Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT

UTS (METODE NUMERIK FIBONACCI)
Linna Tri Lestari (1384202140)
March 27, 2016
Linna Tri Lestari (1384202140) UTS (METODE NUMERIK FIBONACCI) March 27, 2016 1 / 17

Soal
Carilah nilai x yang memaksimumkan fungsi f (x) = 8x − 4x2 dengan
δ = 0.4 dan selang {−3 + 0, nim} ≤ x ≤ {3 − 0, nim} menggunakan
metode numerik Fibonacci.

Penyelesaian

Penyelesaian
Diketahui : Selang (interval) yang mengapit nilai x yaitu :

Penyelesaian
{−3 + 0, nim} ≤ x ≤ {3 − 0, nim}
{−3 + 0, 25} ≤ x ≤ {3 − 0, 25}
{−2, 75} ≤ x ≤ {2, 75}

Penyelesaian
{−3 + 0, nim} ≤ x ≤ {3 − 0, nim}
{−3 + 0, 25} ≤ x ≤ {3 − 0, 25}
{−2, 75} ≤ x ≤ {2, 75}
maka panjang selang (L) adalah :
L = |b − a|= 2,75 - (-2,75)= 2,75 + 2,75= 5,5

Penyelesaian
{−3 + 0, nim} ≤ x ≤ {3 − 0, nim}
{−3 + 0, 25} ≤ x ≤ {3 − 0, 25}
{−2, 75} ≤ x ≤ {2, 75}
L = |b − a|= 2,75 - (-2,75)= 2,75 + 2,75= 5,5
Diketahui : δ= Toleransi Kesalahan, δ= 0.4 sehingga δ2= 0.16

Penyelesaian
{−3 + 0, nim} ≤ x ≤ {3 − 0, nim}
{−3 + 0, 25} ≤ x ≤ {3 − 0, 25}
{−2, 75} ≤ x ≤ {2, 75}
L = |b − a|= 2,75 - (-2,75)= 2,75 + 2,75= 5,5
Deret Fibonacci :

Penyelesaian
{−3 + 0, nim} ≤ x ≤ {3 − 0, nim}
{−3 + 0, 25} ≤ x ≤ {3 − 0, 25}
{−2, 75} ≤ x ≤ {2, 75}
L = |b − a|= 2,75 - (-2,75)= 2,75 + 2,75= 5,5
Deret Fibonacci :
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...
f0, f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7, f8, f9, f10...

Penyelesaian
Mencari nilai n terkecil :

Penyelesaian
1
fn+1
≤ δ2
L

Penyelesaian
1
fn+1
≤ δ2
L
1
fn+1
≤ 0,16
5,5

Penyelesaian
1
fn+1
≤ δ2
L
1
fn+1
≤ 0,16
5,5
1
fn+1
≤ 1
34,375

Penyelesaian
1
fn+1
≤ δ2
L
1
fn+1
≤ 0,16
5,5
1
fn+1
≤ 1
34,375
Jadi nilai n= 8 karena : 1
fn+1
= 1
f8+1
= 1
f9
= 1
55 < 1
34

Penyelesaian
1
fn+1
≤ δ2
L
1
fn+1
≤ 0,16
5,5
1
fn+1
≤ 1
34,375
Jadi nilai n= 8 karena : 1
fn+1
= 1
f8+1
= 1
f9
= 1
55 < 1
34
dibentuk : Lo = fn+1Ln maka :
L0 = f9Ln = 55Ln
L1 = f8Ln = 34Ln
L2 = f7Ln = 21Ln
L3 = f6Ln = 13Ln
L4 = f5Ln = 8Ln
L5 = f4Ln = 5Ln
L6 = f3Ln = 3Ln
L7 = f2Ln = 2Ln
L8 = f1Ln = 1Ln = Ln

Penyelesaian
Menentukan λk dan µk untuk mencari nilai x yang
memaksimumkan suatu fungsi

Penyelesaian
Kondisi 1: Jika f (µk) > f (λk) maka diambil λk = ak+1 dan
bk = bk+1

Penyelesaian
bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) > f (µk) maka diambil µk = bk+1 dan
ak = ak+1

Penyelesaian
bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) > f (µk) maka diambil µk = bk+1 dan
ak = ak+1
Iterasi terhenti ketika : bk − ak < δ2

ITERASI I

ITERASI I
Dari selang awal diketahui : a1= - 2,75 dan b1= 2,75

ITERASI I
Mencari nilai λ1 :
λ1 = a1 + f9−1−1
f9−1+1
= a1 + f7
f9
(b1 − a1) = −2, 75 + 21
55(5, 5)
λ1 = −2, 75 + 115,5
55 = −2, 75 + 2, 1 = −0, 65

