Bab 3-stat

Silabus dan Tujuan
Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Uji Hipotesis
MA5283 STATISTIKA
Bab 3 Inferensi Untuk Mean
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
“Orang Cerdas Belajar Statistika”
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA5283 STATISTIKA Bab 3 Inferensi Untuk Mean

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Silabus
Peubah acak kontinu, distribusi dan Tabel normal, penaksiran titik
dan selang, uji hipotesis untuk mean

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Tujuan
1 Memahami deﬁnisi dan konsep peubah acak kontinu
2 Mempelajari distribusi dan Tabel normal
3 Menentukan penaksir mean dan selang kepercayaan untuk
mean
4 Melakukan uji hipotesis untuk mean

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
P.A. Kontinu
Misalkan X peubah acak dan fungsi distribusinya FX dapat
diturunkan. Fungsi peluang fX adalah turunan dari fungsi
distribusi,
fX (x) =
d
dx
FX (x)
atau dengan kata lain
FX (x) =
x
−∞
fX (t) dt

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Deﬁnisi:
Jika X adalah peubah acak sedemikian hingga fungsi peluangnya
ada (turunan dari fungsi distribusi) maka X dikatakan sebagai
peubah acak kontinu. Catatan:
1 = FX (∞) =
∞
−∞
fX (t) dt
P(a ≤ X ≤ b) = FX (b) − FX (a) =
b
a
fX (t) dt
P(X = a) =
a
a
fX (t) dt = 0

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Contoh/Latihan
1 Misalkan X p.a kontinu dengan fungsi peluang
f (x) = c (4x − 2x2
), 0 < x < 2,
Tentukan c. Hitung P(X > 1).
2 Misalkan X p.a kontinu dengan fungsi peluang
f (x) = 10/x2
, x > 10,
Hitung P(X > 20). Tentukan fungsi distribusi dari X.

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Ilustrasi
Deﬁnisi Distribusi Normal
Ilustrasi
Riset bidang psikologi melibatkan pengukuran perilaku. Hasil-hasil
pengukuran akan berbeda antara individu satu dengan yang
lainnya. Namun demikian, sesungguhnya hasil-hasil tersebut dapat
diprediksi sebagai kelompok individu. Salah satu pola umum pada
hasil pengukuran (tentunya berupa angka) adalah bahwa
kebanyakan pengukuran-pengukuran tersebut terkonsentrasi di
sekitar mean dari distribusi tersebut. Ada sedikit hasil pengukuran
yang jauh dari mean. Apabila distribusi frekuensi digambarkan,
akan tampak kurva berbentuk bel (bell-shaped curve) yang disebut
DISTRIBUSI NORMAL.

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Ilustrasi
Perhatikan fungsi peluang dari X, p.a yang menyatakan kandungan
zat dalam tubuh. Distribusi peluangnya tidak simetri dan menceng
ke kanan (skew to the right atau positively skewed) sbb (Gb 4.1):

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Ilustrasi
densitas
0 50 100 150
serum trigliserida (mg/dL)
Figure: Fungsi peluang kandungan zat

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Ilustrasi
Sedangkan fungsi peluang dari tekanan darah pada laki-laki usia
35-44 tahun adalah seperti gambar berikut (Gb 4.2). Area A, B, C
berturut-turut menyatakan peluang terjadinya hipertensi ringan,
sedang dan berat. Umumnya DBP terjadi disekitar 80 mm Hg,
dimana kemudian kemungkinannya berkurang seiring dengan
berubahnya nilai DBP yang jauh dari 80.

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Ilustrasi
densitas
0 50 80 90 100 110
DBP
0.03
0.02
0.01
A
B
C
Figure: Fungsi peluang tekanan darah

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Ilustrasi
Fungsi peluang dari peubah acak yang menyatakan Berat Badan
Lahir berikut fungsi distribusinya saat BB-nya 88 atau P(X ≤ 88)
(Gb 4.3). Area tersebut memiliki arti khusus dalam kebidanan atau
obstetrics dimana 88 adalah nilai batas atau cutoﬀ point yang
digunakan untuk mengidentiﬁkasi bayi BBLR.

