1. oleh
Bahan Ajar Kalkulus II
Teknik-Teknik Pengintegralan
(disarikan dari buku Purcell, edisi 8)
Muh Hendra S Ginting
Depertemen Teknik Kimia
Fakultas Teknik USU
Medan 2015
2. Definisi
adalah suatu metode/teknik dalam
penyelesaian mencari anti turunan/integrasi
1.Pengintegralan dengan substitusi
Teorima A
untuk menentukan ∫ f(x) dx , kita dapat
mensubtitusi u = g (x) dengan g fungsi yang
dapat diintegralkan. Apabila subtitusi itu
mengubah f (x) dx menjadi h(u) du dan
apabila H sebuah anti turunan h, maka
Teknik-Teknik Pengintegralan
3. cugHcuHduuhdxxf )()()(
biasanya digunakan subtitusi fungsi
konstanta, fungsi pangkat, eksponen, fungsi
trigonometri, dan fungsi invers trigonometri
a.Substitusi konstanta, pangkat
c
n
x
dxx
n
n
1
.1
1
dxxfkdxxfk )()(.2
9. c. Substitusi fungsi invers (balikan) trigonometri
jika yx tan dyydx 2
sec
ydx
dy
2
sec
1
perhatikan segi tiga berikut
y
x
1
12
x
yx tan
1
1
cos
2
x
y
1
1
cos 2
2
x
y
1sec 22
xy
y
dx
dy 2
sec
ydx
dy
2
sec
1
12
x
dx
dy
10. 12
x
dx
dy
12
x
dx
dy
12
x
dx
y
jika yx tan xxarcy 1
tantan
maka cxarc
x
dx
tan
12
jika c
a
x
arc
aax
dx
tan
1
22
dimana a, c adalah konstanta
11. Berikut ini dirangkumkan beberapa rumus
integral substitusi fungsi invers (balikan)
trigonometri
c
a
x
xa
dx 1
22
sin.1
c
x
a
a
c
a
x
aaxx
dx
11
22
cos
1
sec
1
.2
c
a
x
aax
dx
1
22
tan
1
.3
12. Contoh 3
Hitunglah
Penyelesaian
dx
xx 256
7
2
1696
7
256
7
22
xx
dx
dx
xx
16)96(
7
256
7
22
xx
dx
dx
xx
16)3(
7
256
7
22
x
dx
dx
xx
13. ingat
3 xumisalkan dxdu
16)3(
7
256
7
22
x
dx
dx
xx
222
4
7
256
7
u
du
dx
xx
c
a
x
aax
dx
1
22
tan
1
Maka, a = 4
c
a
u
u
du
dx
xx
1
222
tan
4
1
.7
4
7
256
7
17. Contoh 5
Hitunglah
penyelesaian
dx
x
e x
2
/1
6
misalkan
x
u
1
dx
xx
ddu 2
1
)
1
(
duxdx 2
maka
gunakan subs eksponen
dux
x
e
dx
x
e ux
2
22
/1
6
6
cedxe xx
19. Latihan 1
Hitunglah
dxx 5
)2(.1
4
.2 2
x
dx
dx
x
x
4
.3 2
dxxe x
sin..4 cos
dx
x
x
4/
0
2
sin1
cos
.5
20. e. Substitusi fungsi logaritma asli (natural)
cxdx
x
ln
1
0x
Jika x menggantikan u
cudu
u
ln
1
0u
21. Contoh 6
Hitunglah dx
x 72
5
penyelesaian
misalkan 72 xu
)72( xddu
dxdu 2
2
1
5
72
5 du
u
dx
x
2
du
dx
maka
22. cu
u
du
dx
x
ln
2
5
2
5
72
5
cxdx
x
72ln
2
5
72
5
Sifat-sifat logaritma asli
01ln.1
ba
b
a
lnlnln.2
baba lnln.ln.3
axax
ln.ln.4
24. f. Fungsi eksponensial berbasis a
Tinjau aturan diferensial fungsi eksponensial
x
ay
axay x
ln.lnln
)ln.()(ln axdyd
dxa
y
dy
.ln
yayD
dx
dy
x .ln x
x aayD
dx
dy
.ln
30. 2. Integral Subtitusi Trigonometri
Bila kita mengkombinasikan metode dengan
pemakaian kesamaan trigonometri yang tepat,
maka kita dapat mengintegralkan banyak
bentuk trigonometri, maka integral yang
sering muncul adalah :
dxxdandxx nn
cossin.1
dxxx nn
cos.sin.2
dxnxxm cos.sin.3 dxnxxm sin.sin
dxnxxm cos.cos
31. Jenis 1 dxxdxx nn
cos,sin
tinjaulah kasus apabila n bilangan bulat
positip dan ganjil, keluarkan faktor sin x atau
cos x.
