Penerapan Kalkulus Diferensial dalam penerapannya dalam ilmu ekonomi

1. Penerapan Kalkulus
Diferensial : Fungsi
dengan Satu Variabel
Bebas

2. Menghitung Elastisitas Permintaan
Terhadap Harga (Elastisitas Harga Titik/
Point Elasticity)
2
priceinchangePercentage
demandedquatityinchangePercentage
demandofelasticityPrice 
Contoh: Jika terjadi kenaikan harga segelas es krim
dari 2 menjadi 2,2 sehingga konsumsi es krim turun
dari 10 menjadi 8, dgn perhitungan sebagai berikut:
2
10
20
100
00.2
)00.220.2(
100
10
)108(







percent
percent

3. Menghitung Elastisitas Permintaan
Harga dengan Metoda Midpoint
)/2]P)/[(PP(P
)/2]Q)/[(QQ(Q
=DemandofElasticityPrice
1212
1212


Metoda Midpoint (2 Titik atau Arc Elasticity) adalah
membagi perubahan nilai awal dengan nilai tengah
antara nilai/angka awal dan angka akhir.

4. Menghitung Elastisitas Permintaan
Terhadap Harga
4
32.2
5.9
22.22
100*
2/)00.220.2(
)00.220.2(
100*
2/)108(
)108(







percent
percent
)/2]P)/[(PP(P
)/2]Q)/[(QQ(Q
=DemandofElasticityPrice
1212
1212


Contoh: Jika terjadi kenaikan harga segelas es krim
dari 2 menjadi 2,2 sehingga konsumsi es krim turun
dari 10 menjadi 8, gunakan metoda midpoint:

5. Menghitung Elastisitas Permintaan
Terhadap Harga
5
Permintaan adalah elastis
$5
4 Demand
Kuantitas1000
Harga
50
-3
percent22-
percent67
5.00)/2(4.00
5.00)-(4.00
50)/2(100
50)-(100
ED





6. Rentang Elastisitas
Permintaan In-elastis
Kuantitas permintaan akan berubah tidak
sebanyak perubahan harga.
Elastisitas permintaan terhadap harga < 1.
Permintaan Elastis
Kuantitas permintaan akan berubah lebih
banyak dibanding perubahan harga.
Elastisitas permintaan terhadap harga > 1.
6

7. Rentang Elastisitas
 In-elastis Sempurna
Berapapun perubahan harga kuantitas
permintaan tetap (= 0).
 Elastisitas Sempurna
Perubahan harga sekecil apapun
mengakibatkan perubahan kuantitas
permintaan secara besar-besaran (= tidak
terbatas).
 Elastisitas Unit/uniter
Perubahan kuantitas yang diminta akan
sama dengan perubahan harga (=1). 7

8. Permintaan Inelastis Sempurna:
Elastisitas = 0
8
Kuantitas
Harga
4
$5
Demand
100
2. ...tidak mengubah kuantitas permintaan.
1. Suatu
Kenaikan
harga...

9. Permintaan In-elastis:
Elastisitas < 1
9
Kuantitas
Harga
4
$51. Kenaikan
Harga
22 %...
Demand
10090
2. ...mengakibatkan penurunan kuantitas permintaan
Sebesar 11 persen

10. Permintaan Unit Elastis:
Elastisitas = 1/Elastisitas Uniter
10
Kuantitas
Harga
4
$51. Kenaikan
Harga
22%...
Demand
10080
2. ...mengakibatkan penurunan kuantitas permintaan
Sebesar 22 persen

11. Permintaan Elastisitas:
Elastisitas > 1
11
Kuantitas
Harga
4
$51. Kenaikan
harga
22 %...
Demand
10050
2. ...mengakibatkan penurunan kuantitas permintaan
Sebesar 67 persen

12. Soal
 Jika harga beras naik dari Rp,8.000,00/Kg menjadi
Rp.10.000,00/Kg, mka jumlah yang diminta turun menjadi 50.000
ton kg menjadi 40.000 ton kg
 Jika harga kopra turun dari Rp.60.000,00/Kg menjadi
Rp.5.600,00/Kg, maka jumlah yang diminta naik dari 8.000 ton kg
menjadi 10.000 ton kg
 Jika harga cabe naik dari Rp.80.000/Kg menjadi Rp.100.000/Kg,
maka jumlah yang diminta turun dari 500 kg menjadi 450 kg
 Jika harga cengkeh naik dari Rp.120.000,00/Kg menjadi
Rp.100.000,00/Kg, maka jumlah yang diminta turun dari 2.000 ton
kg menjadi 1.800 ton kg
Hitunglah ekastisitas harag dengan menggunakan bususr dan
midpoint serta nyatakan rentang elastisitasnya

