1. Dokumen ini membahas tentang konsep limit fungsi dan sifat-sifatnya, termasuk definisi limit fungsi, bentuk tak tentu, penentuan limit fungsi-fungsi polinomial, dan kesinambungan fungsi. 2. Juga dibahas contoh penerapan konsep limit dalam penentuan harga diskriminatif untuk penjualan jeruk. Dengan kebijakan harga yang menurun sesuai jumlah beli, penjual dapat menarik pembeli untuk membeli lebih

1. Created by :
Raning Bhaktiniah
Permana
Akuntansi semester 1

2. Limit menggambarkan seberapa jauh sebuauh
fungsi akan berkembang apabila variabel di dalam fungsi
yang bersangkutan terus menerus berkembang mendekati
suatu nilai tertentu. Sebagai gambaran : dari 푦 = 푓 푥 akan
dapat diketahui limit atau batas perkembangan 푓(푥) ini
apabila variabel 푥 terus menerus berkembang hingga
mendekati suatu nilai tertentu. Jika fungsi 푓(푥) mendekati
퐿 manakala variabel 푥 mendekati 푎 (푎 dan 퐿 keduanya
konstanta) maka 퐿 disebut limit fungsi 푓(푥) untuk 푥
mendekati 푎. Hubungan ini dilambangkan dengan notasi :
lim
푥→푎
푓(푥)=퐿

3. Limit suatu fungsi hanya mempunyai dua kemungkinan :
ada (terdefinisi, tertentu; yakni jika limitnya adalah 퐿, atau
− 퐿, atau 0, atau ~ atau -~) atau tidak adasama sekali
(tidak terdefinisi), dan tidak boleh tak tentu (
0
0
atau
~
~
)

4. lim
푥→푎
푓(푥)
Terdiri atas
lim
푥→푎− 푓(푥)
(analisis sisi kiri)
x→ 푎 dilihat dari
Nilai-nilai x <a *)
lim
푥→푎+
푓(푥)
(analisis sisi
kanan)
x→ 푎 dilihat dari
Nilai-nilai x > a *)
푥 → 푎− maksudnya 푥 mendekati 푎 melalui nilai-nilai 푥 < 푎 (dari kiri)
푥 → 푎+ maksudnya 푥 mendekati 푎 melalui nilai-nilai 푥 > 푎 (dari kanan).
푎− ≠ −푎 푑푎푛 푎+ ≠ +a

5. 1. Jika 푦 = 푓 푥 = 푥푛 dan 푛 > 0, maka lim
푥→푎
푥푛= 푎푛
2. Limit dari suatu konstanta adalah konstanta itu sendiri.
lim
푥→푎
푘=k
3. Limit dari suatu penjumlahan (pengurangan) fungsi adalah jumlah (selisih)
dari limit
fungsi- fungsinya.
lim
푥→푎
푓 푥 ± 푔 푥 = lim
푥→푎
푓(푥) + lim
푥→푎
푔(푥)
4. Limit dari suatu perkalian fungsi adalah perkalian dari limit fungsi-fungsinya.
lim
푥→푎
푓 푥 . 푔 푥 = lim
푥→푎
푓(푥) . lim
푥→푎
푔(푥)
5. Limit dari suatu pembagian fungsi adalah pembagian dari limit fungsi-fungsinya
dengan syarat limit fungsi pembaginya tidak sama dengan nol.
푓(푥)
lim
푓(푥)
lim
=
푥→푎
푥→푎
푔(푥)
lim
푥→푎
푔(푥)
dengan syarat lim
푥→푎
푔(푥) ≠ 0
6. Limit dari suatu fungsi berpangkat n adalah pangkat n dari limit fungsinya
lim
푥→푎
{푓 푥 }푛 ={lim
푥→푎
푓(푥)}푛
7. Limit dari suatu fungsi terakar berpangkat positif adalah akar dari limit
fungsinya

6. • Bentuk Tak Tentu 0/0
Limit yang menghasilkan bentuk taktentu 0/0 dapat
dihindari dengan cara menguraikan fungsi-fungsinya
• Bentuk Tak Tentu ~/~
Bentuk tak tentu ~/~ dapat terjadi dalam kasus
penentuan limit pembagian fungsi untuk variabel 푥 →′.
Hasil ~/~ yang potensial untuk terjadi, dapat dihindari
dengan cara membagi pembilang dan penyebutnya
dengan variabel berpangkat tertinggi pada penyebut.

