Tugas UTS Metode Numerik menggunakan metode Newton untuk menemukan titik minimum fungsi f(x) = 2x^3 - 6x^4 dengan nilai awal x1 = 0,084. Setelah beberapa iterasi dengan menghitung nilai f(x) dan x baru, diperoleh konvergensi barisan angka yang menunjukkan titik minimum fungsi tersebut.

1. TUGAS UTS METODE NUMERIK
NEWTON 1
Who? Oleh : Rizka Apriyanti (6A1)
When? April 1, 2016

2. Soal : Carilah titik x yang meminimumkan fungsi :
f (x) = 2x3−6x4,x≥0
2x3+6x4,x<0
Dengan metode numerik Newton

3. Penyelesaian

4. Penyelesaian
Ambil fungsi f (x) dengan x ≥ 0 yaitu
f (x) = 2x3
− 6x4

5. Penyelesaian
Ambil fungsi f (x) dengan x ≥ 0 yaitu
f (x) = 2x3
− 6x4
Menentukan nilai x awal (x1) yang cukup dekat
pada nilai solusi nilai x asli yang meminimumkan
f (x):

6. Penyelesaian
Ambil fungsi f (x) dengan x ≥ 0 yaitu
f (x) = 2x3
− 6x4
Menentukan nilai x awal (x1) yang cukup dekat
pada nilai solusi nilai x asli yang meminimumkan
f (x):
f (x) = 6x2 − 24x3
f (x) = 0
6x2 − 24x3 = 0
6x2 = 24x3
x = 4

7. Penyelesaian
Ambil fungsi f (x) dengan x ≥ 0 yaitu
f (x) = 2x3
− 6x4
Menentukan nilai x awal (x1) yang cukup dekat
pada nilai solusi nilai x asli yang meminimumkan
f (x):
f (x) = 6x2 − 24x3
f (x) = 0
6x2 − 24x3 = 0
6x2 = 24x3
x = 4
Substitusikan nilai x=4 ke turunan kedua fungsi
f (x)
f (x) = 6x2
− 24x3
f (x) = 6(4) − 24(42
) = −1104 < 0

8. Penyelesaian

9. Penyelesaian
Turunan ketiga fungsi f (x) :

10. Penyelesaian
Turunan ketiga fungsi f (x) :
f (x) = 12 − 144x
12 − 144x = 0
144x = 12 ⇒ x = 0, 0833 ≈ 0, 084

11. Penyelesaian
Turunan ketiga fungsi f (x) :
f (x) = 12 − 144x
12 − 144x = 0
144x = 12 ⇒ x = 0, 0833 ≈ 0, 084
Karena
x1 = 0, 084 ≥ 0
maka diambil fungsi yang pertama yaitu:

12. Penyelesaian
Turunan ketiga fungsi f (x) :
f (x) = 12 − 144x
12 − 144x = 0
144x = 12 ⇒ x = 0, 0833 ≈ 0, 084
Karena
x1 = 0, 084 ≥ 0
maka diambil fungsi yang pertama yaitu:
f (x) = 2x3
− 6x4
f (x) = 6x2
− 24x3
f (x) = 12x − 72x2

13. ITERASI I

14. ITERASI I
Menentukan nilai f (x1) :

15. ITERASI I
Menentukan nilai f (x1) :
f (x1) = 6x2
1 − 24x3
1
f (x1) = 6(0, 084)2
− 24(0, 084)3
f (x1) = 6(0, 0071) − 24(0, 00059)
f (x1) = 0, 0426 − 0, 014224 = 0, 028375

16. ITERASI I
Menentukan nilai f (x1) :
f (x1) = 6x2
1 − 24x3
1
f (x1) = 6(0, 084)2
− 24(0, 084)3
f (x1) = 6(0, 0071) − 24(0, 00059)
f (x1) = 0, 0426 − 0, 014224 = 0, 028375
Menentukan nilai f (x1) :

17. ITERASI I
Menentukan nilai f (x1) :
f (x1) = 6x2
1 − 24x3
1
f (x1) = 6(0, 084)2
− 24(0, 084)3
f (x1) = 6(0, 0071) − 24(0, 00059)
f (x1) = 0, 0426 − 0, 014224 = 0, 028375
Menentukan nilai f (x1) :
f (x1) = 12x − 72x2
f (x1) = 120, 084 − 72(0, 084)2
f (x1) = 1, 008 − 72(0, 0071)
f (x1) = 1, 008 − 0, 169344 = 0, 838656

