1. Tugas Kelompok
Metode Numerik Biseksi
Dimas Febriyan (1384202209)
Dwi Wahyuningrum (1384202011)
Nur Aliyah (1384202043)
Nur Ukhti Salamah (1384202147)
09 Maret 2016
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
2. Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi
1
2
n
≤
2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =
ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
3. Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi
1
2
n
≤
2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =
ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
4. Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi
1
2
n
≤
2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =
ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
5. Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi
1
2
n
≤
2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =
ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
6. Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi
1
2
n
≤
2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =
ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
7. Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi
1
2
n
≤
2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =
ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
8. Contoh Soal
Carilah nilai x yang memaksimumkan
f (x) = 1, 5x − x2
dengan δ = 0.1 dan selang
−1 ≤ x ≤ 1
Dengan metode numerik Biseksi.
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
9. Solusi
Metode Analitik
f (x) = 1, 5x − x2
Kita turunkan terhadap fungsi x
f (x) = 1, 5 − 2x = 0
1, 5 = 2x
x =
1, 5
2
= 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
10. Solusi
Metode Analitik
f (x) = 1, 5x − x2
Kita turunkan terhadap fungsi x
f (x) = 1, 5 − 2x = 0
1, 5 = 2x
x =
1, 5
2
= 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
11. f (x) = 1, 5 − 2x = 0
Lalu kita turunkan kembali terhadap fungsi x
f (x) = −2
Karena f < 0, maka dapat disimpulkan bahwa
x = 0, 75 merupakan pembuat maksimal fungsi
f (x) = 1, 5x − x2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
12. f (x) = 1, 5 − 2x = 0
Lalu kita turunkan kembali terhadap fungsi x
f (x) = −2
Karena f < 0, maka dapat disimpulkan bahwa
x = 0, 75 merupakan pembuat maksimal fungsi
f (x) = 1, 5x − x2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
13. Metode Numerik Biseksi
Karena selangnya
−1 ≤ x ≤ 1
maka a1 = −1 dan b1 = 1
Panjang selangnya
L = b1 − a1 = 1 − (−1) = 2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
14. Metode Numerik Biseksi
Karena selangnya
−1 ≤ x ≤ 1
maka a1 = −1 dan b1 = 1
Panjang selangnya
L = b1 − a1 = 1 − (−1) = 2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
15. Metode Numerik Biseksi
Karena selangnya
−1 ≤ x ≤ 1
maka a1 = −1 dan b1 = 1
Panjang selangnya
L = b1 − a1 = 1 − (−1) = 2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
16. Metode Numerik Biseksi
Karena selangnya
−1 ≤ x ≤ 1
maka a1 = −1 dan b1 = 1
Panjang selangnya
L = b1 − a1 = 1 − (−1) = 2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
17. Dicari nilai n terkecil
1
2
n
2δ
L
=
0, 2
2
=
1
10
Maka nilai n = 4,karena
1
2
4
=
1
16
1
10
=
2δ
L
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
18. Dicari nilai n terkecil
1
2
n
2δ
L
=
0, 2
2
=
1
10
Maka nilai n = 4,karena
1
2
4
=
1
16
1
10
=
2δ
L
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
19. Dicari nilai n terkecil
1
2
n
2δ
L
=
0, 2
2
=
1
10
Maka nilai n = 4,karena
1
2
4
=
1
16
1
10
=
2δ
L
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
20. Iterasi 1
• a1 = −1
b1 = 1
λ1 =
a1 + b1
2
=
−1 + 1
2
=
0
2
= 0
• Substitusikan λ1 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
• Sehingga
f (λ1) = 1, 5 − 2λ1 = 1, 5 − 2(0) = 1, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
21. Iterasi 1
• a1 = −1
b1 = 1
λ1 =
a1 + b1
2
=
−1 + 1
2
=
0
2
= 0
• Substitusikan λ1 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
• Sehingga
f (λ1) = 1, 5 − 2λ1 = 1, 5 − 2(0) = 1, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
22. Iterasi 1
• a1 = −1
b1 = 1
λ1 =
a1 + b1
2
=
−1 + 1
2
=
0
2
= 0
• Substitusikan λ1 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
• Sehingga
f (λ1) = 1, 5 − 2λ1 = 1, 5 − 2(0) = 1, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
23. Iterasi 2
Karena
f (λ1) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masing
sebagai :
λ1 = a2 = 0
dan
b1 = b2 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
24. Iterasi 2
Karena
f (λ1) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masing
sebagai :
λ1 = a2 = 0
dan
b1 = b2 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
25. Maka
λ2 =
a2 + b2
2
=
0 + 1
2
=
1
2
= 0, 5
Subtitusikan λ2 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ2) = 1, 5 − 2λ2 = 1, 5 − 2(0, 5) = 0, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
26. Maka
λ2 =
a2 + b2
2
=
0 + 1
2
=
1
2
= 0, 5
Subtitusikan λ2 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ2) = 1, 5 − 2λ2 = 1, 5 − 2(0, 5) = 0, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
27. Maka
λ2 =
a2 + b2
2
=
0 + 1
2
=
1
2
= 0, 5
Subtitusikan λ2 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ2) = 1, 5 − 2λ2 = 1, 5 − 2(0, 5) = 0, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
28. Iterasi 3
Karena
f (λ2) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masing
sebagai :
λ2 = a3 = 0, 5
dan
b2 = b3 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
29. Iterasi 3
Karena
f (λ2) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masing
sebagai :
λ2 = a3 = 0, 5
dan
b2 = b3 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
30. Maka
λ3 =
a3 + b3
2
=
0, 5 + 1
2
=
1, 5
2
= 0, 75
Subtitusikan λ3 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ3) = 1, 5 − 2λ3 = 1, 5 − 2(0, 75) = 0
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
31. Maka
λ3 =
a3 + b3
2
=
0, 5 + 1
2
=
1, 5
2
= 0, 75
Subtitusikan λ3 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ3) = 1, 5 − 2λ3 = 1, 5 − 2(0, 75) = 0
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
32. Maka
λ3 =
a3 + b3
2
=
0, 5 + 1
2
=
1, 5
2
= 0, 75
Subtitusikan λ3 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ3) = 1, 5 − 2λ3 = 1, 5 − 2(0, 75) = 0
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
33. Karena
f (λ3) = 0
maka kita akan menggunkan 2 percobaan, yaitu
menggunakan kondisi 1 dan 2.
