Rumus cepat-matematika-vektor

114,802 views

Published on

Published in: Education, Technology, Business
0 Comments
24 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
114,802
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
848
Actions
Shares
0
Downloads
1,198
Comments
0
Likes
24
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Rumus cepat-matematika-vektor

  1. 1. http://meetabied.wordpress.comSMAN 1 Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-SelKesalahan terbesar yang dibuat manusia dalamkehidupannya adalah terus-menerus merasa takutbahwa mereka akan melakukan kesalahan (ElbertHubbad) [RUMUS CEPAT MATEMATIKA] Vektor ================================================================================ Materi ini dapat disebarluaskan secara bebas, untuk tujuan bukan komersial, dengan atau tanpa menyertakan sumber. Hak Cipta selamanya pada Allah Swt. Salam hangat selalu … Muhammad Zainal Abidin | admin of http://meetabied.wordpress.com
  2. 2. A. Definisi Vektor a a maka : b Vektor, adalah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor a +b b dinotasikan sebagai ruas garis hasil penjumlahan vektor a dan b ® (cara segitiga) berarah. Misal : AB artinya ® a +b vektor AB, u ,u ,u adalah notasi untuk vektor u, a artinya vektor a hasil penjumlahan vektor a dan b dan lain-lain. Dengan demikian (cara jajar genjang) penulisan vektor dengan huruf kecil garis di atas atau garis di a -b b bawah tidak menjadi soal. maka : a -b bB. Menyajikan Vektor hasil pengurangan vektor a dan b (i) Vektor di R2 a Jika a adalah sebuah vektor 2a ( dua kali vektor a) a dan a = ( a1 , a2 ) berupa baris, æa ö sedang a = ç 1 ÷ berupa vektor (ii) Penjumlahan , Pengurangan è a2 ø Dan Perkalian. kolom. atau dalam vektor basis (versi Aljabar) a = a1 i + a2 j (ii) Vektor di R3 1 Penjumlahan dan Jika a adalah sebuah vektor Pengurangan . dan a = ( a1 , a2 , a3 ) berupa æa ö Jika a = ç 1 ÷ dan æ a1 ö è a2 ø ç ÷ æb ö baris, sedang a = ç a2 ÷ berupa b = ç 1 ÷ maka : ça ÷ è b2 ø è 3ø vektor kolom. atau dalam vektor basis æ a + b1 ö a+b=ç 1 ÷ a = a1 i + a2 j + a3 k è a 2 + b2 øC. Operasi Vektor æ a - b1 ö a-b =ç 1 ÷ (i) Penjumlahan , Pengurangan è a 2 - b2 ø Dan Perkalian. (versi Geometri) http://meetabied.wordpress.com 2