ITERASI I
Mencari nilai λ1 :
λ1 = a1 + f9−1−1
f9−1+1
= a1 + f7
f9
(b1 − a1) = −2, 75 + 21
55(5, 5)
λ1 = −2, 75 + 115,5
55 = −2, 75 + 2, 1 = −0, 65
Mencari nilai µ1 :
µ1 = a1 + f9−1
f9−1+1
= a1 + f8
f9
(b1 − a1) = −2, 75 + 34
55(5, 5)
µ1 = −2, 75 + 187
55 = −2, 75 + 3, 4 = 0, 65

ITERASI I
Mencari nilai λ1 :
λ1 = a1 + f9−1−1
f9−1+1
= a1 + f7
f9
(b1 − a1) = −2, 75 + 21
55(5, 5)
λ1 = −2, 75 + 115,5
55 = −2, 75 + 2, 1 = −0, 65
Mencari nilai µ1 :
µ1 = a1 + f9−1
f9−1+1
= a1 + f8
f9
(b1 − a1) = −2, 75 + 34
55(5, 5)
µ1 = −2, 75 + 187
55 = −2, 75 + 3, 4 = 0, 65
Mencari nilai f λ1 :
f λ1 = 8λ1 − 4λ1
2
= 8(−0, 65) − 4(−0, 65)2 = −6, 89

ITERASI I
Mencari nilai λ1 :
λ1 = a1 + f9−1−1
f9−1+1
= a1 + f7
f9
(b1 − a1) = −2, 75 + 21
55(5, 5)
λ1 = −2, 75 + 115,5
55 = −2, 75 + 2, 1 = −0, 65
Mencari nilai µ1 :
µ1 = a1 + f9−1
f9−1+1
= a1 + f8
f9
(b1 − a1) = −2, 75 + 34
55(5, 5)
µ1 = −2, 75 + 187
55 = −2, 75 + 3, 4 = 0, 65
f λ1 = 8λ1 − 4λ1
2
= 8(−0, 65) − 4(−0, 65)2 = −6, 89
Mencari nilai f µ1 :
f µ1 = 8µ1 − 4µ1
2 = 8(0, 65) − 4(0, 65)2 = 3, 51

ITERASI I
Mencari nilai λ1 :
λ1 = a1 + f9−1−1
f9−1+1
= a1 + f7
f9
(b1 − a1) = −2, 75 + 21
55(5, 5)
λ1 = −2, 75 + 115,5
55 = −2, 75 + 2, 1 = −0, 65
Mencari nilai µ1 :
µ1 = a1 + f9−1
f9−1+1
= a1 + f8
f9
(b1 − a1) = −2, 75 + 34
55(5, 5)
µ1 = −2, 75 + 187
55 = −2, 75 + 3, 4 = 0, 65
f λ1 = 8λ1 − 4λ1
2
= 8(−0, 65) − 4(−0, 65)2 = −6, 89
f µ1 = 8µ1 − 4µ1
2 = 8(0, 65) − 4(0, 65)2 = 3, 51
Iterasi dilanjutkan karena: b1 − a1 > δ2 yaitu 5, 5 > 0, 16

ITERASI I
Mencari nilai λ1 :
λ1 = a1 + f9−1−1
f9−1+1
= a1 + f7
f9
(b1 − a1) = −2, 75 + 21
55(5, 5)
λ1 = −2, 75 + 115,5
55 = −2, 75 + 2, 1 = −0, 65
Mencari nilai µ1 :
µ1 = a1 + f9−1
f9−1+1
= a1 + f8
f9
(b1 − a1) = −2, 75 + 34
55(5, 5)
µ1 = −2, 75 + 187
55 = −2, 75 + 3, 4 = 0, 65
f λ1 = 8λ1 − 4λ1
2
= 8(−0, 65) − 4(−0, 65)2 = −6, 89
f µ1 = 8µ1 − 4µ1
2 = 8(0, 65) − 4(0, 65)2 = 3, 51
Kondisi I : Karena f (µ1) > f (λ1) maka diambil λ1 = −0, 65 = a2
dan b1 = 2, 75 = b2

ITERASI II

ITERASI II
a2= -0,65 dan b2= 2,75

ITERASI II
a2= -0,65 dan b2= 2,75
Mencari nilai λ2 :
λ2 = a2 + f9−2−1
f9−2+1
= a2 + f6
f8
(b2 − a2) = −0, 65 + 13
34(3, 4)
λ2 = −0, 65 + 44,2
34 = −0, 65 + 1, 3 = 0, 65