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Ilustrasi
densitas
60 88 120
Berat Badan Lahir (BBL)
0.02
0.01
Figure: Fungsi peluang Berat Badan Lahir

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Ilustrasi
Misalkan X peubah acak berdistribusi normal dengan parameter µ
dan σ2. Fungsi peluangnya adalah
fX (x) =
1
√
2 π σ
exp −
1
2 σ2
(x − µ)2
, −∞ < x < ∞,
Notasi: X ∼ N(µ, σ2), dengan mean µ = E(X) dan variansi
σ2 = Var(X).

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Ilustrasi
Contoh: fungsi peluang untuk distribusi normal dengan mean 50
dan variansi 100 (Gb 4.4).
f(x)
40 50 60
(µ-σ) µ (µ+σ)
x
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
σ
σ
Figure: Fungsi peluang dari distribusi normal

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Ilustrasi
Contoh/Latihan
1 Misalkan X p.a berdistribusi normal dengan µ = 3 dan
σ2 = 9, hitung:
(a) P(2 < X < 5); (b) P(X > 0); (c) P(|X − 3| > 6)

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Ilustrasi
Distribusi N(0, 1) adalah kasus khusus dari distribusi N(µ, σ2)
dengan mean 0 dan variansi 1. Distribusi ini disebut juga distribusi
normal standar/baku (Gb 4.5). Sifatnya adalah simetrik disekitar
0. Sifat empirik yang penting dari distribusi normal baku adalah
P(−1 < X < 1) = 0.6827,
P(−1.96 < X < 1.96) = 0.95,
P(−2.576 < X < 2.576) = 0.99.

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Ilustrasi
f(x)
-2.58 -1.96 -1 0 1 1.96 2.58
(µ)
x
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
68% area
95% area
99% area
Figure: Fungsi peluang dari distribusi normal standar

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Ilustrasi
Contoh/Latihan
1 Diketahui Z ∼ N(0, 1). Tentukan nilai c dari persamaan
peluang berikut:
(a) P(Z > c) = 0
(b) P(|Z| ≤ c) = 0.25
(c) P(c ≤ Z < 0) = 0.324
2 Misalkan diameter pohon adalah peubah acak berdistribusi
normal dengan mean 8 (inchi) dab deviasi standar 2 (inchi).
Hitung peluang bahwa sebuah pohon memiliki diameter yang
tak wajar yaitu lebih dari 12.

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
Deﬁnisi
Misalkan suatu populasi memiliki mean µ. Misalkan X1, X2, . . . , Xn
sampel acak dari populasi tersebut. Penaksir untuk µ (disebut
penaksir sampel) adalah
¯X =
1
n
n
i=1
Xi ,

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
dengan sifat
E( ¯X) = µ, Var( ¯X) = σ2
/n,
dimana deviasi standarnya adalah σ/
√
n yang disebut standard
error of mean atau “sem” atau standard error. Standard error
adalah ukuran kuantitatif dari variablitas mean sampel yang
diperoleh dari sampel acak (berulang) berukuran n dari populasi
yang sama.

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
Teorema Limit Pusat
Misalkan X1, X2, . . . , Xn sampel acak dari populasi dengan mean µ
dan variansi σ2. Maka, untuk n besar,
¯X ∼ N(µ, σ2
/n),
meskipun distribusi populasinya tidak normal.

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
Contoh. Hitung peluang bahwa mean BBL dari sampel berukuran
10 akan berada diantara 98 dan 126 (diketahui data populasi:
mean 112 dan deviasi standar 20.6).

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
Solusi:
P(98 < ¯X < 126) = Φ
126 − 112
20.6/
√
10
− Φ
98 − 112
20.6/
√
10
= · · ·

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
Perhatikan transformasi peubah acak:
Z =
¯X − µ
σ/
√
n
,
dimana Z berdistribusi normal standar. Akibatnya, 95% nilai Z
akan berada diantara -1.96 dan 1.96. Dengan kata lain, 95% mean
sampel berada di selang
µ − 1.96 σ/
√
n , µ + 1.96 σ/
√
n
Catatan:
Dalam praktiknya, nilai σ tidak diketahui dan harus ditaksir oleh
deviasi standar sampel s.

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
Distribusi t
Jika X1, X2, . . . , Xn sampel acak berdistribusi normal dengan mean
µ dan variansi σ2, maka
¯X − µ
S/
√
n
∼ tn−1,
berdistribusi t dengan derajat kebebasan (degrees of freedom)
n − 1, dimana
P(td < td,u) = u.