  3. 3. æ a1 ö æ b1 ö ç ÷ ç ÷Jika a = ç a2 ÷ dan b = ç b2 ÷ maka : D. Vektor Khusus ça ÷ çb ÷ è 3ø è 3ø 1 Vektor Nol (0) Adalah suatu vektor dimana titik æ a 1 + b1 ö awal dan titik ujungnya berimpit. a + b = ç a 2 + b2 ÷ Elemen-elemen vektor semuanya ç ÷ è a 3 + b3 ø nol. æ0 ö ç ÷ æ a 1 - b1 ö o = ç0 ÷ ç0 ÷ a - b = ç a 2 - b2 ÷ è ø ç ÷ è a 3 - b3 ø 1 Vektor Satuan Adalah vektor yang panjangnya satu satuan vektor.1 Perkalian Skalar dengan vektor vektor satuan dari vektor a adalah : æ a1 ö ç ÷ Jika a = ç a2 ÷ dan k skalar, maka : e= a ça ÷ |a| è 3ø æ a1 ö æ ka1 ö 1 Vektor Posisi ç ÷ ç ÷ ka = k ç a2 ÷ = ç ka2 ÷ Adalah vektor yang titik pangkalnya ç a ÷ ç ka ÷ è 3ø è 3ø adalah O. Penting untuk diingat, bahwa setiap vektor dapat diganti dengan vektor Berlaku pula untuk vektor di R2 posisi, dengan menggunakan prinsip kesamaan dua vektor.1 Perkalian Skalar dua vektor Jika A(a1,a2) suatu titik, maka titik A æ a1 ö æ b1 ö tersebut juga bisa dituliskan sebagai ç ÷ ç ÷ Jika a = ç a2 ÷ dan b = ç b2 ÷ , maka : ® ça ÷ çb ÷ vektor posisi, sebagai OA = a è 3ø è 3ø Jika A = ( a1 , a2 , a3 ) dan a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 B = ( b1 ,b2 ,b3 ) maka vektor posisi dari titik A dan B adalah : ® ® æ b1 - a 1 ö ® ç ÷ AB = OB - OA = ç b 2 - a 2 ÷ çb - a ÷ è 3 3 ø http://meetabied.wordpress.com 3
  4. 4. 1 Panjang Vektor c) a –b æa ö d) c –b Jika a = ç 1 ÷ maka panjang dari e) a +b +c è a2 ø f) 2a +3c vektor a adalah : g) -3a +2b | a |= a1 + a 2 2 2 æ 1ö æ5ö 2. Diketahui a = ç 2 ÷ dan b = ç 4 ÷ ç4÷ ç0 ÷ è ø è ø Tentukan : æ a1 ö a) a +bJika a = ç a2 ÷ maka panjang dari vektor b) 2a +3b ç ÷ è a3 ø 3. Pada gambar di bawah, M adalah a adalah : titik tengah PQ. Nyatakan vektor- vektor berikut ini dengan a ,b ,dan | a |= a1 + a2 + a3 2 2 2 b R S a cJika a dan b dua buah vektor maka : P M . Q ® ® | a + b |2 = 2 | a |2 +2 | b |2 - | a - b |2 a) PR d) SM ® ® b) QP e) RM ® ® c) PM f) QS 4) Diketahui balok ABCD.EFGH diperlihatkan pada gambar diGunakan Teori di atas untuk bawah, dengan AB = 8 cm, AD = 6menyelesaikan soal-soal berikut ini : cm, dan AE = 4 cm. Ruas-ruas garis ® ® ®1. Diberikan vektor-vektor sebagai berarah AB , AD , dan AE berturut berikut : turut mewakili vektor p , q dan r b c a H G F E Gambarkan : D a) a +b r q C b) a +c A p B http://meetabied.wordpress.com 4
  5. 5. Tentukan : a) Panjang vektor-vektor p , Tentukan : a) a . b q dan r b) a . c b) | p + q | c) b . c d) (3a)( 2b) c) | p+r | e) (-2a).