gunakan kesamaan 1cossin 22
xx
Soal no 3 hal 388
Hitunglah dxx
3
sin
penyelesaian
dxxxdxx sin.sinsin 23
keluarkan faktor sin x
39. Jenis 2 xdxx nm
cossin
jika salah satu m atau n bilangan bulat
positip ganjil sedangkan eksponen yang
satunya bilangan sembarang, kita faktorkan
kesamaan 1cossin 22
xx
Contoh 12
xdxx 43
cossin
m atau n ganjil carilah
penyelesaian
xdxxxxdxx 4243
cossin.sincossin
xxxx 2222
cos1sin1cossin
41. jika m atau n bilangan bulat positip genap
maka kita menggunakan kesamaan
setengah sudut untuk memperkecil derajat
imigran
Contoh 13
m atau n keduanya genap carilah dxxx 42
cossin
penyelesaian
2
222
2
2cos1
cos
2
2cos1
cos
x
x
x
x
2
2cos1
sin2 x
x
2
4
2
2cos1
cos
x
x
45. Jenis 3 dxnxxm cossin dxnxxm sinsin
dxnxxm coscos
integral jenis ini muncul dalam teori arus
bolak-balik, masalah perpindahan panas,
dan masalah terapan lainnya. Untuk
menangani integral-integral ini kita gunakan
kesamaan hasil kali
nmxnmnxmx sinsin
2
1
cos.sin.1
nmxnmnxmx coscos
2
1
sin.sin.2
nmxnmnxmx coscos
2
1
cos.cos.3
53. 3. Subtitusi yang merasionalkan
Integral yang melibatkan n bax jika n bax
muncul dalam suatu integral subtitusi n baxu
akan menghilangkan akar
Contoh 16
carilah xx
dx
penyelesaian
misalkan xu xu 2
dxud 2
dxudu 2
60. Integral yang melibatkan ;22
xa ;22
xa 22
ax
untuk merasionalkan tiga persamaan ini kita
membuat subtitusi trigonometri berikut
subtitusiakar pembatasan pada t
22
.1 xa tax sin 2/2/ t
22
.2 xa tax tan 2/2/ t
22
.3 ax tax sec 2/,0 tt
penyederhanaan yang dicapai oleh subtitusi
ini adalah
64. cttt
a
dxxa cos.sin
2
2
22
tax sin 2/2/ tpada selang
tax sin t
a
x
sin
t
x
22
xa
a
tax sin
sehingga fungsi balikan
t
a
x
sin
a
x
a
x
t 1
sinarcsin
65. dari segi tiga siku-siku
?cos t
a
x
a
x
t 1
sinarcsin
22
22
2
2
1 1
1sincoscos xa
aa
xa
a
x
a
x
t
maka
cxa
aa
x
a
xa
dxxa
221
2
22 1
.sin
2
ax
ax
xa
x
a
xa
dxxa
221
2
22
.
