id.wikipedia.org(Bilangan Euler) Dikutip tanggal 3 maret 2016 pukul 14.15 wib www.id.wikipedia.org(Identitias Euler) Dikutip tanggal 3 maret 2016 pukul 14.16 wib www.mathematics.blogspot.com Dikutip tanggal 5 maret 2016 Gazali, Wikaria. Penurunan Rumus Euler, makalah Rukmono Budi Utomo30115301Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat Bilangan Euler(e)