Dokumen ini menjelaskan sejarah dan konsep bilangan prima, termasuk definisi, perkembangan pengetahuan sejak zaman kuno, serta aplikasi modernnya dalam teknologi, seperti enkripsi. Bilangan prima memiliki karakteristik unik dan sering muncul tanpa pola yang jelas, menjadikannya topik penelitian yang berkelanjutan dalam matematika. Selain itu, upaya pencarian bilangan prima besar masih terus dilakukan, dengan kompetisi seperti GIMPS yang menawarkan hadiah bagi penemuan angka dengan digit tertentu.

1. SEJARAH BILANGAN PRIMA
Disusun untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah
Teori Bilangan
Oleh :
Pipih Srie Mutia 142151040
2014 B
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SILIWANGI
TASIKMALAYA
2015

2. SEJARAH BILANGAN PRIMA
Bilangan prima adalah bilangan bulat lebih dari 1 yang hanya habis
dibagi 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan prima adalah bilangan bulat positif
lebih besar dari satu yang memiliki tepat hanya dua faktor, yaitu bilangan 1 (satu)
dan bilangan itu sendiri. Bilangan selain bilangan prima - yang memiliki lebih
dari dua faktor - dan selain bilangan 1 (satu) disebut sebagai bilangan komposit.
Bilangan 1 adalah kasus khusus, tidak termasuk ke bilangan prima ataupun
komposit. Banyak orang menanyakan sebabnya. Walau bilangan 1 dulunya
dianggap sebagai bilangan prima diperlukan penanganan khusus di banyak
definisi dan aplikasi yang mencakup bilangan prima, sehingga bilangan 1 tersebut
biasanya diletakkan pada sebuah kelas khusus.
Manusia telah mengenal bilangan prima sejak 6500 SM. Tulang Ishango
yang ditemukan pada tahun 1960 (sekarang disimpan di Musee d’Histoire
Naturelle di Brussels) membuktikan hal tersebut. Tulang Ishango memiliki 3 baris
takik. Salah satu kolomnya memiliki 11, 13, 17, dan 19 takik, yang merupakan
bilangan-bilangan prima antara 10 hingga 20.
Gambar 1. Tulang Ishango
Ada petunjuk dalam catatan bertahan Mesir kuno bahwa mereka punya
pengetahuan tentang bilangan prima: di Mesir fraksi ekspansi di Rhind Papirus,
misalnya, memiliki bentuk yang berbeda untuk bilangan prima dan komposit.
Namun, catatan awal yang masih bertahan studi eksplisit bilangan prima berasal
dari Yunani Kuno. Buku “Elements” karya Euclid diterbitkan sekitar 300 tahun
sebelum masehi yang menjadi bukti beberapa hasil terkait bilangan prima. Pada
bagian IX dari “Elements”, Euclid menulis kemungkinan terdapat begitu banyak

3. bilangan prima, mendekati tak hingga. Euclid juga memberi bukti teori dasar dari
Aritmatika, dimana setiap bilangan bulat dapat ditulis sebagai hasil perkalian
bilangan prima secara unik.
Gambar 2. Cover Buku Elements Gambar 3. Euclides
Pada buku “Elements”, Euclid menyelesaikan masalah tentang
bagaimana menciptakan angka sempurna, dimana bilangan bulat positif setara
dengan jumlah dari pembagi positif, menggunakan bilangan prima Mersenne.
Gambar 4. Eratosthenes
Pada tahun 200 sebelum masehi, Eratosthenes membuat algoritma untuk
menghitung bilangan prima, yang dikenal juga sebagai Saringan Eratosthenes.
Algoritma merupakan salah satu algoritma yang pertama kali ditulis. Eratosthenes
meletakkan angka pada kotak dan mencoret berbagai angka yang tergolong
kelipatan dan akar kuadrat sehingga angka tersisa merupakan bilangan prima.

4. Namun saat Dark Ages, dimana intelektual dan sains mengalami
tekanan, tidak ada lagi karya berikutnya` yang membahas bilangan prima. Pada
abad ke 17, ahli matematika seperti Fermat, Euler, dan Gauss mulai memeriksa
pola yang muncul pada bilangan prima. Konjektur dan teori yang dibuat para ahli
matematika disaat itu menciptakan revolusi dari matematika, dan beberapa
diantaranya masih dibuktikan hingga saat ini.
Gambar 5. Marin Mersene
Biarawan Perancis Marin Mersenne memandang bentuk bilangan prima
dari 2 p - 1, dengan p prima. Kemudian bilangan tersebut disebut sebagai bilangan
prima Mersenne untuk menghormatinya. Empat bilangan prima Mersenne
pertama adalah 𝑀2 = 3, 𝑀3 = 7, 𝑀5 = 31 dan 𝑀7 = 127 yang dikenal di zaman
kuno. Kelima, 𝑀13 = 8191, ditemukan anonymously sebelum tahun 1461.
Gambar 6. Pierre de Fermat
Pada tahun 1640 Pierre de Fermat menyatakan (tanpa bukti), Teorema
Kecil Fermat (kemudian dibuktikan oleh Leibniz dan Euler). Suatu kasus khusus
teorema Fermat mungkin telah dikenal jauh lebih awal oleh Cina. Fermat