ITERASI II
a2= -0,65 dan b2= 2,75
Mencari nilai λ2 :
λ2 = a2 + f9−2−1
f9−2+1
= a2 + f6
f8
(b2 − a2) = −0, 65 + 13
34(3, 4)
λ2 = −0, 65 + 44,2
34 = −0, 65 + 1, 3 = 0, 65
Mencari nilai µ2 :
µ2 = a2 + f9−2
f9−2+1
= a2 + f7
f8
(b2 − a2) = −0, 65 + 21
34(3, 4)
µ2 = −0, 65 + 71,4
34 = −0, 65 + 2, 1 = 1, 45

ITERASI II
a2= -0,65 dan b2= 2,75
Mencari nilai λ2 :
λ2 = a2 + f9−2−1
f9−2+1
= a2 + f6
f8
(b2 − a2) = −0, 65 + 13
34(3, 4)
λ2 = −0, 65 + 44,2
34 = −0, 65 + 1, 3 = 0, 65
Mencari nilai µ2 :
µ2 = a2 + f9−2
f9−2+1
= a2 + f7
f8
(b2 − a2) = −0, 65 + 21
34(3, 4)
µ2 = −0, 65 + 71,4
34 = −0, 65 + 2, 1 = 1, 45
f λ2 = 8λ2 − 4λ2
2
= 8(0, 65) − 4(0, 65)2 = 3, 51

ITERASI II
a2= -0,65 dan b2= 2,75
Mencari nilai λ2 :
λ2 = a2 + f9−2−1
f9−2+1
= a2 + f6
f8
(b2 − a2) = −0, 65 + 13
34(3, 4)
λ2 = −0, 65 + 44,2
34 = −0, 65 + 1, 3 = 0, 65
Mencari nilai µ2 :
µ2 = a2 + f9−2
f9−2+1
= a2 + f7
f8
(b2 − a2) = −0, 65 + 21
34(3, 4)
µ2 = −0, 65 + 71,4
34 = −0, 65 + 2, 1 = 1, 45
f λ2 = 8λ2 − 4λ2
2
= 8(0, 65) − 4(0, 65)2 = 3, 51
f µ2 = 8µ2 − 4µ2
2 = 8(1, 45) − 4(1, 45)2 = 3, 19

ITERASI II
a2= -0,65 dan b2= 2,75
Mencari nilai λ2 :
λ2 = a2 + f9−2−1
f9−2+1
= a2 + f6
f8
(b2 − a2) = −0, 65 + 13
34(3, 4)
λ2 = −0, 65 + 44,2
34 = −0, 65 + 1, 3 = 0, 65
Mencari nilai µ2 :
µ2 = a2 + f9−2
f9−2+1
= a2 + f7
f8
(b2 − a2) = −0, 65 + 21
34(3, 4)
µ2 = −0, 65 + 71,4
34 = −0, 65 + 2, 1 = 1, 45
f λ2 = 8λ2 − 4λ2
2
= 8(0, 65) − 4(0, 65)2 = 3, 51
f µ2 = 8µ2 − 4µ2
2 = 8(1, 45) − 4(1, 45)2 = 3, 19
Kondisi II : Karena f (λ2) > f (µ2) maka diambil µ2 = 1, 45 = b3 dan
a2 = −0, 65 = a3

ITERASI III

ITERASI III
a3= -0,65 dan b3= 1,45

ITERASI III
a3= -0,65 dan b3= 1,45
Mencari nilai λ3 :
λ3 = a3 + f9−3−1
f9−3+1
= a3 + f5
f7
(b3 − a3) = −0, 65 + 8
21(2, 1)
λ3 = −0, 65 + 16,8
21 = −0, 65 + 0, 8 = 0, 15

ITERASI III
a3= -0,65 dan b3= 1,45
Mencari nilai λ3 :
λ3 = a3 + f9−3−1
f9−3+1
= a3 + f5
f7
(b3 − a3) = −0, 65 + 8
21(2, 1)
λ3 = −0, 65 + 16,8
21 = −0, 65 + 0, 8 = 0, 15
Mencari nilai µ3 :
µ3 = a3 + f9−3
f9−3+1
= a3 + f6
f7
(b3 − a3) = −0, 65 + 13
21(2, 1)
µ3 = −0, 65 + 27,3
21 = −0, 65 + 1, 3 = 0, 65

ITERASI III
a3= -0,65 dan b3= 1,45
Mencari nilai λ3 :
λ3 = a3 + f9−3−1
f9−3+1
= a3 + f5
f7
(b3 − a3) = −0, 65 + 8
21(2, 1)
λ3 = −0, 65 + 16,8
21 = −0, 65 + 0, 8 = 0, 15
Mencari nilai µ3 :
µ3 = a3 + f9−3
f9−3+1
= a3 + f6
f7
(b3 − a3) = −0, 65 + 13
21(2, 1)
µ3 = −0, 65 + 27,3
21 = −0, 65 + 1, 3 = 0, 65
f λ3 = 8λ3 − 4λ3
2
= 8(0, 15) − 4(0, 15)2 = 1, 11