18. LANJUTAN
ITERASI I

19. LANJUTAN
ITERASI I Menentukan nilai xk+1 :
xk+1 = xk −
f (xk)
f (xk)
⇒ x1+1 = x1 −
f (x1)
f (x1)
x2 = 0, 084−
0, 028375
0, 838656
= 0, 084−0, 033834 = 0, 050166

20. LANJUTAN
ITERASI I Menentukan nilai xk+1 :
xk+1 = xk −
f (xk)
f (xk)
⇒ x1+1 = x1 −
f (x1)
f (x1)
x2 = 0, 084−
0, 028375
0, 838656
= 0, 084−0, 033834 = 0, 050166
Karena x2 = 0, 050166 ≥ 0 maka diambil fungsi yang
pertama yaitu: f (x) = 2x3 − 6x4
f (x) = 6x2
− 24x3
⇒ f (x) = 12x − 72x2

21. LANJUTAN
ITERASI I Menentukan nilai xk+1 :
xk+1 = xk −
f (xk)
f (xk)
⇒ x1+1 = x1 −
f (x1)
f (x1)
x2 = 0, 084−
0, 028375
0, 838656
= 0, 084−0, 033834 = 0, 050166
Karena x2 = 0, 050166 ≥ 0 maka diambil fungsi yang
pertama yaitu: f (x) = 2x3 − 6x4
f (x) = 6x2
− 24x3
⇒ f (x) = 12x − 72x2
Iterasi dilanjutkan sampai diperoleh kekonvergenan
barisan yang merupakan solusi asli dari persoalan
optimasi ini

22. ITERASI II

23. ITERASI II
Menentukan nilai f (x2) :

24. ITERASI II
Menentukan nilai f (x2) :
f (x2) = 6x2
2 − 24x3
2
f (x2) = 6(0, 0501)2
− 24(0, 0501)3
f (x2) = 0, 015606 − 0, 003184 = 0, 012422

25. ITERASI II
Menentukan nilai f (x2) :
f (x2) = 6x2
2 − 24x3
2
f (x2) = 6(0, 0501)2
− 24(0, 0501)3
f (x2) = 0, 015606 − 0, 003184 = 0, 012422
Menentukan nilai f (x2) :

26. ITERASI II
Menentukan nilai f (x2) :
f (x2) = 6x2
2 − 24x3
2
f (x2) = 6(0, 0501)2
− 24(0, 0501)3
f (x2) = 0, 015606 − 0, 003184 = 0, 012422
Menentukan nilai f (x2) :
f (x2) = 12x − 72x2
f (x2) = 12(0, 0501) − 72(0, 0501)2
f (x2) = 0, 612 − 0, 187272 = 0, 424728

27. LANJUTAN
ITERASI II

28. LANJUTAN
ITERASI II Menentukan nilai xk+1 :
xk+1 = xk −
f (xk)
f (xk)
⇒ x2+1 = x2 −
f (x2)
f (x2)
x3 = 0, 0501−
0, 012422
0, 424728
= 0, 0501−0, 029251 = 0, 021749

29. LANJUTAN
ITERASI II Menentukan nilai xk+1 :
xk+1 = xk −
f (xk)
f (xk)
⇒ x2+1 = x2 −
f (x2)
f (x2)
x3 = 0, 0501−
0, 012422
0, 424728
= 0, 0501−0, 029251 = 0, 021749
Karena x3 = 0, 021749 ≥ 0 maka diambil fungsi yang
pertama yaitu: f (x) = 2x3 − 6x4
f (x) = 6x2
− 24x3
⇒ f (x) = 12x − 72x2

30. LANJUTAN
ITERASI II Menentukan nilai xk+1 :
xk+1 = xk −
f (xk)
f (xk)
⇒ x2+1 = x2 −
f (x2)
f (x2)
x3 = 0, 0501−
0, 012422
0, 424728
= 0, 0501−0, 029251 = 0, 021749
Karena x3 = 0, 021749 ≥ 0 maka diambil fungsi yang
pertama yaitu: f (x) = 2x3 − 6x4
f (x) = 6x2
− 24x3
⇒ f (x) = 12x − 72x2
Iterasi dilanjutkan sampai diperoleh kekonvergenan
barisan yang merupakan solusi asli dari persoalan
optimasi ini