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
Selang Kepercayaan untuk Mean
100%(1 − α) selang kepercayaan (SK) atau conﬁdence interval
(CI) untuk mean dari distribusi normal dengan variansi tidak
diketahui adalah
¯x − tn−1,1−α/2 s/
√
n , ¯x + tn−1,1−α/2 s/
√
n
atau dituliskan
¯x ± tn−1,1−α/2 s/
√
n

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
Contoh/Latihan
1 Tentukan persentil ke-5 (atas) atau persentil ke-95 dari
distribusi t dengan derajat kebebasan 23.
2 Hitung 95% selang kepercayaan untuk mean BBL berdasarkan
sampel berukuran 10. Diketahui: ¯x = 116.9; s = 21.7.

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
Selang Kepercayaan untuk Mean - Sampel Besar
Nilai pendekatan 100%(1 − α) selang kepercayaan (SK) atau
conﬁdence interval (CI) untuk mean dari distribusi normal (sampel
besar) dengan variansi tidak diketahui adalah
¯x − z1−α/2 s/
√
n , ¯x + z1−α/2 s/
√
n
dengan ukuran sampel n > 200.

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
Catatan:
Panjang SK dipengaruhi oleh nilai n, s, dan α. Jika:
n membesar, maka panjang SK...
s membesar, maka panjang SK...
α mengecil, maka panjang SK...

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
Contoh/Latihan
1 Hitung 95% dan 99% selang kepercayaan untuk mean
temperatur berdasarkan sampel berukuran 10 dan 100.
Diketahui: ¯x = 97.2; s = 0.189.
2 Pandang soal no 1. Hitung 95% SK dengan s = 0.4.

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Konsep dan Tahapan Uji Hipotesis
Kesalahan Tipe-1 dan Tipe-2
Uji Hipotesis Untuk Mean
Definisi
Uji hipotesis (UH) adalah bagian dari statistika inferensi. UH
bertujuan untuk mengambil kesimpulan secara statistik (signifikan)
dari hipotesis-hipotesis yang diberikan. Kesimpulan tersebut
didasarkan pada tingkat signifikansi α (yang sesungguhnya adalah
tingkat kesalahan tipe I).

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Tahapan Uji Hipotesis
Tahap-tahap dalam pelaksanaan UH adalah
1 Membuat (menyatakan) hipotesis nol, H0, dan hipotesis
alternatif, Ha atau H1,
2 Menentukan α,
3 Menentukan statistik uji (test statistic),
4 Menentukan daerah kritis (critical region) atau daerah
penolakan/penerimaan,
5 Menghitung statistik uji dengan data sampel
6 Mengambil kesimpulan: “menolak atau gagal menolak H0”

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Contoh:
1. Ini cerita tentang kematian karena kanker yang diduga dimulai
dari radiasi nuklir. Diketahui terjadi 13 kematian pada pekerja
di suatu proyek nuklir, dimana 5 kematian diantaranya
disebabkan oleh kanker. Berdasarkan data statistik, pihak
otoritas kesehatan mengklaim bahwa sekitar 20% kematian
disebabkan oleh kanker. Benarkah klaim pihak otoritas
kesehatan?

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
2. Misalkan X p.a menyatakan panjang lompatan yang dilakukan
seorang atlet. Diketahui X berdistribusi normal dengan mean
µ. Akan diuji
H0 : µ = 3 vs H1 : µ > 3
dengan menggunakan data sampel 6 atlet terpilih acak
dengan mean 3.763 dan deviasi standar 0.724. Apakah
kesimpulan yang diambil dari uji hipotesis tersebut?

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Kesalahan dalam UH
Kesalahan-kesalahan dalam UH dibagi atas:
- kesalahan tipe-1 atau α, yaitu kesalahan “menolak H0 yang
benar, atau
P(menolak H0 | H0 benar)
- kesalahan tipe-2 atau β, yaitu kesalahan “menerima H0 yang
salah, atau
P(menerima H0 | H0 salah)

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Catatan:
Tidak ada hubungan antara α dan β
1 − β adalah kuasa atau power dari UH

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Kaitan antara pengambilan kesimpulan dan kesalahan dapat dilihat
dalam tabel berikut:
Table: Pengambilan kesimpulan dan tipe kesalahan.
H0 benar H0 salah
H0 gagal ditolak keputusan benar β
H0 ditolak α keputusan benar