13. Contoh Soal
 Jika fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh Q = 150 - 3P,
berapakah elastisitas permintaan jika harga P = 40, P = 25 dan P
=10?
Penyelesaian
 Jika P = 40, maka Q = 30 dan
𝑑𝑄
𝑑𝑃
= -3
 𝐸ℎ =
𝑑𝑄
𝑑𝑃
.
𝑃
𝑄
= -3
40
30
= -4 = 4 (elastis)
 Jika P = 25, maka Q = 75 dan
𝑑𝑄
𝑑𝑃
= -3
 𝐸ℎ =
𝑑𝑄
𝑑𝑃
.
𝑃
𝑄
= -3
25
75
= -1 = 1 (Unitary)
 Jika P = 10, maka Q = 120 dan
𝑑𝑄
𝑑𝑃
= -3
 𝐸ℎ =
𝑑𝑄
𝑑𝑃
.
𝑃
𝑄
= -3
10
120
= -
1
4
=
1
4
(inelastis)

14. Soal
 Q = 200 – P, dimana P = 50
 Q = 300 – 0,5P, dimana P = 200
 Q = 500 – 2P, dimana P = 150
 Q = 600 – 3P, dimana P = 100
 P = 500 - 2Q, dimana Q = 100
 P = 600 - 3Q, dimana Q = 150
 P = 800 - 2Q, dimana Q = 175
 P = 100 - Q, dimana Q = 30
 Hitunglah masing – masing elastisitas dan tentukan rentang
elastisitasnya

15. Hubungan Antara Fungsi
Biaya dan Fungsi
Produksi

16. Biaya Tetap (FC)
Biaya yang jumlahnya tidak tergantung dari
bayak sedikitnya jumlah output
Contohnya : gaji tenaga administrasi,
penyusutan mesin, penyusutan gedung dan
peralatan lain, sewa tanah, sewa kantor, sewa
gudang

17. Merupakan biaya yang besarnya berubah – berubah
tergantung dari banyak sedikitnya output yang dihasilkan
Contoh : biaya bahan baku, biaya tenaga kerja langsung,
bahan bakar, listrik
Biaya Variabel (VC)

18. Merupakan biaya total yang tetap harus
dikeluarkan berapapun output yang dihasilkan
seta besar biayanya tidak berubah - berubah
TFC (Total Fixed Cost)
TVC (Total Variable Cost)
Biaya yang besar kecilnya mengikuti banyak
sedikitnya output yang dihasilkan

19. Penjumlahan dari TFC + TVC
TC (Total Cost)
AFC (Avarage Fixed Cost)
Dapat dihitung dengan membagi biaya biaya
tetap total (TFC) dengan jumlah output
𝐴𝐹𝐶 =
𝑇𝐹𝐶
𝑄

20. Menggambarkan besarnya biaya vaiabel per
satuan produk
AVC (Avarage Total Cost)
ATC (Avarage Total Cost)
Biaya total rata – rata yang menggambarkan besarnya
biaya per satuan produk
𝐴𝑉𝐶 =
𝑇𝑉𝐶
𝑄
𝐴𝑇𝐶 =
𝑇𝐶
𝑄

21. Kecepatan laju kenaikan biaya yang disebabkan
oleh kenaikan satu satuan output
MC (Marginal Cost)
Profit/ Laba
𝑀𝐶 =
∆𝑇𝐶
∆𝑄
𝜋 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶

22. Q Biaya
Total
Biaya
Tetap
Biaya
Variabel
Biaya
Tetap
Rata -
Rata
Biaya
Variabel
Rata –
Rata
Biaya
Total
Rata -
Rata
Biaya
Marginal
0 3 3 0 - - - -
1 0,2
2 3,9
3 1,6
4 2,6
5 6,6
6 7,9
7 9,5
8 9
9 10
10 16