ITERASI III
a3= -0,65 dan b3= 1,45
Mencari nilai λ3 :
λ3 = a3 + f9−3−1
f9−3+1
= a3 + f5
f7
(b3 − a3) = −0, 65 + 8
21(2, 1)
λ3 = −0, 65 + 16,8
21 = −0, 65 + 0, 8 = 0, 15
Mencari nilai µ3 :
µ3 = a3 + f9−3
f9−3+1
= a3 + f6
f7
(b3 − a3) = −0, 65 + 13
21(2, 1)
µ3 = −0, 65 + 27,3
21 = −0, 65 + 1, 3 = 0, 65
f λ3 = 8λ3 − 4λ3
2
= 8(0, 15) − 4(0, 15)2 = 1, 11
f µ3 = 8µ3 − 4µ3
2 = 8(0, 65) − 4(0, 65)2 = 3, 51

ITERASI III
a3= -0,65 dan b3= 1,45
Mencari nilai λ3 :
λ3 = a3 + f9−3−1
f9−3+1
= a3 + f5
f7
(b3 − a3) = −0, 65 + 8
21(2, 1)
λ3 = −0, 65 + 16,8
21 = −0, 65 + 0, 8 = 0, 15
Mencari nilai µ3 :
µ3 = a3 + f9−3
f9−3+1
= a3 + f6
f7
(b3 − a3) = −0, 65 + 13
21(2, 1)
µ3 = −0, 65 + 27,3
21 = −0, 65 + 1, 3 = 0, 65
f λ3 = 8λ3 − 4λ3
2
= 8(0, 15) − 4(0, 15)2 = 1, 11
f µ3 = 8µ3 − 4µ3
2 = 8(0, 65) − 4(0, 65)2 = 3, 51
Kondisi I : Karena f (µ3) > f (λ3) maka diambil λ3 = 0, 15 = a4 dan
b3 = 1, 45 = b4

ITERASI IV

ITERASI IV
a4= 0,15 dan b4= 1,45

ITERASI IV
a4= 0,15 dan b4= 1,45
Mencari nilai λ4 :
λ4 = a4 + f9−4−1
f9−4+1
= a4 + f4
f6
(b4 − a4) = 0, 15 + 5
13(1, 3)
λ4 = 0, 15 + 6,5
13 = 0, 15 + 0, 5 = 0, 65

ITERASI IV
a4= 0,15 dan b4= 1,45
Mencari nilai λ4 :
λ4 = a4 + f9−4−1
f9−4+1
= a4 + f4
f6
(b4 − a4) = 0, 15 + 5
13(1, 3)
λ4 = 0, 15 + 6,5
13 = 0, 15 + 0, 5 = 0, 65
Mencari nilai µ4 :
µ4 = a4 + f9−4
f9−4+1
= a4 + f5
f6
(b4 − a4) = 0, 15 + 8
13(1, 3)
µ4 = 0, 15 + 10,4
13 = 0, 15 + 0, 8 = 0, 95

ITERASI IV
a4= 0,15 dan b4= 1,45
Mencari nilai λ4 :
λ4 = a4 + f9−4−1
f9−4+1
= a4 + f4
f6
(b4 − a4) = 0, 15 + 5
13(1, 3)
λ4 = 0, 15 + 6,5
13 = 0, 15 + 0, 5 = 0, 65
Mencari nilai µ4 :
µ4 = a4 + f9−4
f9−4+1
= a4 + f5
f6
(b4 − a4) = 0, 15 + 8
13(1, 3)
µ4 = 0, 15 + 10,4
13 = 0, 15 + 0, 8 = 0, 95
f λ4 = 8λ4 − 4λ4
2
= 8(0, 65) − 4(0, 65)2 = 3, 51

ITERASI IV
a4= 0,15 dan b4= 1,45
Mencari nilai λ4 :
λ4 = a4 + f9−4−1
f9−4+1
= a4 + f4
f6
(b4 − a4) = 0, 15 + 5
13(1, 3)
λ4 = 0, 15 + 6,5
13 = 0, 15 + 0, 5 = 0, 65
Mencari nilai µ4 :
µ4 = a4 + f9−4
f9−4+1
= a4 + f5
f6
(b4 − a4) = 0, 15 + 8
13(1, 3)
µ4 = 0, 15 + 10,4
13 = 0, 15 + 0, 8 = 0, 95
f λ4 = 8λ4 − 4λ4
2
= 8(0, 65) − 4(0, 65)2 = 3, 51
f µ4 = 8µ4 − 4µ4
2 = 8(0, 95) − 4(0, 95)2 = 3, 99