(3c) d) | q + r | 10. Carilah nilai a, b dan c jika : e) | p+q+r | æ 0 ö æ 2 ö æ - 1ö æ 1ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ aç 2 ÷ + bç 1 ÷ + cç 0 ÷ = ç 1÷5. Diketahui vektor-vektor : ç 1 ÷ ç 0 ÷ ç 1 ÷ ç 1÷ a = 2i + 3 j - 4 k dan è ø è ø è ø è ø b = i - 5 j - 2k . Tentukan 11. Diketahui titik A(5, 4, 6) dan B(-2, a) a +b 5,1). Tentukan jarak antara titik A b) a –b dan B ! c) 2a +5b d) |a +b| 12. Diketahui segitiga ABC dengan A(3, e) |3a -2b| -1, 5), B(4, 2, -5) dan C(-4,0,3). Jika D merupakan titik tengah sisi BC,6. Diketahui vektor-vektor : hitunglah panjang garis AD. a = 2i + 3 j - 4 k dan 13. Diketahui | a | = 4 cm , | b | = 5 dan b = i - 5 j - 2k . | a –b| = Ö19 . Tentukan | a +b| c = 3i - j + 2k Tentukan panjang vektor d = 2a +b –c 14. Diketahui | a | = Ö7 cm , | b | = 3 dan7. Diketahui titik A(0, 6) dan B(-2, 4) | a +b| = Ö23 . Tentukan | a -b| Tentukan panjang ruas garis (jarak) AB ! 15. Diketahui a = 3i - 2 j , b = -i + 4 j dan r = 7 i - 8 j . Jika8. Tentukan x dan y dari : r = k a + mb , tentukan nilai k +m ! æ xö æ 3ö æ 8 ö 2ç ÷ + 4ç ÷ = -3ç ÷ è4ø è yø è - 1ø9. Diketahui vektor-vektor : a = 2i + 3 j - 4 k dan b = i - 5 j - 2k . c = 3i - j + 2k http://meetabied.wordpress.com 5
  6. 6. BA. Perbandingan Bagian n b (1) Titik P membagi Ruas garis AB p m a) Jika P di dalam garis AB O a ® ® A AP dan PB memunyai Rumus : arah yang sama dan n dan m mempunyai tanda yang sama. mb + na p= n m+n m A P B Rumus : (3) Tiga titik Segaris (kolinier) AP : PB = m : n Jika terdapat titik A, B dan C AP : AB = m :(m +n) maka ketiga titik tersebut akan segaris, jika : a) Jika P di luar garis AB ® ® ® ® AB = k AC AP dan PB memunyai arah yang berlawanan dan n dan Dengan k konstan (riel) m mempunyai tanda yang berlawanan. m (4) Dua vektor segaris (kolinier) Jika a adalah vektor posisi titik A B P A dan b vektor posisi titik B, maka a dan b akan segaris jika memenuhi : n Rumus : a = kb AP : PB = m :- n AP : AB = m :(m -n) Dengan k konstan. (2) Pembagian dalam vektor Jika p menyatakan vektor posisi titik P yang membagi AB dengan perbandingan m : n http://meetabied.wordpress.com 6
  7. 7. B. Sudut antara dua vektor C. Proyeksi Orthogonal vektor b a q b c a Vektor proyeksi dari vektor a padaMaka berlaku : vektor b adalah : 1. a .b =| a | . | b | cos q a.b c= .b a.b | b |2 2. cos q = | a | .| b | Panjang proyeksi dari vektor a pada 3. a( a + b ) =| a |2 + | a | . | b | cos q vektor b adalah : 4. a( a - b ) =| a |2 - | a | . | b | cos q a.b 5. | a + b |2 =| a |2 + | b |2 +2 | a || b | cosq | c |= |b| 6. | a - b |2 =| a |2 + | b |2 -2 | a || b | cosqPerhatikan gambar diatas, jika: (i) a dan b membentuk sudut Gunakan Teori di atas untuk 900, artinya vektor a dan b menyelesaikan soal-soal berikut ini : tegak lurus , maka : a .b = 0 1. Vektor posisi titik A dan B masing- masing dinyatakan dengan a dan b Nyatakan vektor posisi titik P (ii) a dan b membentuk sudut dengan a dan b Jika : 1800, artinya vektor a dan a) titik P membagi AB di dalam b berlawanan , maka : dengan perbandingan 3 : 2 a .b = -|a|.