Varian dan standar deviasi merupakan ukuran sebaran statistik yang digunakan untuk mengukur bagaimana nilai-nilai data tersebar dari rata-rata. Varian dihitung dengan membagi hasil penjumlahan kuadrat penyimpangan dari rata-rata dengan ukuran sampel, sedangkan standar deviasi didefinisikan sebagai akar kuadrat dari varian."

1. VARIAN DAN
STANDAR
DEVIASI
(SIMPANGAN
BAKU)
Rani Chahyani Ansar, S.Si, M.Si

2. Simpangan Baku
 Istilah simpangan baku pertama kali diperkenakan
oleh Karl Pearson pada tahun 1894, dalam
bukunya On the dissection of asymmetrical
frequency curves.
 Dalam statistika dan probabilitas, simpangan
baku atau deviasi standar adalah ukuran sebaran
statistik yang paling lazim. Singkatnya, ia
mengukur bagaimana nilai-nilai data tersebar. Bisa
juga didefinisikan sebagai, rata-rata jarak
penyimpangan titik-titik data diukur dari nilai rata-
rata data tersebut.

3. Varian
 Nilai varian diperoleh dari pembagian hasil
penjumlahan kuadrat (sum of squares) dengan
ukuran data (n).
 Namun dalam penerapannya, nilai varian tersebut
bias untuk menduga varian populasi. Dengan
rumus tersebut, nilai varian populasi lebih besar dari
varian sampel.
 Oleh karena itu, agar tidak bias dalam menduga
varian populasi, maka n sebagai sum of squares
diganti dengan n-1 agar nilainya menjadi lebih besar
dan mendekati varian populasi.

4. Simpangan Baku
 Simpangan baku didefinisikan sebagai akar
kuadrat varians.
 Jadi jika salah satu nilai dari kedua ukuran tersebut
diketahui maka akan diketahui juga nilai ukuran yang
lain.
 Simpangan baku merupakan bilangan tak-negatif,
dan memiliki satuan yang sama dengan data.
Misalnya jika suatu data diukur dalam satuan meter,
maka simpangan baku juga diukur dalam meter.
2
ss

5. Simpangan Baku
 Simpangan baku untuk populasi disimbolkan
dengan σ (sigma) dan didefinisikan dengan rumus:
 Simpangan baku untuk sampel disimbolkan
dengan s dan didefinisikan dengan rumus:
dimana x adalah nilai data dari sampel dan x adalah
rata-rata dari sampel.

6. Perhitungan
 Untuk mempermudah penghitungan, rumus varian
dan standar deviasi (simpangan baku) tersebut
bisa diturunkan :
 Rumus varian :
 Rumus Simpangan Baku (Standar Deviasi) :
Keterangan:
s2 = varian
s = simpangan baku
xi = nilai x ke-I
x = rata-rata
n = ukuran sampel

7. Contoh Perhitungan
 Misalkan dalam suatu kelas, tinggi badan beberapa
siswa yang dijadikan sampel adalah sebagai berikut.

172, 167, 180,170, 169, 160, 175, 165, 173, 170
 Dari data tersebut dapat dihitung varian dengan
menggunakan rumus varian di atas.
 Dari penghitungan, diperoleh nilai varian sama dengan
30,22.
Dari nilai tersebut bisa langsung diperoleh nilai standar
deviasi (simpangan baku) dengan cara
mengakarkuadratkan nilai varian.

8. PERMUTASI
DAN
KOMBINASI
Rani Chahyani Ansar, S.Si, M.Si

9. Faktorial (!)
 Faktorial bilangan asli n adalah perkalian semua bilangan
asli yang kurang atau sama dengan n. Faktorial
dilambangkan dengan tanda !. Jadi jika n!, maka dibaca "n
faktorial".
n! = 1 x 2 x … x (n-2) x( n-1) x n
0! = 1
1! = 1
2! = 1 × 2 = 2
3! = 1 × 2 × 3 = 6
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120
 Faktorial biasa digunakan untuk menghitung banyaknya
susunan yang dapat dibentuk dari sekumpulan benda tanpa
memperhatikan urutannya.

10. Faktorial (!)
Contoh:
Empat buah lukisan A, B, C dan D akan dipajang
berurutan pada sebuah dinding pameran. Berapakah
jumlah susunan yang dapat dibentuk dari keempat
lukisan tersebut?
Jawab:
Karena jumlah lukisan yang akan dibentuk susunannya
adalah 4 maka jumlah susunan yang bisa dibentuk
adalah 4!
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
Jadi jumlah susunan yang dapat dibentuk adalah 24
susunan. Ke-24 susunan tersebut adalah sebagai
berikut.
ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD,
BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB,

11. Permutasi
 Permutasi adalah susunan yang dapat dibentuk dari
suatu kumpulan benda yang diambil sebagian atau
seluruhnya.
 Permutasi menggabungkan beberapa objek dari suatu
grup dengan memperhatikan urutan. Dalam permutasi,
urutan diperhatikan.
{1,2,3} tidak sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}
 Lambang permutasi adalah P. n permutasi r, berarti
 Contoh: Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing
berwarna merah, hijau dan biru. Jika seorang anak
ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak dan
urutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi
yang terjadi?