ITERASI IV
a4= 0,15 dan b4= 1,45
Mencari nilai λ4 :
λ4 = a4 + f9−4−1
f9−4+1
= a4 + f4
f6
(b4 − a4) = 0, 15 + 5
13(1, 3)
λ4 = 0, 15 + 6,5
13 = 0, 15 + 0, 5 = 0, 65
Mencari nilai µ4 :
µ4 = a4 + f9−4
f9−4+1
= a4 + f5
f6
(b4 − a4) = 0, 15 + 8
13(1, 3)
µ4 = 0, 15 + 10,4
13 = 0, 15 + 0, 8 = 0, 95
f λ4 = 8λ4 − 4λ4
2
= 8(0, 65) − 4(0, 65)2 = 3, 51
f µ4 = 8µ4 − 4µ4
2 = 8(0, 95) − 4(0, 95)2 = 3, 99
b4 = 1, 45 = b5

ITERASI V

ITERASI V
a5= 0,65 dan b5= 1,45

ITERASI V
a5= 0,65 dan b5= 1,45
Mencari nilai λ5 :
λ5 = a5 + f9−5−1
f9−5+1
= a5 + f3
f5
(b5 − a5) = 0, 65 + 3
8(0, 8)
λ5 = 0, 65 + 2,4
8 = 0, 65 + 0, 3 = 0, 95

ITERASI V
a5= 0,65 dan b5= 1,45
Mencari nilai λ5 :
λ5 = a5 + f9−5−1
f9−5+1
= a5 + f3
f5
(b5 − a5) = 0, 65 + 3
8(0, 8)
λ5 = 0, 65 + 2,4
8 = 0, 65 + 0, 3 = 0, 95
Mencari nilai µ5 :
µ5 = a5 + f9−5
f9−5+1
= a5 + f4
f5
(b5 − a5) = 0, 65 + 5
8(0, 8)
µ5 = 0, 65 + 4
8 = 0, 65 + 0, 5 = 1, 15

ITERASI V
a5= 0,65 dan b5= 1,45
Mencari nilai λ5 :
λ5 = a5 + f9−5−1
f9−5+1
= a5 + f3
f5
(b5 − a5) = 0, 65 + 3
8(0, 8)
λ5 = 0, 65 + 2,4
8 = 0, 65 + 0, 3 = 0, 95
Mencari nilai µ5 :
µ5 = a5 + f9−5
f9−5+1
= a5 + f4
f5
(b5 − a5) = 0, 65 + 5
8(0, 8)
µ5 = 0, 65 + 4
8 = 0, 65 + 0, 5 = 1, 15
f λ5 = 8λ5 − 4λ5
2
= 8(0, 95) − 4(0, 95)2 = 3, 99

ITERASI V
a5= 0,65 dan b5= 1,45
Mencari nilai λ5 :
λ5 = a5 + f9−5−1
f9−5+1
= a5 + f3
f5
(b5 − a5) = 0, 65 + 3
8(0, 8)
λ5 = 0, 65 + 2,4
8 = 0, 65 + 0, 3 = 0, 95
Mencari nilai µ5 :
µ5 = a5 + f9−5
f9−5+1
= a5 + f4
f5
(b5 − a5) = 0, 65 + 5
8(0, 8)
µ5 = 0, 65 + 4
8 = 0, 65 + 0, 5 = 1, 15
f λ5 = 8λ5 − 4λ5
2
= 8(0, 95) − 4(0, 95)2 = 3, 99
f µ5 = 8µ5 − 4µ5
2 = 8(1, 15) − 4(1, 15)2 = 3, 91

ITERASI V
a5= 0,65 dan b5= 1,45
Mencari nilai λ5 :
λ5 = a5 + f9−5−1
f9−5+1
= a5 + f3
f5
(b5 − a5) = 0, 65 + 3
8(0, 8)
λ5 = 0, 65 + 2,4
8 = 0, 65 + 0, 3 = 0, 95
Mencari nilai µ5 :
µ5 = a5 + f9−5
f9−5+1
= a5 + f4
f5
(b5 − a5) = 0, 65 + 5
8(0, 8)
µ5 = 0, 65 + 4
8 = 0, 65 + 0, 5 = 1, 15
f λ5 = 8λ5 − 4λ5
2
= 8(0, 95) − 4(0, 95)2 = 3, 99
f µ5 = 8µ5 − 4µ5
2 = 8(1, 15) − 4(1, 15)2 = 3, 91
Kondisi II : Karena f (λ5) > f (µ5) maka diambil µ5 = 1, 15 = b6 dan
a5 = 0, 65 = a6