7. • Penyelesaian Pintas Limit Fungsi-Pembagian untuk 푥 →
~
Penyelesaian pintas ini dilakukan dengan cara
memperbandingkan suku-suku berpangkat tertinggi pada
pembilang dan penyebut.
Jika 푦 푥 =
푓(푥)
푔(푥)
=
푚 푖
푖=0
푎푖푥푗=0
푛 푏푗푥푗
Dimana 푓 푥 dan 푔(푥) masing-masing merupakan fungsi
polinom berderajat 푚 dan berderajat 푛,
Maka
lim
푥→~
푦(푥)
= 0 dalam hal 푚 < 푛
=푎푚/ 푏푛 dalam hal 푚 = 푛
= + ~ dalam hal 푚 > 푛 dan 푎푚 > 0
= − ~ dalam hal 푚 > 푛 dan 푎푚 < 0
*kaidah ini berlaku hanya jika 푦(푥) merupakan fungsi
pembagian dan limitnya ditentukan untuk 푥 → ~

8. Secara visual, sebuah fungsi dikatakan sinambung
(continous) apabila gambarnya berupa sebuah kurva yang
tidak terputus; yakni jika dalam menggambarkan kurva
tersebut kita tidak perlu mengangkat alat tulis, cukup
menggeserkannya ke arah yang bersesuaian.
Sebuah fungsi dikatakan sinambung pada 푥 = 푎 jika
:
1. 푓(푎) terdefinisi
2. lim
푥→푎
푓(푥) terdefinisi
3. lim
푥→푎
푓(푥) = 푓(푎)
Ketidaksinambungan sebuah fungsi dapat berbentuk
salah satu dari tiga kemungkinan: asinambung tak
berhingga, asinambung berhingga, dan asinambung titik.

9. Contoh grafik asinambung tak berhingga :
푓(푥)
x
(0;1)
0
푥 = 3
푓 푥 =
9
(푥 − 3)2

10. Contoh grafik asinambung berhingga :
-3 -2 -1 0 1 2 3
x -3 -2 -1 0 1 2 3
푓(푥) -1 -1,5 -3 ~ 3 1,5 1
f(x
)
x
푓 푥 =
3
푥
푓 푥 menuju −~
untuk x→ 0 dari sis
kiri, tetapi menuju +~
untuk x→ 0 dari sisi
kanan terdapat
perubahan drastis
nilai 푓 푥 pada 푥 = 0

11. Contoh grafik asinambung titik
4
푓(푥)
0 2
푓 푥 =
푥2 − 4
푥 − 2

12. Fungsi-fungsi dalam bisnis dan ekonomi banyak
yang berbentuk fungsi asinambung. Bahkan sesungguhnya
sebagian besar fungsi yang ada merupakan fungsi
asinambung, terutama fungsi permintaan dan penawaran
yang unit atau satuannya selalu diskrit (berupa bilangan
bulat, tidak mungkin dipecah-pecah). Begitu pula fungsi
biaya dan fungsi penerimaannya. Penyinambungan fungsi-fungsi
yang sesungguhnya asinambung atau diskrit
memungkinkan untuk ditelaah dengan analisa matematik.

13. Contoh Kasus :
Seorang pedagang menjalankan kebijakan diskriminasi
harga dalam penjualan jeruk dengan termin berikut :
Rp 900,00 per kg untuk pembelian sebanyak 5kg atau
kurang
Rp 850,00 per kg untuk pembelian lebih dari 5 kg tapi tak
lebih dari 10 kg
Rp 750,00 per kg untuk pembelian lebih dari 10 kg
Apabila harga total (=penerimaan bagi penjual atau
pengeluaran bagi pembeli) dilambangkan dengan Y dan
jumlah jeruk dalam kilogram dilambangkan dengan X,
maka fungsinya dapat dituliskan sebagai:
Y =
= 900 X 0≤ 푋 ≤ 5
= 850 X 5< 푋 ≤ 10
= 750 X 푋 < 10

14. Y (rupiah)
8500
4500
0 5 10 15
Dengan kebijakan
harga semacam ini
(diskriminasi harga
derajat kedua) penjual
dapat menarik pembeli
untuk membeli lebih
banyak. Dalam kasus
ini memeli jeruk 11 kg
lebih murah daripada
membeli 10 kg
X (kg)

15. Sekian dan Terimakasih 