Dimana :
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan
bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan
ak = ak+1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
34. Karena
f (λ3) = 0
maka kita akan menggunkan 2 percobaan, yaitu
menggunakan kondisi 1 dan 2.
Dimana :
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan
bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan
ak = ak+1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
35. Kondisi 1: Jika f (λk) > 0
Iterasi 4
• Karena f (λk) > 0, maka diambil λk dan bk,
masing-masing sebagai :
λ3 = a4 = 0, 75
dan
b3 = b4 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
36. Kondisi 1: Jika f (λk) > 0
Iterasi 4
• Karena f (λk) > 0, maka diambil λk dan bk,
masing-masing sebagai :
λ3 = a4 = 0, 75
dan
b3 = b4 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
37. • Maka
λ4 =
a4 + b4
2
=
0, 75 + 1
2
=
1, 75
2
= 0, 875
• Subtitusikan λ4 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
• Sehingga
f (λ4) = 1, 5 − 2λ4 = 1, 5 − 2(0, 875) = −0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
38. • Maka
λ4 =
a4 + b4
2
=
0, 75 + 1
2
=
1, 75
2
= 0, 875
• Subtitusikan λ4 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
• Sehingga
f (λ4) = 1, 5 − 2λ4 = 1, 5 − 2(0, 875) = −0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
39. • Maka
λ4 =
a4 + b4
2
=
0, 75 + 1
2
=
1, 75
2
= 0, 875
• Subtitusikan λ4 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
• Sehingga
f (λ4) = 1, 5 − 2λ4 = 1, 5 − 2(0, 875) = −0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
40. Iterasi 5
Karena
f (λ4) < 0
maka diambil λk dan ak, masing-masing
sebagai :
λ4 = b5 = 0, 875
dan
a4 = a5 = 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
41. Iterasi 5
Karena
f (λ4) < 0
maka diambil λk dan ak, masing-masing
sebagai :
λ4 = b5 = 0, 875
dan
a4 = a5 = 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
42. Sehingga
x∗
= ak +
bk − ak
2
= 0, 75 +
0, 125
2
= 0, 75 + 0, 0625 = 0, 8125
x∗
≈ 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
43. Tabel Iterasi Kondisi 1
• Dengan menggunakan metode Numerik Biseksi diperoleh
perhitungan sbb :
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
44. Kondisi 2: Jika f (λk) < 0
Iterasi 4
Karena f (λk) < 0, maka diambil λk dan bk,
masing-masing sebagai :
λ3 = b4 = 0, 75
dan
a3 = a4 = 0, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
45. Kondisi 2: Jika f (λk) < 0
Iterasi 4
Karena f (λk) < 0, maka diambil λk dan bk,
masing-masing sebagai :
λ3 = b4 = 0, 75
dan
a3 = a4 = 0, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
46. Maka
λ4 =
a4 + b4
2
=
0, 5 + 0, 75
2
=
1, 25
2
= 0, 625
Subtitusikan λ4 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ4) = 1, 5 − 2λ4 = 1, 5 − 2(0, 625) = 0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
47. Maka
λ4 =
a4 + b4
2
=
0, 5 + 0, 75
2
=
1, 25
2
= 0, 625
Subtitusikan λ4 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ4) = 1, 5 − 2λ4 = 1, 5 − 2(0, 625) = 0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
48. Maka
λ4 =
a4 + b4
2
=
0, 5 + 0, 75
2
=
1, 25
2
= 0, 625
Subtitusikan λ4 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ4) = 1, 5 − 2λ4 = 1, 5 − 2(0, 625) = 0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
49. Iterasi 5
Karena
f (λ4) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masing
sebagai :
λ4 = a5 = 0, 625
dan
b4 = b5 = 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
50. Iterasi 5
Karena
f (λ4) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masing
sebagai :
λ4 = a5 = 0, 625
dan
b4 = b5 = 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
51. Sehingga
x∗
= ak +
bk − ak
2
= 0, 625 +
0, 125
2
= 0, 625 + 0, 0625 = 0, 6875
x∗
≈ 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
52. Tabel Iterasi Kondisi 2
• Dengan menggunakan metode Numerik Biseksi diperoleh
perhitungan sbb :
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
53. Setelah dilakukan percobaan tersebut,
menggunakan kondisi 1 maupun kondisi 2,
keduanya menghasilkan
x∗
≈ 0, 75
Dengan menggunakan Metode Analitik
ataupun Metode Biseksi menghasilkan
x = 0, 75, maka dari itu dapat disimpulkan
bahwa x = 0, 75 merupakan pembuat
maksimal fungsi
f (x) = 1, 5x − x2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
54. Setelah dilakukan percobaan tersebut,
menggunakan kondisi 1 maupun kondisi 2,
keduanya menghasilkan
x∗
≈ 0, 75
Dengan menggunakan Metode Analitik
ataupun Metode Biseksi menghasilkan
x = 0, 75, maka dari itu dapat disimpulkan
bahwa x = 0, 75 merupakan pembuat
maksimal fungsi
f (x) = 1, 5x − x2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang