Aplikasi Bilangan Irrasional *Indah Sari (06081181520085)

1. Bilangan e (euler)
Leonhard Euler Switzerland
Pengertian Bilangan Euler
e adalah konstanta bilangan real yang nilainya mendekati 2.7182818284
5904523536... (e = 2.71828 18284 59045 23536..).
e ditemukan oleh John Napier sang penemu logaritma pada tahun 1614
tetapi e dipopulerkan oleh Lionhard euler bahkan euler lah yang pertama kali
menggunakan simbol e, e diperoleh melalui perhitungan. Defenisi bilangan e
atau bilangan euler juga di artikan dengan defenisi limit yaitu mendekati.
e adalah bilangan irasional maka oleh karena itu nilai e tidak akan
pernah berhenti sama seperti π.
Kegunaan e
e adalah salah satu dari 5 bilangan penting dalam matematika. Keempat
bilangan penting yang lainnya π, i 0 ,1. e juga adalah basis dari logaritma
natural. Salah satu penerapan e adalah dalam perhitungan bunga bank.

2. Sejarah dan Pembuktian
Ada kontras yang besar antara perkembangan sejarah dari kedua angka dan
dalam banyak cara menulis sejarah e adalah tugas yang jauh lebih sulit
daripada menulis π.
Nilai e pertama dikenal di matematika memiliki sejarah yang sangat sedikit.
Euler bukanlah penemu e angka, meskipun ia memberikan simbol
matematika e. Adanya e adalah implisit dalam Yohanes Makasar 1614 bekerja
pada logaritma, dan logaritma alami kadang-kadang dijuluki inexactly logaritma
Napierian. Konstanta 2,71828. . . dirujuk dalam terjemahan bahasa Inggris
Edward Wright kerja Napier pada tahun 1618.
Pada tahun 1647 Saint-Vincent menghitung daerah di bawah hiperbola persegi
panjang. Apakah dia mengetahui hubungan antara daerah di bawah hiperbola
persegi panjang hubungan dengan logaritma ? Hal ini masih diperdebatkan.
Pada 1661 Huygens memahami hubungan antara hiperbola persegi panjang
dan logaritma. Dia memeriksa secara eksplisit hubungan antara daerah di
bawah persegi panjang hiperbola yx = 1 dan logaritma. Tentu saja, nilai e
adalah sedemikian rupa sehingga daerah di bawah hiperbola persegi panjang
dari 1 sampai e sama dengan 1. Tetapi karyanya tidak benar-benar diakui
karena dia tidak menyebutkan bilangan ‘e’ secara eksplisit.
Hal yang mengejutkan, pekerjaan pada logaritma begitu dekat dengan
bilangan e, ketika e pertama "ditemukan" itu bukan melalui konsep logaritma
sama sekali melainkan melalui studi bunga majemuk. Pada 1683 Jacob
Bernoulli memandang masalah bunga majemuk dan, dalam memeriksa bunga
majemuk kontinyu, ia mencoba untuk menemukan batas dari (1 + 1 / n) n
sebagai n cenderung tak terhingga.

