Dokumen ini berisi penjelasan algoritma Newton untuk menemukan nilai x yang meminimumkan suatu fungsi. Dilakukan iterasi dengan menentukan nilai awal λ1 kemudian menghitung λ2, λ3, dan seterusnya hingga diperoleh konvergensi. Diberikan contoh soal dengan fungsi f(x) = 6x^3 - 9x^4 dan dilakukan 6 iterasi hingga diperoleh nilai λ7.

1. Ujian Tegah Semester
Metode Numerik Newton I
Diana Rosa Feriyanti (1384202058)
01 April 2016
Diana Rosa Feriyanti Ujian Tegah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 1 / 20

2. Ujian Tengah Semester
Metode Numerik Newton I
Metode Numerik
Kelas 6A1
Prodi Pendidikan Matematika
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Muhammadiyah Tangerang
01 April 2016
Diana Rosa Feriyanti (FKIP UMT) Ujian Tengah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 2 / 20

3. Algoritma Newton
Diana Rosa Feriyanti (FKIP UMT) Ujian Tengah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 3 / 20

4. Algoritma Newton
Pertama Tentukan nilai λ awal λ1 yang cukup dekat pada nilai
solusi nilai λ asli yang meminimumkan atau memaksimumkan
f(x)
Diana Rosa Feriyanti (FKIP UMT) Ujian Tengah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 3 / 20

5. Algoritma Newton
Pertama Tentukan nilai λ awal λ1 yang cukup dekat pada nilai
solusi nilai λ asli yang meminimumkan atau memaksimumkan
f(x)
Kedua Tentukan nilai f (λ) dan f (λ)
Diana Rosa Feriyanti (FKIP UMT) Ujian Tengah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 3 / 20

6. Algoritma Newton
Pertama Tentukan nilai λ awal λ1 yang cukup dekat pada nilai
solusi nilai λ asli yang meminimumkan atau memaksimumkan
f(x)
Kedua Tentukan nilai f (λ) dan f (λ)
Ketiga Penentuan λk + 1 adalah sebagai berikut:
λk+1 = λk −
f (λk)
f (λk)
Diana Rosa Feriyanti (FKIP UMT) Ujian Tengah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 3 / 20

7. Algoritma Newton
Pertama Tentukan nilai λ awal λ1 yang cukup dekat pada nilai
solusi nilai λ asli yang meminimumkan atau memaksimumkan
f(x)
Kedua Tentukan nilai f (λ) dan f (λ)
Ketiga Penentuan λk + 1 adalah sebagai berikut:
λk+1 = λk −
f (λk)
f (λk)
Keempat
Iterasi dilakukan terus sehingga diperoleh kekonvergenan barisan
yang merupakan solusi asli dari permasalahan optimisasi tersebut
Diana Rosa Feriyanti (FKIP UMT) Ujian Tengah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 3 / 20

8. Tugas Keaktifan
Carilah nilai x yang meminimumkan fungsi
f (x) = {6x
3
−9x4,x≥0
6x3+9x4,x<0
Diambil λ1=0, 167 (Why ?)
Jawab :
Diana Rosa Feriyanti (FKIP UMT) Ujian Tengah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 4 / 20

9. Cek
Persamaan :
f (λ) = 6λ3
− 9λ4
Turunkan persamaan diatas menjadi :
f (λ) = 18λ2
− 36λ3
Karena :
f (λ) = 0
sehingga :
18λ2
− 36λ3
= 0 → 18λ2
= 36λ3
→ λ =
18
36
= 0, 5
Diana Rosa Feriyanti (FKIP UMT) Ujian Tengah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 5 / 20

10. Lanjutan Cek
Dari :
f (λ) = 18λ2
− 36λ3
Turunkan persamaan diatas menjadi :
f (λ) = 36λ − 108λ2
Karena :
λ = 0, 5
sehingga :
f (λ) = 36λ − 108λ2
→ f (0, 5) = 18 − 27 = −9 < 0
Maka itu maksimal
Diana Rosa Feriyanti (FKIP UMT) Ujian Tengah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 6 / 20

11. Lanjutan Cek
Karena turunan kedua hasilnya maksimal, maka di turunkan
kembali . Menjadi:
f = 36 − 216λ
Karena :
f (λ) = 0
sehingga :
36 − 216λ = 0 → −216λ = −36 → λ =
−36
−216
≈ 0, 1666666
Maka di dapat λ = 0, 167
Karena λ = 0, 167 > 0 maka gunakan fungsi f (λ) = 6λ3
− 9λ4
Diana Rosa Feriyanti (FKIP UMT) Ujian Tengah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 7 / 20

12. Iterasi I
λ1 = 0, 167
Subtitusikan λ1 pada persamaan
f (λ1) = 18λ2
1 − 36λ3
1
Sehingga :
f (0, 167) = 18(0, 167)2
− 36(0, 167)3
= 0, 334332
Kemudian :
f (λ1) = 36λ1 − 108λ2
1
Sehingga :
f (0, 167) = 36(0, 167) − 108(0, 167)2
= 2, 999988
Diana Rosa Feriyanti (FKIP UMT) Ujian Tengah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 8 / 20

13. Lanjutan Iterasi I
Maka :
λ2 = λ1 −
f (λ1)
f (λ1)
= 0, 167 −
0, 334332
2, 999988
= 0, 055556
Karena λ2 = 0, 055556 > 0, fungsi f (λ2) = 18λ2
2 − 36λ3
2
digunakan untuk iterasi selanjutnya
Dengan λ2=0, 055556
Diana Rosa Feriyanti (FKIP UMT) Ujian Tengah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 9 / 20