|b| b) titik P membagi AB di luar dengan perbandingan 3 : 2 (iii) a dan b membentuk sudut 2. Diketahui titik A(2, 3, 4) dan B(9,- 00, artinya vektor a dan b 11,18). Tentukan koordinat titik P, sejajar atau berimpit , jika titik P membagi AB di dalam maka : dengan perbandingan 5 : 2 a .b = |a|.|b| http://meetabied.wordpress.com 7
  8. 8. 3. Diketahui titik A(2, 1, -1) dan 8. Diketahui segitiga ABC dengan B(7,3,8). Tentukan koordinat titik A(2,-3,2), B(-1,0,2) dan C(0,1,4). P, jika titik P membagi AB diluar Dengan menggunakan rumus sudut dengan perbandingan 3 : 2 antara dua vektor, tentukan besar setiap sudut dalam segitiga itu.4. R adalah titik pada garis PQ. Tentukan koordinat R jika : æ 2ö a) P(1,0,2), Q(5,4,10) dan 9. Diketahui vektor a = ç ÷ dan è 1ø PR : RQ = 3 : -2 æ 3ö b) P(-3,-2,-1), Q(0,-5,2) dan b = ç ÷ . Tentukan : PR : RQ = 4 : -2 è4ø a) Proyeksi vektor a pada b æ 2 ö b) Proyeksi vektor b pada a ç ÷5. Diketahui vektor a = ç 1 ÷ dan c) Panjang Proyeksi vektor a pada ç - 3÷ d) Panjang Proyeksi vektor b pada è ø æ - 1ö æ 2 ö ç ÷ b = ç 3 ÷ . Tentukan besar sudut 10. Diketahui vektor a = ç - 6 ÷ dan ç - 2÷ ç- 3÷ è ø è ø yang dibentuk oleh kedua vektor æ 2 ö tersebut. b = ç 1 ÷ . Tentukan : ç - 2÷ è ø æ 3 ö a) Proyeksi vektor a pada b ç ÷ b) Proyeksi vektor b pada a6. Diketahui vektor a = ç 3 ÷ dan ç - 3÷ c) Panjang Proyeksi vektor a pada è ø d) Panjang Proyeksi vektor b pada æ 2ö ç ÷ b = ç 1 ÷ . Tentukan sinus sudut 11. Diketahui segitiga ABC dengan ç 3÷ A(1,-1,2), B(5,-6,2), dan C(1,3,-1) è ø Tentukan : yang dibentuk oleh kedua vektor ® tersebut. a) Panjang proyeksi vektor AB pada ® æ 1 ö vaektor AC ç ÷ ®7. Diketahui vektor a = ç - 2 ÷ dan b) Panjang proyeksi vektor CA pada ç 2 ÷ è ø ® vaektor CB æ- 4ö ç ÷ b = ç - 2 ÷ . Tentukan kosinus sudut 12. Diketahui A(2,3,-1), B(5,4,0) dan ç 4 ÷ è ø C(x,6,2). Tentukan x agar A, B dan yang dibentuk oleh kedua vektor C segaris. tersebut. http://meetabied.wordpress.com 8