12. Kombinasi
 Kombinasi adalah menggabungkan beberapa
objek dari suatu kumpulan tanpa memperhatikan
urutannya. Oleh karena itu, kombinasi berbeda
dengan permutasi, dimana letak perbedaannya
adalah susunan yang tidak diurutkan. Pada
kombinasi, susunan XY sama saja dengan YX.
 Lambang kombinasi adalah C. n kombinasi r,
berarti .
 Rumus penghitungan kombinasi adalah sebagai
berikut.

13. Kombinasi
 Contoh Penghitungan
 Misalkan dalam suatu tim terdapat 4 orang alhli statistik
yang sedang melakukan proyek survey. Dalam proyek
survey tersebut dibutuhkan 2 orang ahli statistik yang
untuk sementara ditugaskan membantu bagian entry
data. Dua orang tersebut diambil dari 4 orang ahli
statistik tadi.
 Banyaknya cara memilih 2 orang dari 4 orang (A,B,C,D)
tersebut dihitung menggunakan rumus kombinasi,
dimana nilai r = 2 dan nilai n = 4.
 Jadi, ada 6 kombinasi yaitu : A-B, A-C, A-D, B-C, B-D,
dan C-D
 Salah satu aplikasi kombinasi dan permutasi adalah

14. PELUANG
(PROBABILITAS)
Rani Chahyani Ansar, S.Si, M.Si

15. Pendahuluan
 Prediksi kejadian sangat diperlukan dan diminati dalam
berbagai bidang kehidupan. Seperti peramalan cuaca,
penelitian ilmiah, permainan, bisnis, dll.
 Ruang contoh : Himpunan semua kemungkinan hasil
suatu percobaan, dan dilambangkan dengan huruf S.
S = {1,2,3,4,5,6} adalah kejadian angka pada sebuah
dadu.
 Kejadian : suatu himpunan bagian dari ruang contoh.
S = {merah, jingga, kuning}
A = {merah} adalah kejadian sederhana
B = {jingga U kuning} = {jingga, kuning} adalah kejadian
majemuk

16. Konsep Probabilitas
 Pandangan Klasik /intuitif
 Pandangan Empiris / Probabilitas Relatif
 Pandangan Subyektif

17. Probabilitas Klasik/Intuitif
 Didalam pandangan klasik ini
probabilitas/peluang adalah harga angka yang
menunjukkan seberapa besar kemungkinan
bahwa suatu peristiwa terjadi, diantara
keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi
 Contoh : Sebuah mata uang logam mempunyai
sisi dua (gambar dan angka), kalau mata uang
tersebut dilambungkan satu kali maka peluang
untuk keluar sisi gambar adalah 1/2.

18. Probabilitas Empiris / Relatif
 Dalam pandangan ini probabilitas berdasarkan
observasi, pengalaman atau kejadian(peristiwa)
yang telah terjadi.
 Contoh:
 Dari 10.000 hasil suatu produksi 100 rusak P(rusak)
= 1% = 0,01
 Upah (Rp 1000) Jumlah %
200 - 499 90 30
500 - 749 165 55
750 - 999 45 15

19. Probabilitas Subyektif
 Didalam pandangan subyektif probabilitas
ditentukan oleh yang membuat pernyataan
 Seorang direktur rumah sakit menyatakan
keyakinannya ( 90%) bahwa rumah sakit yang
dipimpinnya akan dapat mulai swadana ( break
event point) lima tahun kedepan.
 Kebenaran dari probabilitas subyektif ini sangat
tergantung kepada orang yang menentukannya

20. Pengertian
 Probabilitas adalah harga perbandingan jumlah
kejadian (A) yang mungkin dapat terjadi
terhadap (N) jumlah keseluruhan kejadian yang
mungkin terjadi dalam sebuah peristiwa.
 P(A) = Peluang
 n(A) = Peluang kejadian A
 n(N) = Peluang seluruh kejadian

21. Contoh
 Berapakah peluang munculnya angka ganjil
pada pelemparan sebuah dadu?
Answer:
Peluang munculnya angka ganjil pada tiap
lemparan adalah 1,3, dan 5. Maka :

22. Keterkaitan Antar Kejadian
 Hubungan atau
Peluang akan semakin besar
Contoh:
Peluang munculnya angka 3 atau 4 pada pelemparan sebuah
dadu adalah :
 Hubungan dan
Peluang akan semakin kecil
Peluang munculnya angka 3 dan 4 pada pelemparan sebuah
dadu adalah :

23. Kaidah Penjumlahan
 Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka :
Contoh:
Peluang seorang mahasiswa lulus statistika adalah 2/3 dan
peluang lulus matematika adalah 4/9. Peluang sekurang-
kurangnya lulus salah satu pelajaran tersebut adalah 4/5.
Berapa peluang lulus kedua pelajaran tersebut?