ITERASI VI

ITERASI VI
a6= 0,65 dan b6= 1,15

ITERASI VI
a6= 0,65 dan b6= 1,15
Mencari nilai λ6 :
λ6 = a6 + f9−6−1
f9−6+1
= a6 + f2
f4
(b6 − a6) = 0, 65 + 2
5(0, 5)
λ6 = 0, 65 + 1
5 = 0, 65 + 0, 2 = 0, 85

ITERASI VI
a6= 0,65 dan b6= 1,15
Mencari nilai λ6 :
λ6 = a6 + f9−6−1
f9−6+1
= a6 + f2
f4
(b6 − a6) = 0, 65 + 2
5(0, 5)
λ6 = 0, 65 + 1
5 = 0, 65 + 0, 2 = 0, 85
Mencari nilai µ6 :
µ6 = a6 + f9−6
f9−6+1
= a6 + f3
f4
(b6 − a6) = 0, 65 + 3
5(0, 5)
µ6 = 0, 65 + 1,5
5 = 0, 65 + 0, 3 = 0, 95

ITERASI VI
a6= 0,65 dan b6= 1,15
Mencari nilai λ6 :
λ6 = a6 + f9−6−1
f9−6+1
= a6 + f2
f4
(b6 − a6) = 0, 65 + 2
5(0, 5)
λ6 = 0, 65 + 1
5 = 0, 65 + 0, 2 = 0, 85
Mencari nilai µ6 :
µ6 = a6 + f9−6
f9−6+1
= a6 + f3
f4
(b6 − a6) = 0, 65 + 3
5(0, 5)
µ6 = 0, 65 + 1,5
5 = 0, 65 + 0, 3 = 0, 95
f λ6 = 8λ6 − 4λ6
2
= 8(0, 85) − 4(0, 85)2 = 3, 91

ITERASI VI
a6= 0,65 dan b6= 1,15
Mencari nilai λ6 :
λ6 = a6 + f9−6−1
f9−6+1
= a6 + f2
f4
(b6 − a6) = 0, 65 + 2
5(0, 5)
λ6 = 0, 65 + 1
5 = 0, 65 + 0, 2 = 0, 85
Mencari nilai µ6 :
µ6 = a6 + f9−6
f9−6+1
= a6 + f3
f4
(b6 − a6) = 0, 65 + 3
5(0, 5)
µ6 = 0, 65 + 1,5
5 = 0, 65 + 0, 3 = 0, 95
f λ6 = 8λ6 − 4λ6
2
= 8(0, 85) − 4(0, 85)2 = 3, 91
f µ6 = 8µ6 − 4µ6
2 = 8(0, 95) − 4(0, 95)2 = 3, 99

ITERASI VI
a6= 0,65 dan b6= 1,15
Mencari nilai λ6 :
λ6 = a6 + f9−6−1
f9−6+1
= a6 + f2
f4
(b6 − a6) = 0, 65 + 2
5(0, 5)
λ6 = 0, 65 + 1
5 = 0, 65 + 0, 2 = 0, 85
Mencari nilai µ6 :
µ6 = a6 + f9−6
f9−6+1
= a6 + f3
f4
(b6 − a6) = 0, 65 + 3
5(0, 5)
µ6 = 0, 65 + 1,5
5 = 0, 65 + 0, 3 = 0, 95
f λ6 = 8λ6 − 4λ6
2
= 8(0, 85) − 4(0, 85)2 = 3, 91
f µ6 = 8µ6 − 4µ6
2 = 8(0, 95) − 4(0, 95)2 = 3, 99
b6 = 1, 15 = b7

ITERASI VII

ITERASI VII
a7= 0,85 dan b7= 1,15

ITERASI VII
a7= 0,85 dan b7= 1,15
Mencari nilai λ7 :
λ7 = a7 + f9−7−1
f9−7+1
= a7 + f1
f3
(b7 − a7) = 0, 85 + 1
3(0, 3)
λ7 = 0, 85 + 0,3
3 = 0, 85 + 0, 1 = 0, 95

ITERASI VII
a7= 0,85 dan b7= 1,15
Mencari nilai λ7 :
λ7 = a7 + f9−7−1
f9−7+1
= a7 + f1
f3
(b7 − a7) = 0, 85 + 1
3(0, 3)
λ7 = 0, 85 + 0,3
3 = 0, 85 + 0, 1 = 0, 95
Mencari nilai µ7 :
µ7 = a7 + f9−7
f9−7+1
= a7 + f2
f3
(b7 − a7) = 0, 85 + 2
3(0, 3)
µ7 = 0, 85 + 0,6
3 = 0, 85 + 0, 2 = 1, 05