23.  Jika diketahui fungsi biaya total dari suatu perubahan
adalah TC = 0,2 𝑄2 + 500𝑄 + 8000, (a) cailah fungsi
biaya rata – rata (AC); (b) berapakah jumlah produk yang
dihasilkan agar biaya rata – rata minimum; dan (c)berapa
nilai biaya rata – rata minimum tersebut?
 Penyelesaian
 Diketahui; TC = 0,2𝑄2
+ 500𝑄 + 8000
 Fungsi biaya rata – rata diperoleh dengan rumus;
 𝐴𝐶 =
𝑇𝐶
𝑄
=
0,2 𝑄2+ 500𝑄+8000
𝑄
= 0,2Q + 500 +
8000
𝑄

24. Untuk memperoleh AC minimum maka langkah
pertama mengambil derivatif pertama pada
persamaan, kemudian disamakan dengan nol,
hasilnya dalah sebagai berikut

𝑑𝐴𝐶
𝑑𝑄
= 0,2 − 8000𝑄−2 = 0
0,2 =
8000
𝑄2
 𝑄2 =
8000
0,2
= 40000
Q = 40000 = 200

25. Selanjutnya untuk mendapatkan 𝐴𝐶 𝑚𝑖𝑛
subtitusikan nilai Q = 200 ke dalam
persamaan
 𝐴𝐶 𝑚𝑖𝑛 =
0,2(200)2+500 200 +8000
200
=
116000
200
=
580
Jadi biaya rata – rata minimum sebesar
Rp.580 dapat diperoleh jika perusahaan
menghasilkan produk sebanyak 200 unit

26. Soal
 Untuk masing – masing biaya rata – rata total (AC)
berikut ini, carilah jumlah barang (Q) yang harus
diproduksi agar AC minimum? Hitung nilai biaya rata –
rata toal manimum (AC) tersebut!
 𝐴𝐶 =
3𝑄2+5𝑄+6
𝑄
 𝐴𝐶 =
2𝑄2+8𝑄+18
𝑄
 𝐴𝐶 =
6𝑄2+24𝑄+216
𝑄
 𝐴𝐶 =
2𝑄2+6𝑄+50
𝑄

27.  Jika diketahui fungsi biaya total dari suatu perusahaan pabrikasi
adalah 𝑇𝐶 = 𝑄3 − 30𝑄2 + 325𝑄 + 65000, (a) carilah biaya tetap
total (TFC) dan biaya variabel total (TVC) (b) carilah jumlah
produk yang dihasilkan agar biaya variabel total minimum dan (c)
berapa nilai biaya variabel total AVC
 Penyelesaian;
 Diketahui ; 𝑇𝐶 = 𝑄3
− 30𝑄2
+ 325𝑄 + 65000
 Biaya tetap total (TFC) adalah suku konstanta 65000 pada
persamaan biaya total, yaitu TFC = 65000, sedangkan susku –
suku yang tersissa yang mengandung variabel Q adalah biaya
variabel, sehingga;
 𝑇𝑉𝐶 = 𝑄3 − 30𝑄2 + 325𝑄

28.  Biaya varaibel rata – rata (AVC) diperoleh dengan
membagi TVC dengan jumlah per unit Q
 𝐴𝑉𝐶 =
𝑇𝑉𝐶
𝑄
=
𝑄3 − 30𝑄2+325𝑄
𝑄
= 𝑄2 − 30𝑄 + 325𝑄
 Untuk memperoleh AVC minimum maka langkah pertama
mengambil derivatif pertama dari persamaan diatas,
kemudian disamakan dengan nol, hasilnya adalah;

𝑑𝐴𝑉𝐶
𝑑𝑄
= 2𝑄 − 30 = 0
 2Q = 30
 Q = 15

29. Selanjutnya, untuk mendapatkan 𝐴𝑉𝐶 𝑚𝑖𝑛
subtitusikan nilai Q = 15 ke dalam persamaan
 𝐴𝑉𝐶 𝑚𝑖𝑛= (15)2
− 30 15 + 325
 𝐴𝑉𝐶 𝑚𝑖𝑛= 225 – 450 + 325
 𝐴𝑉𝐶 𝑚𝑖𝑛= 100
Jadi, biaya untuk mendapatkan 𝐴𝑉𝐶 𝑚𝑖𝑛
sebesar Rp.100,00 dapat diperoleh jika
perusahaan menghasilkan produk sebanyak
15 unit