5. menduga bahwa semua bilangan dalam bentuk 2 n + 1 adalah prima (mereka
disebut Angka Fermat) dan dia memverifikasikan ini ke n = 4 (atau 2 16 + 1).
Namun, jumlah Fermat berikutnya 2 32 + 1 adalah komposit (salah satu faktor
utama adalah 641), sebagai Euler ditemukan kemudian, dan bahkan tidak ada lagi
nomor Fermat dikenal sebagai prima.
Euler bekerja di teori bilangan termasuk banyak hasil mengenai bilangan
prima. Dia menunjukkan deret tak hingga 1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 5 + 1 / 7 + 1 / 11 + ...
adalah divergen. Tahun 1747 ia menunjukkan bahwa bahkan angka sempurna
yang tepat dalam bentuk bilangan bulat 2 p -1 (2 p - 1), di mana faktor kedua
adalah Mersenne Prima.
Gambar 7. Euler
Euler juga menyebutkan bilangan prima itu berbentuk :
n2 - n + 41 ntuk n = 1, 2, 3, ..., 40
n2 + n + 17 untuk n = 0, 1, 2, ..., 15
Gambar 8. Gauss

6. Pada awal abad ke-19, Legendre dan Gauss secara independen menduga
bahwa sebagai x cenderung, jumlah bilangan prima sampai dengan x adalah
asimtot ke x / ln (x), dimana ln (x) adalah logaritma natural dari x.
Ide Riemann dalam kertas pada 1859-fungsi zeta membuat sketsa sebuah program
yang akan mengarah pada bukti dari teorema bilangan prima.
Gambar 9. Legendre
Legendre juga menyebutkan bilangan prima yang berbentuk :
 n2 + n + 41 untuk n = 1, 2, 3, ..., 39
 n2 + 29 untuk n = 0, 1, 2, ..., 28
Beberapa matematikawan lain juga menyebutkan beberapa formula untuk
mencari bilangan prima. Seperti Escott, yaitu bilangan prima yang berbentuk :
 n2 - 79n + 6101 untuk n = 0, 1, 2, ..., 79
 n3 + n2 + 71 untuk n = -14, -13, -11, ..., 9, 10
 n2 + n + 41 untuk n = -40, -39, -38, ..., -1
Miot, yaitu bilangan prima yang berbentuk :
 n2 – 2999 + 2248541 ntuk n bilangan bulat dan 1460 > n >1539.
 n3 + n2 - 17 untuk n = 0, 1, 2, 3, ..., 24
Charbert , yaitu bilangan prima yang berbentuk : 3n2 + 3n – 1 untuk n =
1, 2, 3, ..., 11
Di awal masehi orang tetap mencari dan membuktikan bahwa suatu
bilangan merupakan bilangan prima. Cara yang paling efisien untuk mencari

7. bilangan prima kecil (misalkan kurang dari 107) adalah dengan menggunakan
metode Seive of Eratosthenes (240 SM) sebagai berikut :
 Daftarkanlah semua bilangan bulat antara 2 hingga n.
 Hapuslah semua bilangan kelipatan bilangan prima yang lebih kecil atau
sama dengan n .
 Maka bilangan yang masih tersisa adalah bilangan prima.
Kebanyakan orang mengetahui bilangan prima hanya sebatas pada
pelajaran matematika dalam materi bilangan bulat dijenjang pendidikan dasar dan
menengah. Salah satu fungsi bilangan prima dalam kehidupan sehari-hari
diterapkan pada bidang teknologi sebagai kode keamanan dalam penggunaan
password. Seperti yang dilakukan oleh RSA dan El-Gamel. Bilangan prima
menjadi amat penting pada proses pengkodean dengan komputer. Salah satu
tekniknya yang dikenal dengan enkripsi. Enkripsi adalah suatu proses
transformasi data menggunakan perhitungan tertentu sehingga tidak dapat dibaca
oleh orang lain kecuali bagi mereka yang telah mengetahui cara perhitungan
tersebut. Aplikasi dari bilangan prima ini digunakan untuk kode-kode rahasia
pada kartu ATM suatu bank atau pun kode brankas. Tidak banyak orang yang
mengetahui kegunaan bilangan prima dalam kehidupan nyata.
Electronic Frontier Foundation (EFF) sebuah lembaga yang berkutat
dibidang elektronik di Amerika telah membuat kompetisi untuk menemukan
bilangan prima Mersenne yang diberi nama Great Internet Mersenne Prime
Search (GIMPS). EFF menawarkan hadiah US$100,000 untuk penemu pertama
bilangan prima dengan jumlah digit minimum 10 juta buah. Mereka juga
menawarkan hadiah US$150,000 untuk 100 juta buah jumlah digit bilangan
prima, dan US$250,000 untuk 1 milyar buah jumlah digit bilangan prima. Pada
bulan September 2008, matematikawan di UCLA berpartisipasi dalam GIMPS
memenangkan bagian dari $ 100.000 hadiah dari Electronic Frontier Foundation untuk
penemuan mereka sangat hampir 13 juta digit Mersenne prima. Pada tahun 2013, EFF
memberikan hadiah US$3,000 untuk bilangan prima yang punya jumlah digit
17.425.17. Bilangan prima terbesar tersebut adalah 2 pangkat 57.885.161 minus
satu (257.885.161.- 1). Bilangan prima terbesar ini ditemukan oleh matematikawan