31. ITERASI III

32. ITERASI III
Menentukan nilai f (x3) :

33. ITERASI III
Menentukan nilai f (x3) :
f (x3) = 6x2
3 − 242x3
3
f (x3) = 6(0, 021749)2
− 24(0, 021749)3
f (x3) = 0, 002904 − 0, 000255 = 0, 002648

34. ITERASI III
Menentukan nilai f (x3) :
f (x3) = 6x2
3 − 242x3
3
f (x3) = 6(0, 021749)2
− 24(0, 021749)3
f (x3) = 0, 002904 − 0, 000255 = 0, 002648
Menentukan nilai f (x3) :

35. ITERASI III
Menentukan nilai f (x3) :
f (x3) = 6x2
3 − 242x3
3
f (x3) = 6(0, 021749)2
− 24(0, 021749)3
f (x3) = 0, 002904 − 0, 000255 = 0, 002648
Menentukan nilai f (x3) :
f (x3) = 12x − 72x2
f (x3) = 12(0, 021749) − 72(0, 021749)2
f (x3) = 0, 264 − 0, 034848 = 0, 229152

36. LANJUTAN
ITERASI III

37. LANJUTAN
ITERASI III Menentukan nilai xk+1 :
xk+1 = xk −
f (xk)
f (xk)
⇒ x3+1 = x3 −
f (x3)
f (x3)
x4 = 0, 021749 −
0, 002648
0, 229152
x4 = 0, 021749 − 0, 011557 = 0, 010443

38. LANJUTAN
ITERASI III Menentukan nilai xk+1 :
xk+1 = xk −
f (xk)
f (xk)
⇒ x3+1 = x3 −
f (x3)
f (x3)
x4 = 0, 021749 −
0, 002648
0, 229152
x4 = 0, 021749 − 0, 011557 = 0, 010443
Karena x4 = 0, 010443 ≥ 0 maka diambil fungsi yang
pertama yaitu: f (x) = 2x3 − 6x4
f (x) = 6x2
− 24x3
⇒ f (x) = 12x − 72x2

39. LANJUTAN
ITERASI III Menentukan nilai xk+1 :
xk+1 = xk −
f (xk)
f (xk)
⇒ x3+1 = x3 −
f (x3)
f (x3)
x4 = 0, 021749 −
0, 002648
0, 229152
x4 = 0, 021749 − 0, 011557 = 0, 010443
Karena x4 = 0, 010443 ≥ 0 maka diambil fungsi yang
pertama yaitu: f (x) = 2x3 − 6x4
f (x) = 6x2
− 24x3
⇒ f (x) = 12x − 72x2
Iterasi dilanjutkan sampai diperoleh kekonvergenan
barisan yang merupakan solusi asli dari persoalan
optimasi ini

40. ITERASI IV

41. ITERASI IV
Menentukan nilai f (x4) :

42. ITERASI IV
Menentukan nilai f (x4) :
f (x4) = 6x2
4 − 24x3
4
f (x4) = 6(0, 010443)2
− 24(0, 010443)3
f (x4) = 0, 000726 − 0, 000032 = 0, 000694

43. ITERASI IV
Menentukan nilai f (x4) :
f (x4) = 6x2
4 − 24x3
4
f (x4) = 6(0, 010443)2
− 24(0, 010443)3
f (x4) = 0, 000726 − 0, 000032 = 0, 000694
Menentukan nilai f (x4) :

44. ITERASI IV
Menentukan nilai f (x4) :
f (x4) = 6x2
4 − 24x3
4
f (x4) = 6(0, 010443)2
− 24(0, 010443)3
f (x4) = 0, 000726 − 0, 000032 = 0, 000694
Menentukan nilai f (x4) :
f (x4) = 12x − 72x2
f (x4) = 12(0, 010443) − 72(0, 010443)2
f (x4) = 0, 132 − 0, 008712 = 0, 123288