14. Iterasi II
λ2 = 0, 055556
Subtitusikan λ1 pada persamaan
f (λ2) = 18λ2
2 − 36λ3
2
Sehingga :
f (0, 055556) = 18(0, 055556)2
− 36(0, 055556)3
= 0, 049392
Kemudian :
f (λ2) = 36λ2 − 108λ2
2
Sehingga :
f (0, 055556) = 36(0, 055556) − 108(0, 055556)2
= 1, 666728
Diana Rosa Feriyanti (FKIP UMT) Ujian Tengah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 10 / 20

15. Lanjutan Iterasi II
Maka :
λ3 = λ2 −
f (λ2)
f (λ2)
= 0, 055556 −
0, 049392
1, 666728
= 0, 025922
Karena λ3 = 0, 025922 > 0, fungsi f (λ3) = 18λ2
2 − 36λ3
2
digunakan untuk iterasi selanjutnya
Dengan λ3=0, 025922
Diana Rosa Feriyanti (FKIP UMT) Ujian Tengah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 11 / 20

16. Iterasi III
λ3 = 0, 025922
Subtitusikan λ3 pada persamaan
f (λ3) = 18λ2
3 − 36λ3
3
Sehingga :
f (0, 025922) = 18(0, 025922)2
− 36(0, 025922)3
= 0, 011484
Kemudian :
f (λ3) = 36λ3 − 108λ2
3
Sehingga :
f (0, 025922) = 36(0, 025922) − 108(0, 025922)2
= 0, 860616
Diana Rosa Feriyanti (FKIP UMT) Ujian Tengah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 12 / 20

17. Lanjutan Iterasi III
Maka :
λ4 = λ3 −
f (λ3)
f (λ3)
= 0, 025922 −
0, 011484
0, 860616
= 0, 012578
Karena λ4 = 0, 012578 > 0, fungsi f (λ4) = 18λ2
4 − 36λ3
4
digunakan untuk iterasi selanjutnya
Dengan λ4=0, 012578
Diana Rosa Feriyanti (FKIP UMT) Ujian Tengah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 13 / 20

18. Iterasi IV
λ4 = 0, 012578
Subtitusikan λ4 pada persamaan
f (λ4) = 18λ2
4 − 36λ3
4
Sehingga :
f (0, 012578) = 18(0, 012578)2
− 36(0, 012578)3
= 0, 002772
Kemudian :
f (λ4) = 36λ4 − 108λ2
4
Sehingga :
f (0, 012578) = 36(0, 012578) − 108(0, 012578)2
= 0, 435744
Diana Rosa Feriyanti (FKIP UMT) Ujian Tengah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 14 / 20

19. Lanjutan Iterasi IV
Maka :
λ5 = λ4 −
f (λ4)
f (λ4)
= 0, 012578 −
0, 002772
0, 435744
= 0, 006216
Karena λ5 = 0, 006216 > 0, fungsi f (λ5) = 18λ2
5 − 36λ3
5
digunakan untuk iterasi selanjutnya
Dengan λ5=0, 006216
Diana Rosa Feriyanti (FKIP UMT) Ujian Tengah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 15 / 20

20. Iterasi V
λ5 = 0, 006216
Subtitusikan λ1 pada persamaan
f (λ5) = 18λ2
5 − 36λ3
5
Sehingga :
f (0, 006216) = 18(0, 006216)2
− 36(0, 006216)3
= 0, 000693
Kemudian :
f (λ5) = 36λ5 − 108λ2
5
Sehingga :
f (0, 006216) = 36(0, 006216) − 108(0, 006216)2
= 0, 219564
Diana Rosa Feriyanti (FKIP UMT) Ujian Tengah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 16 / 20

21. Lanjutan Iterasi V
Maka :
λ6 = λ5 −
f (λ5)
f (λ5)
= 0, 006216 −
0, 000693
0, 219564
= 0, 00306
Karena λ6 = 0, 00306 > 0, fungsi f (λ6) = 18λ2
6 − 36λ3
6
digunakan untuk iterasi selanjutnya
Dengan λ6=0, 00306
Diana Rosa Feriyanti (FKIP UMT) Ujian Tengah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 17 / 20

22. Iterasi VI
λ6 = 0, 00306
Subtitusikan λ1 pada persamaan
f (λ6) = 18λ2
6 − 36λ3
6
Sehingga :
f (0, 00306) = 18(0, 006)2
− 36(0, 006)3
= 0, 000161
Kemudian :
f (λ6) = 36λ6 − 108λ2
6
Sehingga :
f (0, 00306) = 36(0, 00306) − 108(0, 00306)2
= 0, 109188
Diana Rosa Feriyanti (FKIP UMT) Ujian Tengah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 18 / 20

23. Lanjutan Iterasi VI
Maka :
λ7 = λ6 −
f (λ6)
f (λ6)
= 0, 00306 −
0, 000161
0, 109188
= 0, 001585
Karena λ7 = 0, 001585 > 0, fungsi f (λ7) = 18λ2
7 − 36λ3
7
digunakan untuk iterasi selanjutnya
Dengan λ7=0, 001585
Diana Rosa Feriyanti (FKIP UMT) Ujian Tengah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 19 / 20

24. Akhir
Iterasi dilakukan terus menerus sampai terlihat konvergensi
nilai λk mendekati nilai x sesungguhnya.
Diana Rosa Feriyanti (FKIP UMT) Ujian Tengah Semester Metode Numerik Newton I 01 April 2016 20 / 20