1. Modul ini membahas lanjutan konsep kekontinuan fungsi, limit fungsi trigonometri, kekontinuan fungsi komposisi, asimtot grafik fungsi kontinu, dan bentuk-bentuk tak tentu limit fungsi.
2. Dijelaskan bahwa fungsi polinom dan rasional kontinu di setiap bilangan riil kecuali di mana penyebutnya sama dengan nol. Fungsi komposisi kontinu jika fungsi terkait kontinu.
3. Limit fungsi trigonome
1. Modul ke:
Fakultas
Program Studi
03Teknik
Teknik Sipil Reza Ferial Ashadi, ST, MT
MATEMATIKA I
Lanjutan konsep kekontinuan fungsi
Limit fungsi trigonometri
Kekontinuan fungsi komposisi
Asimtot grafik fungsi kontinu
Bentuk-bentuk tak tertentu limit fungsi
2. Lanjutan Konsep Kekontinuan Fungsi
Fungsi polinom kontinu di setiap
bilangan riil c. Fungsi rasional kontinu
di setiap bilangan riil c dalam daerah
asalnya, yaitu kecuali di mana
penyebutnya sama dengan nol.
3. Kekontinuan Dalam Operasi Fungsi
Jika f dan g kontinu di c, maka demikian
juga kf, f + g, f – g, f.g, f/g (asalkan g(c) ≠
0),݂݊
, dan ඥ݂
݊
݈ܽ݊ܽ݇ܽݏ ݂ሺܿሻ > 0 ݆݅݇ܽ ݊ ݃݁݊ܽ
Contoh : f(x) = 2x + 1 kontinu di x = 5,
g(x) = x + 3 kontinu di x = 5,
maka (f + g)(x) = f(x) + g(x)
= (2x + 1) + (x + 3) = 3x + 4 kontinu di x = 5
4. Kekontinuan Fungsi Komposisi
Teorema
1. Jika fungsi f dan g memenuhi Rf Ϲ Dg , f
kontinu di c ∈ Df, dan g kontinu di f(c) ∈
Dg, maka fungsi g ◦ f kontinu di c.
2. Jika fungsi f dan g memenuhi Rf Ϲ Dg , f
kontinu pada Df dan g kontinu pada Dg,
maka fungsi g ◦ f kontinu pada Df.
5. Contoh
Tunjukkan fungsi ݂ሺݔሻ =
1−ݔ
4−√ݔ2−9
kontinu pada daerah
asalnya.
Jawab : Kita tentukan dahulu daerah asal fungsi ini. Agar
݂ሺݔሻ ∈ ܴ , syaratnya adalah
ݔ2
− 9 ≥ 0 dan 4 − √ݔ2 − 9 ≠ 0
Dari syarat yang pertama diperoleh ݔ ≤ −3 atau ݔ ≥ 3 ,
sedangkan dari syarat kedua diperoleh ݔ ≠ ± 5
Jadi daerah asal fungsi f adalah :
Df = ((-∞,-3] ∪ [3, ∞)) – {-5, 5}
= (-∞, -5) ∪ (-5, -3] ∪ [3,5) ∪ (5, ∞)
6. Lanjut Contoh...
Untuk menunjukkan kekontinuan fungsi f pada Df, tulislah
݂ሺݔሻ =
݃ሺݔሻ
ℎሺݔሻ
, dengan g(x) = x – 1 dan ℎሺݔሻ = 4 − √ݔ2 − 9
Disini h dapat ditulis sebagai komposisi dari tiga fungsi
yang kontinu, yaitu
h(x) = (k◦l◦m)(x) = k(l(m(x))), dengan m(x) = x2
– 9 ,
l(x) = √ݔ , dan k(x) = 4 – x
Karena fungsi m kontinu di Df, l kontinu di setiap m(x) ≥ 0,
dan k kontinu pada R, maka fungsi komposisi h = k◦l◦m
kontinu pada Df. Selanjutnya, kekkontinuan fungsi g dan h
pada Df mengakibatkan fungsi f juga kontinu pada Df.
7. Limit Fungsi Komposisi
Teorema
Jika limܿ→ݔ ݂ሺݔሻ = ܮ dan fungsi g kontinu di
L, maka limܿ→ݔ ݃൫݂ሺݔሻ൯ = ݃ሺܮሻ
Contoh : Dengan menggunakan teorema di
atas, karena fungsi ݕ = √ݔ kontinu untuk
setiap x ≥ 0, maka
lim
2→ݔ
ඥ1 + 2ݔ2 = ටlim
2→ݔ
ሺ1 + 2ݔ2ሻ = √1 + 8 = 3
8. Limit FungsiTrigonometri
1. limݔ→0
sin ݔ
ݔ
= limݔ→0
ݔ
sin ݔ
= 1
2. limݔ→0
sin ܽݔ
ܽݔ
= lim0→ݔ
ܽݔ
sin ܽݔ
= 1
3. limݔ→0
tan ݔ
ݔ
= limݔ→0
ݔ
tan ݔ
= 1
4. limݔ→0
tan ܽݔ
ܽݔ
= limݔ→0
ܽݔ
tan ܽݔ
= 1
5. limݔ→0
sin ܽݔ
ܾݔ
= lim0→ݔ
ܽݔ
sin ܾݔ
=
ܽ
ܾ
6. limݔ→0
tan ܽݔ
ܾݔ
= limݔ→0
ܽݔ
tan ܾݔ
=
ܽ
ܾ
7. limݔ→0
sin ܽݔ
sin ܾݔ
= lim0→ݔ
tan ܽݔ
tan ܾݔ
=
ܽ
ܾ
8. limݔ→0
sin ܽݔ
tan ܾݔ
= limݔ→0
tan ܽݔ
sin ܾݔ
=
ܽ
ܾ
10. Asimtot Fungsi Kontinu
Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati
grafik fungsinya.