24. Kaidah Penjumlahan
 Bila A dan B adalah dua kejadian terpisah, maka :
example :
Dari pelemparan 2 buah dadu, A adalah kejadian munculnya jumlah 7 dan
B adalah kejadian munculnya angka 11. Kejadian A dan B adalah saling
terpisah karena tidak mungkin terjadi bersamaan. Berapa peluang jumlah
7 atau jumlah 11?
p(A) = 1/6 p(B)=1/18

25. Kaidah Penjumlahan
 Bila A dan A’ adalah dua kejadian yang satu
merupakan komplemen lainnya, maka :
 Example:
Peluang tidak munculnya angka 3 pada
pelemparan sebuah dadu adalah:

26. Peluang Bersyarat
 Adalah peluang dengan suatu syarat kejadian
lain.
Contoh : Peluang terjadinya kejadian B bila diketahui
suatu kejadian A telah terjadi.
Dilambangkan : P(B|A)
Didefinisikan :
Contoh : Populasi sarjana berdasarkan jenis kelamin
dan status pekerjaan.Bekerja Menanggur
Laki-Laki 300 50
Perempuan 200 30

27. Peluang Bersyarat
 Kejadian-kejadian
A = yang terpilih laki-laki
B = yang telah bekerja
Jawaban :

28. Peluang Bersyarat
 Peluang bersyarat untuk kejadian bebas,
kejadian satu tidak berhubungan dengan
kejadian lain.
P(B|A) = P(B) atau P(A|B) = P(A)
 Contoh :
Percobaan pengambilan kartu berturut dengan
pengembalian.
A : Kartu pertama Ace
B : Kartu kedua sekop
Karena kartu pertama kemudian dikembalikan, ruang
contoh untuk pengembalian pertama dan kedua tetap
sama yaitu 52 kartu yang mempunyai 4 ace dan 13
sekop.

29. Peluang Bersyarat
 Jawab :
atau
Jadi A dan B adalah kejadian yang saling bebas.

30. Kaidah Penggandaan
 Bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B
keduanya dapat terjadi sekaligus, maka
 Contoh :
A : kejadian bahwa sekering pertama rusak.
B : kejadian bahwa sekering kedua rusak.
: A terjadi dan B terjadi setelah A terjadi

31. Kaidah Penggandaan
Peluang mendapatkan sekering rusak pada
pengambilan pertama adalah ¼ dan peluang
mendapatkan sekering rusak pengambilan
kedua adalah 4/19. Jadi :

32. Kaidah Penggandaan
 Bila dua kejadian A dan B bebas, maka
Contoh:
A dan B menyatakan bahwa mobil pemadam
kebakaran dan ambulans siap digunakan, maka:
P(A) = 0.98
P(B) = 0.92
A dan B saling bebas.

33. Kaidah Bayes
 Jika kejadian-kejadian B1, B2, …, Bk merupakan
sekatan dari ruang contoh S dengan P(Bi) != 0,
untuk i = 1, 2, …, k; maka untuk sembarang
kejadian A yang bersifat P(A) != 0.
untuk r = 1, 2, …, k
)|()()2|()2()1|()1(
)|()(
)|(
BkAPBkPBAPBPBAPBP
BrAPBrP
ABrP


34. Kaidah Bayes
Contoh
 Tiga anggota organisasi A telah dicalonkan sebagai ketua.
Peluang Pak Andi terpililih adalah 0.4. Peluang Pak Budi
terpilih adalah 0.1. Peluang Pak Dedi terpilih adalah 0.5.
Seandainya Pak Andi terpilih kenaikan iuran anggota 0.5, Pak
Budi dan Pak Dedi masing-masing 0.3 dan 0.4 Berapa
peluang Pak Andi terpilih setelah terjadinya kenaikan iuran
anggota.
Jawab:
A : iuran anggota dinaikkan
B1 : Pak Andi terpilih
B2 : Pak Budi terpilih
B3 : Pak Dedi terpilih

35. Kaidah Bayes
 P(B1) P(A|B1) = (0.4)(0.5) = 0.20
 P(B2) P(A|B2) = (0.1)(0.3) = 0.30
 P(B3) P(A|B3) = (0.5)(0.4) = 0.20
285.0
20.030.020.0
20.0
)|1( ABP