2
sin
2
66. hitunglah integral tentu berikut yang
menggambarkan luas daerah setengah
lingkaran seperti pada gambar
y
x
22
xay
aa
A
luas yang diarsir, A
dxxaA
a
a
22
Penggunaan
ax
ax
a
a
xa
x
a
xa
dxxaA
221
2
22
.
2
sin
2
72. 25262
1
22
u
du
dx
xx
misalkan tu tan5 pada selang 2/2/ t
tddu tan5 dttdu 2
sec5
25tan2525 22
tu
ttu sec51tan2525 22
dt
t
t
u
du
sec5
sec5
25
2
2
78. dxxxxdxxx sinsin.cos.
cxxxdxxx )cos(sin.cos.
Jika pemilihan u dan dv tidak tepat akan
menghasilkan integral yang lebih rumit
dari contoh 7
dxxx cos.
misalkan xu cos dxxdu sin
xdxdv
79. xdxdv
2
2
1
xv
dxxdv
maka
duvvudxxx .cos.
dxxxxxdxxx sin
2
1
2
1
.coscos. 22
Jika pemilihan u dan dv tidak tepat akan
menghasilkan integral yang lebih rumit
85. 5. Integrasi fungsi rasional
Defenisi fungsi rasional
Fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi
polinomial, fungsi rasional di bagi dua
1. Fungsi rasional sejati
yaitu derajat pembilang lebih kecil dari
penyebut
misal
84
22
2
xx
x
xf
2. Fungsi rasional tak sejati
yaitu derajat pembilang lebih besar dari
penyebut
91. Dekomposisi pecahan parsial (faktor linear)
Latihan menjumlahkan pecahan parsial
?
1
3
1
2
xx
11
1312
1
3
1
2
xx
xx
xx
yang menarik adalah proses kebalikannya
yaitu dekomposisi suatu pecahan menjadi
suatu jumlah pecahan yang lebih sederhana
92. Contoh 26 (faktor linear yang berbeda)
dekomposisikan pecahan parsial berikut dan
carilah integrasinya
?
6
13
2
xx
x
3232
13
6
13
2
x
B
x
A
xx
x
xx
x
32
23
6
13
2
xx
xBxA
xx
x
2313 xBxAx
93. 2313 xBxAx
3
7
;
5
8
AB
BBxAAxx 2313
BAxBAx 2313
)(3 aBA
)(123 aBA
eliminasi pers (a) dan (b)
98. faktor linear yang berulang
untuk tiap faktor linear (ax+b) yang muncul k
kali dalam penyebut suatu pecahan rasional
yang baik terdapat suatu penjumlahan k
buah pecahan parsial berbentuk
k
k
bax
A
bax
A
bax
A
)()()( 2
21
misal
?
1
4
x
x
maka dekomposisi pecahan parsial dibuat
4324
11111
x
D
x
C
x
B
x
A
x
x
99. Contoh 28 (faktor linear yang berulang)
Carilah
?
3
2
dx
x
x
penyelesaian
22
333
x
B
x
A
x
x
222
33
3
3
x
B
x
xA
x
x
BxAx 3
BAx
2
3333
100. 3333
2
BBA
BxAx
2
3
1330 AA
330 Ax
22
333
x
B
x
A
x
x
22
3
3
3
1
3
xxx
x
22
3
3
33 x
dx
x
dx
dx
x
x
101.
22
3
3
33 x
dx
x
dx
dx
x
x
c
x
xdx
x
x
3
3
3ln
3
2
Contoh 29
(beberapa faktor linear berbeda dan ada
yang berulang)
Carilah
?