  9. 9. 13. Diketahui vektor u = (4 ,x , 1) dan 3. PREDIKSI UAN 2006 vektor v = (2,x-1,y) . Tentukan nilai Diketahui Z adalah titik berat x dan y agar kedua vektor segaris. segitiga ABC dimana A(2 ,3 ,-2), B( 4, 1, 2) dan C(8 ,5 ,-3), maka14. Diketahui u = 2i - 3 j + 4 k dan panjang vektor posisi Z adalah... A. Å7 v = -i + j + 2k . Tentukan tangens B. Å15 sudut yang dibentuk oleh kedua C. Å11 vektor tersebut. D. Å14 E. Å1715. Diketahui |u| = 3 dan |v| = 5. Jika sudut yang dibentuk oleh vektor u 4. PREDIKSI UAN 2006 p Diketahui A(2 ,-1, 4), dan B(3 ,- dan v sebesar . Tentukan nilai : 3 ,0). Titik P terletak pada a) u(u +v) perpanjangan AB sehingga : b) u(u -v) AP = -2PB. Jika p vektor posisi titik P, maka p A. (1 ,3 ,5) B. (3 ,5, 4) C. (8 ,-5 ,4)Pilihlah salah satu jawaban yang D. (4 ,-3 ,-4)paling tepat. E. (8 ,5, -4)1. PREDIKSI UAN 2006 5. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui a = 3i +2j +k ; b = 2i +j Jika P(1 ½ , 2 ½ ,1), Q(1, 0, 0) dan dan c = 3a -4b , maka | c | = ..... R(2 ,5, a) terletak pada satu garis A. Å7 lurus, maka a adalah.... B. Å5 A. 0 C. Å14 B. ½ D. Å10 C. 1 E. Å15 D. 2 E. 2 ½2. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui a = 3i -2j ; b = -i +4j 6. PREDIKSI UAN 2006 dan r = 7i -8j, jika r = ka +mb, Diketahui | a | = 3, | b | = 5 dan | maka k +m =.... + b | = 6, maka |a – b| = .... A. 3 A. 3Å2 B. 2 B. 4Å2 C. 1 C. 2Å3 D. -1 D. 3Å2 E. -2 E. 4Å2 http://meetabied.wordpress.com 9
  10. 10. 7. PREDIKSI UAN 2006 æ 3 ö æ 1ö 11. PREDIKSI UAN 2006 Jika a = ç ÷ , b = ç ÷ dan è - 2ø è0 ø Besar sudut antara vektor a = 2i +3k dan æ- 5ö c = ç ÷ . Maka panjang vektor d b = i +3j -2k adalah... è 4 ø = a + b –c adalah.... 1 A. Å5 A. o 6 B. 2Å13 1 1 C. 17 B. o D. o 4 2 D. 3Å13 E. 2Å41 1 2 C. o E. o 3 38. PREDIKSI UAN 2006 Panjang vektor a , b dan (a +b) 12. PREDIKSI UAN 2006 berturut –turut adalah 12 , 8 dan Diketahui titik P(-3 ,-1 ,-5), Q(-1 ,2 4Å7. Besar sudut antara a dan b ,0) dan R(1 ,2 ,-2). Jika PQ = a dan adalah.... A. 45o QR = b , maka a . b =.. B. 60o A. -6 C. 90o B. -8 D. 120o C. -10 E. 150o D. -12 E. -149. PREDIKSI UAN 2006 Jika a = (1 ,2 ,3) dan b = (3 ,2 ,1), 13. PREDIKSI UAN 2006 maka Vektor-vektor p = 2i +aj +k dan (2a).(3b) = .... q = 4i -2j -2k saling tegak lurus A. 30 untuk a sama dengan... B. 40 A. 3 C. 50 B. 4 D. 60 C. 4,5 E. 70 D. 510. PREDIKSI UAN 2006 E. 6 Jika vektor a dan b membentuk 14. PREDIKSI UAN 2006 sudut 60o, | a | = 4 , | b | = 3, maka Vektor z = adalah proyeksi vektor a (a – b) = .... = (-Å3, 3 ,1) pada vektor y = (Å3 , A. 2 2 , 3). Panjang vektor z adalah... B. 4 A. 1/2 C. 6 B. 1 D. 8 C. 3/2 E. 10 D. 2 E. 5/2 http://meetabied.wordpress.com 10