8. University of Central Missouri, Curtis Cooper sebagai bagian dari jaringan
komputer raksasa yang digunakan untuk menghitung bilangan prima.. Bilangan
prima kali ini juga adalah angka ke-48 yang masuk kelas bilangan prima
Mersenne.
Bilangan prima termasuk salah satu misteri alam semesta yang belum
dapat terpecahkan. Banyak bilangan prima tak terhingga, tak perduli berapa
banyak kita meghitung pasti bertemu dengan bilangan prima. Bilangan ini
memiliki keistimewaan, yaitu tidak adanya pola yang mengatur kemunculannya,
bilangan prima ini nampak muncul secara acak. Dari riset-riset yang telah
dilakukan sebelumnya, ditemukan beberapa teknik dalam pencarian apakah
sebuah bilangan adalah bilangan prima atau bukan, seperti Fermat Little Test.
Definisi bilangan prima yang sederhana tersebut tidak menjamin bahwa bilangan
prima muncul dengan pola-pola yang teratur, bahkan sebaliknya; tidak ada yang
dapat memprediksi kemunculan bilangan prima yang selanjutnya. Maka, masih
banyak yang perlu dikaji atau diteliti, untuk mencari suatu kepastian dari rumus
bilangan prima itu sendiri.
Dari uraian di atas penulis menyarankan bagi pembaca, bila ingin jadi
penemu didalam bidang matematika masih terbuka lebar. Pembaca bisa mencari
yang baru ( rumus matematika ), atau pembaca juga bisa mengkaji rumus – rumus
sebelumnya dan mencari kesalahan dengan membuktikan kebenaran yang ada.
Mudah-mudahan dari essay ini dapat menjadi penyemangat pembaca untuk
melakukan penelitian dalam dunia matematika.

9. DAFTAR PUSTAKA
Anonymous. (2013) Mersenne Prime Number discovery - 257885161-1 is Prime!.
[Online]. Tersedia: http://www.mersenne.org/primes/?press=M57885161
[4 Juni 2015]
Arief, E. (2009) Berbagi Sejarah Tentang Matematika Sejarah Bilangan Prima.
[Online]. Tersedia : http://endangarief-sejmat.blogspot.com/2009/12/sejar
ah-bilangan-prima.html [27 Mei 2015]
Chahyadi, A. (2013) Bilangan Prima. [Online]. Tersedia : http://kodokodok.com
/2013/08/bilangan-prima.html [4 Juni 2015]
Caldwell, C.K. (2015) The Largest Known Primes-A Summary.[Online]. Tersedia:
https://primes.utm.edu/largest.html [4 Juni 2015]
Nino (2012) Tahukah Kamu Manfaat Bilangan Prima Di Dunia Ini?. [Online].
Tersedia : http://www.banksoalmatematika.com/2012/09/tahukah-kamu-
manfaat-bilangan-prima-di.html [4 Juni 2015]
Rizki, Y. (2012) Asal Mula Bilangan Nol, Bilangan Prima dan Aljabar
Matematika. [Online]. Tersedia: http://akuyudhipblg.blogspot.com/2012/
03/asal-mula-bilangan-nol-bilangan-prima [27 Mei 2015]
Tanjung, F.A. (2014) Sejarah dan Penerapan Bilangan Prima.[Online]. Tersedia :
http://www.bglconline.com/2014/07/penerapan-bilangan-prima/ [27 Mei
2015]
Tantawi. (2007) MakalahIF2153-0708-108.pdf Bilangan Prima Marsenne.
[Online]. Tersedia : http://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis
/2007-2008/Makalah/MakalahIF2153-0708-108 [27 Mei 2015]
Wardhani, K. (2012) The Power Of Mathematics. [Online]. Tersedia :
http://garfieldq10.blogspot.com/2012/04/power-of-mathematics.html [4
Juni 2015]