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Dua jenis uji hipotesis nol vs hipotesis alternatif:
1 Uji hipotesis 2-sisi atau two-sided:
H0 : µ = µ0 vs H1 : µ = µ0
2 Uji hipotesis 1-sisi atau one-sided:
H0 : µ = µ0 vs H1 : µ > µ0
atau
H0 : µ = µ0 vs H1 : µ < µ0

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
UH 1-Sampel
Uji hipotesis untuk mean populasi dapat dilakukan pada kasus (i)
pengambilan sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal
dengan variansi diketahui atau tidak diketahui, (ii) pengambilan
sampel berasal dari populasi yang tidak berdistribusi normal.

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Contoh: Seorang peneliti tertarik untuk menguji mean umur
orang-orang dari suatu populasi: apakah mean umur orang-orang
dari populasi tersebut berbeda dari 30 tahun? (apakah mean umur
orang-orang tersebut 30 tahun?). Untuk itu, diambil sampel
sebanyak 10 orang dan dihitung bahwa ¯x = 27. Asumsikan data
berasal dari distribusi normal dengan σ2 = 20.

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Tahapan UH-nya adalah
1. Hipotesis:
H0 : µ = 30, Ha : µ = 30
2. Tingkat signiﬁkansi: α = 0.05
3. Statistik uji:
Z =
¯X − µ0
σ/
√
n
∼ N(0, 1)
4. Daerah kritis:
Tolak H0 jika z ≥ 1.96 atau z ≤ −1.96

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
5. Perhitungan:
z =
27 − 30
20/10
= −2.12
6. Kesimpulan:
Tolak H0, karena z ≤ −1.96. Dengan kata lain, mean umur
suatu populasi bukanlah 30 tahun atau berbeda dari 30 tahun.

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
p-value
Pengambilan kesimpulan dapat pula dilakukan dengan menghitung
p-value, yaitu nilai α terkecil untuk menolak H0. Dengan kata lain
“tolak H0 jika p-value lebih kecil dari α”. Pada contoh diatas, nilai
p-value adalah
p − value = P(Z ≤ z) + P(Z ≥ z) = 2 × P(Z ≤ −2.12) = 0.034.
Jadi, karena 0.034 < 0.05 maka H0 ditolak.

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Contoh/Latihan:
Lakukan UH untuk soal diatas. Pertanyaan yang diajukan adalah
“apakah mean umur populasi kurang dari 30 tahun?”. Gunakan
tingkat signiﬁkansi α = 0.01. Bagaimana jika n = 20 dan ¯x = 27?

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Bagaimana jika σ tidak diketahui?
Gunakan statistik uji:
T =
¯x − µ0
s/
√
n
∼ tn−1.

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Contoh: Castillo dan Lilioja meneliti suatu teknik untuk mengukur
indeks massa tubuh atau BMI. Mereka ingin menguji apakah mean
BMI suatu populasi bukanlah 35. Dilakukan perhitungan pada 14
orang dewasa (laki-laki) dan diperoleh ¯x = 30.5 dan s = 10.64.

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Tahapan UH-nya adalah
1. Hipotesis:
H0 : µ = 35, Ha : µ = 35
2. Tingkat signiﬁkansi: α = 0.05
3. Statistik uji:
T =
¯X − µ0
s/
√
n
4. Daerah kritis:
Tolak H0 jika t ≥ 2.16 atau t ≤ −2.16

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
5. Perhitungan:
t =
30.5 − 35
10.64/
√
14
= −1.58
6. Kesimpulan:
H0 gagal ditolak (dengan kata lain, diterima), karena
−2.16 ≤ t ≤ 2.16 atau bukan dalam daerah penolakan. Tidak
ada alasan untuk mendukung klaim bahwa mean BMI
bukanlah 35.

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Contoh/Latihan:
Lakukan pengambilan kesimpulan pada masalah BMI dengan
menggunakan p-value. Bagaimana menurut anda? Manakah yang
lebih mudah dilakukan? (dibandingkan dengan menentukan z atau
t pada tabel)

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Uji Hipotesis
Bagaimana UH dilakukan pada mean populasi yang tidak
berdistribusi normal?
Ambil sampel cukup besar!
Contoh: PR.

Bab 3-stat

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Bab 3-stat

Similar to Bab 3-stat (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (15)

Bab 3-stat