30. Soal
Untuk masing – masing fungsi biaya total berikut
ini (a) tentukan fungsi biaya variabel total (TVC)
dan fungsi biaya tetap (TFC), kemudian (b)
hitung nilai biaya variabel rata – rata (AVC)
minimum
 𝑇𝐶 = 0,5𝑄3
− 24𝑄2
+ 410𝑄 + 1500
 𝑇𝐶 = 𝑄3 − 30𝑄2 + 400𝑄 + 100
 𝑇𝐶 =
1
3
𝑄3
− 12𝑄2
+ 182𝑄 + 720
 𝑇𝐶 = 0,5𝑄3 − 6𝑄2 + 80𝑄 + 160

31.  Jika diketahui fungsi permintaan dari suatu perusahaan P =
557 – 0,2Q dan fungsi biaya total adalah 𝑇𝐶 = 0,05𝑄3 −
0,2𝑄2
+ 17𝑄 + 7000, maka;
 Berapakah jumlah output yang harus dijual agar produsen
memperoleh laba yang maksimum
 Berapakah laba maksimum tersebut
 Berapakah harga jual per unit produk
 Berapakah harga jual per unit produk
 Berapakah biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan
 Berapakah permintaan total yang diperoleh dari perusahaan

32.  Diketahui ; P = 557 – 0,2Q; 𝑇𝐶 = 0,05𝑄3 − 0,2𝑄2 +
17𝑄 + 7000
 TR = P.Q
 TR = (557 – 0,2Q).Q
 TR = 557Q - 0,2𝑄2
 𝜋 = TR – TC
 𝜋 = (557Q - 0,2𝑄2) – (0,05𝑄3 − 0,2𝑄2 + 17𝑄 + 7000)
 𝜋 = 557Q - 0,2𝑄2– 0,05𝑄3 + 0,2𝑄2 − 17𝑄 − 7000
 𝜋 = – 0,05𝑄3 + 540Q – 7000

33. 
𝑑𝜋
𝑑𝑄
= −0,15𝑄2 + 540 = 0
 0,15𝑄2
= 540
 𝑄2 = 3600
 Q = 3600 = ±60

𝑑2 𝜋
𝑑𝑄2 = -0,3Q
 Jadi 𝜋 𝑚𝑎𝑘𝑠 = -0,05(60)3+540 60 + 7000
 𝜋 𝑚𝑎𝑘𝑠 = -0,05 216000 + 324000 + 7000
 𝜋 𝑚𝑎𝑘𝑠 = -10800 + 32400 + 7000
 𝜋 𝑚𝑎𝑘𝑠 = 14600

34.  Karena Q = 60, maka
 P = 557 – 0,2(60) = 557 – 12 = 545
 TC = 0,05(60)3− 0,2 60 2 + 17 60 + 7000 = 18100
 TR = 557(60) - 0,2(60)2 = 32700
 Jadi dapat disimpulkan bahwa perusahaan harus menjual
produknya seharga Rp.545 per unit, dengan jumlah
produk sebanyak 60 unit agar dapat memaksimumkan
laba sebesar Rp.14.600 dengan jumlah penerimaan total
perusahaan adalah Rp32.700 dan biaya total yang
dikeluarkan adalah Rp.18.100

35.  Untuk masing – masing fungsi permintaan dan fungsi biaya total
berikut ini (a) hitunglah jumlah produk yang harus diproduksi agar
perusahaan memperoleh laba yang maksimum (b) Hitunglah laba
maksimum perusahaan (c) berapakah harga jual produk tersebut (d)
berapakah biaya total yang dikeluarkan perusahaan dan (e)
berapakah penerimaan total yang diterima perusahaan
 P = 402 - 4Q dan TC = 0,5𝑄3 − 25𝑄2 + 480𝑄 + 1000
 P = 410 - Q dan TC = 0,5𝑄3 − 25𝑄2 + 500𝑄 + 1300
 P = 184 - Q dan TC = 0,5𝑄3 − 19𝑄2 + 250𝑄 + 500
 P = 225 - Q dan TC =
1
3
3
− 15𝑄2 + 300𝑄 + 900
 P = 107 - Q dan TC =
1
3
3
− 8𝑄2 + 120𝑄 + 180

36.  Jika penerimaan total dari produsen ditunjukkan oleh
fungsi TR = 2000Q - 2𝑄2
dan biaya totalnya
ditunjukkan oleh fungsi TC = 𝑄3
− 80𝑄2
+ 2300𝑄 +
10000 (a)Tentukanlah jumlah output yang harus
diproduksi agar supaya produsen memperoleh laba
yang maksimum (b)Berapakah laba maksimum
tersebut (c) Berapakah harga jual per unit produk
(d)Berapakah biaya total yang dikeluarkan oleh
produsen (e) Beparakah penerimaan total yang
diperoleh produsen