45. LANJUTAN
ITERASI IV

46. LANJUTAN
ITERASI IV Menentukan nilai xk+1 :
xk+1 = xk −
f (xk)
f (xk)
⇒ x4+1 = x4 −
f (x4)
f (x4)
x5 = 0, 010443 −
0, 000694
0, 123288
x5 = 0, 010443 − 0, 005629 = 0, 005371

47. LANJUTAN
ITERASI IV Menentukan nilai xk+1 :
xk+1 = xk −
f (xk)
f (xk)
⇒ x4+1 = x4 −
f (x4)
f (x4)
x5 = 0, 010443 −
0, 000694
0, 123288
x5 = 0, 010443 − 0, 005629 = 0, 005371
Karena x5 = 0, 005371 ≥ 0 maka diambil fungsi yang
pertama yaitu: f (x) = 2x3 − 6x4
f (x) = 6x2
− 24x3
⇒ f (x) = 12x − 72x2

48. LANJUTAN
ITERASI IV Menentukan nilai xk+1 :
xk+1 = xk −
f (xk)
f (xk)
⇒ x4+1 = x4 −
f (x4)
f (x4)
x5 = 0, 010443 −
0, 000694
0, 123288
x5 = 0, 010443 − 0, 005629 = 0, 005371
Karena x5 = 0, 005371 ≥ 0 maka diambil fungsi yang
pertama yaitu: f (x) = 2x3 − 6x4
f (x) = 6x2
− 24x3
⇒ f (x) = 12x − 72x2
Iterasi dilanjutkan sampai diperoleh kekonvergenan
barisan yang merupakan solusi asli dari persoalan
optimasi ini

49. ITERASI V

50. ITERASI V
Menentukan nilai f (x5) :

51. ITERASI V
Menentukan nilai f (x5) :
f (x5) = 6x2
5 − 24x3
5
f (x5) = 6(0, 005371)2
− 24(0, 005371)3
f (x5) = 0, 000175 − 0, 000004 = 0, 000171

52. ITERASI V
Menentukan nilai f (x5) :
f (x5) = 6x2
5 − 24x3
5
f (x5) = 6(0, 005371)2
− 24(0, 005371)3
f (x5) = 0, 000175 − 0, 000004 = 0, 000171
Menentukan nilai f (x5) :

53. ITERASI V
Menentukan nilai f (x5) :
f (x5) = 6x2
5 − 24x3
5
f (x5) = 6(0, 005371)2
− 24(0, 005371)3
f (x5) = 0, 000175 − 0, 000004 = 0, 000171
Menentukan nilai f (x5) :
f (x5) = 12x − 72x2
f (x5) = 12(0, 005371) − 72(0, 005371)2
f (x5) = 0, 0648 − 0, 002099 = 0, 062701

54. LANJUTAN
ITERASI V

55. LANJUTAN
ITERASI V Menentukan nilai xk+1 :
xk+1 = xk −
f (xk)
f (xk)
⇒ x5+1 = x5 −
f (x5)
f (x5)
x6 = 0, 005371 −
0, 000171
0, 062701
= 0, 005371 − 0, 002730
x6 = 0, 00267

56. LANJUTAN
ITERASI V Menentukan nilai xk+1 :
xk+1 = xk −
f (xk)
f (xk)
⇒ x5+1 = x5 −
f (x5)
f (x5)
x6 = 0, 005371 −
0, 000171
0, 062701
= 0, 005371 − 0, 002730
x6 = 0, 00267
Karena x6 = 0, 00267 ≥ 0 maka diambil fungsi yang
pertama yaitu: f (x) = 2x3 − 6x4
f (x) = 6x2
− 24x3
⇒ f (x) = 12x − 72x2

57. LANJUTAN
ITERASI V Menentukan nilai xk+1 :
xk+1 = xk −
f (xk)
f (xk)
⇒ x5+1 = x5 −
f (x5)
f (x5)
x6 = 0, 005371 −
0, 000171
0, 062701
= 0, 005371 − 0, 002730
x6 = 0, 00267
Karena x6 = 0, 00267 ≥ 0 maka diambil fungsi yang
pertama yaitu: f (x) = 2x3 − 6x4
f (x) = 6x2
− 24x3
⇒ f (x) = 12x − 72x2
Iterasi dilanjutkan sampai diperoleh kekonvergenan
barisan yang merupakan solusi asli dari persoalan
optimasi ini