13
1383
2
2
dx
xx
xx
102. penyelesaian
22
2
1133
1383
x
C
x
B
x
A
x
xx
2
2
2
2
13
3131
3
1383
xx
xCxxBxA
x
xx
31311383
22
xCxxBxAxx
31113111131.8)1(31
22
CBAx
24008 CC
105. Dekomposisi pecahan parsial (faktor kuadratik)
Dalam memfaktorkan penyebut suatu
pecahan, jika kita mungkin mendapatkan
beberapa faktor kuadrat, misalnya seperti
(x2 +1), yang tak dapat lagi diuraikan menjadi
faktor-faktor linier tanpa mengenalkan
bilangan kompleks, maka dekomposisi
pecahan parsial di buat
)( 2
cbxax
BAx
106. Contoh 30 (faktor kuadrat tunggal)
dekomposisikan pecahan parsial dan cari
integrasinya
?
)1(14
136
2
2
xx
xx
)1(14)1(14
136
22
2
x
CBx
x
A
xx
xx
)1(14
14).()1(
)1(14
136
2
2
2
2
xx
xCBxxA
xx
xx
108. 14).()1(136 22
xCBxxAxx
3).1(112113161
2
Bx
133410 BB
)1(14)1(14
136
22
2
x
CBx
x
A
xx
xx
)1(
1
14
2
)1(14
136
22
2
x
x
xxx
xx
dx
x
x
dx
x
dx
xx
xx
)1(
1
14
1
2
)1(14
136
22
2
109.
dx
x
dx
x
x
dx
x
dx
xx
xx
)1(
1
)1(14
1
2
)1(14
136
222
2
dx
x
dx
x
x
x
dx
dx
xx
xx
)1(
1
)1(
2
2
1
14
4
2
1
)1(14
136
222
2
cxarcxxdx
xx
xx
tan)1ln(
2
1
14ln
2
1
)1(14
136 2
2
2
110. faktor kuadrat berulang
untuk tiap faktor kuadratik yang tak dapat
direduksi ax2+bx+c yang muncul m kali
dalam penyebut pecahan rasional yang baik
maka dekomposisi pecahan mempunyai
bentuk
m
mm
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BAx
)()()( 222
11
2
misal
?
)1(
136
32
2
x
xx
pecahan parsialnya
3222232
2
)1()1()1()1(
136
x
FEx
x
DCx
x
BAx
x
xx
111. Contoh 31
cari integrasinya
dx
xx
xx
22
2
)2(3
22156
penyelesaian
22222
2
)2()2(3)2(3
22156
x
EDx
x
CBx
x
A
xx
xx
22
222
22
2
)2(3
33)2()2(
)2(3
22156
xx
xEDxxxCBxxA
xx
xx
33)2()2(22156 2222
xEDxxxCBxxAxx
00)29(2245543 2
Ax
1121121 AA
114. eliminasi (1)(4)
)1(1836 EC
)4(72824 EC 1
4
x
x
721224 EC
72824 EC
004 EE
)1(180.36 C
3186 CC
115. 33)2()2(22156 2222
xEDxxxCBxxAxx
33333)29(3)29(221563 22
EDCBAxxx
EDCB 618661981.12131
9061866198 EDCB
90183.66198 DB
)5(28818198 DB
dari pers (3) sub C = 3, E= 0
)3(1626 DB
116. eliminasi (5)(3)
)5(28818198 DB
)3(1626 DB 9
4
x
x
28818198 DB
1441854 DB
1144144 BB
dari (3) sub B = -1 )3(1626 DB
5102 DD
117.
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
xx
xx
22222
2
)2(
5
)2(
3
3
1
)2(3
22156
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
xx
xx
22222
2
)2(
5
)2(
3
3
1
)2(3
22156
dx
x
x
x
dx
x
dxx
x
dx
dx
xx
xx
222222
2
)2(
2
2
5
)2(
3
)2(
.2
2
1
3)2(3
22156
c
x
x
arcxxdx
xx
xx
)2(
1
2
5
2
tan
2
3
)2ln(
2
1
3ln
)2(3
22156
2
2
22
2
118. LATIHAN 6
Hitunglah
dx
xx
xx
912
3632
.1 2
2
dx
xxx
xx
32312
327
.2
2