37. Penyelesaian
Diketahui; TR = 2000Q - 2𝑄2 dan TC = 𝑄3 −
80𝑄2 + 2300𝑄 + 10000
 𝜋 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶
 𝜋 = (2000Q − 2𝑄2
) − (𝑄3
− 80𝑄2
+ 2300𝑄 +
10000)
 𝜋 = 2000Q − 2𝑄2 − 𝑄3 + 80𝑄2 − 2300𝑄 − 10000
 𝜋 = −𝑄3 − 78𝑄2 − 300𝑄 − 10000

38.  Syarat yang diperlukan :
𝑑𝜋
𝑑𝑄
= 0

𝑑𝜋
𝑑𝑄
= −3𝑄2 − 156𝑄 − 300 = 0
 Jika disederhanakan dengan dibagi -3 menjadi
 𝑄3
− 52𝑄 + 100 = 0
 (Q – 50)(Q-2) = 0
 𝑄1 = 50 dan 𝑄2 = 2
 Karena nilai Q kedua – keduanya bernilai positif berarti
memenuhi syarat teori rkonomi, tetapi kita harus m emilih
salah satu nilai Q yang dapat memaksimumkan laba. Oleh
karena itu, harus melakukan uji derivatif kedua sebagai syarat
yang mencukupkan

39. 
𝑑2 𝜋
𝑑𝑄2 = −6𝑄 + 156
 Untuk Q = 50, maka
𝑑2 𝜋
𝑑𝑄2 = −6 50 + 156 = −144 < 0 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚
 Untuk Q = 2, maka
𝑑2 𝜋
𝑑𝑄2 = −6 2 + 156 = 144 > 0 (𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚)
 Berdasarkan uji derivatif kedua dari fungsi laba, nilai Q = 50 yang harus
dipilih karena memenuhi syarat maksimum, yaitu kedua dari fungsi laba
bernilai negatif atau
𝑑2 𝜋
𝑑𝑄2 < 0. nilai Q = 50 inilah yang disebut sebagai
jumlah output memaksimumkan laba
 Selanjutnya nilai Q = 50 ini digunakan untuk memperoleh laba (𝜋)
maksimum, harga jula per unit produk (P), biaya total produsen (TC) dan
penerimaan total produsen (TR). Cara perolehannya dengan
mensubtitusikan nilai Q = 50 ke dalam masing – masing persamaan

40.  𝜋 𝑚𝑎𝑘𝑠 adalah;
 𝜋 = −(50)3−78 50 2 − 300(50) − 10000
 𝜋 = − 125.000 + 195.000 − 15.000 − 10.000
 𝜋 = 45.000
 P =
𝑇𝑅
𝑄
=
2000𝑄 − 2𝑄2
𝑄
= 2000 - 2Q = 2000 – 2(50) = 2000 – 100 =
1900
 TC = 𝑄3 − 80𝑄2 + 2300𝑄 + 10000
 TC = (50)3
−80 50 2
+ 2300 50 + 10000
 TC = 125.000 – 200.000 +115.000 + 10.000 = 50.000
 TR = 2000Q - 2𝑄2
 TR = 2000(50) - 2(50)2
 TR = 100.000 − 5.000 = 95.000

41. Soal
 Untuk masing – masing fungsi penerimaan total (TR) dan fungsi
biaya toal (TC) berikut ini; (a) hitung jumlah produk yang harus
diproduksi agar perusahaan memperoleh laba maksimum. Ingat ;
Gunakan pendekatan total, yakni 𝜋 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶. (b) Hitung laba
maksimum perusahaan (c) Berapakah harga jual per unit produk
(d)Berapakah biaya total yang dikeluarkan oleh produsen (e)
Beparakah penerimaan total yang diperoleh produsen
 TR = 50Q - 𝑄2 dan TC = 𝑄2 + 10𝑄 + 38
 TR = 60Q - 𝑄2 dan TC = 2𝑄2 + 12𝑄 + 84
 TR = 80Q - 𝑄2 dan TC = 2𝑄2 + 8𝑄 + 69
 TR = 100Q - 𝑄2 dan TC = 𝑄2 + 20𝑄 + 350