58. ITERASI VI

59. ITERASI VI
Menentukan nilai f (x6) :

60. ITERASI VI
Menentukan nilai f (x6) :
f (x6) = 6x2
6 − 24x3
6
f (x6) = 6(0, 00267)2
− 24(0, 00267)3
f (x6) = 0, 000044 − 0, 0000005 = 0, 000043

61. ITERASI VI
Menentukan nilai f (x6) :
f (x6) = 6x2
6 − 24x3
6
f (x6) = 6(0, 00267)2
− 24(0, 00267)3
f (x6) = 0, 000044 − 0, 0000005 = 0, 000043
Menentukan nilai f (x6) :

62. ITERASI VI
Menentukan nilai f (x6) :
f (x6) = 6x2
6 − 24x3
6
f (x6) = 6(0, 00267)2
− 24(0, 00267)3
f (x6) = 0, 000044 − 0, 0000005 = 0, 000043
Menentukan nilai f (x6) :
f (x6) = 12x − 72x2
f (x6) = 12(0, 00267) − 72(0, 00267)2
f (x6) = 0, 0324 − 0, 000525 = 0, 031875

63. LANJUTAN
ITERASI VI

64. LANJUTAN
ITERASI VI Menentukan nilai xk+1 :
xk+1 = xk −
f (xk)
f (xk)
⇒ x6+1 = x6 −
f (x6)
f (x6)
x7 = 0, 00267 −
0, 000043
0, 031875
= 0, 00267 − 0, 001357
x7 = 0, 001343

65. LANJUTAN
ITERASI VI Menentukan nilai xk+1 :
xk+1 = xk −
f (xk)
f (xk)
⇒ x6+1 = x6 −
f (x6)
f (x6)
x7 = 0, 00267 −
0, 000043
0, 031875
= 0, 00267 − 0, 001357
x7 = 0, 001343
Karena x7 = 0, 001343 ≥ 0 maka diambil fungsi yang
pertama yaitu: f (x) = 2x3 − 6x4
f (x) = 6x2
− 24x3
⇒ f (x) = 12x − 72x2

66. LANJUTAN
ITERASI VI Menentukan nilai xk+1 :
xk+1 = xk −
f (xk)
f (xk)
⇒ x6+1 = x6 −
f (x6)
f (x6)
x7 = 0, 00267 −
0, 000043
0, 031875
= 0, 00267 − 0, 001357
x7 = 0, 001343
Karena x7 = 0, 001343 ≥ 0 maka diambil fungsi yang
pertama yaitu: f (x) = 2x3 − 6x4
f (x) = 6x2
− 24x3
⇒ f (x) = 12x − 72x2
Iterasi dilanjutkan sampai diperoleh kekonvergenan
barisan yang merupakan solusi asli dari persoalan
optimasi ini

67. Tabel Iterasi Dengan konsep Metode Numerik Newton maka
perhitungan yang diperoleh adalah :

68. Tabel Iterasi Dengan konsep Metode Numerik Newton maka
perhitungan yang diperoleh adalah :
Iterasi xk f (xk) f (xk) xk+1
I 0,084 0,028375 0,838656 0,050166
II 0,050166 0,012422 0,424728 0,021749
III 0,021749 0,002648 0,229152 0,010443
IV 0,010443 0,000694 0,123288 0,005371
V 0,005371 0,000171 0,062701 0,00267
VI 0,00267 0,000043 0,031875 0,001343

69. Tabel Iterasi Dengan konsep Metode Numerik Newton maka
perhitungan yang diperoleh adalah :
Iterasi xk f (xk) f (xk) xk+1
I 0,084 0,028375 0,838656 0,050166
II 0,050166 0,012422 0,424728 0,021749
III 0,021749 0,002648 0,229152 0,010443
IV 0,010443 0,000694 0,123288 0,005371
V 0,005371 0,000171 0,062701 0,00267
VI 0,00267 0,000043 0,031875 0,001343
Terlihat bahwa nilai xk konvergen ke nilai 0 dengan
demikian nilai asli x yang meminimumkan f (x) adalah
x = 0