3. Dia menggunakan teorema binomial untuk menunjukkan bahwa batas harus
terletak antara 2 dan 3 sehingga kita bisa menganggap hal ini menjadi
pendekatan pertama ditemukan e. Juga menerima ini sebagai definisi e. Akan
tetapi jelas tidak mengakui hubungan antara karyanya dan pada logaritma.
Saat ini tentu saja dari persamaan x = at, kami menyimpulkan bahwa t = log x di
mana basis log nya a. Dari sini kita benar-benar berpikir bahwa log adalah
sebuah fungsi, sementara awal logaritma terfikirnya/diciptakan adalah sebagai
alat bantu perhitungan. Jacob Bernoulli lah yang pertama kali memahami
bahwa fungsi log adalah kebalikan dari fungsi eksponensial.
Pada tahun itu Leibniz menulis surat kepada Huygens dan dalam hal ini ia
menggunakan notasi b untuk apa yang sekarang kita sebut e. Akhirnya nomor e
punya nama (bahkan jika tidak salah satu yang sekarang) dan itu
diakui.Mungkin sekarang pembaca bertanya kenapa kita tidak belajar sejarah
bilangan ‘e’ dari pertama kali nilai ‘e’ muncul. Alasannya adalah karena
walaupun pekerjaan yang sebelumnya kita bahas, tidak menyebutkan/mengatur
tentang apa itu ‘e’, perlahan-lahan setelah ‘e’ didefinisikan kita mulai menyadari
bahwa karya sebelumnya relevan. Kilas baliknya, perkembangan awal
logaritma merupakan bagian dari pemahaman tentang nilai ‘e’.
Kenapa e? Kenapa tidak a, b, atau c, atau d?
Euler lah yang pertama kali menemukan bahwa e notasi untuk nomor ini.Ada
yang mengklaim bahwa Euler menggunakan huruf e karena itu huruf pertama
dari namanya.Ini mungkin terjadi karena e berasal dari "eksponensial". Apapun
alasannya, notasi e pertama kali muncul dalam sebuah surat Euler kepada
Goldbach pada tahun 1731. Dia membuat berbagai penemuan mengenai e
tahun-tahun berikutnya, tetapi tidak sampai 1748 ketika Euler menerbitkan
“Introductio di analysin infinitorum” Dia menunjukkan bahwa :

4. e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...
dan bahwa e adalah batas (1 + 1 / n) n sebagai n cenderung tak terhingga atau
Euler memberikan pendekatan untuk e sampai 22 desimal pada waktu itu,
Sebagai contoh, di sini adalah pengiraan e kepada 22 tempat perpuluhan:
1/0! = 1/1 = 1,0000000000000000000000000
1/1! = 1/1 = 1,0000000000000000000000000
1/2! = ½ = ,5000000000000000000000000
1/3! = 1/6 = 0,1666666666666666666666667
1/4! = 1/24 = ,0416666666666666666666667
1/5! = 1/120 = 0,0083333333333333333333333
1/6! = 1/720 = ,0013888888888888888888889
1/7! = 1/5040 = 0,0001984126984126984126984
1/8! = 1/40320 = ,0000248015873015873015873
1/9! = 1/362880 = ,0000027557319223985890653
1/10! = 1/3628800 = 0,0000002755731922398589065
1/11! = 1/39916800 = ,0000000250521083854417188
1/12! = 1/479001600 = ,0000000020876756987868099
1/13! = 1/6227020800 = ,0000000001605904383682161
1/14! = 1/87178291200 = 0,0000000000114707455977297
1/15! = 1/1307674368000 = ,0000000000007647163731820
1/16! = 1/20922789887989 = ,0000000000000477947733239
1/17! = 1/355687428101759 = ,0000000000000028114572543
1/18! = 1/6402373705148490 = 0,0000000000000001561920697
1/19! = 1/121645101098757000 = 0,0000000000000000082206352
1/20! = 1/2432901785214670000 = 0,0000000000000000004110318
1/21! = 1/51091049359062800000 = 0,0000000000000000000195729

5. 1/22! = 1/1123974373384290000000 = 0,0000000000000000000008897
1/23! = 1/25839793281653700000000 = 0,0000000000000000000000387
1/24! = 1/625000000000000000000000 = 0,0000000000000000000000016
1/25! = 1/10000000000000000000000000 = 0,0000000000000000000000001
Jumlah nilai dalam ruang yang betul adalah 2.7182818284590452353602875 iaitu "e”.
Konstanta matematika e merupakan basis dari logaritma natural. Dan disebut
juga bilangan Euler sebagai penghargaan atas ahli matematika Swiss,Leonhard
Euler, atau juga konstanta Napier sebagai penghargaan atas ahli
matematika Skotlandia, John Napier yang merumuskan konsep logaritma untuk
pertama kali. Bilangan ini adalah salah satu bilangan yang terpenting dalam
matematika, sama pentingnya dengan 0, 1, i, dan π.