ITERASI VII
a7= 0,85 dan b7= 1,15
Mencari nilai λ7 :
λ7 = a7 + f9−7−1
f9−7+1
= a7 + f1
f3
(b7 − a7) = 0, 85 + 1
3(0, 3)
λ7 = 0, 85 + 0,3
3 = 0, 85 + 0, 1 = 0, 95
Mencari nilai µ7 :
µ7 = a7 + f9−7
f9−7+1
= a7 + f2
f3
(b7 − a7) = 0, 85 + 2
3(0, 3)
µ7 = 0, 85 + 0,6
3 = 0, 85 + 0, 2 = 1, 05
f λ7 = 8λ7 − 4λ7
2
= 8(0, 95) − 4(0, 95)2 = 3, 99

ITERASI VII
a7= 0,85 dan b7= 1,15
Mencari nilai λ7 :
λ7 = a7 + f9−7−1
f9−7+1
= a7 + f1
f3
(b7 − a7) = 0, 85 + 1
3(0, 3)
λ7 = 0, 85 + 0,3
3 = 0, 85 + 0, 1 = 0, 95
Mencari nilai µ7 :
µ7 = a7 + f9−7
f9−7+1
= a7 + f2
f3
(b7 − a7) = 0, 85 + 2
3(0, 3)
µ7 = 0, 85 + 0,6
3 = 0, 85 + 0, 2 = 1, 05
f λ7 = 8λ7 − 4λ7
2
= 8(0, 95) − 4(0, 95)2 = 3, 99
f µ7 = 8µ7 − 4µ7
2 = 8(1, 05) − 4(1, 05)2 = 3, 99

ITERASI VII
a7= 0,85 dan b7= 1,15
Mencari nilai λ7 :
λ7 = a7 + f9−7−1
f9−7+1
= a7 + f1
f3
(b7 − a7) = 0, 85 + 1
3(0, 3)
λ7 = 0, 85 + 0,3
3 = 0, 85 + 0, 1 = 0, 95
Mencari nilai µ7 :
µ7 = a7 + f9−7
f9−7+1
= a7 + f2
f3
(b7 − a7) = 0, 85 + 2
3(0, 3)
µ7 = 0, 85 + 0,6
3 = 0, 85 + 0, 2 = 1, 05
f λ7 = 8λ7 − 4λ7
2
= 8(0, 95) − 4(0, 95)2 = 3, 99
f µ7 = 8µ7 − 4µ7
2 = 8(1, 05) − 4(1, 05)2 = 3, 99
Karena f (µ7) = f (λ7) misal diambil Kondisi II : f (λ7) > f (µ7) maka
µ7 = 1, 05 = b8 dan a7 = 0, 85 = a8

ITERASI VIII

ITERASI VIII
a8= 0,85 dan b8= 1,05

ITERASI VIII
a8= 0,85 dan b8= 1,05
Mencari nilai λ8 :
λ8 = a8 + f9−8−1
f9−8+1
= a8 + f0
f2
(b8 − a8) = 0, 85 + 1
2(0, 2)
λ7 = 0, 85 + 0,2
2 = 0, 85 + 0, 1 = 0, 95

ITERASI VIII
a8= 0,85 dan b8= 1,05
Mencari nilai λ8 :
λ8 = a8 + f9−8−1
f9−8+1
= a8 + f0
f2
(b8 − a8) = 0, 85 + 1
2(0, 2)
λ7 = 0, 85 + 0,2
2 = 0, 85 + 0, 1 = 0, 95
Mencari nilai µ7 :
µ8 = a8 + f9−8
f9−8+1
= a8 + f1
f2
(b8 − a8) = 0, 85 + 1
2(0, 2)
µ7 = 0, 85 + 0,2
2 = 0, 85 + 0, 1 = 0, 95

ITERASI VIII
a8= 0,85 dan b8= 1,05
Mencari nilai λ8 :
λ8 = a8 + f9−8−1
f9−8+1
= a8 + f0
f2
(b8 − a8) = 0, 85 + 1
2(0, 2)
λ7 = 0, 85 + 0,2
2 = 0, 85 + 0, 1 = 0, 95
Mencari nilai µ7 :
µ8 = a8 + f9−8
f9−8+1
= a8 + f1
f2
(b8 − a8) = 0, 85 + 1
2(0, 2)
µ7 = 0, 85 + 0,2
2 = 0, 85 + 0, 1 = 0, 95
f λ8 = 8λ8 − 4λ8
2
= 8(0, 95) − 4(0, 95)2 = 3, 99