  11. 11. 15. PREDIKSI UAN 2006 Bila ketiga titik (-5 ,4 ,4), (4 ,-2,1) æ 3 ö æ2ö dan (x ,2 ,y) segaris, maka nilai (x ç ÷ ç ÷ +y ) = ... Diketahui a = ç - 2 ÷ dan b = ç y ÷ . ç 1 ÷ ç2÷ A. -3 è ø è ø B. -2 Bila panjang proyeksi a pada b C. 1 1 D. 2 sama dengan panjang vektor b, 2 E. 3 maka nilai y adalah... A. 2 -2Å3 atau 2 +2Å3 B. 1 -Å3 atau -1 +Å3 19. PREDIKSI UAN 2006 C. -2 -2Å3 atau -2 +2Å3 Diketahui P = (a ,0 ,3) , Q = (0 ,6 D. -4(1 -Å3) atau 4(1 -Å3) ,5) dan R = (2 ,7 ,c) . Agar vektor E. 4Å3 atau -4 PQ tegak lurus pada QR , haruslah nilai a –c = ....16. PREDIKSI UAN 2006 A. -3 Vektor yang merupakan proyeksi B. -2 vektor (3 ,1 ,-1) pada vektor (2 ,5 C. 2 ,1) adalah.... D. 3 1 E. 5 A. (2 ,5 ,1) 2 1 20. PREDIKSI UAN 2006 B. (2 ,5 ,1) Diketahui panjang proyeksi 3 1 æ 1 ö æ 3 ö C. Å30(2 ,5 ,1) ç ÷ ç ÷ 3 a = ç 2 ÷ pada b = ç p ÷ adalah ç- 3 ÷ ç 3÷ 1 è ø è ø D. (2 ,5, 1) 30 1. Nilai p = ... A. 4 1 E. (2 ,5 ,1) B. 2 4 1 C. 217. PREDIKSI UAN 2006 1 Diketahui | a | = 5 , | b | = 9 dan D. - 3 4 tgÉ(a ,b) = , maka a (a +b) = .... 1 4 E. - A. 51 2 B. 52 C. 61 D. 108 E. 11718. PREDIKSI UAN 2006 21. PREDIKSI UAN 2006 http://meetabied.wordpress.com 11
  12. 12. Jika a = 7i -6j -8k dan b = -2i +j æ 1 ö +5k , maka proyeksi orthogonal a ç ÷ D. ç 4 ÷ pada b adalah... ç - 3÷ A. -14i +2j +10k è ø 4 2 10 æ 17 ö B. - i + j + k ç- ÷ 3 3 3 ç 8 ÷ E. ç - ÷ 7 4 2 10 ç 8 ÷ C. i- j- k 3 3 3 ç 24 ÷ D. 4i -2j -10k ç ÷ è 8 ø E. 6i -3j -15k 24. PREDIKSI UAN 200622. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui titik-titik A(2 ,-1, 4), B(4, Diketahui vektor a = 3i +j -5k dan 1 ,3) dan C(2 ,0 ,5). Kosinus sudut b = -i +2j -2k, proyeksi vektor orthogonal a dan b adalah c. antara AB dan AC adalah.... Vektor c adalah... 1 A. A. -i -2j -2k 6 B. -i -2j +2k 1 1 C. -i +2j -2k B. Å2 D. Å2 D. i +2j -2k 6 3 E. i +2j +2k 1 1 C. E. Å2 3 223. PREDIKSI UAN 2006 Diketahu titik A(-4 ,1 ,3) dan B(1 ,- 4,3). Titik P(x,y ,z) pada AB sehingga AP : PB = 3 : 5. Vektor posisi titik P adalah.... æ -1 ö ç ÷ A. ç - 10 ÷ ç 15 ÷ è ø æ 17 ö ç- ÷ ç 2 ÷ B. ç - ÷ 7 ç 2 ÷ ç 23 ÷ ç ÷ è 2 ø æ - 1ö ç ÷ C. ç - 2 ÷ ç 3 ÷ è ø http://meetabied.wordpress.com 12
  13. 13. Materi -1 : 2 kali pertemuan (4 jam pelajaran,selesai dengan aplikasi-1dituntaskan dengan tugas individu) Materi -2 : 2 kali pertemuan (4 jam pelajaran,selesai dengan aplikasi-2 dituntaskan dengan tugas individu) Aplikasi-3 : 1 kali pertemuan (2 jam pelajaran, dituntaskan dengan tugas individu) Evaluasi-1 : 1 kali pertemuan(2 jam pelajaran, soal terdiri dari 15 pilihan ganda dan 3 soal essay. 2 versi dengan bobot sama) ------------------------------------------------- Total : 1,5 minggu (12 jam pelajaran) ------------------------------------------------ http://meetabied.wordpress.com 13

×