Ada tiga jenis asimtot fungsi, yaitu
1. Asimtot tegak.
Garis x = c disebut asimtot tegak grafik fungsi
y = f(x) jika limܿ→ݔ ݂ሺݔሻ = ±∞
11. Lanjut...
2. Asimtot Datar
Garis y = b disebut asimtot datar grafik fungsi
y = f(x) jika lim∞±→ݔ ݂ሺݔሻ = ܾ
3. Asimtot miring
Garis y = ax + b disebut asimtot miring jika
lim∞±→ݔ
݂ሺݔሻ
ݔ
= ܽ dan lim∞±→ݔ ݂ሺݔሻ − ܽݔ = ܾ
13. Lanjut...
Jadi asimtot miring : y = x + 2 ; asimtot datar tidak ada
Grafik
x
y
2
- 2 0
y = x + 2
ݕ =
ሺݔ + 1ሻ2
ݔ
14. Bentuk-bentuk Tak-Tentu Limit Fungsi
1. Limit tak Hingga
lim
ܿ→ݔ
݂ሺݔሻ = ∞
menyatakan bahwa :
f(x) membesar tanpa batas bila x mendekati c. f(x)
dapat dibuat lebih besar dari sebarang bilangan positif
dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke c, tetapi
x ≠ c.
15. Lanjut...
2. Limit di Tak Hingga
lim
∞→ݔ
݂ሺݔሻ = ܮ
menyatakan bahwa f(x) mendekati L bila x membesar
tanpa batas. f(x) dapat dibuat sebarang dekat ke L
dengan cara mengambil x yang cukup besar
atau
jarak f(x) ke L dapat dibuat sebarang kecil bila x dibuat
lebih besar dari suatu bilangan positif
16. Lanjut...
3. Limit Tak Hingga di Tak Hingga
Limit tak hingga di tak hingga adalah kasus dimana
f(x) → ± ∞ bila x → ± ∞. Terdapat empat kasus untuk
limit ini. Situasi geometri untuk dua kasus pertama
diperlihatkan pada gambar dibawah ini.
x
y
0
f
lim
∞→ݔ
݂ሺݔሻ = ∞lim
ݔ→−∞
݂ሺݔሻ = −∞
18. Lanjut...
4. Bentuk tak tentu
0
0
Kita akan menghitung limܿ→ݔ
݂ሺݔሻ
݃ሺݔሻ
, dengan limܿ→ݔ ݂ሺݔሻ =
limܿ→ݔ ݃ሺݔሻ = 0
Cara penyelesaian :
Ubahlah bentuk
݂ሺݔሻ
݃ሺݔሻ
sehingga sifat-sifat limit fungsi
dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah
menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan
rumus trigonometri dan limit trigonometri, merasionalkan
bentuk pecahannya, dan sebagainya.
19. Lanjut...
5. Bentuk Tak Tentu
∞
∞
Kita akan menghitung lim∞→ݔ
݂ሺݔሻ
݃ሺݔሻ
dimana lim∞→ݔ|݂ሺݔሻ|
= lim∞→ݔ|݃ሺݔሻ| = ∞
Cara Penyelesaian :
Ubahlah bentuk
݂ሺݔሻ
݃ሺݔሻ
sehingga sifat-sifat limit fungsi
dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah
merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan
bentuk
1
ݔ݊ , n bilangan asli, dan sebagainya
20. Lanjut...
6. Bentuk Tak Tentu 0.∞
Kita akan menghitung limܿ→ݔ ݂ሺݔሻ݃ሺݔሻ , dengan
limܿ→ݔ ݂ሺݔሻ = 0 dan limܿ→ݔ|݃ሺݔሻ| = ∞
Cara penyelesaian :
Tulislah f(x)g(x) sebagai
݂ሺݔሻ
1
݃ሺݔሻ
untuk memperoleh bentuk
0
0
, atau sebagai
݃ሺݔሻ
1
݂ሺݔሻ
untuk memperoleh bentuk
∞
∞
,
kembali ke masalah sebelumnya.
21. Lanjut...
7. Bentuk Tak Tentu ∞ − ∞
Kita akan menghitung lim∞→ݔሺ݂ሺݔሻ − ݃ሺݔሻሻ , dengan
lim∞→ݔ ݂ሺݔሻ = ∞ dan lim∞→ݔ ݃ሺݔሻ = ∞
Cara penyelesaian
Ubahlah bentuk limitnya menjadi
∞
∞