ITERASI VIII
a8= 0,85 dan b8= 1,05
Mencari nilai λ8 :
λ8 = a8 + f9−8−1
f9−8+1
= a8 + f0
f2
(b8 − a8) = 0, 85 + 1
2(0, 2)
λ7 = 0, 85 + 0,2
2 = 0, 85 + 0, 1 = 0, 95
Mencari nilai µ7 :
µ8 = a8 + f9−8
f9−8+1
= a8 + f1
f2
(b8 − a8) = 0, 85 + 1
2(0, 2)
µ7 = 0, 85 + 0,2
2 = 0, 85 + 0, 1 = 0, 95
f λ8 = 8λ8 − 4λ8
2
= 8(0, 95) − 4(0, 95)2 = 3, 99
f µ8 = 8µ8 − 4µ8
2 = 8(0, 95) − 4(0, 95)2 = 3, 99

ITERASI VIII
a8= 0,85 dan b8= 1,05
Mencari nilai λ8 :
λ8 = a8 + f9−8−1
f9−8+1
= a8 + f0
f2
(b8 − a8) = 0, 85 + 1
2(0, 2)
λ7 = 0, 85 + 0,2
2 = 0, 85 + 0, 1 = 0, 95
Mencari nilai µ7 :
µ8 = a8 + f9−8
f9−8+1
= a8 + f1
f2
(b8 − a8) = 0, 85 + 1
2(0, 2)
µ7 = 0, 85 + 0,2
2 = 0, 85 + 0, 1 = 0, 95
f λ8 = 8λ8 − 4λ8
2
= 8(0, 95) − 4(0, 95)2 = 3, 99
f µ8 = 8µ8 − 4µ8
2 = 8(0, 95) − 4(0, 95)2 = 3, 99
Karena f (µ8) = f (λ8) misal diambil Kondisi II : f (λ8) > f (µ8) maka
µ8 = 0, 95 = b9 dan a8 = 0, 85 = a9

ITERASI IX

ITERASI IX
a9= 0,85 dan b9= 0,95

ITERASI IX
a9= 0,85 dan b9= 0,95
Iterasi terhenti, karena :
b9 − a9 = 0, 95 − 0, 85 = 0, 1
b9 − a9 < δ2
0, 1 < 0, 16

Tabel Iterasi

Tabel Iterasi
Dengan konsep Metode Numerik Fibonacci maka perhitungan yang
diperoleh disajikan dalam tabel dibawah ini:

Tabel Iterasi
Dengan konsep Metode Numerik Fibonacci maka perhitungan yang
diperoleh disajikan dalam tabel dibawah ini:
Iterasi ak bk bk − ak λk µk f (λk) f (µk)
I -2,75 2,75 5, 5 > 0, 16 -0,65 0,65 -6,89 3,51
II -0,65 2,75 3, 4 > 0, 16 0,65 1,45 3,51 3,19
III -0,65 1,45 2, 1 > 0, 16 0,15 0,65 1,11 3,51
IV 0,15 1,45 1, 3 > 0, 16 0,65 0,95 3,51 3,99
V 0,65 1,45 0, 8 > 0, 16 0,95 1,15 3,99 3,91
VI 0,65 1,15 0, 5 > 0, 16 0,85 0,95 3,91 3,99
VII 0,85 1,15 0, 3 > 0, 16 0,95 1,05 3,99 3,99
VIII 0,85 1,05 0, 2 > 0, 16 0,95 0,95 3,99 3,99
IX 0,85 0,95 0, 1 < 0, 16 ..... ..... ..... .....

Estimasi

Estimasi
Interval dimana x∗ terletak [0,85 ; 0,95] :

Estimasi
x∗ = ak + bk −ak
2 = 0, 85 + 0,95−0,85
2 = 0, 85 + 0,1
2

Estimasi
2 = 0, 85 + 0,95−0,85
2 = 0, 85 + 0,1
2
x∗ = 0, 85 + 0, 05 = 0, 9

Estimasi
2 = 0, 85 + 0,95−0,85
2 = 0, 85 + 0,1
2
x∗ = 0, 85 + 0, 05 = 0, 9
Dengan demikian diperoleh : x∗ = 0, 9 ≈ 1

Pembuktian dengan cara analitik

Solusi dari persoalan optimasi ini yaitu :

Solusi dari persoalan optimasi ini yaitu :
Diketahui fungsi awalnya yaitu f (x) = 8x − 4x2
f (x) = 8x − 4x2
f (x) = 8 − 8x dicari titik kritis dan di sama dengankan 0
8 − 8x = 0
8 = 8x
8x = 8
x = 8
8
x = 1
Sehingga terbukti bahwa solusi dari optimasi ini adalah x = 1

Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (18)

More from rukmono budi utomo

More from rukmono budi utomo (20)

Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT